[方法点拨] 关于函数零点的综合题，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点：①分离参数，将参数的取值范围转化为求函数的值域；②数形结合，利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论；③构造函数，借助于导数来研究．
三、利用数形结合求最值
利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义． 第二步：转化为几何问题． 第三步：解决几何问题． 第四步：回归代数问题． 第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；
(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．
14已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足 (a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( ) A ．1 B ．2 C. 2
D.22
解析：C
因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设 OC ＝c ， OA ＝a ，
OB ＝b ， CA
＝a －c ， CB ＝b －c ，即 AC ⊥ BC ，又 OA ⊥
OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．
当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.
15．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →
＋λ(AB →|AB →|＋
AC
→|AC →|
)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 [答案] B
[分析] 因为AB →|AB →|是AB →的单位向量，故λ(AB →|AB →|＋AC
→|AC →|)对应向量若以A 为起点，则终点在∠BAC
的平分线上，结合OP →－OA →＝AP →
可知点P 的轨迹．
[解析] 如图所示，易知AP →
＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，而AB →|AB →|与AC →|AC →|是单位向量，故点P 在∠BAC 的平
分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心，应选B ．
[方法点拨] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用
三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具． 16．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋1
2，x 2－4x ＋3
中的较大者，则f (x )的最小值是
( )
A ．2
B ．3
C ．8
D ．－1
解析：A 分别画出y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋1
2，y ＝x 2－4x ＋3三个函数的图像，如图所示，得到
三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．
函数f (x )的表达式为f (x )＝????
?
x 2－4x ＋3，x ≤0，
－x ＋3，02，1－4x ＋3，x >5，
f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B (1,2)，
所以函数f (x )的最小值是2.
17．(文)设函数g (x )＝x 2
－2(x ∈R )，f (x )＝?
????
g x ＋x ＋4，x ＜g x
g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )
A ．????－9
4，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．????－94，＋∞ D ．????－9
4，0∪(2，＋∞) [答案] D
[解析] 由题意知
f (x )＝?
????
x 2＋x ＋2，x ＝
?????
x 2＋x ＋2，x ∈ －∞，－1 ∪ 2，＋∞ ，x 2－x －2，x ∈[－1，2]，
＝
???
????x ＋122＋74
，x ∈ －∞，－1 ∪ 2，＋∞ ，????x －122
－9
4，x ∈[－1，2].
所以结合图形，可得当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f (x )的值域为(2，＋∞)；当x ∈[－1,2]时，f (x )的值域为???
?－9
4，0.故选D ． 18. (理)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小
时t 的值为( ) A ．1 B ．12
C ．
52 D ．22
[答案] D
[解析] 在同一坐标系中画出函数f (x )＝x 2与g (x )＝ln x 的图象如图，作直线x ＝t ，由题意知t >0，则|MN |＝t 2－ln t ，令y ＝t 2－ln t (t >0)，则y ′＝2t －1t ，由y ′>0得t >22，由y ′<0得02，
∴y ＝t 2－ln t 在(0，22)上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增，故t ＝2
2
时，y 取最小值，即t ＝
2
2
时，|MN |取最小值．
高一数学解三角形练习题
必修五 第一章 解三角形 一、选择题 1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )． A ．10 km B ．103km C ．105km D ．107km 2．在△ABC 中，若2 cos A a ＝ 2 cos B b ＝2 cos C c ，则△ABC 是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )． A ．15° B ．45° C ．60° D ．120° 4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )． A ．3∶2∶1 B ．2∶3∶1 C ．1∶2∶3 D ．1∶3∶2 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )． A ．△A 1 B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形 C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150° B ．60° C ．60°或120° D ．30°
2015高考数学专题十四：数形结合思想教师版含高考试题.docx
2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题
2015 高考数学专题十四：数形结合思想 （教师版含 13 、 14 年高考题） 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题， 数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数 形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定 图形间的位置关系． 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象； (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线； (5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数 的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用． 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 () 11 A．(0 ， )B．( ，1) 22 C． (1,2) D ．(2 ，＋∞) 答案B 解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示， 当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率
关于数形结合思想的教学方式浅谈
关于数形结合思想的教学方式浅谈 资料来源：大学生教育资源 我有幸参加了由省教科所组织的四川省教育教学共同体举办的关于“小学生数形结合能力的研究”论坛，全省30个共同体研究单位进行了三年级和六年级数形结合能力调查与分析，共同体学校对此项工作非常重视，都给出了分析报告。论坛中来自7所学校的一线教师带来了七堂精彩的数形结合课，有以形来揭示数的《路程速度时间》、《相遇问题》、《合理安排提高效率》、《比赛场次》，有以数来表示形的《点阵中的规律》、《组合图形》、《方向与位置》等，七节课为此次论坛数形结合能力研究提供了很多研究素材，特别是经过小组讨论、专家点评、专家讲座后，给我的教学方法提供了启发。 通过本次论坛，通过与专家面对面的评课、议课结合自己的教学实际和本次对三、六年级的数形能力的调查与分析，主要对以下问题提出了质疑： ●数形结合中“数”与“形”谁先谁后? ●教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想? ●通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力? ●如何在教学中很好地通过数抽象出图形，看图提问题、解决问题? ●数学课堂中能否建立一种数一形一数或形一数一形的数
学教学模式? ●在高段教学中，数形怎样结合才能促进学生主动发展? 在这次论坛中，通过专家对课例的点评和对数形结合的理解，结合课例对一线教师提出的质疑作出了解答，使一线教师对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，达到了参与这次论坛的目的。 一、数形结合是一种数学思考方法 数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。 1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。 2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，
备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围． 【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．
高一数学-解三角形综合练习题
必修五 解三角形 一、选择题 1. 在ABC ?中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135<七年级数形结合数学专题训练
平面直角坐标系------数形结合思想的平台 一、知识点： 1.平面直角坐标系的定义； 2.坐标平面内点的坐标的定义； 3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征； 4.一三（二四）象限角平分线上的坐标特点； 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征； 6.一维、二维坐标； 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系， 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系； 9、面积割补法； 10、绝对值的性质； 11、图形面积公式； 12、平移的性质； 二、基本思想方法： 1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法：画示意图、平移。 三、典型题目 （一）基础知识训练 称点是点C，则点C所表示的数是．在x轴上，到原 2.（1）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为（4，1），（1，-2）； （2）在（1）的条件下，过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在BM的延长线上截取MC=BM． ①写出点C的坐标； ②平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D 的坐标． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) 3．已知直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求： （1）A、B两点间的距离； （2）写出点C的坐标； （3）四边形OABC的面积． 4．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B （5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积
5．计算图中四边形ABOD的面积． 6．已知点A（-4，-1），B（2，-1） =12．求点C的坐标（写必要的（1）在y轴上找一点C，使之满足S △AB C 步骤）； =12的点C有多少个？这些（2）在直角坐标系中找一点C，能满足S △AB C 点有什么特征？ 7．如图，每个小正方形的边长为单位长度1． （1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标，说出各点到两坐标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。（2）点C与E的坐标什么关系？ （3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？ （4）你能求出图中哪些线段的长度？（总结公式）哪些图形的面积？ 8．如图，在△ABC中，已知点A（0，3），B（-2，-3），C（3，-5）．（1）在给出的平面直角坐标系中画出△ABC； （2）将△ABC向左平移4个单位，作出平移后的△A′B′C′； （3）点B′到x、y轴的距离分别是多少？ 9．如，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b． （1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点； （2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积．
数形结合思想数形结合思想数形结合
数 形 结 合 ———高考解题的一把利刃 山东 胡大波 数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，具有直观、明了、易懂等优越性，如能准确把握，威力巨大．这也是高考考查的重点，让我们看看其在函数中的神奇效果． 一、研究函数的性质 例1 （2005年北京卷13题）对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=g ；②1212()()()f x x f x f x =+g ； ③1212()()0f x f x x x ->- ；④1212()()22x x f x f x f ++??< ??? ． 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是___． 解析：作出图象如图1，由图可知④不正确；而①显然不成立；②为运算律，成立；③表示12x x -与12()()f x f x -同号，由增函数的定义知：()lg f x x =在其定义域上为增函数成立．所以答案为：②③． 点评：本题综合考查函数的概念、图象及性质，选项③侧重考查单调性，选项④考查函数图象，若用代数方法研究，难度较大，通过图象的特征及其变化趋势则容易判断． 二、研究函数的最值 例2 （2006年全国Ⅱ理科12题）函数19 1()n f x x n ==-∑的最小值为（ ） ． （Ａ）190 （Ｂ）171 （Ｃ）90 （Ｄ）45 解析：绝对值往往是使试题增加难度的“添加剂”．如果试图进行分类讨论，几乎不可能完成，必须另寻妙法!1x -的几何意义是什么？是数轴上的点 x 到点1的距离，那么 12x x -+-就是点x 到点1与到点2的距离之和，如图2，当[1 2]x ∈，时，12x x -+-的最小值为1；又当x =2时，123x x x -+-+-的最小值为2；…，依次类推，当x =10
数学思想方法专题数形结合思想
数学思想方法专题：数形结合思想 【教学目标】 知识目标 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。 能力目标 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 情感目标 在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。 【教学重难点】 重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。 难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。 【考情分析】 在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。 【知识归纳】 数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方法解决问题。 应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数； (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式； (5)构建立体几何模型将代数问题几何化； (6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】 题型1：数形结合思想在集合中的应用 例1．设平面点集{ } 22 1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则B A ?所表示的平 面图形的面积为（ D ） A ． 34π B ． 35π C ． 47π D ． 2 π
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°
广东高考理数大二轮专项训练专题 数形结合思想(含答案)
2016广东高考理数大二轮专项训练 第2讲数形结合思想 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． (2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围． (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系． (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式． (5)构建立体几何模型研究代数问题． (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题． (7)构建方程模型，求根的个数． (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．
数形结合思想方法
八、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0b>1 D. b>a>1 3. 如果|x|≤π4 ,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是_____。 (89年全国文) A. 212- B. －212+ C. －1 D. 122 - 4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 5. 设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}，集合M ＝{(x,y)| y x --32 ＝1}，N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}，那么M N ∪等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y ＝x ＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sin θ2＝1-sin θ,那么θ2 是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7. 已知集合E ＝{θ|cos θ-+-=-???x x x m x 即：30212->-=-???x x m () 设曲线y 1＝(x －2)2 , x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示。由图 可知：① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3《数形结合思想》专题(整理)
数形结合思想 知识综述 （1）函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何问题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其原因，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式出现。 （2）解答此类问题必须充分注意以下问题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 理解二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x轴的交点，横坐标是对应方程的根。 d. 熟练掌握几个距离公式： 点P（x，y）到原点的距离 e. 具备扎实的几何推理论证能力。 一、填空题（每空5分，共50分） 1. 如果a，b两数在数轴上的对应点如图所示： 则化简：__________。 2. 已知A，B是数轴上的两点，AB=2，点B表示数－1，则点A表示的数为__________。 3. 已知△ABC的三边之比是，则这个三角形是__________三角形。 4. 已知点A在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，则点A的坐标是__________。（写出符合条件的一个点即可） 5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为CD的中点，△BCE的面积为1，则△ACD 的面积为__________。 6. 已知二次函数的图象如图所示，则由抛物线的特征写出如下含有系数
a，b，c的关系式：①②③④，其中正确结论的序号是__________（把你认为正确的都填上） 7. 如图，AB是半圆的直径，AB=10，弦CD∥AB，∠CBD=45°，则阴影部分面积为__________。 8. 某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是__________元。 9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 __________。 10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若 ，则AD的长为__________。
高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理
课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
七年级(下)数形结合数学专题训练
平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、知识点： 1. 平 面 直 角 坐 标 系 的 定 义 ； 2. 坐 标 平 面 内 点 的 坐 标 的 定 义 ； 3. 各 象 限 内 及 坐 标 轴 上 点 的 坐 标 的 特 征 ； 4. 一 三 （ 二 四 ） 象 限 角 平 分 线 上 的 坐 标 特 点 ； 5. 与 坐 标 轴 平 行 的 直 线 上 的 点 的 坐 标 的 特 征 ； 6. 一 维 、 二 维 坐 标 ； 7、 点 的 坐 标 与 点 到 坐 标 轴 的 距 离 之 间 的 关 系 ， 8、 坐 标 平 面 内 线 段 长 度 与 线 段 两 端 点 坐 标 之 间 的 关 系 ； 9、 面 积 割 补 法 ； 10 、 绝 对 值 的 性 质 ； 11 、 图 形 面 积 公 式 ； 12 、 平 移 的 性 质 ； 二、基本思想方法： 1、 思 想 ： 数 形 结 合 思 想 、 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 、 算 术 法 。 2、 方 法 ： 画 示 意 图 、 平 移 。 三、典型题目 （一）基础知识训练 1 ．如 图 ，数 轴 上 A ， B 两 点 表 示 的 数 分 别 是 1 和 2 ，点 A 关 于 点 B 的 对 称 点 是 点 C ，则 点 C 所 表 示 的 数 是 点距离为 5 的坐标 分 别 为 （ 4， 1） ， （ 1 ， -2 ） ； （ 2 ）在（ 1 ）的 条 件 下 ，过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 点 M ，在 BM 的 延 长 线 上 截 取 MC=BM ． ①写出点 C 的坐标； ② 平 移 线 段 AB 使 点 A 移 动 到 点 C ， 画 出 平 移 后 的 线 段 CD ， 并 写 出 点 D 的坐标． （注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) ． ．在 x 轴 上 ，到 原
2.（ 1 ）请 在 下 面 的 网 格 中 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，使 得 A ， B 两 点 的 坐 标
1
数形结合的思想
数形结合的思想 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意
义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
《数形结合思想》专题(整理)doc初中数学
《数形结合思想》专题（整理）doc 初中数学 知识综述 〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其缘故，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式显现。 〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。 d. 熟练把握几个距离公式： 点P 〔x ，y 〕到原点的距离PO x y =+22 AB x x a =-= |||| 12? e. 具备扎实的几何推理论证能力。 一、填空题〔每空5分，共50分〕 1. 假如a ，b 两数在数轴上的对应点如下图： 那么化简：||||a b a b ++-=__________。 2. A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，那么点A 表示的数为__________。 3. △ABC 的三边之比是752：：，那么那个三角形是__________三角形。 4. 点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，那么点A 的坐标是__________。〔写出符合条件的一个点即可〕 5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，那么△ACD 的面积为__________。 6. 二次函数y ax bx c =++2 的图象如下图，那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ，
【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】
中考总复习数学专题优化训练数形结合思想
专题训练五 数形结合思想 一、选择题 1.已知在第二象限内，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 A.(2，3) B.(-2，3) C.(-3，2) D.(3，2) 2.把不等式组? ??≤->+01,01x x 的解集表示在数轴上，正确的是 图2-3 3.若M(-21,y 1)、N(-41,y 2)、P(21,y 3)三点都在函数y=x k (k ＜0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为 A.y 2＞y 3＞y 1 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 3＞y 1＞y 2 D.y 3＞y 2＞y 1 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2-4所示，则a 、b 、c 满足 图2-4 A.a ＜0,b ＜0,c ＞0 B.a ＜0,b ＜0,c ＜0 C.a ＜0,b ＞0,c ＞0 D.a ＞0,b ＜0,c ＞0 5.已知二次函数y=x 2-2x-3，当_______________时，y 随x 的增大而增大；当_______________时，y 的值小于0 A.x ＜1；-1＜x ＜3 B.x ＞1；x ＜-1或x ＞3 C.x ＞1；-1＜x ＜3 D.x ＜-1；x ＜-1或x ＞3 二、填空题 6.实数a 、b 在数轴上的位置如图2-5所示,化简2a +∣a-b ∣=__________________. 图2-5 7.若不等式组???->+<1 2,1m x m x 无解，则m 的取值范围是________________.
8.青岛市是严重缺水地区，自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费是用水量的函数，其图象如图2-6所示： 观察函数图象，回答自来水公司采取的收费标准______________________________________ _______________________________________________________________________________ . 图2-6 9.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； 图2-7 (2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式为___________________. 10.如图2-8，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)和C(0，-3)，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点. 图2-8 (1)二次函数的解析式为_______________________. (2)当自变量x_______________时，两函数的函数值都随x增大而增大. (3)当自变量_______________时，一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x_______________时，两函数的函数值的积小于0. 三、解答题 11.某广电局与长江证券公司联合推出广电宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、影视欣赏、股市大户室等项服务，用户交纳上网费的方式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上网时间x(小时)与上网费y(元)的函数关系用图2-9中的折线表示；方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元.若设一用户每月上网x小时，月上网费为y元.
数形结合思想
数形结合思想 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合，相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽象思维与形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系,既分析其代数意义又提示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合，寻求解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。 一、选择题 １．设()y f x = 的图象经过点(1,2)--（ ) A.(2,1)- B ．(8,1)-- C.(4,-解:已知得(1)2f -=-,∴1(2)1f --=- 令1 222 x -= +,得8x =-，故选答案 ２.已知函数32 ()f x ax bx cx d =+++A.(,0)b ∈-∞ Ｂ.(0,1)b ∈ C.b 解:根据图象可知()(1)(2)f x ax x x =--展开得32()32f x ax ax ax =-+ 与32()f x ax bx cx d =+++比较系数知b 3．方程1 sin()44 x x π-=的实根个数是( ) A ．2 B.３ 解:分别作出sin(y x =
与直线1 :4 l y x =的图象如下 只须考虑[4,4]x ∈-时交点个数，得答案 B. 4．设Ｐ (,) x y 是圆22(1)1x y +-=上的任意一点,欲使不等式 0x y c ++≥恒成立,则c 的取值范围是( ） A.[11]-- B.1,)+∞ C.(1) D.(,1]-∞ 解:由线性规划知识知0x y c ++≥表示点P 在直线:0l x y c ++=的上方 ∴圆在l 上方，即圆心(0,1)到l 的距离大于（或等于）1 1, ∴1c （舍去）或1c ≤,得答案D. 5.已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <)且α、β是方程()0f x =的两根(αβ<)，则实数,,,a b αβ的大小关系是( ） Ａ．a b αβ<<< Ｂ.a b αβ<<< C.a b αβ<<< Ｄ.a b αβ<<< 解:易知,a b 是()()()0g x x a x b =--= ∵()()2f x g x =-，作(),()f x g x 得答案Ａ. 6．平面上整点(横、纵坐标都是整数的点）到直线54 35 y x =+的最小值是( ） A. 170 B.85 C. 120 D ．1 30 解：直线方程化为2515120x y -+=,设整点坐标为(,)m n ，则距离 d = = ∵5(53)051015m n -=±±±或或或 ∴min |5(53)12|2m n -+=，此时2,4m n == ∴min 85 d ==，此时整点为(2,4),选答案B ． )
