111
第五章 二自由度系统的振动
5.1 引言
前面三章分别讨论了1自由度系统的自由振动、强迫振动与瞬态振动，并把所述理论应用于几个实际问题。但工作中有很多比较复杂的振动系统，例如动力吸振器、振动研磨机等等，不能简化为1自由度的，而必须看为2自由度的或更多自由度的振系，这样才能反映问题的主要实质，从而使问题得到合理解决。
振动自由度的数目等于描述振动系统运动所必需的独立坐标的数目。需要n 个独立坐标来描述运动的振系称为n 自由度的振系。正如1自由度的振系有一个固有频率，n 自由度的振系有n 个固有频率（通常是不相等的）。在一般情况下，n 自由度振系的自由振动是由n 个主振动组合而成的。在每个主振动中，振系按一定形态以单一固有频率进行振动。也就是说，主振动是多自由度振系在特定的初始条件下，以单一频率进行的自由振动。在每个主振动中，系统各个坐标之间有着确定的比例关系，这种特定的振动形态称为主振型。一个n 自由度的振系有n 种主振型，分别对应于n 个固有频率。所以，多自由度振系的固有频率亦称主频率。后面将要指出，各个主振型可以取为系统的广义坐标，即所谓主坐标。而且系统的任何运动都可以表示为n 个主坐标运动的叠加。在正弦型激扰的作用下，振系的强迫振动按扰频进行，当绕频与振系的任一个固有频率相等时，对应的主坐标运动将趋于无限，即系统发生共振，一个n 自由度的振系有n 个共振频率。
随着振系自由度数目的增多，振动问题求解的工作量越来越繁重。不过，多自由度振系的许多基本概念都可以通过2自由度振系的问题来说明；而且，关于2自由度振系的理论本身有很重要的工程应用。所以本章专门讨论2自由度系统的自由振动与强迫振动，说明求固有频率与主振型的方法以及动力吸振器等装备的基本原理。这些内容也可以作为第六、七章自由度系统振动问题的引论。
5.2 自由振动
最一般的无阻尼2自由度振系可以简化为图5.2-1所示的情形：可沿光滑水平面滑动的两个质量1m 与
2m 分别用弹簧1k 与3k 连至定点，并用弹簧2k 互相藕连，三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量1m 与2m 限
于沿着这直线进行运动。这样，只须用坐标1x 与2x 就可以完全确定振系的运动。
图5.2-1
取1m 与2m 的静平衡位置1O 与2O 作为坐标轴1x 与2x 的原点。当物体有位移1x 与2x 时，弹簧1k 伸长
112
了1x ，弹簧3k 缩短了2x ，弹簧2k 有净伸长()12x x -；作用于1m 的力除重力g m 1与光滑水平面的法向反力1N 互成平衡外，只有水平方向的弹性力1x k -（方向朝向右为正）与()122x x k -。由牛顿运动定律有
()1221111x x k x k x
m -+-= 移项得
()02212111=-++x k x k k x m
(5.2-1) 同理有
()01223222=-++x k x k k x
m (5.2-2) 方程（5.2-1）与（5.2-2）就是图示2自由度振系自由振动的微分方程。为了书写方便，令
a m k k =+121，
b m k =12， e m k k =+232， f m k
=2
2 （a ） 于是方程（5.2-1）与（5.2-2）可写为
0211=-+bx ax x
（5.2-3） 0122=-+fx ex x
这是联立的二阶常系数线性微分方程组，令
()?+=pt X x sin 11， ()?+=pt X x sin 22 （5.2-4）
期中振幅1X 与2X 以及频率p 及相位角?都还是未知的，代入（5.2-3），得
()[]()0sin 21
2
=+--?pt bX X p a
()[]()0sin 2
2
1
=+-+-?pt X p e fX
可见，只须有
(
)0212
=--bX
X p
a （5.2-5） ()02
2
1
=-+-X
p e fX
则（5.2-4）在任何瞬时都满足（5.2-3），亦即（5.2-4）是微分方程组（5.2-3）的解。当021==X X 时， 条件（5.2-5）显然成立，但这只代表振系的平衡情况，不代表任何振动情形。要使1X 与2X 有非零解，式（5.2-5）的系数行列式必须等于零，即
2
2
p
e f
b p a ----=
?=()()02
2=---bf p e p a (5.2-6) 或者
()02
4=-++-bf ae p e a p (5.2-7)
这是2
p 的二次式，称为振系的频率方程。2
p 的两个根为
()bf ae e a e a p
--??? ??++=2
22
,122 (b)
2
e a +=b
f e a +??
? ??-2
2
(c)
因为e b a ,,与f 都是正数，由式 （c ）可见，2
1p 与2
2p 都是实根；又因bf ae >（读者可自行证明），
113
由式(b)可见 后面的项小于
2
e a +，因而21p 与22p 都是正数。这样，频率方程（5.2-7）有两个正实根2
1p 与22p 。这两个频率唯一地决定于振系的参数e b a ,,与f （参阅式（ａ）），称为振系的固有频率。现在来求
振系的主振型。由方程（5.2-5）不能完全确定振幅1X 与2X ，但可以确定振幅比
221p a b
X X -=，f
p e X X 221-= （d ） 由式(5.2-6)可见，这两个表达式总是相等的。以2
1p 与2
2p 代入，可得两个振幅比
1212111
21112u p e f b p a X X X X =-=-=≡???? ?? （e ） 2222212212
12u p e f b p a X X X X =-=-=≡???? ?? （f ） 关于相角?不无任何限制，故解（5.2-4）可以有下列两个形式：
频率1p ：()()???+=+=11212
11111sin sin ??t p X x t p X x （g ）
频率2p ：()
()
??
?+=+=2222222121sin sin ??t p X x t p X x （h ）
其中1p 对应于式(c)中根号前取负号，是较低的固有频率；2p 对应于式(c)中根号前取正号，是较高的固有频率。由式(c)可见
0222
21
>+???
??-+-=-bf e a e a p a 0222
22
<+??
?
??---=-bf e a e a p a 因此，振幅比1u ＞0，而2u ＜0，就是说，当振系以频率1p 振动时，质量1m 与2m 的运动总是同相，二者同时往左或同时往右，示如图5.2-2(a);而当振系以频率2p 振动时，则1m 与2m 的运动总是反相，在1m 往左时2m 往右，而在1m 往右时2m 往左，示如同图（b ）。这两种形式的振动称为主振型振动。以较低频率1p 进行的称为第一振型或低振型振动，图5.2-2（a ）；以较高频率2p 进行的称为第二振型或高振型振动，见同图（b ）。
114
(a) p =p 1 (b)p =p 2
图 5.2-2
由方程（g ）和（h ）可见，振系的主振型振动是简谐振动，他们的周期分别为1/2p π，与2/2p π。在每一周期中，质量1m 与2m 都两次经过各自的平衡位置，并且同时达到各自的最远距离，他们的位移之比永远是一个定值。
方程（g ）和（h ）代表微分方程组（5.2-1）与（5.2-2）的两个特解，二者叠加，可得方程组的全解。
()()221211111sin sin ??+++=t p X t p X x （5.2-8）
()()22122111112sin sin ??+++=t p X u t p X u x
其中频率1p 与2p 以及振幅比1u 与2u 都决定于振系的参数，振幅11X 与12X 以及相角1?与2?则随运动的初始条件而改变。
全解（5.2-8）代表不同频率的两个简谐运动的叠加，不仅不再是简谐振动，而且除了1p 与2p 可以通约的情形外，一般不是周期的运动。
本章内容可扼要重述如下：2自由度振系有两个固有频率，对应于每个固有频率各有一个确定的振幅比，每个振幅比决定一种主振型，振系的任何自由振动都可以表示为两种主振型振动的叠加。下面举例说明。
例5.2-1．图5.2-1所示振系中，设k k k ==21，m m m ==21，求固有频率及主振型。 解：由方程（a ）有
m k k e a 2+=
=，m
k
f b 2== 频率方程（5.2-7）简化为
()0222
2
2224
=+++-m
kk k p m k k p 求解得
m k m k k m kk k m k k m k k p
222
222
222
2
,12 +=+-??
? ??++= 因而固有频率为
m
k
p =
1，m
k k p 2
22+= （i ） 第一振型：
1211
21=-=???? ??p a b X X （j ）
第二振型：
121
121-=-=?
??? ??p a b
X X （k ） 在第二振型中，两个质量以相同的振幅同向运动，中间弹簧无变形，可以用无重刚杆代替，
m
k
m k p 221==
。在第二振型中，两个质量以相同的振幅反向运动，中间弹簧始终不动，这两种情况分别如图5.2-3（a ）与（b ）示。
115
图5.2-3
例5.2-2。两个相同的单摆用弱弹簧k 相连，图5.2-4。当量摆在铅垂位置时，弹簧不受力。试用振系在同一铅垂平面内进行微幅振动的固有频率与主振型。
解。取偏角1θ与2θ为坐标，以反时针方向为正，假定偏角很小，可令θθ=sin ，1cos =θ。当左摆有偏角1θ，右摆有偏角2θ时，弹簧k 有伸长)(1θθ-a ,弹性力)(21θθ-='=ka F F 。分别对悬点1O 与
2O 取矩，可得微分方程组：
)
()(1222222
12112θθθθθθθθ-+-=-+-=ka mgl ml ka mgl ml
(1)
图5.2-4
令
)
sin()
sin(21?θ?θ+=+=pl A pl A
代入（1）可得
A
ka B p ml ka mgl B ka A p ml ka mgl 2
2
2
2
2222)()(=-+=-+
振幅比为
22
222222ka
p ml ka mgl p ml ka mgl ka B A -+=-+= 频率方程为
116
0)(2)()(22222224
=+++-l
g ml ka l g p ml ka l g p
对2
p 求解
)11()(2)()()(222
22222222
2
,1 ml
ka l g l g ml ka l g ml ka l g ml ka l g p
+=--++= （m ） 第一振型：
1)(2222
1=-+=p
ml ka mgl ka B A 第二振型：
1)(2
2222-=-+=p ml ka mgl ka B A 读者可自行画出振型图，并说明弹簧k 在两种振型中受力情况。 例5.2-3. 求图5.2-5所示扭振系统的固有频率与主振型。
解. 设圆盘1J 与2J 有角位移1θ与2θ，分别取圆盘为分离体，列定轴转微分方程，得
图5.2-5
)
()(122211
221111θθθθθθθ--=-+-=K J K K J
移项可得
0)(2212111=-++θθθK K K J )12.5('- 01
22222=-+θθθK K J )22.5('- 令
)sin(1?θ+=pl A ， )sin(2?θ+=pl B )42.5('-
代入微分方程组)12.5('-与)22.5('-，得
)(0)(2
22222121=-+-=--+B p J K A K B K A p J K K )52.5(-
振幅比为
2
2
122
1212K p J K p J K K K B A -=-+= 频率方程为
0))((222122121=---+K p J K p J K K )62.5('-
把上列方程与方程（5.2-1）至（5.2-6）比较，可以看出，只须作如下的替换：质量1m 与2m 以转动惯量1J 与2J 代替；抗拉弹簧系数1k ，2k 与3k 以抗扭弹簧系数1K ，1K 与零代替；线位移1x 与2
x 以角位移1
θ
117
与2θ代替；由方程（5.2-1）与（5.2-2）可以直接写出(5.21)'-于(5.22)'-。如仍引用记号（a ），则由方程(5.2-5)与方程(5.2-6)可以直接写成(5.25)'-与(5.26)'-。这样，读者可以通过比拟自行求出固有频率与主振型。
例5.2-4. 同上例，但120,K K K ==,图5.2-6.
解. 由(5.21)'-，(5.22)'-，(5.25)'-与(5.26)'-，可以直接写出
)(0)(2
1
2
22
111=-+=-+θθθθθθK J K J
(n)
图 5.2-6
以(5.24)'-代入可得
)(0)(2
121=-+-=--B p J K KA KB A p J K
频率方程为
0))((2221=---K p J K p J K
或者
0)(221421=+-p J J K p J J
固有
021=p ，?
????+=-=+=)
11(,
0,12
12
21
22121212
2J J K p J J p J J J J K p 振幅比
?????+=-==-=)
11(,0
,
12
12
21
22121J J K p J J p p J K K B A 对应于10p =，振系没有振动，但可以作为一个刚体进行定轴转动。对应于2p ，圆盘1J 与2J 恒沿相反方向运动；轴上有一个截面N 始终保持不动，这个截面称为节面。节面至圆盘1J 与2J 的距离为
2121J J l J l +=
，2
112J J l
J l +=
设将截面N 固定，则左段轴的抗扭弹簧系数(等截面轴的抗扭弹簧系数与长度成反比)为
2211)(J J J K l Kl +=,因而圆盘1J 的固有频率为
118
22
12
111p J J J J K l J Kl p =+==
读者可以自行验证：在长为2l 的轴上的圆盘2J 的固有频率也等于2p 。
本例还可以解答如下：由微分方程组（n ）有
0))((122
11
2=-++-θθθθJ K
J K 令21?θθ=-，则上式可改写为
02
12
1=++??
J J J J K 式中?的系数即等于2
2p 。可见图5.2-6所示的振系可以看为1自由度的，或者说，退化为1自由度的。
5.3 车辆的振动
车辆的振动式一个相当复杂的多自由度的问题。本节只考虑车体的上下振动与俯仰运动，因而只须用车体质心G 的铅垂坐标系x 与围绕横向水平质心轴的转角θ，图5.3-1，就可以完成确定车体的位置。这样，我们把车辆简化为2自由度的振系。
图中水平线OO '代表车体的静平衡位置；前后弹簧的刚度系数2k 与1k ，由重心G 至两个弹簧沿铅垂向德距离2l 与1l ，以及车体的重量mg 与围绕横向水平质心轴的转动惯量J ，假定都是已知的。
设在某瞬时t ，车体有仰角θ，同时质心G 有向下位移x ，则前后弹簧将分别缩短2()x l θ-与1()x l θ+。由牛顿运动定律有
)
()()()(2
2
21
1
12211θθθθθl x l k l x l k J l x k l x k x
m -++-=--+-=
移项可得
)()(0)()(2
21
122
221
1221121=-+++=-+++x l k l k l k l k J l k l k x k k x
m θθθ
(o)
图 5.3-1
119
由上列联立方程可见，变量x 与θ一般不是彼此独立的，就是说，车体的上下振动势必伴随着俯仰振动，反之亦然。只有在1122k l k l =的条件下，车体的上下振动或者俯仰振动可以单独发生（火车车辆是满足这个条件的，因为1212,k k l l ==）。
令
m
l k l k e m l k l k b m k k a 2
22211221121,,+=-=+= （p ）
并注意到2
J m ρ=，其中ρ代表迴转半径，方程（o ）可简化写为
002
2=++=++x b e b ax x
ρ
θρθθ （q ） 设解得形式为
)sin(),sin(?θ?+=+=pt B pt A x （r ）
代入（q ）有
)(
0)(2
2
2
2=-+=+-B p e
A b
bB A p a ρρ
振幅此
2
2
2
2ρρb p e
p a b B A --=--= （s ）
频率方程
0)(
2
2
2
2
4
=-+
--ρρb ac p a e
p
对2
p 求解得
2
22
222
2
,1)(41)(21ρρρb ac a e a e p
--
++= 22222)(41)(21ρ
ρρb a e a e +-+= 由式（p ）知，2
ac b ->0,故21p 与22p 都是正实数，因而振系有两个固有频率
222222
,1)(41)(21ρ
ρρb a e a e p +-+=
以21p 与2
2p 的表达式代入式（s ），可得
第一振型：
a
p b
B A -=211)( μ
ρ
ρρ1
)(41)(2122
222=
+--+=
b a e a e b
120
第二振型：
a
p b B A -=211)( μ
ρ
ρρ1
)(41)(2122
222=
+-++=
b a e a e b
例5.3-1. 国产SH760 型小轿车的有关数据如下： 前后轮轴之间的距离l =2.83米，
空车 满载 前轮悬挂质量（单轮） 36.5公斤 410公斤 后轮悬挂质量（单轮） 305公斤 445公斤 前轮悬挂刚度（单轮） 20.5公斤/ 厘米 20.5公斤/厘米 后轮悬挂刚度（单轮） 22.5公斤/ 厘米 22.5公斤/ 厘米 迴转半径
ρ
212
95.0l l ≈ρ
试估计在满载时的上述固有频率1p 与2p 。
解. 前轮悬挂总重 2 ?410=820 公斤 后轮悬挂总量 2 ?445=890 公斤 汽车总重 mg=1710 公斤 质心G 至前轮轮轴的水平距离
14752.01710
890
1===
l l l 厘米 质心G 至后轮轮轴的水平距离
13648.01710
820
2===
l l l 厘米 刚度系数0.415.2021=?=k 公斤/ 厘米 0.455.2221=?=k 公斤/ 厘米 质量
745.1980
1710
m ==
2?公斤秒/厘米 代入方程（p ），有
2.49745
.10
.8621==+=
m k k a 5.51745.1147
0.411360.45221
1=?-?=-=m l k l k b 42
2222211103.98745
.11470.411360.45?=?-?=+=
m l k l k e 迴转半径
ρ
为
4212109.114713695.095.0?=??==l l ρ
故
7.512=ρe ，14.022=ρb
121
5.50)(212=+a e ρ，25.1)(212=-a e
ρ
3.15022,1 =p
01.72.491==p 1秒， 即1.12赫 2.78.511==p 1秒 即1,15赫
5.4 用初始条件表示自由运动
一个多自由度振动系统究竟按什么方式进行自由振动，决定于运动的初始条件。一个2自由度的振系最一般的自由振动可由方程（5.2-8）表示，即
()())
sin(sin )sin(sin 22122111112221211111?μ?μ??+++=+++=t p X t p X x t p X t p X x （a ）
其中频率1p 与2p 以及振幅比2μ与2μ都唯一的决定于振系的参数，而四个任意常数，即振幅11X 与12X 以及相角1?与2?，则随运动的初始条件而改变。一个2自由度振系共有四个初始条件，即在0=t 时的位移
与速度：()01x ，()02x ，()01x
与()02x 。代入方程（a ）及其导数
()()()()222122111111222212111111cos cos cos cos ?μ?μ??+++=+++=t p p X t p p X x
t p p X t p p X x
（b ）
即可完全确定这四个任意常数。
以图5..4—1所示的系统为例，固有频率为（参阅例5.2—1）
图5.4—1
m k
p =
1，m
k p 32= 两个主振型的幅值比为
11211=X X ， 122
12-=X X
即11=μ，12-=μ。
下面考虑三种不同情形的初始条件。
1.设在0=t 时有121==x x ，021==x x
，代入方程（a ）与（b ）有 212111sin sin 1??X X += （i ）
212111sin sin 1??X X -= （ii ）
22121111cos cos 0??p X p X += （iii ） 22121111cos cos 0??p X p X -= （iv ）
联立求解，可得
1sin 111=?X ，0sin 212=?X
122
0cos 111=?X ，0cos 212=?X
因而有
111=X ，012=X ，?=901?
代入方程（a ）得
()t m
k t p x cos
90sin 11=?+= t m
k x x cos
12== 可见振系按第一振型进行振动，中间弹簧始终不受力。
2.设在0=t 时有11+=x ，12-=x ，021==x x
，代入方程（a ）与（b ）有 212111sin sin 1??X X += (i)’ 212111sin sin 1??X X -=- (ii)’
方程（iii ）与（iv ）同前，联立求解，可得
0sin 111=?X ，1sin 212=?X 0cos 111=?X ，0cos 212=?X
因而有
011=X ，112=X ，?=902?
代入方程（a ），得
()t m
k
t p x 3cos
90sin 11=?+= t m
k x 3cos
2-= 可见振系按第二振型进行振动，中间弹簧的中点始终静止不动。
3.设在0=t 时有11=x ，02=x ，021==x x
，代入方程（a ）有 212111sin sin 1??X X += 212111sin sin 0??X X -=
上列二式连同（iii ）与（iv ）联立求解，可得
21sin 111=
?X ，2
1
sin 212=?X 0cos 111=?X ，0cos 212=?X
因而有
2
1
1211=
=X X ，?==9021?? 代入方程（a ），得
t m
k t m k x 3cos 21cos 211+=
t m
k t m k x 3cos 21cos 211-=
123
由上述三种情形可以看出：一个2自由度系统的自由振动，设初始条件符合第一振型（情形A ），则运动是频率1p 的简谐运动，不出现频率2p 的振动；类似地，设初始条件符合第二振型（情形B ），则运动是频率2p 的简谐运动，不出现频率1p 的振动；但如初始条件不符合任一主振型（情形C ），则运动将为两种主振型振动的叠加，频率1p 与2p 简谐运动同时发生，除了1p 与2p 可以通约的情形外，振系的运动一般不是周期的运动。
下面考虑频率1p 与2p 的振动同时发生而且两个频率差别很小的情形。以图5.2—4所示的系统为例。由式（m ）知
l
g
p =
1， 2
2
22ml
ka l g p += 现在假定l g ml ka
<<22
，因此()21212p p p p +<<-。
设在0=t 时有A =1θ，02
12===θθθ ，则此后的自由振动为 t p A t p A 211cos 21
cos 21+=
θ t p A t p A 212cos 2
1
cos 21-=θ
通过三角函数变换，并令频率差B p p p =-12 ，可得
t p p t p A B 2cos 2cos
1
21+=θ t p p t p A B 2
sin 2sin 1
22+=θ
这样，左摆与右摆的运动可以看为频率()212p p +的余弦运动与正弦运动，幅值不是常值，而是缓慢改
变的函数t p A B 2cos
与t p
A B 2
sin 。角1θ与2θ随时间而改变的关系示如图5.4—2。在0=t 时，左摆的振幅为A ，而右摆静止不动，此后左摆振幅逐渐减小，右摆振幅逐渐增大，直到22π=t p B 时（图上的1t ），左摆静止不动，而右摆振幅等于A ；随后右摆振幅逐渐减小，右摆振幅逐渐加大，到π=2t p B 时，两摆的振幅有回到0=t 时的情形。两个摆之间的动能相互传递，在每个时间间隔B p π2内重复一次。象这样振幅有规律地时而减小时而增大的现象称为拍．。拍的周期．．
为 1
222p p p T B B -==
π
π 拍的频率为
12p p p B -=
简称拍频。
（a ）
124
（b ） 图 5.4-2
本例中，能量在振系的两个物体之间互相传递。在一个物体可以进行两种振动（例如图5.3—1所示系统的平动与转动）的2自由度系统中，能量可以在两种振动之间互相传递。两种振动，如果频率差别很小，这幅将明显地交替消长。
拍的现象不仅出现于2自由度振系，频率很相近的任何两个简谐运动的叠加都可以得到拍的现象。例如两个简谐运动t a x 11sin ω=与t x 22sin ω=，其中1ω与2ω几乎相等，ωωω?=-12。相加可得
t b t a 21sin sin ωω+
()t t t t b t a ωωωωω?+?+=sin cos cos sin sin 111 ()t t b t t b a 11cos sin sin cos ωωωω?+?+= ()?ω+=t A 1sin 其中t ab b a A ω?++=
cos 222
在从0=t 到ωπ?=2t 的时间内，振幅A 从b a +减小到b a -后又回到b a +。
在发电厂里，在发电机起动后而连接到输电线之前，有时可以听到哼哼声，以及双发动机螺旋桨飞机时强时弱的嗡嗡声，都是拍的现象。
5.5 2自由度振系的强迫振动，动力吸振器
本节以动力吸振器为例，说明两自由度系统的强波振动。
由弹簧k 悬挂的物体m 在正弦型扰力t F F ωsin 0=的作用下进行强迫振动，下面另用弹簧a k 悬挂物体a m ，图5.5—1，设m 与a m 只能沿铅垂方向运动，取铅垂方向的坐标轴1x 与2x ，分别以两个物体在无扰力作用时的静平衡位置为原点，向下为正。当物体有位移1x 与2x 时，弹簧k 有伸长1x ，弹簧a k 有伸长
()12x x -。由牛顿运动定律有
图5.5-1
125
()t F x x k kx x
m a ωsin 01211+-+-= ()122x x k x
m a a --= 移项可得
()0
sin 210211=++-=-++x k x m x k t F x k x k k x
m a x a a a a ω （5.5—1）
令
t X x t X x ωωsin ,sin 2211== （5.5—2）
代入（5.5—1）可得
()()0
22
10
212=-+-=--+X m k X k F X k X m k
k a a a a a
ωω （5.5—3）
系数行列式为2
2
ω
ωa a a
a a m k k k m k k ----+=
?
()()
2
22a a a a k m k m k k ---+=ωω （5.5—4）
方程组（5.5—3）对1X 与2X 求解，有
()2011ωa a m k F X -?=
，a k F X 021
?
= （a ） 为了写成无量纲形式，把分子分母除以a kk ，并用记号
k
F X 0
=
ξ物体m 在常力0F 作用下的静挠度 m
k
p =在无a k 与a m 时，m k -系统的固有频率 a
a
a m k p =
a a m k -系统本身的固有频率 方程（a ）可以改写为
（5.5—5）
由第一式可见，当a p =ω时，X 1=0,亦即当扰频等于k 0-m a 系统的固有频率时，在交变力F 0sin wt 作用下的物体m 静止不动。由第二式可见，当w=p 0时，有
a
a a k F k F k k X k k X 00
2-=-=-
=ξ （5.5—6） 代入（5.5—2），可得物体a m 的运动方程
t k F x a
ωsin 0
2-
= 因而弹簧a k 作用于物体m 的力为t F x k a ωsin 02-=，刚好与扰力t F F ωsin 0=相抵消。
这样，只须附加一个弹簧a k 与质量a m ，就可以使原来的m k -系统在交变扰力作用下进行的强迫振动完全消失。这就是动力吸振器的基本原理，附加的a a m k -系统称为动力吸振器．．．．．。当然，为了吸振，必须调整a k 与a m 的值，使吸振器的固有频率a p 等于扰力的频率ω。
机器或结构物，在交变力的作用下，特别是固有频率与扰频相近的情况下，往往发生剧烈的振动。为
126
了减除振动，最好是消除振源，但一般说这是不可能的；其次是避免共振，使固有频率远离扰频，但是受各种条件限制，实际上并不都能做到这一点。在无法避免共振的情形下，采用动力吸振器时一种有效的减振措施。
但是，加上吸振器固然使物体m 在p =ω时完全没有振动，却同时使原来的1自由度振系改变为2自由度的，因而有两个固有频率每当扰频与其中任一固有频率相等时，系统都要发生共振。因此，如果扰频可以在相当大的范围内改变，则动力吸振器只是使原来有一个共振频率的振系改变有两个共振频率的振系，起不了吸振的作用。所以，这种动力吸振器只适用于扰频基本固定的情形，例如同步电机等恒速运转的机器。
前面导出的各个关系式，对于ρω有任一值时都同样成立。不过，倘若ω不近于p ，亦即原来的m k -系统远离共振，那就没有必要采用吸振器。因此，我们就假定a a m k -系统已调整至
p p a =，即
m
k
m k a a =，或者m m k k a a =
并用质量比
m
m a
=
μ 表征吸振器相对于原来振系的大小。于是方程（5.5—5）可写为
μωωμωξ-????
??-???? ??-+-
=
222222
1
111a a a p p p X X μωωμξ-????
?
?-???? ??-+=22221111
a a p p X X
上列二式分母相同，令分母等于零，即可求出共振频率（即振的固有频率）：
0112222=-???? ??-???? ?
?-+μωωμa a p p
或者
()0122
4=+???
?
??+-???? ??a a p p ωμω 可得
121212
2
-??? ??+??? ??+=???
? ??μμω a p 4212μμμ+???
?
?+= （5.5—7）
可见根号项的值< ??? ??+21μ而>2μ，因而2
???
? ??a p ω有两个正根，一个>1，另一个<1，亦即有两个共振频率，一个>p ，两一个
m
127
等于原振系质量m 的51时，共振频率ω为0.8a p 与1.25a p 。对应的原振系质量m 的振幅1X 与频率比
p /ω的关系，如图5.5-3示；由图可见，在扰频ω恰等于p 时，原振系质量m 完全没有振动，只要ω稍
微偏离p ，振幅1X 就很快增大；这当然只是在没有阻尼的情形下才会发生。实际的吸振器总有一些阻尼，在p =ω时，m 的振幅并不等于零，而在p ≠ω时，吸振器仍能起一定的减振作用。
质量比μ 频率比p ω
图5.5-2 图5.5-3
吸振器质量a m 大小的选取，应与扰力力幅0F 成正比，与容许的弹簧a k 的最大变形2X 成正比，因为弹簧a k 作用于m 的力刚好同扰力相抵消，即20X k F a =（2X 取绝对值），而在w=p a 时，有
22
ωa a a a m p m k ==，故
220
X w F m a =
。
例 5.5-1。 装在梁上的转动机器，图5.5-4，由于转子的不平衡，在1450转/分时，发生剧烈的上下振动。建议在梁上装动力吸振器，试求吸振器弹簧系数a k 与质量a m ，已知不平衡的最大值0F 约为12公斤，并要求吸振器质量的振幅不超过0.1厘米。
图5.5-4
解：机器与梁的共振频率为
秒/152********
=?=
πω 厘米公斤/1202
0==X F
k a
厘米秒公斤/0052.0152
120
22
2
?==
=
ωa
a k m
128
吸振块重约5.1公斤。
厘米公斤/1202
==
X F k a 厘米秒公斤/0052.0152
120
22
2
?==
=
ωa
a k m 吸振块重约5.1公斤。
例. 5.5-2. 在例5.2-4所述系统中，假设在圆盘2J 上作用有转矩t M ωsin 。试讨论系统的强迫振动。 解： 在有转矩作用时，系统的运动微分方程可列为
t M K J ωθθθsin )(2
111=-+ 0)(2
1
2
2
=--θθθ
K J (a) 设系统的强迫振动为
t ωθsin 1A =
t ωθsin 2B = (b)
将(b)代入（a ）,可得
M KB A J K =--)(21ω
0)(2
2=-+-B J K KA ω (c) 由（c ）可解得
M J K A )(1
22ω-?
=
KM B ?
=1
(d)
其中
()[]
212
212
J J K J J +-=?ωω
当0?=时，系统将发生共振。共振频率分别为
0ω= 与
2
121)
(J J J J K +
当2
22
a K
J ωω=
≡时，有0A =。在这种情形下，不论激扰力矩幅值多大，圆盘1J 始终保持零振幅。这一现象常称为反共振．．．
，这时，轴与圆盘2J 相当于构成了一个动力吸振器。 例 5.2-4 曾经指出，该轴系在第二主振型自由振动中，轴的节面是固定不变的（见图5.2-6）。可是，在强迫振动中，轴的节面是随扰频而改变的。现在看来当扰频在a ω附近变动时，轴的节面所发生的变化。
由式（d ）可见，当a ωω>时，A 与B 异号，因而轴的节面位于1J 与2J 之间。而当a ωω<时，A 与B 同号，且有A/B<1，故轴的节面将移到1J 的左侧。当a ωω=时，有A=0，也就是说，这时轴的节面刚好移到圆盘1J 处。
5.6 离心摆式吸振器
上节所讨论的动力吸振器广泛地应用于消除扰频基本不变的振系强迫振动，例如由转速恒定的机器的
129
不平衡力所激发的振动；吸振器的固有频率a p 调整至于扰频相等，除非另行调整，a p 是定值。对于转速可以在大范围内改变的机器，例如汽车内燃机与航空发动机，扰频ω随着转速而大范围改变，要能起吸振的作用，必须吸振器本身的固有频率a p 能自动地同样随着转速而改变，始终保持a p 等于扰频ω。离心摆式吸振器就是很理想地满足这样要求的减振装置之一。
图5.6-1
图5.6-1是离心摆式吸振器的示意图。假定以角速度Ω绕定轴转动的圆盘，同时有振幅为0θ、频率为
ω的扭动振动0sin t θω、圆盘的角速度可以表示为
t ωωθθcos 0
+Ω= （5.6-1） 其中振动频率ω随着转速Ω的改变而成比例地改变。为了消除这个扭转振动，在圆盘上的点o '附装一个单摆，可以在圆盘平面内绕悬点o '自由摆动，单摆长度令为r ，由悬点o '至转轴轴线的距离令为R 。
先求出摆锤P 的加速度a 。在圆盘平面内，通过轴心o 作静止坐标系oxy ，并通过悬点o '作动坐标系
o x y '''。点o '以速度θ
R 作圆周运动，但动轴o x ''与o y ''始终平行于定轴ox 与oy ，亦即o x y '''进行平动，这坐标平面内任一点的加速度都等于点o '的加速度，故摆锤P 的牵连加速度有分量)(o o R '⊥θ
与)(//2o o R 'θ
。相对于动坐标系，单摆以角速度)(?θ +绕悬点o '转动，故摆锤P 的相对加速度有 切向分量 p o r a r '⊥+=)(?θ
τ 法向分量 p o r a rn '+=//)(2?θ
这四个加速度分量的矢量和即为摆锤P 的绝对加速度a ，将其投影之切向与法向，有
)(sin cos 2?θ?θ?θ
τ +++=r R R a 22)(c o s s i n ?θ?θ?θ
+--=r R R a n 要使摆锤有切向加速度a τ，必须有相应的切向力，但实际上没有这个力，故0ma τ=，即
0)(sin cos 2
=+++?θ?θ?θ r R R （a ）
假定单摆进行微幅振动，角?很小，可令cos 1?=，sin ??=，式（a ）可改写为
θ?θ?
r
r R r R +-=+2 （b ） 以方程（5.6-1）及其导数
t ωθωθsin 0
2-=
130
带入式（b ）并假定0ωθ<<Ω，可以近似地令22Ω<<θ
，即可得出单摆的相对运动微分方程 t r
r R r ωθω??sin R 02
2+=Ω+）（
（5.6-2）
可见单摆自由振动的固有频率为
r
R
p Ω
= （5.6-3） p 与转轴的角速度Ω成正比。单摆的强迫振动，即微分方程（5.6-2）的特解，可表示为
0sin t ??ω=
其中
2
0022R r r R r
ωθ?ω+=
Ω- 故
22020
R r R r r
ωθ
?ωΩ-=+ （5.6-4）
可见在ω=00θ=，即没有扭转振动。这样，不论转轴的转速Ω（因而扰频ω）怎样改变，单摆的固有频率p 能自动地随着改变，始终保持消除扭转振动的作用。
习 题
5.1 拉紧的软绳附着两个质量1m 与2m ，当质量沿着垂直于绳的方向进行运动时，绳的张力T 保持不变。试写出微幅振动的微分方程。
题图 5.1
答： 112220T T
m y y y l l +
-= 222120T T m y y y l l
+-=
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
6□ 6-1 两自由度系统有阻尼受迫振动 图6－1 两自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-2 图6－2 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2）
虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号 两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-3过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共7项），可使示波器显示相 应的内容。 电压表 ：选择“1号点”，显示1号传感器的输出电压。选择“2号点”， 显示2号传感器的输出电压。 频率计 ：显示加速度信号的频率。 李萨玉图 ：观察1号加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭 信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 将频率计当前的读数和1号、2号传感器当前的输出电压 同时拾取到测试数据表格中。“幅值1”为1号传感器的输出电压，“幅 值2”为2号传感器的输出电压。若重复拾取某一频率的数据，则当 前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取频率计当前的 读数和1＃、2＃传感器当前的输出电压。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图6 －3）。
图6－3
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-4一、实验目的 ? 了解和掌握两自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现 象。 ? 理解两自由度系统固有振型的物理概念。 ? 巩固基本振动测试设备的操作与使用。 二、实验仪器 ? 两自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图6－1将综合实验台装配成两自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图6－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“两自由度系统有阻 尼受迫振动”实验操作界面（图6－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放大 器的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（用
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
20 习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值1 2.41 =+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 36022 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.03604)1(02 2 2 2 == +-= λ ζλ 2 2 2 122tg λ ζλωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 ===+η 489 .3π2797 .0ln 8 .1ln == == ==d d d d d T p T n T nT ηη 又 2 2 n p p n d -= 有 579.32 2 2 =+=n d n p n p p 45 .51255 .1298 .0374.0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045.0838 .0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838 .0579.332 2 2 2=== -??= ==??+-= ===== = ααζωλB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
21 质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n = =1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 2 22()sin sin()sin() st Q W W k x w e w t x g g W Q x kx w e w t g g kg Q x x w e w t W W ππ-σ+- = +=++ = + 所以： 2n kg P W Q h w e W = = ， 又因为st st W W k k =σ= σ即 22() st st B w e B W g w = σ-σ将结果代入： Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωc o s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向
振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
5-1 如图所示的系统，若运动的初始条件：,0,mm 5,0201010====x x x t 试求系统对初始条件的响应。 解： 112211222112102,,22,0,202020cos(),cos()cos()005,k k k k k x x k k x k k x mx kx kx mx kx kx x x A t t kA t t x mm ω?ωω?ω?ω-?? =??-?? -??????????+=??????????-??????????+-=+-===++++== ==2带入可得运动微分方程：m,00,m 令代入原方程可得 -mA 有 时，1020120, cos 5,sin 0,5,0 ().x x A A A mm x x mm ?ω??===-=====有可得 ω有两个值 12p p = = 15522x =+ 255c o c 22x =- 5-2 图示为一带有附于质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平移 x 1和x 2为坐标，设m m m ==21，l l l ==21，021==k k ，试求系统的固有频率和主振型。
解：设1m 沿1x 方向移动1个单位，保持 2m 不动，对2m ，1m 进行受力分析，可得： 212 2()0, m A k l m g =--=∑2212m g k l =- 11 12111212122 111211112()()()0 m B k k k l m m g m m m m m g k g k k g k l l l =-+-+=++= +-=++∑ 同理使2m 沿2x 方向移动一个单位，保持1m 不变，对2m 受力分析可得： 22 222()()*0m C k k l m g =--=∑， 22222m g k k l =+ ； 刚度矩阵为 11211222,,k k k k ??=????k ，质量距阵12,00,m m ??=????m ， 带入可得运动的微分方程为：mx kx F += 12,00,m m ?? ???? 12x x ??????+11211222,,k k k k ?? ????12x x ???? ??=F ； 综上解得：????? ????=???? ??++-=-???? ??++++)()(222221222212221 2212111t F x l g m k x l g m x m t F x l g m x g l m g l m m k x m 利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ： ∑=0X ，0sin sin 1221111 =---k T T k θθ ∑=0Y ，0cos cos 1 2 2 1 1 =--g m T T θθ 对2 m ： ∑ =0X ， 0sin 2 2 21 =+θT k ∑ =0Y ， 0cos 2 22=-g m T θ
如图所示两自由度（无阻尼强迫振动）系统，证明在强迫振动共振时系统的运动为主振动。 证： 振动微分方程为 t F x k x k k x m ωsin )(12212111=-++? ? t F x k k x k x m ωsin )(22231222=++-? ? 引入符号 121m k k a += ，12m k b =，22m k c =，22 3m k k d += 111m F f = ，2 22m F f = 则振动微分方程简化为 t f bx ax x ωsin 1211=-+? ? t f dx cx x ωsin 2212=+-? ? 现令 t B x ωsin 11= , t B x ωsin 22= 代入简化的振动方程，得 1212)(f bB B a =--ω 2221)(f B d cB =-+-ω 解之得 2 12 2 2112)()(bf f d f a cf B B +--+=ωω (1) 自由振动时，振动微分方程为 0)(2212111=-++? ?x k x k k x m 0)(2231222=++-? ?x k k x k x m x1 x2 F1sinwt F2sinwt
同理解得主振型为 2 12 2 2112122222)()()()(bf f p d f p a cf f p d cf bf f p a p d c b p a i i i i i i i +--+=-=-=-=-=ν (i=1,2) (2) 由（1）、（2）两式比较可知：当i p =ω时（i=1,2） i i B B ν=)( 1 2 即在系统共振时，系统的振型为主振型，系统的振动为主振动。 李小龙 2017-3-26
系统对简谐力激励的响应 设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同的广义简谐力的激励，系统受迫振动方程： t i e ω0 F KX X M =+ ω：外部激励的频率； 0F ：广义激励力的幅值列阵T n F F F ][002010??=F 设稳态解：t i e ωX X =，T n X X X ][21 ??=X 代入作用力方程，得：() 02F X M K =-ω 记()1]2[--=M K H ωω，多自由度系统的幅频响应矩阵 0HF X =，t i e ω0HF X = 简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。 工程中：() M K 2ω-称为阻抗矩阵，()12][--=M K H ωω导纳矩阵。 因此H ij 的物理意义为仅沿j 坐标作用频率为w 的单位幅度简谐力时， 沿 i 坐标所引起的受迫振动的复振幅 ()1 2 ][--=M K H ωωM K M K 2 2)(ωω--= adj 由于 H 含有1 2--M K ω，系统的特征方程02=-M K ω 因此，当外部激励频率ω接近系统的任意一个固有频率时，都会使受迫振动的振幅无限增大，引起共振。 动力吸振器 许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动，为减小这种振动有时可以采用动力吸振器 若忽略主系统阻尼，主系统固有频率：1 1 1m k = ω，为抑制主系统的振动，
在主系统上附加一个弹簧-质量系统，动力吸振器的无阻尼固有频率： 2 2 2m k = ω 通过调节动力吸振器的参数大小，以达到抑制主系统振动的目的。 系统的强迫振动方程： ?? ? ???=????????????--++????????????--+????????????0sin 0002122221212121t F x x k k k k k x x c c c c x x m m ω 当吸振器阻尼为零时，利用直接法t ωsin X X = 稳态响应振幅： ?????????? ??----+=??????-001 222222 12121F m k k k m k k x x ωω?? ? ???-?=22220)(k m k F ωω M K 2)(ωω-=?：系统的特征多项式 2 2 2222121))(()(k m k m k k ---+=?ωωω 212221221421)(k k m k m k m k m m +++-=ωω 当2 2 m k = ω时，外部激励频率等于吸振器的固有频率，主系统不再振动，01=x 。 此时22 )(k -=?ω，吸振器振幅2 2k F x - =，主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡。 吸振器参数 k 2、m 2 一般选为：μ==1 2 12m m k k ，使吸振器的固有频率和主系统的固有频率相等。
x 1 ax 1 bx 2 x 2 cx 1 dx 2 显然此时 m 2 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 第5章两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问 题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自 由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两 自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以 由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移 z 及平板的 转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问 题就被简化为一个两自由度的系统。 图 21-1 5.1双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩 擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标 X 1、X 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用 X 1、X 2 何 表示。两物体在水平方向的受力图如图 5-2(b)所示, 由牛顿第二定律得 图5-2两自由度的弹簧质量系统 m 1x 1 (k 1 k 2)x 1 k 2x 2 0 m 2x 2 k 2 x 1 k 2x 2 0 (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程 。习惯上写成下列形式 (5-2) k 1 k 2 k 2 k 2 m 1
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程 (5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 x i A i sin( pt ) x 2 A 2 sin( pt ) 或写成以下的矩阵形式 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 a p 2 b A i 0 c d p 2 A 2 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式 (5-5)的系数行列式等于零，即 2 a p 2 b (p 2) p 2 c d p 展开后为 p 4 (a d) p 2 ad be 0 的两个特征根为 (ad bc) (5-7) 由于式(5-7)确定的p 2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质， 与运动的初始条件无关， 因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率P 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的 振幅比 (5-3) x i X 2 A i sin( pt ) A 2 (5-4) (5-5) (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率 p 满足的条件, 通常称为频率分程或特征方程。 它是p 2的二次代数方程，它 2 a d 2 bc