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矩阵的秩的等式及不等式的证明

摘要

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

关键词：矩阵；秩；等式；不等式.

ABSTRACT

Matrix rank is a important feature of matrix and has many valuable characters . this paper sums up the relevant equality and inequality propositions of matrix rank and the usual methods to prove these propositions. Proof methods of vector group, linear equations, the linear space isomorphism, matrix block, matrix elementary transformation are given. The main contents are as follows: using matrix theory of known to prove equality and inequality problem of matrix rank; using linear space to prove the equality and inequality of matrix rank; using dimension theory of vector group to prove equality and inequality problem of matrix rank; using matrix block methods to prove equality and inequality problem of matrix rank.

Keywords: matrix；rank；equality；inequality.

第一章绪论 (1)

第二章预备知识 (2)

第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)

第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)

第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)

第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)

第七章小结 (23)

参考文献 (24)

致谢 (25)

第一章绪论

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.

目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.

本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

第二章预备知识

定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；

矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.

定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：

（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.

定义4在一个s n ?矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的

个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.

定义5设A 为m n ?矩阵,称线性方程组0A x =的解空间为A 的零空间(即核空间)，

记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.

引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.

引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩. 引理3 n 阶方阵A 可逆0A ?≠. 证明:充分性:当,0≠=A d 由*

11(

)(

)A A A A E

d d

==知A 可逆，且1*

1.A A d

必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .

引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.

引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.

引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.

第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.

命题3.1 ()()T r A r A =．

证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T

A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.

命题3.2 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.

证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.

命题3.3 A 是一个s n ?矩阵，如果P 是s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵，那么

()()()r A r PA r AQ ==.

证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由

A P A -=，又有()()r A r

B ≤．

所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕. 命题3.4[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()

()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =??

==-??≤-?如如如.

证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=．若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．

若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.

从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.

命题 3.5

［３］

设A 是一个m n ?矩阵，任取A 的s 行t 列,交叉处的s t ?个元素按原来

的相对位置构成s t ?子矩阵C ，则()()r C m n r A s t ++≥++．

证明:设D 为A 的s 行所构成的s t ?子矩阵，它由C 所在的s 行确定.设()r D d =.则

的任意一个大于d m s +-阶的子式M 必须至少有1d +行出现在D 中.

根据行列式的性质，对这个子式M 按出现在D 中的那些行进行拉普拉斯展开，则

可以看出，这个M 可以表示成D 的一些阶子式的线性组合，其中k 为某个大于d 的数.由引理3这些子式全为零.

因此任意一个大于d m s +-阶子式M 必须等于零.由秩的定义,()()r A r D m s ≤+-.由行与列的对称性类似地可推出()()r D r C n t ≤+-,两式相加即可得到

()()r C m n r A s t ++≥++，

命题证毕.

命题3.6［４］设,A B 都是n 阶矩阵,证明:()()()r AB A B r A r B ++≤+.

证明:()()()r AB A B r A B E B ++=++()()r A B E B ≤++()()r A r B ≤+，命题证毕. 例3.1 设A 为n 阶方阵，求证必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.

证明:由于A 为n 阶方阵，则()()()20i n r A r A r A ≥≥≥≥≥ ,其中i 为正整数,而

n 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m 使得

()()1

m r A

r A +=.

例3.2设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，证明

()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.

证明:因为()()AB E A E A B E -≤-+-,所以

()()()()()()()()()r AB E r A E A B E r A E r A B E r A E r B E -=-+-≤-+-≤-+-.

命题3.7设A 为n 阶矩阵，证明:如果2A E =,那么()()r A E r A E n -+-=. 证明：因为()()20A E A E A A A E E E -+=+--=-=,由命题5.3知

()()r A E r A E n -+-≤. ①

又 ()()()()()2r A E r A E r A E A E r A r A -++≥++-==

而2A E =，所以21A =,即0A ≠，()r A n =. 因此

()()r A E r A E n -+-≥. ②

由①，② 可得()()r A E r A E n -+-=.

例3.3[5] 设A ,B 为n 阶方阵,且1=,ABA B -则()()n AB E r AB E r =-++. 证明:因为,1-=B ABA 所以()E AB =2.由命题3.7知

()()n E AB r E AB r =-++ (1)

由 ()()E AB r AB E r +=+,

()()E AB r AB E r -=- (2)

由(1),(2)知有()()n AB E r AB E r =-++成立.

例3.4设A 为n 阶矩阵,且2A A =,证明()()r A r A E n +-=. 证明：由2A A =，可得 ()0A A E -=.

()()r A r A E n +-≤ ①

又因为E A -和A E - 有相同的秩,所以

()()()()n r E r A E A r A r E A ==+-≤+- ②

由①，② 可得()()r A r A E n +-=.

第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．

命题4.1 A 设为n 阶方阵，如果A 的列向量所生成的n R 的子空间()R A 与A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为n R ，则()()2r A r A =.

证明:根据引理6，要证()()2r A r A =，只要证0A X =与20A X =同解．

0A X =的解显然为方程组20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解

同时也是20A X =的解.

若0A Y ≠，因()0A AY =,故()AY N A ∈.

另一方面，()

i i i AY y R A α==

∈∑

，其中

()12,,,n A ααα= ，()12,,,T

n Y y y y = ,

从而 ()()0AY R A N A ≠∈?,

这与()()n R R A N A =⊕矛盾,所以20A X =的任一解同时也是0A X =的解,于是它们同解,故()()2r A r A =.

命题4.2 设A 为m n ?矩阵，B 为1n ?矩阵，证明Sylrester 公式：

()()()+-r A r B n r AB ≤.

证明:设A 为m n ?矩阵，B 为1n ?矩阵,

考虑1n

x X x ??

?= ? ???

，1n y Y y ?? ?

= ?

???

, 方程组0

(1)

0(2)0(3)

ABX BX AY =??=??=? , 设（1）（2）（3）的解空间分别为A B V ，B V ，A V ，则()dim A V n r A =-，将三者联系起来，作{}AB BX x V ∈，则它为A V 的子空间，从而

{}()dim dim AB A BX x V V n r A ∈≤=-，

又B V 为A B V 的子空间，作：

AB B V V W =⊕

一方面()()()()()dim dim dim 11AB B W V V r AB r B r B r AB =-=---=- 下证{}AB W BX X V ?∈

定义 {}:AB f W BX X V →∈

()f B ξξ=

易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.

{}()()

dim dim AB W BX X V r B r AB =∈=-

但上面：

{}()dim dim AB A BX X V V n r A ∈≤=-.

因此 ()()()n r A r B r AB -≥-，即 ()()()r A r B n r AB +-≤．

命题4.3 设A 为m n ?，B 为n m ?矩阵，AB BA =．证()()()()AB r B r A r B A r -+≤+．证明:设4321,,,w w w w 分别为A ,B ,A B +,A B 行空间,那么

()1dim w r A =, ()2dim w r B = ()3dim w r A B =+, ()4dim w r AB =

由于213w w w +?,并由维数公式得:

()31212dim dim dim dim w w w w w ≤+=+()21dim w w ?-即得:

()()()()12dim r A B r A r B w w +≤+-? (1)

由于A B 的行向量是B 的行向量的线性组合,所以有24w w ?,又AB BA =,所以有

14w w ?,因此有214w w w ??,所以有

()()21dim w w AB r ?≤ (2).

将(2)代入(1)即得: ()()()()AB r B r A r B A r -+≤+.

命题4.4 若()()r AB r B =，证明()()r ABC r BC =.

证明：设方程组0A B X =与0B X =的解空间分别为A B V ，B V .

若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ① 又因为满足0B X =解向量也满足0A B X =,所以AB B V V ? ② 由① ②可推出AB B V V =.

要证()()r ABC r BC =，只要证0A B C X =与0B C X =同解. 设方程组0A B C X =与0B C X =的解空间分别为ABC V ，B C V . 显然ABC BC V V ?,只要证ABC BC V V ?.

由0A B C X =知AB B CX V V ∈=,即0B C X =，因此ABC BC V V ?，命题得证. 此例是一个有价值的结论.

例4.1 n 阶矩阵A 满足2A A =当且仅当()()r A r A E n +-=.

证明：先证明必要性.由2

A A =知A 相似于形如011

A ?? ?

? ? ? ??

的对角阵，其中1的个数为()r A ,又E A -与0E A -相似，从而有相同的秩，而

E A ?? ?

?-= ? ? ??

，其中0的个数为A 的秩，1的个数()n r A -.所以

()()()()()()00r A r E A r A r E A r A n r A +-=+-=+-=.

充分性.只要证明对任意X 均有2A X A X =即可.由()()r A r E A n +-=说

明,10AX =的解空间1V 与()20E A X -=的解空间2V 满足12n V V R ⊕=,从而对任意X 存在唯一分解

12X X X =+其中1122X V X V ∈∈,所以 ()()()()2

12122

2121200A X A

X X A AX A AX A AX X AX AX A X X =+=+=+=+=+=+

A X

综上即证2A A =.

命题4.5设,A B 分别是,m m m n ??矩阵，A 其中为可逆矩阵,证明()().r AB r B = 证明：设121212,(,,...,),(,,...,),(,,...,)m n n AB Q A B Q αααβββγγγ====，则 1211122212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)m m m n n αααβγαααβγαααβγ=== 因为A 为可逆矩阵，秩为m ，故可将12(,,...,)m ααα看做m 维线性空间的一组基，则12,,...,n γγγ向量在这组基下的坐标向量分别为12,,...,n βββ.作

1212(,,...,),(,,...,)

n n l l βββγγγ，

在这两个线性空间中构造映射，将12(,,...,)n l γγγ中的每个向量映射到在基12(,,...,)m ααα下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ这两个线性空间同构，所以

1212dim((,,...,))dim((,,...,))n n l l βββγγγ=，

而1212dim ((,,...,))(),dim ((,,...,))()n n l r B l r AB βββγγγ==.所以()().r AB r B = 同理可证明B 当为可逆矩阵时,()().r AB r A =

这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.

第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.

命题5.1设A 是m n ?矩阵，B 是m p ?矩阵,则()r A 或()()()()r B r A B r A r B ≤≤+ . 证明：()A B 列向量组向量的个数比A 和B 多，所以()r A 或()()r B r A B ≤ ．下面证明()()()r A B r A r B ≤+ .不妨设1

12,,i i ir A A A 与2

12,,j j jr B B B 分别是A 与B

的列向量组的极大线性无关组,则()A B 的每个列向量均可用向量组

1212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B

线性表出,根据引理5可知

()()

()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B ≤≤+=+ .

命题证毕.

命题5.2设A ,B 是m n ?矩阵，()()()()()r A r B r A B r A r B -≤±≤+. 证明：先证明()()()r A B r A r B +≤+. 设

()

12,,n A A A A = ,

()12,,n B B B B = ,

则

()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ .

不妨设1

12,,i i ir A A A 与2

12,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，

则有

111122s i i r ir A k A k A k A =+++ ()1,2,,s n =

1122s i i r ir B l B l B l B =+++

1122

11221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++

即A B +的列向量可以由1

1212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出，由引理5知

()()

()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B +≤≤+=+ .

再证明()()()r A r B r A B -≤+.由刚证明的结论()()()r A B r A r B +≤+可知

()()()()()()()()r A r A B B r A B r B r A B r B =++-≤++-=++,

移项得到

()()()r A r B r A B -≤+,

同理可得()()()r B r A r A B -≤+,因此()()()r A r B r A B -≤+. 综上所述我们证明了()()()()()r A r B r A B r A r B -≤+≤+，

对于()()()()()r A r B r A B r A r B -≤-≤+，只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.

由命题3.1()()T r A r A =,命题3.2()()r kA r A =（其中0k ≠）和本命题可推知

()()()r kA lB r A r B +≤+（其中0kl ≠）.

例5.1设A ,B 是m n ?矩阵,证明:()()r A B r A B ±≤ . 证明:先证明()()r A B r A B +≤ .

设()12,,n A A A A = ()12,,n B B B B = ,

则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ ()()1212,,,,,n n A B A A A B B B = .

不妨设1

12,,i i ir A A A 与2

12,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，

则有

111122s i i r ir A k A k A k A =+++ ()1,2,,s n =

1122s i i r ir B l B l B l B =+++

1122

11221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++

即A B +的列向量可以由1

1212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出,由于

1212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B

也是来自于()A B 的列向量组的向量,所以A B +的列向量也可以由()A B 的列向量组线性表出,根据引理5可知()()r A B r A B +≤ .对于()()r A B r A B -≤ , 只要把以上证

明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.

命题5.3设A 是m n ?矩阵，B 是n p ?矩阵，如果0A B =，则()()r A r B n +≤. 证明：设 ()12,,,p B B B B = ，则()12,,,0p AB AB AB AB == .

故有120p AB AB AB ==== ,即齐次方程组0A X =有p 个解12,,,p B B B . 若()r A r =，则根据引理6,12,,,p B B B 可由n r -个解向量组成的基础解系线性表出.

根据引理5有()r B n r =-,()()()r A r B r n r n +≤+-=,命题证毕. 例5.2 A 是m n ?矩阵，则()()()()T T T r A A r AA r A r A ===. 证明：由命题3.1知()()T r A r A =.下面我们先证明()()T r A A r A =. 只要证明0T A AX =与0A X =同解便可得到()()T r A A r A =. 一方面，满足0A X =解向量也满足0T A AX =；

另一方面，由0T A AX =两边同时左乘T X 得到0T T X A AX =，即()()0T

AX AX =，

设1n

k AX k ??

= ? ???

,那么()()2210T

n AX AX k k =+= ,所以0i k =()

1,2,,i n = ，0A X =，

满足0T A AX =的解也满足0A X =．

综上所述0T A AX =与0A X =同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知

()()T

n r A A n r A -=-，()()T

r A A r A =.

对()()T T r AA r A =证明过程与此类似，所以()()()()T T T r A A r AA r A r A ===，命题证毕.

例5.3 证明：若线性方程组0A X =的解均为0B X =的解，则()()r A r B ≥. 证明：设方程组0A X =与0B X =的解空间分别为A V ,B V ，若线性方程组0A X =的解均为0B X =的解，则

A B V V ?,()()

dim dim A B V V ≤

根据引理6有()()n r A n r B -≤-,即()()r A r B ≥，命题得证.

例 5.4设A 为m n ?矩阵，B 为1n ?矩阵，证明0A B X =与0B X =同解的充分必要条件为()()r AB r B =.

证明：设方程组0A B X =,0B X =解空间分别为A B V ,B V . 必要性：若AB B V V =，()()dim dim AB B V V =,根据引理6可知

()()n r AB n r B -=-,

可以推出()()r AB r B =.

充分性：若()()r AB r B =，则根据引理6知

()()dim dim AB B V V = ①

又因为满足0B X =解向量也满足0A B X =,所以

AB B V V ? ②

由① ②可推出AB B V V =.命题证毕.

命题 5.4设A 是数域P 上n m ?矩阵，B 是数域P 上m s ?矩阵，证明

()()(){}m i n ,r A B r

A r B

≤即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩. 证明: 构造齐次线性方程组0A B X =与0B X =,设方程组0A B X =与0B X =的解空间分别为A B V ,B V .

显然，满足0B X =解向量也满足0A B X =,所以AB B V V ?,()()dim dim AB B V V ≥, 根据引理6知()()r AB r B ≤.

再构造齐次线性方程组0T T B A X =与0T A X =，同理可得()()T T T r B A r A ≤,即

()()r AB r A ≤.综上所述()()(){}min ,r AB r A r B ≤.

此命题用归纳法可以推广为：如果12m A A A A = 那么1()()min j

j m

A A

≤≤≤秩秩.

例 5.4 如果m n ?方程组

A X =的解为方程11220n n b x b x b x +++= 的解，其中

()

12,,,n X x x x = ，求证()12,,,n A r r A b b b ??

= ???

证明：由已知可知0

A X

=与120,,,n A

X b b b ?

???

同解，根据引理6它们的系数矩阵

的秩相等,所以 ()12,,,n A

r r A b b b ?

???

第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.

例6.1[4]

设A 是数域P 上n m ?矩阵，B 是数域P 上m s ?矩阵，求证()()(){}min ,r AB r A r B ≤,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．

证明：设1112121

2221

m m n n nm a a a a

a a A a a a ?? ?

= ? ? ???

，

12121

2221

s m m m s b b b b b b B b b b ??

= ? ? ???

令12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C AB =的行向量。由于i C 的第j

个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于∑=m

k kj ik b a 1

，因而

),,2,1(2211n i B a B a B a C m im i i i =+++=,

即矩阵A B 的行向量组12,,,n C C C 可经B 的行向量组线性表出,所以A B 的秩不超过B 的秩，即()()r AB r B ≤.

同样，令12,,,m A A A 表示A 的列向量，12,,,s D D D 表示C AB =的列向量，则有

),,2,1(2211s i A b A b A b D m mi i i i =+++=.

A B

的列向量组可经矩阵A 的列向量组线性表出，所以()()r AB r A ≤，也就是

()()(){}min ,r AB r A r B ≤.

例6.2设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，求证

()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.

证明:因为0

A E

B E B E --??

?-?

?00B

E ?? ???00A B E B E -??=

?-??

, 故()r AB E -≤00A B E

r B E -??

?-??≤()()0A E B E r r A E r B E B E --??

=-+- ?-??

因此()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.

命题6.1设A ，B 是m n ?矩阵，则()()()r A B r A r B ±≤+. 证明：构造分块矩阵00A B ??

???，对其施行用广义初等变换可得 00

A A

B A

A B B B B +??????

→→ ? ? ???????

根据初等变换不改变矩阵的秩可以推出

()00

0A A

A B A B r r r r A B B B B ++??????

=≥≥+ ? ? ???????

①

又由于 ()00

A r r A

B B ??

=+ ???

②

由①,②即得

()()()r A B r A r B ±≤+.

命题6.2[2] 设A ，B 分别为s n ?,n m ?矩阵,则()()()r A r B n r AB +-≤.

证明:由00

s m E E B E B E A

E E A

AB -????????

? ? ? ?--????????，且0n s E A E ?? ?-??，0

m E B E -??

???

可逆可推出

()()()0

n n

n E B E r r r E r AB n r AB A

AB ????

==+-=- ? ?-????.

但()()0n

E B r r A r B A

≥+

???

,即 ()()()n r AB r A r B +≥+.

所以()()()r A r B n r AB +-≤.

这个公式代数里称为Sylverster(薛尔佛斯特)公式.

命题6.3设A ，B 分别为s n ?,n m ?矩阵,则()()()r A r B n r AB +-=的充要条件为

000

A A r r E

B B ????

= ? ?????

. 证明:由00

000

0E A A

E B A B E

B A B E E B E E B E E

-----????????????

? ? ? ? ? ?????????????

，

根据矩阵秩的性质，可以得到等式

()00A A B r r r A B n E

B E

B -????

==+ ? ?????

① 而 ()()00A r r A r B B ??

??? ②

充分性：若000

A r r E

B B ????

? ?????

，由① ②可知()()()r AB n r A r B +=+，即 ()()()r A r B n r AB +-=.

必要性：若()()()r A r B n r AB +-=则()()()r AB n r A r B +=+, 由① ②可知

000

A A r r E

B B ????

= ? ?????

. 综上所述,命题得证.

例6.3 设A ，B 分别为s n ?,n m ?矩阵,则()()()r A r B n r AB +-=的充分必要条件为存在矩阵X ，Y ，使得n XA BY E +=.

证明：由上一个命题可知()()()r A r B n r AB +-=的充要条件为

000A A r r E B B ????= ? ?????，那么我们只要证明000A

r r E B B ????

= ? ?????

的充要条件为存在矩阵

，Y ，使得n XA BY E +=，即可完成本命题的证明.下面就此进行证明. 充分性.

由000000m n n n n

m m n E A E E A

A X

E E B Y

E Y E E XA BY B AX

B ????????????== ? ? ? ?

?????????????

------ 可知当

n XA BY E +=时，000

A r r E

B B ????

? ?????

. 再根据命题6.3可推出等式

()()()r A r B n r AB +-=.

必要性.

设 12200,0

S E E A Q P B Q ????

? ?????

1P ,

《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

目录第一章绪论 (1) 第二章预备知识 (2) 第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3) 第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6) 第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10) 第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15) 第七章小结 (23) 参考文献 (24) 致谢 (25)

第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学. 目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握. 本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一．矩阵等价行等价：矩阵A 经若干次初等行变换变为矩阵B 列等价：矩阵A 经若干次初等列变换变为矩阵B 矩阵等价:矩阵A 经若干次初等行变换可以变为矩阵B ，矩阵B 经若干次初等行变换可以变成矩阵A ，则成矩阵A 和B 等价矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵P 和Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二．向量的线性表示 Case1：向量b r 能由向量组A 线性表示: 充要条件: 1.线性方程组A x r =b 有解 (A)=R(A,b) Case2：向量组B 能由向量组A 线性表示充要条件： R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组A 能由向量组B 线性表示充要条件： R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组A 和B 能相互表示，即向量组A 和向量组B 等价充要条件: R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示充要条件是: R(A)=R(A,E)

n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n ，所以R(A)=n=R(A,E) 三．线性方程组的解 1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解. （2） R(A)=R(A,B)=n ，解唯一. （3） R(A)=R(A,B)

矩阵的秩与向量组的秩一致

矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。 “矩阵的秩与向量组的秩一致。矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。”怎样证明？就当做习题练一练。设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0 逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。”定理）—— 已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k

若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0 ，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。前n 个等式即 c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0 由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0 分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。（画外音：画个示意图最好。）

矩阵秩的基本不等式

1 矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。 ()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。下面，我们来证明向量组{} ()()1 s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得 ()()1 ()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑ ，于是() ()1 0s r AB j j s r B B x -=-+=∑ 。这样， () ()1 0s r AB j j s r B x -=-+=∑ 为0Bx =的解。于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 ()() ()1 1 ()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+== -∑ ∑，即()1 0s r AB j j j k x -==∑ 。由于向量组{} ()1 s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。于是，向量组{}() ()1 s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}() ()1 s r AB j j s r B Bx -=-+为 0Ax =的基础解系的一部分。于是， []()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。一基本的定理 1 设A是数域P上n m ?矩阵，于是 ?矩阵，B是数域上m s 秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩 2设A与B是m n ?矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，

从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n 2设A 为m n ?矩阵，B 为n s ?矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于 000S E B A AB A E E E B ??????= ? ? ?-?????? 而 0S E B E ?? ?-?? 可逆，故 r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ?? ? ?? =秩 0A AB E ?? ???=秩 0 0AB E ?? ??? =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --?? ? -??00B E ?? ???00AB E B E -?? = ?-?? 故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -?? ?-??≤秩0A E B E B E --?? ?-?? =秩（A-E ）+秩（B-E ）因此秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ） 4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ???的矩阵，证明 r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)

矩阵秩的一些著名结论

引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论. 1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B) 证设A =(α1,α 2 ,…, αn ), B =() ββ βn ,...,,2 1 则 A +B =( α1 +β1 ,α2 +β 2 ,…, αn +βn ) 不妨设A 列向量的极大线性无关组为 α1 ,α 2 ,…, α r . (1≤r ≤n)； B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n). 则k i i 1 =αα1 +α 2 2 k i +…+ α r ir k ; βi =β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 则 αi +β i = k i 1 α1 +α 2 2 k i +…+αr ir k +β1 1 l i +β 2 2 l i +…+ β s is l ; 即A +B 的列向量可由 α1 ,α 2 ,…, α r ， β 1 ， β 2 ，… β s 线性表出，故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤. 证记 ),...,,(2 1 ββ βn B =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解, 即O =A β i ,i =1,2,…,n 又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -, 换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.

1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组

习题4.3 1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1) []12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=．分析向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 41111111111110 1011111001111110001αααα--???? ????---??? ?=??→???? ---???? --???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51031 21 0312130110110121725000104214060 0000ααααα???? ????--? ???=??→???? ??? ? ???? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，

矩阵的秩及其求法

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩定义2 设有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。规定：零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。例1 设为阶梯形矩阵，求R (B )。解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2. 结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 () n m ij a A ?={}),min 1(n m k k ≤≤? ? ??? ??----=1 10145641321A 182423=C C 43334=C C 101 22--= D 1 0156 43213-=D n m ?k n k m c c () n m ij a A ?=0, r D ≠()(). T R A R A =0,A ≠0.A ≠??? ? ? ??=000007204321B 0 2 021≠????? ??=010*********A ????? ??=001021B ???? ? ??=100010011C 125034000D ?? ? = ? ? ??2 123508153000720 000 0E ?? ? ?= ? ??? ()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3 R E =

实验矩阵的秩与向量组的极大无关组

项目五矩阵运算与方程组求解实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 基本命令 1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k]. 2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A]. 3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入 Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}] 则输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}} 实验举例求矩阵的秩例2.1 (教材例2.1) 设,815073*********???? ? ??-------=M 求矩阵M 的秩. 输入 Clear[M]; M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2] 则输出 {{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}} 可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入 Minors[M,3] 则输出 {{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}} 可见矩阵M 的三阶子式都为0. 所以.2)(=M r

例2.2 已知矩阵???? ? ??----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值. 左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入 Clear[M]; M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}}; Minors[M,3] 输出为 {{35-7t,45-9t,-5+t}} 当5=t 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2. 例2.3 (教材例2.2) 求矩阵???????? ??-----322 4211631095114047116的行最简形及其秩. 输入 A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A] RowReduce[A]//MatrixForm 则输出矩阵A 的行最简形 ???????? ??-0000000010000510 01 01 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3. 矩阵的初等行变换命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆. 例2.4 设,41311221222832A ???? ? ??--=求矩阵A 的秩. 输入

关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记

关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式 Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix” Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used. Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人. 而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。 1

矩阵秩的相关结论证明及举例

华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式： 2014年12月30日

一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。关键词：矩阵秩结论证明英文题目 Abstract: Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。一基本的定理 1 设A 是数域P 上n m ?矩阵，B 是数域上m s ?矩阵，于是秩（AB ）≤min [秩（A ），秩（B ）]，即乘积的秩不超过个因子的秩 2 设A 与B 是m n ?矩阵，秩（A ±B ）≤秩（A ）+秩（B ）二常见的秩的不等式 1 设A 与B 为n 阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B 的每一列向量都是以A 为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。当r = n 时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时 r(A) = n ，r(B) = 0,结论成立。当r 〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r 个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n 2设A 为m n ?矩阵，B 为n s ?矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n 证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于 000S E B A AB A E E E B ??????= ? ? ?-??????

关于矩阵秩的一个不等式

关于矩阵秩的一个不等式 Ξ 沈　华　(湖北大学数学系　武汉　430062) 对任意矩阵M ,用r (M )表示M 的秩。熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。 (一)设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则 r (A +B )≤r (A )+r (B ) (1) (二)设A 、B 分别是两个m ×n 、n ×l 矩阵,则 r (A )+r (B )-n ≤r (A B )≤m in{r (A ),r (B )}它通常被称为Sylvester 不等式。对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。在本文里,我们要结合矩阵的满秩分解,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r (A +B )≤r (A )+r (B )的一个推广形式。本文所需的矩阵知识是基本的,可在[1、2]里找到。现在,对任意m ×n 矩阵M ,我们用C M 、R M 分别表示由M 的所有列向量、行向量所生成的向量空间。明显地,向量空间C M 、R M 的维数为di m C M =di m R M =r (M )。进一步地,对任意分块矩阵M =(M 1,M 2)和N = N 1N 2 ,根据定义容易验证向量空间C M =C M 1+C M 2,向量空间R N =R N 1+R N 2。本文的目的是证明如下的定理　设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则 r (A )+r (B )-(d 1+d 2)≤r (A +B )≤r (A )+r (B )-m ax{d 1、d 2} (2)这里d 1=di m (C A ∩C B ),d 2=di m (R A ∩R B )。 (2)是比(1)精确的不等式。根据(2)式,我们立即得到下面的推论1　设A 、B 、d 1、d 2的意义如上述定理所述,则r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当d 1=d 2=0。注意到r (-B )=r (B )及C -B =C B 、R -B =R B ,这样根据推论1,可以得到有趣的推论2　设A 、B 是两个m ×n 矩阵,则有r (A +B )=r (A )+r (B )当且仅当r (A -B )=r (A )+r (B )。先证明一个预备性结果。引理　设A 是个秩为r 的m ×n 矩阵,对A 的任意满秩分解A =H L ,均有C A =C H ,R A =R L ,这里H 为m ×r 列满矩阵,L 为r ×n 行满矩阵。证明　设A =(Α1、Α2、…、Αn ),H =(Β1、Β2、…、Βr ),L =(l ij )r ×n ,从A =H L 得到Αi =l 1i Β1+l 2i Β2+…+l ri Βr (1≤i ≤n )。这样由Α1、Α2、…、Αn 生成的向量空间C A <由Β、Β2、…、Βr 生成的向量空间C H .注意到di m C A =r (A )=r (H )=di m C H ,我们立即得到C A =C H 。又A 的转置矩阵A ′有满秩分解A ′=L ′H ′ ,于是C A ′=C L ′,也就是说,R A =R L 。61 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 16,N o 11 M ar .,2003 Ξ

矩阵的秩及其多样性的解法

矩阵的秩及其多样性的解法数学学院数学与应用数学（师范）专业摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。矩阵的秩的等价刻划设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;

求向量组的秩与极大无关组(修改整理)-向量组的极大无关组与秩

求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn ①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1 ②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；

③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法【定理】矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：α1=(1,2,3)T , α2=(-1,2,0)T , α3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：（1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组：α1=(2,1,3,-1)T , α2=(3,-1,2,0)T , α3=(1,3,4,-2)T , α4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：

一些特殊矩阵的秩等式

一些特殊矩阵的秩等式引言矩阵的秩可以利用矩阵的非零子式的阶数定义，也可以利用矩阵的行向量组或列向量组的秩来定义，即：定义1 设A 是数域F 上的m n ?矩阵，称矩阵A 不为零的最高阶数为矩阵A 的秩. 定义2设A 是数域F 上的m n ?矩阵，12,,,m βββ 是其行向量组，12,,,n ααα 是其列向量组，称向量组12,,,m βββ 的秩为A 的行秩，向量组12,,,n ααα 的秩为A 的列秩. 可以证明，对矩阵A ，行秩等于列秩.称矩阵A 的行秩(列秩)为矩阵A 的秩. 记作()rank A . 矩阵的秩是矩阵的一种重要特征，利用矩阵的秩特征，可以讨论矩阵的一些性质.很多特殊矩阵的特征都可以利用秩关系来刻画. 本文将在已有关于矩阵秩关系的基础上，在第一部分主要讨论诸如幂等矩阵、对合矩阵等特殊矩阵的秩等式关系，第二部分则主要讨论矩阵运算下的秩关系. A 是矩阵，T A 为A 的转置矩阵，I 为单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵. n I 为n n ?的单位矩阵，n V 为n 维线性空间.如果矩阵A ,B ∈n n C ?,满足2A =A ,2n B I =,则分别称A 、B 为幂等矩阵、对和矩阵. 1 幂等矩阵的秩恒等式定理1.1[1] n 阶矩阵A 满足2A =A ，则()rank A +()rank I A -=n . 证明（证法一）设()rank A =r ，由2A =A 可得()A A I -=0，则()A I -的每一个列向量都是以A 为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量. (i)当r =n 时，由于齐次线性方程组只有零解，故此时A I -=0，即此时 ()rank A =n ，()rank A I -=0，()rank A +()rank A I -=n ，结论成立. (ii)当r

矩阵秩的基本不等式

矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。 ()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。下面，我们来证明向量组{}() ()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得 () ()1 ()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B B x -=-+=∑。这样， ()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 () ()()11()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。于是，向量组{}() ()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。 ; 又由于()0j j A Bx ABx ==，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，因此{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+为 0Ax =的基础解系的一部分。于是， []()()11()()()s r AB s r B r B r AB n r A ---++=-≤- 即()()()r AB r A r B n ≥+-。推论1：若,m n A R ∈，,n s B R ∈满足0AB =，则()()r A r B n +≤。证明：0()()()r AB r A r B n =≥+-，于是()()r A r B n +≤。