数值计算方法试题一
一、 填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211
0)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，
则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、
)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)(( )，
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)(( )，当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n k k
( )。
5、设1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07
f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞
=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项
式族，其中1)(0=x ?，则?=
1
4)(dx x x ? 。
8、给定方程组??
?=+-=-2211
21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题
00
(,)()y f x y y x y '=??
=?的改进欧拉法
???
??++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
阶方法。
10、设
??
???
?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）
条件时，这种分解是唯一的。 二、 二、选择题（每题2分）
1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x
k k +=+)()
1(收敛的充要条件是（ ）。
（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
?∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数)
(n i
C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4、若用二阶中点公式
)),(4,2(1n n n n n n y x f h
y h x hf y y ++
+=+求解初值问题
1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。
(1)20≤ 三、1、（8分）用最小二乘法求形如2 bx a y +=的经验公式拟合以下数据： 2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ?-10 时， (1) (1) 试用余项估计其误差。 （2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种 不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2) x x 1 1+ = 对应迭代格式 n n x x 1 11+ =+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。判 断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根， 精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组f AX =，其中 ??????????--=4114334A ，?? ??? ?????-=243024f （1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题? ????=+-=1)0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足 )()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p = 六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 )1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf （1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4 C x f ∈，推导余项公式 ?-=1 ) ()()(x S dx x xf x R ，并估计 误差。 2、 2、 用二步法 )],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα 求解常微分方程的初值问题?? ?=='00)() ,(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方 法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若A 是n n ?阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵 U ，使LU A =唯一成立。 （ ） ２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （ ） 3、形如) ()(1i n i i b a x f A dx x f ∑?=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代 数精确度的次数为12+n 。 （ ） ４、矩阵?? ??? ??=210111012A 的２－范数2A ＝９。（ ） 5、设?? ??? ??=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。 （用∞?） （ ） 6、设n n R A ?∈，n n R Q ?∈，且有I Q Q T =（单位阵），则有22QA A =。 （ ） 7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。 （ ） 8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解： ?? ??? ??????? ??-=????? ??-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。 （ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分） 1、设102139)(2 48+++=x x x x f ，则均差 =]2,,2,2[810 f __________，=]3,,3,3[9 10 f __________。 2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数，[]b a p ,∈为)(x f 的 一个m 重零点，Newton 迭代公式 )() ('1k k k k x f x f m x x -=+的收敛阶至少是 __________阶。 ３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到 __________阶的连续导数。 4、向量T X )2,1(-=,矩阵 ???? ??--=1327A ，则 =1AX __________，=∞)(A cond __________。 5、为使两点的数值求积公式：?-+≈1 1 10) ()()(x f x f dx x f 具有最高的代 数精确度，则其求积基点应为=1x __________，=2x __________。 6、设n n R A ?∈，A A T =，则)(A ρ（谱半径）__________2A 。（此处填小于、大于、等于） 7、设 ????? ?????=214102 1A ，则=∞→k k A lim __________。 三、简答题：（9分） 1、 1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ，若用迭代公式： 2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ，则其产生的序列{}k x 是否收敛于 *x ？说明理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主 元的技术？ 3、 3、 设001.0=x ，试选择较好的算法计算函数值2 cos 1)(x x x f -= 。 四、（10分）已知数值积分公式为： )]()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈ ? λ，试确定积分公式中的参 数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 五、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为： 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 六、（9分）数值求积公式?+≈3 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公 式？为什么？其代数精度是多少？ 七、（9分）设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异，X 为精确 解，0≠b ，若向量~ X 是b AX =的一个近似解，残向量~ X A b r -=， 证明估计式： b r A cond X X X ) (~ ≤-（假定所用矩阵范数与向量范数 相容）。 八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ，并导出其余项。 九、(9分)设)(x n ?是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列，)1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +?的零点， )1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基 函数， ∑?+=≈1 1 ) ()()(n k k k b a x f A dx x w x f 为高斯型求积公式，证明： （1） （1）当j k n j k ≠≤≤,,0时，0 )()(1 1=∑+=i j i k n i i x x A ?? （2）?≠=b a j k j k dx x w x l x l ) (0 )()()( （3）∑??+==1 12 )()()(n k b a b a k dx x w dx x w x l 十、（选做题8分） 若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω， ),,1,0(n i x i =互异，求],,,[10p x x x f 的值，其中1+≤n p 。 数值计算方法试题三 一、（24分）填空题 (1) (1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计 算结果较精确 。 (2) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要 求精确到第3位小数，则需要对分 次。 (3) (3) (2分)设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ，则()=x f ' (4) (4) (3分)设 ()???≤≤+++≤≤=21,10,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算?1 dx e x ，要求误差不超过 610-，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。 (6) (6) (6分)写出求解方程组?? ?=+-=+24.01 6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭 代公式 ，迭代矩阵 为 ， 此迭代法是否收敛 。 (7) (7) (4 分)设 A =?? ??? 5443,则=∞A ，()Cond ∞=A 。 (8) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ，为 保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为 二. (64分) (1) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭 代公式，并证明其收敛性。 (2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的 近似值，并利用余项估计误差。 (3) (3) (10分)求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项 式。 (4) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近 似值，要求误差限为5105.0-?。 (5) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组： ??? ??=++=++=++27 6234532424321321321x x x x x x x x x (6) (6) (8分)求方程组 ? ???? ??=???? ??????? ? ?12511213121x x 的最小二乘解。 (7) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题： ?? ?=≤≤=2)1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值，取步长2.0=h 。 三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题) (1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足： ()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p (2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求 出其代数精度： ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? (3) (3) (6分)用幂法求矩阵 ? ??? ??=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距 离小于0.05，取特征向量的初始近似值为()T 0,1。 (4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式，使其精度尽量高，其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -= (5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程 组。 数值计算方法试题三 一、（24分）填空题 (9) (1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计 算结果较精确 。 (10) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要 求精确到第3位小数，则需要对分 次。 (11) (3) (2分)设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ，则()=x f ' (12) (4) (3分)设 ()???≤≤+++≤≤=21,10,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (13) (5) (3分)若用复化梯形公式计算?1 dx e x ，要求误差不超过 610-，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。 (14) (6) (6分)写出求解方程组?? ?=+-=+24.01 6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭 代公式 ，迭代矩阵 为 ， 此迭代法是否收敛 。 (15) (7) (4 分)设 A =?? ? ?? 5443,则=∞A ，()Cond ∞=A 。 (16) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ，为 保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为 二. (64分) (8) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭 代公式，并证明其收敛性。 (9) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的 近似值，并利用余项估计误差。 (10) (3) (10分)求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项 式。 (11) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近 似值，要求误差限为5105.0-?。 (12) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组： ??? ??=++=++=++27 62345324 24321321321x x x x x x x x x (13) (6) (8分)求方程组 ? ???? ??=???? ??????? ? ?12511213121x x 的最小二乘解。 (14) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题： ?? ?=≤≤=2)1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值，取步长2.0=h 。 三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题) (6) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足： ()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p (7) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求 出其代数精度： ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? (8) (3) (6分)用幂法求矩阵 ? ??? ??=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为()T 0,1。 (9) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式，使其精度尽量高，其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -= (10) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程 组。 数值计算方法试题一答案 一、 一、填空题（每空1分，共17分） 1、（ 10 ） 2、（)0,22(- )22,0(） 3、a =( 3 )，b =（ 3 ），c = （ 1 ） 4、( 1 )、 ( j x )、( 324++x x ) 5、 6 、25.2364945 26!77==? 6、 9 7、 0 8、1 22 , 22- ）、 （ 0>ii l ） 二、 二、选择题（每题2分） 1、（(2)） 2、（（1）） 3、（（1）） 4、（（3）） 三、1、（8分）解：},1{2x span =Φ ??? ???=22 22 38312519 1111T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得：? ?????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 2、（15分）解： 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 四、1、（15分）解：（1）3 2 1(31 )(-+='）x x ?，118.05.1<='）（?，故收敛； （2） x x x 1 121)(2+ - ='?，117.05.1<='）（ ?，故收敛； （3）23)(x x ='?， 15.135.12>?='）（?，故发散。 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x Steffensen 迭代： k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ???? 11211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果：5.10=x ，324899.11=x ，324718.12=x 有加速效果。 2、（8分）解：Jacobi 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3)(3)1(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ?????? ????? ?--=+-=-0430430 430430)(1 U L D B J ， 790569.0)410(85)(==或J B ρ SOR 迭代法：?? ???????=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1() 1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2) (2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω 五、1、（15分）解：改进的欧拉法： ??? ??+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),() 0(111) 0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ； 经典的四阶龙格—库塔法： ?? ????? ??? ? ++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6 342312143211 hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。 2、（8分）解：设)(3x H 为满足条件?? ? ='='=1,0)()()()(3 3i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式， 则 2 1203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得： 212202232)()()()(x x x x x H x f k ---= 六、（下列2题任选一题，4分） 1、解：将3 2,,,1)(x x x x f =分布代入公式得： 201,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足?? ? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有：?=1 03) ()(x S dx x xH ， 22 )4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 03 )4(1 0)1(!4)(])()([)(-=-=??ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f =?=-=? 2、解： ] )(!3)(!2)()()(1()([) )(! 3)(!2)()(()()(!3)(!2)()()() 4(323 2103 211, +-'''+''-'-+'-+'''-''+'---+'''+''+'+=-=++n n n n n n n n n n n n n n n n h n x y h x y h x y h x y x y h x y h x y h x y h x y x y x y h x y h x y h x y y x y R θθαα ) ()()21661()()1221() ()11()()1(41312110h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''--++''-+-+'+-+--=θαθαααα 所以?????? ?=-+-==--012210011110θαααα ??? ? ???===?230110θαα 主项：)(1253 n x y h ''' 该方法是二阶的。 数值计算方法试题二答案 一、 一、判断题：（共10分，每小题２分） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ） 二、 二、填空题：（共10分，每小题2分） 1、!89?、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、31 ,3 1 -6、 = 7、0 三、 三、简答题：（15分） 1、 1、 解：迭代函数为2ln /)4ln()(x x -=? 12ln 1 2412ln 141)(' x x ? 2、 2、 答：Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素) (k kk a 全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使0)det(≠A ，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素) (k kk a 的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主 元素)(k kk a =0或) (k kk a 很小的情况发生，从而不会使计算中断或因 误差扩大太大而使计算不稳定。 3、 3、 解： +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!2cos 12142n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!21)(2 212n x x x f n n 四、 四、解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ； 2)(x x f =时，12122]20[]0[2332 2302 = ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ； 3)(x x f =时，] 30[121 ]0[2422340 3 h h h h h dx x h -++==?； 4)(x x f =时，6]40[121]0[2553 2450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?； 所以，其代数精确度为3。 五、 五、证明： 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1 。 又1 )11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有 下界， 从而迭代过程收敛。 六、 六、解：是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=30)]2()1([23)(f f dx x p 。其代数精度为1。 七、 七、证明：由题意知：r b X A b AX -==~ , r A X X r A X X r X X A 1~ 1 ~ ~ )(--≤-?=-?=- 又 b A X X A AX b b AX ≤? ≤=?=1 所以 b A A cond b r A A X X X ) (1~ =≤ --。 八、解：设)2)(1()()(2--+=x x ax x N x H ) 1)(0(21 21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(2----=--+-+=x x x x x f x f f x N 所以 )2)(1()1(21 21)(--+-- -=x x ax x x x x H 由3)0(' =H 得： 41= a 所以 134541)(2 3-+-= x x x x H 令)()()(x H x f x R -=，作辅助函数)2)(1()()()()(2 ----=t t t x k t H t f t g 则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：21,0,，x t = 反复利用罗尔定理可得： !4)()() 4(ξf x k = ，)0)(() 4(=ξg 所以 ) 2)(1(!4)()2)(1()()()()(2 )4(2 --=--=-=x x x f x x x x k x H x f x R ξ 九、 九、证明：形如 ) ()()(1 1k b a n k k x f A dx x w x f ?∑+=≈的高斯（Gauss ）型求 积公式具有 最高代数精度2n+1次，它对)(x f 取所有次数不超过2n+1 次的多项式均精确成立 1）0 )()()()()(1 1 ?∑==+=b a j k i j i k n i i dx x w x x x x A ???? 2）因为)(x l i 是n 次多项式，且有 ?? ?=≠=j i j i x l j i 10)( 所以 )()()()()(1 1 ==?∑+=i j i k b a n i i j k x l x l A dx x w x l x l (j k ≠) 3）取 )()(2x l x f i =，代入求积公式：因为)(2x l i 是2n 次多项式， 所以 i j i b a n j j i A x l A dx x w x l ==?∑+=211 )]([)()( ∑? ?∑+=+===1 11 1 2)()()(n k b a b a n k k k dx x w A dx x w x l 故结论成立。 十、 十、解： n p x x x f x x x f p i p i j j j i i p ≤=-=∑ ∏=≠=0) () (],,,[0010 1 )!1() (],,,[)1(110=+=++n f x x x f n n ξ 数值计算方法试题三答案 一.(24分) (1) (2分) ()x x x f ++= 11 (2) (2分) 10 (3) (2分) ???? ??12 21 22x x x x (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477 (6) (6分) ()() ()() ,1,0,4.026.111112 211=???+=-=+++k x x x x k k k k ???? ??--64.006.10 收敛 (7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<0.2 二. (64分) (1) (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ，n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤= x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 (2) (12分) 用Newton 插值方法：差分表： ≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 ()2 5 83'''- =x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R (3) (10分)设()()()x c c x c x c x 212211+=+=φφφ ()()()()()()???? ??=???? ?????? ??212122122111,,,,,,φφφφφφφφφφf f c c ，()1,1011==?dx φφ，()21,10 21==?xdx φφ， ()31 ,1 0222==?dx x φφ， ()1)exp(,101-==?e dx x f φ，()1)exp(,1 02==?dx x x f φ ???? ??-=???? ?????? ??1112121121e c c ， ???? ? ?=???? ??690.18731.021c c ,()x x 690.18731.0+=φ ()()x e e x 618104-+-=φ=0.873127+1.69031x (4) (10分) ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项：()() -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f () -?+?-=!49!27514 2) 4(x x x f ()51 ) 4(≤x f ()()5 4)4(4 5 10 5.05288012880-?≤?≤ -= n f n a b R η，2≥n ， =≈2S I (5) (10分) 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= (6) (8分) ()b A x A A T T =，???? ??=???? ?????? ? ?2081466321x x ， ???? ??-=0000.23333.1x 若用Householder 变换，则： ()?? ? ?? ??------→52073.236603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,b A ????? ??---→81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1 最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T . (7) (8分) ()5.0,001==y x f k ，())0.52380955.02.021.1,1012=?+=+=hk y x f k ()()1071429.25238095.05.01.0222101=+?+=++ =k k h y y 三. (12分) (1) 差分表： 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 数值计算方法I 上机实验考试题（两题任选一题） １．小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2. A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）； B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度． ２．小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k ，火箭升空过程的数学模型为 0)0(,0,01222==≤≤-+?? ? ??-==t dt dx x t t mg T dt dx k dt x d m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度，m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量，T （=30000牛顿）为推力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻． 今测得一组数据如下（t ~时间（秒），x ~高度（米），v ~速度（米/秒））： 现有两种估计比例系数k 的方法： 1．用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值（共11个），再用它们来估计k 。 2．用这组数据拟合一个k ． 请你分别用这两种方法给出k 的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）． 数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（） 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学 实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项，有 ，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0, 解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:，见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0 输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿 开始 读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx，，01* fx ()0 XX,,，?10 kk, ,1，kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志 ,3,输入变量、输出变量说明: 结束 例：导出计算的牛顿迭代公式，并il ?算。（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上 对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。 列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的 两行（包括常ekk 数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:，见下页, 输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 MATLAB与数值分析实验报告 报告人：秦旸照 学号： 2015020901033 时间： 2016.4.8 电子科技大学电子工程学院 一、实验目的 实验一：MATLAB软件平台与程序设计实验 二、实验原理 1.熟练掌握矩阵的生成、加、减、乘、除、转置、行列式、逆、范数等运算操作。（用.m文件和Matlab函数编写一个对给定矩阵进行运算操作的程序） 2. 熟练掌握算术符号操作和基本运算操作，包括矩阵合并、向量合并、符号转换、展开符号表达式、符号因式分解、符号表达式的化简、代数方程的符号解析解、特征多项式、函数的反函数、函数计算器、微积分、常微分方程的符号解、符号函数的画图等。（用.m文件编写进行符号因式分解和函数求反的程序） 3. 掌握Matlab函数的编写规范。 4.掌握Matlab常用的绘图处理操作，包括：基本平面图、图形注释命令、三维曲线和面的填充、三维等高线等。（用.m文件编写在一个图形窗口上绘制正弦和余弦函数的图形，并给出充分的图形注释） 5. 熟练操作MATLAB软件平台，能利用M文件完成MATLAB的程序设计。 三、实验方案 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以 x，y为坐标显示图像 x(n+1) = a*x(n)-b*(y(n)-x(n)^2); y(n+1) = b*x(n)+a*(y(n)-x(n)^2) 2. 编程实现奥运5环图，允许用户输入环的直径。 3. 实现对输入任意长度向量元素的冒泡排序的升序排列。 不允许使用sort函数。 四、实验结果 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以 x，y为坐标显示图像 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 实验报告 一、实验目的 二、实验内容 三、实验环境 四.实验方法 五、实验过程 1实验步骤 2 关键代码及其解释 3 调试过程 六、实验总结 1．遇到的问题及解决过程 2．产生的错误及原因分析 3．体会和收获。 七、程序源代码： 八、教师评语 实验报告 一.试验目的：练习用数值方法求解给定的非线性方程。 二.实验内容：求解人口方程: )1(5 .43e 1004.156-+ =λλλ e 要求误差小于410-。 三.实验环境：PC 计算机，FORTRAN 、C 、C ++、VB 任选一种。 四.实验方法：牛顿法 牛顿法简述：牛顿法是一种特殊的迭代法，其迭代公式为： ,2,1,0,) () (1='- =+k x f x f x x k k k k ， 当数列{}k x 收敛时，其极限值x 即为方程的解。 定理：给定方程],[,0)(b a x x f ∈= 1）设0)()(''x f x f ； 则牛顿法产生的序列{}k x 收敛于0)(=x f 在],[b a 内的唯一解x 。 五.实验过程: 1．编程: 用C 语言编出牛顿法的源程序。 2. 开机, 打开C 语言编译程序，键入所编程序源代码. 3. 调试程序, 修改错误至能正确运行. 六．实验总结: （1）牛顿法收敛速度快，但初值不容易确定，往往由于初值取得 不当而使迭代不收敛或收敛慢，但若能保证)()(1+>K K x f x f （称为下山条件），则有可能收敛。把新的近似值看作初值的话会比原来的取得好，有可能落入局部收敛的邻域。 （2）牛顿法要求)(x f '在x 附近不为零。亦即x 只能是单根, 不能求重根。可用重根加速收敛法求重根。 （3）牛顿法的每一步迭代中，都要计算一次导数值，若计算)(x f '比计算函数的近似值要麻烦的多。为了避免求导数，可用差商近似代替微商 1 1) ()()(----='K K K K K x x x f x f x f 此时牛顿迭代法改为 )() ()() (111--+--- =K K K K K K K x x x f x f x f x x . (4) 由于人口方程来源于实际问题, λ代表人口增长率, 其真实 值不会太大, 初值不应取得过大.否则会得到该方程的另外一个解 七、程序源代码： #include 1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2) 3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解： 5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b) 7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 ) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表 数值计算方法考试试题 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值； 解：1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x 一、 名词解释 1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差， 简称误差。 2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能 表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1 102 n -?，则称*x 准确到 小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。 4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足 （1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。 5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、 分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数 ()x ?作为()f x 的近似的方法。 6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值* x 的 相对误差，记为* ()r e x ，即** () ()r e x e x x = 7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。若||||A 满足 （1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ； （3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B数值计算方法试题及答案
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