高考数学快速解题三招搞定含参不等式恒成立问题
已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，高考数学快速解题法为2019高考数学快速巧妙的通关。
一 分离参数，转化为求函数的最值
对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。
例1（2010年全国卷1理）已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+
（Ⅰ）若'2
()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围
（Ⅱ）证明:(1)()0x f x -≥ 解析：（Ⅰ）'11()ln 1ln x f x x x x x
+=
+-=+ (0)x > '()ln 1xf x x x ∴=+，由'2()1xf x x ax ≤++得ln a x x ≥-，令()ln g x x x =-，于是，问题化为求函数()g x 的最大值。'1()1g x x =-，当01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'()0g x <。∴当1x =时，()g x 有最大值，max ()(1)1g x g ==- 1a ∴≥- （Ⅱ）略。
评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立?max ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立?max ()()f x g a ≤；（3）
()()f x g a >恒成立?min ()()f x g a >。
（4）()()f x g a ≥恒成立?min ()()f x g a ≥。 二 分离参数，转化为求函数的确界
如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：
函数()y f x = ()x D ∈的上确界为min{(),}M f x M x D ≤∈，记作M 上；函数()y f x = ()x D ∈的下确界为max{(),}M f x M x D ≥∈，记作M 下。于是，有如下结论：（1）若()f x 无最大值，而有上确界，这时要使()()f x g a <恒成立，只需M 上()g a ≤。（2）若()f x 无最小值，而有下确界M 下，这时要使()()f x g a >恒成立，只需M 下()g a ≥。
例2 （2010年湖南卷理）已知函数2()f x x bx c =++，(,)b c R ∈对任意的x R ∈，恒有'
()()f x f x ≤ （Ⅰ）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值。
解析：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）由'()()f x f x ≤即2
(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，得2(2)4()0b c b ---≤
从而2114b c b ≥+≥=，等号当且仅当214b =，即2b =±时成立 （1）当c b > 时， 22()()2f c f b c b M c b b c -+≥
=-+，令b t c =，则11t -<<，则2121c b b c t
+=-++ 因为函数1()21g t t =-+ （11t -<<）的最大值不存在，但易知其上确界为32
32M ∴≥ （2）当c b =2=时，()()8f c f b -=-或0，220c b -=，从而223()()()2
f c f b c b -≤-恒成立 综合（1）（2）得M 的最小值为32 例3 （2010年全国卷Ⅱ理）设函数2
()1x f x e x ax =---
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间。
（Ⅱ）若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。
解析：（Ⅱ）由()0f x ≥对所有的0x ≥成立，可得
（1）当0x =时，a R ∈； （2）当0x >时，21x e x a x --≤，设2
1()x e x g x x --=，问题转化为求()g x 的最小值或下确界。22'
422()x x x e xe x x g x x -++=，令22()22x x h x x e xe x x =-++，因为'2()222x x h x x e e x =-++，0x >，又()h x 的二阶导数"2()222x x x h x xe x e e =+-+，()h x 的三阶导数(3)2()(4)0x h x e x x =+>，所以"()h x 是增函数，故""()(0)0h x h >=，所以'()h x 增函数，故''
()(0)0h x h >=，所以()h x 是增函数，故()(0)0h x h >=，从而'()0g x >，于是()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()g x 无最小值，此时，由于(0)g 无意义，但运用极限知识可得0()lim ()x g x g x +→>。由洛必达法则可得：20000111lim ()lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x ++++→→→→---==== 故0x >时，1()2g x >。因而12
a ≤，综合（1）（2）知a 取值范围为1,2??-∞ ???
。 评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求0lim ()x g x →+超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种
更为一般地思考途径。
三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值
对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成(,)0f x a >或(,)0f x a ≥的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论：
（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立?()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立?()0g a ≥；
（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立?()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立?()0g a ≤。
例4（2010年天津文）已知函数323()12
f x ax x =-+ ()x R ∈ 其中0a > （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2(2))f 处的切线方程， （Ⅱ）若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围
解析：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）'2()33f x ax x =-，令'()0f x =，解得0x =或1x a
= （1）若02a <≤，则112
a ≥，于是当102x <<时，'()0f x >；当102x <<时，'()0f x <。所以当0x =时，()f x 有极大值。于是11[,]22x ∈-时，()0f x >等价于1()021()02
f f ?->????>??解得 02a << （2）若2a >，则
112
a <，于是当102x -<<时，'()0f x >；当10x a <<时，'()0f x <， 当112x a <<时，'()0f x >。所以，当0x =时，()f x 有最大值，当1x a =时，()f x 有最小值。于是11[,]22x ∈-时，()0f x >等价于1()021()0f f a
?->????>??
解得52a <<
或2a <-，因此，25a << 综合（1）（2）得 05a <<
例5：内容同例3
解析：（Ⅰ）略
（Ⅱ）'()12x f x e ax =--，由方程'
()0f x =不能求出极值点。显然，用例4的解法是行不通的，但我们注意到(0)0f =，故问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，即函数()f x 在[)0,+∞为不减函数，
于是可通过求导判断()f x 的单调性，再求出使()(0)f x f ≥成立的条件。
由（Ⅰ）有1x e x ≥+，当且仅当0x =时成立，故'()122(12)x
f x e ax x ax a x =--≥-=-，而当120a -≥，即12
a ≤时()0f x ≥ (0)x ≥ ()f x ∴是[)0,+∞上的不减函数，()(0)0f x f ∴≥= 当12
a >时，由1x e x >+ 0x ≠ 可得1x e x ->- '()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --∴<-+-=--
故当(0,ln 2)x a ∈时，'
()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时 ()0f x < 综合得12
a ≤ 评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住(0)0f =这一重要的解题信息，将问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，通过研究函数()f x 在[0,)+∞上是不减函数应满足的条件，进而求出a 的范围。隐含条件(0)0f =对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。
从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值（极值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。从而在高考数学达到快速解题的目的。