导数与函数核心考点
目录
题型一切线型
1.求在某处的切线方程
2.求过某点的切线方程
3.已知切线方程求参数
题型二单调型
1.主导函数需“二次求导”型
2.主导函数为“一次函数”型
3.主导函数为“二次函数”型
4.已知函数单调性，求参数范围
题型三极值最值型
1.求函数的极值
2.求函数的最值
3.已知极值求参数
4.已知最值求参数
题型四零点型
1.零点(交点，根)的个数问题
2.零点存在性定理的应用
3.极值点偏移问题
题型五恒成立与存在性问题
1.单变量型恒成立问题
2.单变量型存在性问题
3.双变量型的恒成立与存在性问题
4.等式型恒成立与存在性问题
题型六与不等式有关的证明问题
1.单变量型不等式证明
2.含有e x与l n x的不等式证明技巧
3.多元函数不等式的证明
4.数列型不等式证明的构造方法
题型一切线型
1.求在某处的切线方程
例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝
3x 2
e
x 在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝
3x 2e x ，得f ′(x )＝6x －3x 2e
x
，切点为(1，3e )，斜率为f ′(1)＝
3
e 由
f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3
e
；
∴切线方程为y －3e ＝3
e
(x －1)，即3x －e y ＝0.
例2.求f (x )＝e x (1x
＋2)在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x
(－1x 2＋1x
＋2)
由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ；
∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2e x －y ＋e ＝0.
例3.求f (x )＝l n 1－x 1＋x 在点(0，f (0))处的切线方程.
解：由f (x )＝l n 1－x 1＋x ＝l n (1－x )－l n (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －
1
1＋x
由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2；
∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0.
例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系x o y 中，曲线C ：y =x 24
与
直线l ：y =k x ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程.
解：由题意得：a =x 2
4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )，
由f (x )＝x 24，得f ′(x )＝x
2
，
当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ，此时切线方程为：a x ＋y ＋a ＝0；
当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ，此时切线方程为：a x －y －a ＝0；解题模板一
求在某处的切线方程
⑴写出f (x )；⑵求出f ′(x )；⑶写出切点(x 0，f (x 0))；⑷切线斜率k ＝f ′(x 0)；⑸切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).2.求过某点的切线方程
S t e p 1设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0
)，切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0
)S t e p 2因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2S t e p 2当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1
)当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2
)例1.求f (x )＝13x 3＋4
3
过点P (2，4)的切线方程.
解：设切点为(x 0，13x 03＋4
3
)，则切线斜率f ′(x 0)＝x 0
2，所以切线方程为：y －13x 03＋4
3
＝x 02(x －x 0
)，由切线经过点P (2，4)，可得4－13x 03＋43
＝x 02(2－x 0)，整理得：x 03
－3x 0
2＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2当x 0＝－1时，切线方程为：x －y ＋2＝0；当x 0
＝2时，切线方程为：4x －y －4＝0.例2.求f (x )＝x 3
－4x 2＋5x －4过点(2，－2)的切线方程.
解：设切点为(x 0，x 03
－4x 02＋5x 0－4)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 02－8x 0
＋5，所以切线方程为：y －(x 03
－4x 02＋5x 0－4)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －x 0
)，由切线经过点P (2，4)，可得4－(x 03
－4x 02＋5x 0－4)＝(3x 02－8x 0＋5)(2－x 0
)，解得x 0＝1或x 0＝2当x 0＝1时，切线方程为：2x ＋y －2＝0；当x 0
＝2时，切线方程为：x －y －4＝0.例3.过A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3
－3x 的三条切线，求m 的取值范围.
解：设切点为(x 0，x 03
－3x 0)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0
2－3，切线方程为y －(x 03
－3x 0)＝(3x 02－3)(x －x 0
)∵切线经过点P (1,m )，
∴m －(x 03
－4x 02＋5x 0－4)＝(3x 02－8x 0＋5)(1－x 0
)，O
O
O
P
P
P
点P 不在曲线上
不是切点点P 在曲线上不确定是切点
点P 在曲线上
切点
即：－2x 03＋3x 02－3－m ＝0，即m ＝－2x 03
＋3x 0
2－3∵过点A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，∴方程m ＝－2x 03＋3x 0
2－3，有三个不同的实数根.∴曲线H (x 0)＝－2x 03＋3x 0
2－3与直线y =m 有三个不同交点，H ′(x 0)＝－6x 02＋6x 0＝－6x 0(x 0－1)令H ′(x 0)＞0，则0＜x 0＜1；令H ′(x 0)＜0，则x 0＜0或x 0
＞1∴H (x 0)在(－∞，0)递减，在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，∴H (x 0)的极小值＝H (0)＝－3，H (x 0
)的极大值＝H (1)＝－2，由题意得－3＜x ＜－2.例4.由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝l n x －x －1作几条切线，并说明理由.
解：设切点为(x 0，l n x 0－x 0－1)，则切线斜率f ′(x 0
)＝1
x 0
－1，切线方程为y －(l n x 0－x 0－1)＝(1
x 0
－1)(x －x 0
)，∵切线经过点(－e ，e －2)，
∴e －2－(l n x 0－x 0－1)＝(1
x 0－1)(－e －x 0)，即l n x 0
＝e x 0
∵y =l n x 与y =e
x 只有一个交点
∴方程l n x 0
＝e
x 0
有唯一的实数根∴由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝l n x －x －1作一条切线.解题模板二
求过某点的切线方程
⑴设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0
)，切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0
)⑵因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2⑶当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1
)当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2
)3.已知切线方程求参数解题模板三
已知切线方程求参数
已知直线A x ＋B y ＋C ＝0与曲线y =f (x )相切⑴设切点横坐标为x 0
，则切点纵坐标＝切点纵坐标切线斜率＝切线斜率
{
即f (x 0
)＝－A x 0
＋C B f ′(x 0
)＝－A
B
{
⑵解方程组得x 0及参数的值.
例1.函数f (x )＝a l n x x ＋1＋b
x
在(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值.
解：∵f (x )＝a l n x x ＋1＋b x ，∴f ′(x )＝a (x ＋1)
x
－a l n x
(x ＋1)2
－
b x 2由题意知：f (1)＝1f ′(1)＝－12{，即b ＝1
a 2－
b ＝－
1
2
{
∴a ＝b ＝1
例2.f (x )＝a e x
l n x ＋b e
x －1
x
在(1，f (1))处的切线方程为y ＝e (x －1)＋2，求a ，b 的
值.
解：∵f (x )＝a e x
l n x ＋b e x －1x ，∴f ′(x )＝a e x (1x ＋l n x )＋b e x －1
(－1x 2＋1x
)
由题意知：
f (1)＝2f ′(1)＝－e {
，即
b ＝2
a e ＝e
{
∴a ＝1，b ＝2
例3.若直线y ＝k x ＋b 是y =l n x ＋2的切线，也是y =l n (x ＋1)的切线，求b .
解：设y ＝k x ＋b 与y =l n x ＋2相切的切点横坐标为x 1，y ＝k x ＋b 与y =l n (x ＋1)相切的切点横坐标为x 2
，l n x 1＋2＝k x 1
＋b ①1x 1
＝k ②l n (x 2＋1)＝k x 2
＋b ③1
x 2
＋1＝k ④{
，由②③得：x 1＝x 2
＋1，由①－③得：l n x 1－l n (x 2＋1)＋2＝k (x 1－x 2
)，将上式代入得：k ＝2∴x 1
＝12，代入①得：－l n 2＋2＝1＋b ∴b ＝1－l n 2.
例4.若f (x )＝x 与g (x )＝a l n x 相交，且在交点处有共同的切线，求a 和该切线方程.
解：设切点横坐标为x 0，则x 0
＝a l n x 0①12x 0
＝a x 0
②{
，由②得x 0
＝2a ，
代入①得：x 0
＝e 2，∴a ＝e
2
∵切点为(e 2，e )，切线斜率为
12e ，∴切线方程为x －2e y ＋e 2＝0.例5.已知函数f (x )＝x 3
＋a x ＋14
，当a 为何值时，x 轴为曲线方程y =f (x )的切线.
例6.已知函数f (x )＝x 2＋a x ＋b 和g (x )＝e x
(c x ＋d )都过点P (0,2)且在P 处有相同切线y =4x ＋2，求a ，b ，c ，d 的值.题型二单调型
1.主导函数需“二次求导”型I 不含参求单调区间
例1.求函数f (x )＝x (e x －1)－12
x 2的单调区间.
解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝e x (1＋x )－1－x ＝(x ＋1)(e x
＋1)令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞0；令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜0f (x )的增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)，减区间为(－1，0)。
例2.求函数f (x )＝(1＋a x
)e x
(a ＞0)在(－∞，0)上的单调性.
解：f (x )的定义域为(－∞，0)
f ′(x )＝e x
(－a x 2＋a
x ＋1
)＝e x
x 2
(x 2＋a x －a )令f ′(x )＞0，得x ＜－a －a 2＋4a 2；令f ′(x )＜0，得－a －a 2＋4a
2＜x ＜0
f (x )的增区间为(－∞，－a －a 2＋4a 2)，减区间为(－a －a 2＋4a
2，0)。
解题模版一
求解函数的单调区间
⑴求出函数f (x )的定义域；
⑵求f ′(x )；⑶判断f ′(x )的正负；
注：导函数的形式是有限的f ′(x )＝k x ＋b f ′(x )＝a x 2＋b x ＋c
二次求导型
{
⑷写出函数的单调区间.注：①求单调区间结论一定叙述为f (x )单调区间为…
讨论单调性可叙述为f (x )在某区间增(减)②多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用∪③单调区间书写时用中括号还是小括号问题I I .主导函数需“二次求导”型例1.讨论函数f (x )＝(x ＋1)l n x －x ＋1的单调性.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝l n x ＋x ＋1x －1＝l n x ＋
1
x 令φ(x )＝l n x ＋1x (x ＞0)，则φ′(x )＝1x －1x 2＝
x －1
x 2
令φ(x )＞0，则x ＞1；令φ(x )＜0，则0＜x ＜1，∴φ(x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.
∴φ(x )≥φ(0)＝1＞0，从而f ′(x )＞0
∴f (x )在(0，＋∞)上递增.
例2.求函数f (x )＝x e 2－x ＋e x 的单调区间.
解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝(1－x )e 2－x
＋e
令φ(x )＝(1－x )e 2－x ＋e ，则φ′(x )＝(x －2)e 2－x
当x ∈(－∞，2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(－∞，2)上递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上递增；∴φ(x )≥φ(2)＝－1＋e ＞0∴f (x )单调增区间为R ，无减区间.
例3.求函数f (x )＝l n (x ＋1)
x
的单调区间.
解：f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，＋∞)
f ′(x )＝
x －(x ＋1)l n (x ＋1)
(x ＋1)x 2
令φ(x )＝x －(x ＋1)l n (x ＋1)，则φ′(x )＝－l n (x ＋1)
当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0，则φ(x )在(－1，0)上递增∴φ(x )＜φ(0)＝0∴f ′(x )＜0∴f (x )在(－1，0)上递减当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0，＋∞)上递减；∴φ(x )＜φ(0)＝0∴f ′(x )＜0∴f (x )在(0，＋∞)上递减综上所述：f (x )单调递减区间为(－1，0)和(0，＋∞).例4.求函数H (x )＝|l n x |－
x
e
2x ＋C 的单调区间.解：H (x )＝
－l n x －
x
e 2x ＋C 0＜x ＜1l n x －x e
2x ＋C x ≥1
{
当x ∈(0，1)时，H ′(x )＝－1x －1
－2x e
2x
＝
－e 2x
－x ＋2x 2x e 2x 令φ(x )＝－e 2x
－x ＋2x 2，x ∈(0，1)
则φ′(x )＝－2e 2x
－1＋4x
φ′′(x )＝－4e 2x ＋4＝－4(e 2x
－1)＜0，∴φ′(x )在(0，1)上递减∴φ′(x )＜φ′(0)＝－3＜0∴φ(x )在(0，1)上递减∴φ(x )＜φ(0)＝－1＜0，即H ′(x )＜0
∴H (x )在(0，1)上递减
当x ∈(1，＋∞)时，H ′(x )＝1x －1－2x e 2x ＝
e 2x
－x ＋2x 2x e
2x
令φ(x )＝e 2x
－x ＋2x 2，x ∈(1，＋∞)
则φ′(x )＝2e 2x
－1＋4x ∵x ＞1∴φ′(x )＞0∴φ(x )在(1，＋∞)上递增∴φ(x )＞φ(1)＝e 2＋1＞0，即H ′(x )＞0∴H (x )在(1，＋∞)上递增综上所述：H (x )在(0，1)上递减，(1，＋∞)上递增.重要方法一
二次求导求函数单调性
当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对“主导”函数再次求导，这种“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。⑴通过判断f ′′(x )的符号，来判断f ′(x )的单调性；⑵通过赋特殊值找到f ′(x )的零点，进而得到f ′(x )的正负区间.2.主导函数为“一次函数”型
例1.求函数f (x )＝e x
－a x ＋1的单调区间.解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝e x
－a 当a ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，∴f (x )的增区间为R 当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则x ＞l n a ；令f ′(x )＜0，则x ＜l n a ；∴f (x )的增区间为(l n a ，＋∞)，减区间为(－∞，l n a )。综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为R
当a ＞0时，f (x )的增区间为(l n a ，＋∞)，减区间为(－∞，l n a )。
例2.求函数f (x )＝l n x －a x ＋1
2
x 2的单调区间.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝1x －a ＋x ＝(x ＋1x )－a
当a ≤2时，f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)
当a ＞2时，令f ′(x )＝0，则x ＝a －a 2－42或x ＝
a ＋a 2－42
令f ′(x )＞0，则0＜x ＜a －a 2－42或x ＞
a ＋a 2－4
2令f ′(x )＜0，则a －a 2－42＜x ＜a ＋a 2－4
2.
∴f (x )的增区间为(0，a －a 2－42)和(a ＋a 2－4
2
，＋∞)，
减区间为(a －a 2－42，a ＋a 2－4
2
)
综上所述：当a ≤2时，f (x )的增区间为(0，＋∞)
当a ＞2时，f (x )的增区间为(0，a －a 2－42)和(a ＋a 2－4
2
，＋∞)，
减区间为(a －a 2－42，a ＋a 2－4
2
)
例3.求函数f (x )＝l n x －a x 的单调区间.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝1x －a
当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)
当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则0＜x ＜1a ；令f ′(x )＜0，则x ＞1
a
；
∴f (x )的增区间为(0，1a )，减区间为(1
a
，＋∞).
综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)
当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，1a )，减区间为(1
a
，＋∞)。
例4.求函数f (x )＝a x －(a ＋1)l n (x ＋1)(a ≥－1)的单调区间.解：f (x )的定义域为(－1，＋∞)
f ′(x )＝a －a ＋1x ＋1＝
a x －1
x ＋1
当－1≤a ≤0时，a x －1≤0，即f ′(x )≤0∴f (x )的减区间为(－1，＋∞)
当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则x ＞1a ，令f ′(x )＜0，则－1＜x ＜1a
，∴f (x )的增区间为(1a ，＋∞)，减区间为(－1，1
a
).
综上所述：当－1≤a ≤0时，f (x )的减区间为(－1，＋∞)
当a ＞0时，f (x )的增区间为(1a ，＋∞)，减区间为(－1，1
a
).
例5.求函数f (x )＝x e k x
(k ≠0)的单调区间.解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝(1＋k x )e
k x
当k ＞0时，f (x )的增区间为(－1k ，＋∞)，减区间为(－∞，－1
k
).
当k ＜0时，f (x )的增区间为(－∞，－1k )，减区间为(－1
k
，＋∞).
综上所述：当k ＞0时，f (x )的增区间为(－1k ，＋∞)，减区间为(－∞，－1
k
).
当k ＜0时，f (x )的增区间为(－∞，－1k )，减区间为(－1
k
，＋∞).
例6.求函数f (x )＝x －a l n x (a ∈R )的单调区间.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝1－a x ＝
x －a
x
当a ≤0时，f ′(x )≥0，则f (x )的增区间为(0，＋∞)当a ＞0时，令f ′(x )＞0，则x ＞a ，令f ′(x )＜0，则0＜x ＜a ，∴f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a ).综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，＋∞).
当a ＞0时，f (x )的增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a ).重要方法二
一次函数型(一)
当导函数可表示为常见已知函数，(例如：e x
，x ＋1x ，1x
，x 2－2x )与一个常参数(例
如：a ，2k ，1
a
，－a )的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法
对参数进行分类讨论.重要方法三
一次函数型(二)二级分类法
当导函数为一次函数(一次项系数为参数)时，可用二级分类法
⑴判断最高次项系数的正负；
⑵判断一次方程的根与定义域端点值的大小.3.主导函数为“二次函数”型例1.求函数f (x )＝x 2－2x ＋a l n x 的单调区间.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2
x 2－2x ＋a x ＝
a －(－2x 2＋2x )x
当a ≥12
时，f ′(x )≥0，则f (x )的增区间为(0，＋∞)
当0＜a ＜1
2时，令f ′(x )＝0，则x 1＝1－1－2a 2，x 2
＝1＋1－2a 2
令f ′(x )＞0，则0＜x ＜1－1－2a 2，或x ＞
1＋1－2a 2令f ′(x )＜0，则1－1－2a 2＜x ＜1＋1－2a
2，
∴f (x )的增区间为(0，1－1－2a 2)和(1＋1－2a
2，＋∞)
减区间为(1－1－2a 2，1＋1－2a
2
)
当a ≤0时，令f ′(x )＞0，则x ＞1＋1－2a
2
，
令f ′(x )＜0，则0＜x ＜1＋1－2a
2
，
∴f (x )的增区间为(1＋1－2a 2，＋∞)，减区间为(0，1＋1－2a
2)
综上所述：当a ≥1
2
时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，
当0＜a ＜1
2时，f (x )的增区间为(0，1－1－2a 2)和(1＋1－2a 2
，＋∞)
减区间为(1－1－2a 2，1＋1－2a
2
)
当a ≤0时，f (x )的增区间为(1＋1－2a 2，＋∞)，减区间为(0，1＋1－2a
2
)
例2.求函数f (x )＝e
x
x 2＋k
(k ＞0)单调区间.解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝e x (x 2＋k )－2x e x (x 2＋k )2＝e x (x 2－2x ＋k )(x 2＋k )2＝
e x
[k －(－x 2＋2x )](x 2＋k )2
当k ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )的增区间为R
当0＜k ＜1时，令f ′(x )＝0，则x 1＝1－1－k ，x 2
＝1＋1－k 令f ′(x )＞0，则0＜x ＜1－1－k ，或x ＞1＋1－k 令f ′(x )＜0，则1－1－k ＜x ＜1＋1－k ，∴f (x )的增区间为(0，1－1－k )和(1＋1－k ，＋∞)减区间为(1－1－k ，1＋1－k )综上所述：当k ≥1时，f (x )的增区间为R ，
当0＜k ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－k )和(1＋1－k
，＋∞)减区间为(1－1－k ，1＋1－k
)
例3.讨论函数f (x )＝x －2
x
＋a (2－l n x )的单调性.
解：f (x )的定义域为(0,＋∞)
f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－a x ＋2x 2
＝
x ＋2x
－a
x 当a ≤22时，f ′(x )≥0，f (x )的增区间为(0,＋∞)
当a ＞22时，令f ′(x )＝0，则x 1＝a －a 2－82，x 2
＝a ＋a 2－8
2
令f ′(x )＞0，则0＜x ＜a －a 2－82，或x ＞
a ＋a 2－8
2令f ′(x )＜0，则a －a 2－82＜x ＜a ＋a 2－8
2，
∴f (x )的增区间为(0，a －a 2－82)和(a ＋a 2－8
2
，＋∞)
减区间为(a －a 2－82，a ＋a 2－8
2
)
综上所述：当a ≤22时，f (x )的增区间为(0,＋∞)，
当a ＞22时，f (x )的增区间为(0，a －a 2－82)和(a ＋a 2－8
2
，＋∞)
减区间为(a －a 2－82，a ＋a 2－8
2
)
重要方法四
二次函数型(一)
当导函数可表示为常见已知函数(例如：e x
，x ＋1x ，1x
，x 2－2x )与一个常参数(例如：
a ，2k ，1
a
，－a )的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参
数进行分类讨论.例如：2x 2－2x ＋a ，x ∈(0，＋∞)可化为a －(－2x 2＋2x )
x 2－2x ＋k ，x ∈R k －(－2x 2＋2x )
x 2－a x ＋2，x ∈(0，＋∞)x ＋2
x
－a
例4.求函数f (x )＝(x －k )2e
x e
k 的单调区间.
解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝[2x －2k ＋1k (x 2－2k x ＋k 2)]e x e k ＝1
k ((x 2－k 2)
e x
e
k
当k ＞0时，f (x )的增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)，减区间为(－k ，k ).当k ＜0时，f (x )的增区间为(k ，－k )，减区间为(－∞，k )和(－k ，＋∞).综上所述：当k ＞0时，f (x )的增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)，
减区间为(－k ，k ).
当k ＜0时，f (x )的增区间为(k ，－k )，
减区间为(－∞，k )和(－k ，＋∞).
例5.求函数f (x )＝l n x ＋a x 2＋x (a ∈R )的单调区间.解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝1
x ＋2a x ＋1＝
2a x 2＋x ＋1x 当a ≥0时，f ′(x )＞0，则f (x )的增区间为(0，＋∞).
当a ＜0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1＋1－8a 4a ，x 2
＝－1－1－8a 4a (此处x 1＜0＜x 2)，故将x 1舍去.
(注意：此处x 1·x 2
＝1
2a
＜0，可知一根为正，一根为负)令f ′(x )＞0，则0＜x ＜－1－1－8a 4a ，f (x )的增区间为(0，－1－1－8a
4a )
令f ′(x )＞0，则x ＞－1－1－8a 4a ，f (x )的减区间为(－1－1－8a
4a ，＋∞)
综上所述：当a ≥0时，f (x )的增区间为(0，＋∞).
当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，－1－1－8a
4a )，
减区间为(－1－1－8a
4a
，＋∞).
例6.求函数f (x )＝a (x －1
x
)－2l n x 的单调区间.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝
a
x 2－2x ＋a x 2
当a ≤0时，f ′(x )＜0，则f (x )的减区间为(0，＋∞).(注意：此处a x 2＜0，－2x ＜0，a ＜0，故a x 2－2x ＋a ＜0)
当a ＞0时，由a x 2－2x ＋a ＝0，得△＝4－4a 2⑴当△≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)
⑵当△＞0，即0＜a ＜1时，令f ′(x )＝0，则x 1＝1－1－a 2a ，x 2
＝1＋1－a 2a 令f ′(x )＞0，则0＜x ＜1－1－a 2a 或x ＞
1＋1－a 2
a 令f ′(x )＜0，则1－1－a 2a ＜x ＜
1＋1－a 2
a
∴f (x )的增区间为(0，1－1－a 2a )和(1＋1－a 2
a ，＋∞)
减区间为(1－1－a 2a ，1＋1－a 2
a
)
综上所述：当a ≤0时，f (x )的减区间为(0，＋∞).
当0＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－1－a 2a )和(1＋1－a 2
a
，＋∞)
减区间为(1－1－a 2a ，1＋1－a 2
a
)
当a ≥1时，f (x )的增区间为(0，＋∞)
例7.求函数f (x )＝a l n x ＋x －1
x ＋1
的单调区间.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞).
f ′(x )＝a x ＋2
(x ＋1)2＝a (x ＋1)2＋2x x (x ＋1)2＝
a x 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2
⑴当a ≥0时，f ′(x )＞0，∴f (x )的增区间为(0，＋∞).(注：此处因a ≥0，x ＞0，所以a x 2＞0，(2a ＋2)x ＞0，a ＞0，即f ′(x )＞0)⑵当a ＜0时，由a x 2＋(2a ＋2)x ＋a ＝0，得△＝8a ＋4
①当△≤0即a ≤－1
2时，f ′(x )＜0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞).
②当△＞0即－1
2
＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，
则x 1＝－(a ＋1)－2a －1a ，x 2
＝－(a ＋1)＋2a －1
a
(注：此处由x 1＋x 2＝1＞0，x 1·x 2
＝－2a ＋2a ＝－2－2
a
＞0，则x 1＞0，x 2＞0)
令f ′(x )＞0，则0＜x ＜－(a ＋1)－2a －1a 或x ＞
－(a ＋1)＋2a －1
a 令f ′(x )＜0，则－(a ＋1)－2a －1a ＜x ＜
－(a ＋1)＋2a －1
a
∴f (x )的增区间为(0，－(a ＋1)－2a －1a )和(－(a ＋1)＋2a －1
a ，＋∞)
减区间为(－(a ＋1)－2a －1a ，－(a ＋1)＋2a －1
a )
综上所述：当a ≥0时，f (x )的增区间为(0，＋∞).
当－12
＜a ＜0时，
f (x )的增区间为(0，－(a ＋1)－2a －1a )和(－(a ＋1)＋2a －1
a ，＋∞)
减区间为(－(a ＋1)－2a －1a ，－(a ＋1)＋2a －1
a )
当a ≤－1
2
时，f (x )的减区间为(0，＋∞)
重要方法五
二次函数型(二)
当二次函数的最高次项系数含有字母时，且不能进行因式分解
⑴判断最高次项系数与零的关系，分为三类
a ＝0，a ＞0，a ＜0⑵当a ＝0时，很容易判断正负；当a ＞0时，可考虑每一项都为正，从而导数大于0；当a ＜0时，考虑△及根与定义域端点值的大小.
例如：x 2－k x (k ≠0)；
2a x 2＋x ＋1，x ∈(0，＋∞)；a x 2－2x ＋a ，x ∈(0，＋∞)；a x 2＋(2a ＋2)x ＋a ，x ∈(0，＋∞)；
例8.求函数f (x )＝(1－a )l n x －x ＋a
2
x 2的单调区间.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝1－a
x －1＋a x ＝a x 2－x ＋1－a x ＝
(x －1)[a x ＋(a －1)]x
(注1：此处主导函数为g (x )＝a x 2－x ＋1－a 的△＝(2a －1)2≥0)
(注2：分类讨论的思想依据①最高次的系数a ＝0；②△＝0，则a ＝12
；③对应方
程的两个根相等，即1＝
1－a a ，则a ＝1
2
；④让其中的根和区间端点相等，即0＝1－a a ，即a ＝1。至此，a 的取值被分成了7类，即a ＜0，a ＝0，0＜a ＜12，a ＝1
2
，
12
＜a ＜1，a ＝1，a ＞1)⑴当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)
(注3：此处1－a
a
＜0＜1)
⑵当a ＝0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)
⑶当0＜a ＜1
2
时，f (x )的增区间为(0，1)和(1－a a ，＋∞)，减区间为(1，1－a a )
(注4：此处0＜1＜1－a
a
)
⑷当a ＝1
2
时，f (x )的增区间为(0，＋∞)
⑸当1
2＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－a a )和(1，＋∞)，减区间为(1－a a ，1)
(注5：此处0＜
1－a
a
＜1)⑹当a ＝1时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)
(注6：此处1－a
a
＜0＜1)
⑺当a ＞1时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)(注7：⑴⑵类可以合并，⑹⑺可以可并)综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)
当0＜a ＜1
2
时，f (x )的增区间为(0，1)和(1－a a ，＋∞)，减区间为(1，1－a a )
当a ＝12
时，f (x )的增区间为(0，＋∞)
当1
2
＜a ＜1时，f (x )的增区间为(0，1－a a )和(1，＋∞)，减区间为(1－a a ，1)
当a ＝1时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)。
例9.求函数f (x )＝1
2
a x 2－(2a ＋1)x ＋2l n x 的单调区间.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝a x －(2a ＋1)＋2x ＝a
x 2－(2a ＋1)x ＋2x ＝
(x －2)(a x －1)x
(注1：此处主导函数是y ＝a x 2－(2a ＋1)x ＋2，△＝(2a ＋1)2－8a ＝(2a －1)2≥0，故主导函数是可以因式分解的)
(注2：分类的思想①a ＝0；②△＝0，即a ＝12；③两根相等1a ＝2，即a ＝1
2
；④其
中一根与端点相等，即1a ＝0，则0和1
2
就可以将数轴分成5部分，即需要分成5
类)
⑴当a ≤0时，f (x )的增区间是(0，2)，减区间(2，＋∞)
⑵当0＜a ＜12
时，f (x )的增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间(2，1
a )
⑶当a ＝1
2时，f (x )的增区间是(0，＋∞)
⑷当a ＞12
时，f (x )的增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间(1
a ，2)
综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间是(0，2)，减区间(2，＋∞)
当0＜a ＜12
时，f (x )的增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间(2，1
a )
当a ＝12时，f (x )的增区间是(0，＋∞)
当a ＞12
时，f (x )的增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间(1a ，2)
例10.求函数f (x )＝l n x －a x ＋1－a x －1，a ≤1
2的单调区间.
重要方法六
二次函数型(三)
当二次函数的判别式△≥0时，可采用四级分类法.
⑴判断最高次项系数与零的关系.⑵判断根的判别式与零的关系.⑶两根的大小比较.
⑷根与定义域端点值的大小比较.例如：a x 2－x ＋(1－a )，x ∈(0，＋∞)；
－a x 2＋x ＋a －1，x ∈(0，＋∞)；a x 2＋(2a ＋1)x ＋2，x ∈(0，＋∞)；
例11.求函数f (x )＝x e x
－a (12
x 2＋x )的单调区间.
解：f (x )的定义域为R
f ′(x )＝(1＋x )e x －a (1＋x )＝(x ＋1)(e x
－a )⑴当a ≤0时，令f ′(x )＞0，则x ＞－1；令f ′(x )＜0，则x ＜－1；∴f (x )增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)⑵当a ＜0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2
＝l n a ①当a ＞1
e 时，
f (x )的增区间是(－∞，－1)和(l n a ，＋∞)，减区间(－1，l n a )
②当a ＝1
e 时，
f (x )的增区间是R
③当a ＜1
e
时，f (x )的增区间是(－∞，l n a )和(－1，＋∞)，减区间(l n a ，－1)
综上所述：当a ≤0时，f (x )增区间为(－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)
当a ＞1e
时，f (x )的增区间是(－∞，－1)和(l n a ，＋∞)，减区间(－1，l n a )
当a ＝1e
时，f (x )的增区间是R
当0＜a ＜1
e
时，f (x )的增区间是(－∞，l n a )和(－1，＋∞)，减区间(l n a ，－1)
例12.求函数f (x )＝(x －a )s i n x ＋c o s x ，x ∈(0，π)，a ＞π
2
的单调区
解：f (x )的定义域为(0，π)
f ′(x )＝s i n x ＋(x －a )c o s x －s i n x ＝(x －a )c o s x
⑴当a ≥π时，令f ′(x )＞0，则x ∈(π2，π)；令f ′(x )＜0，则x ∈(0，π
2
)
∴f (x )的增区间为(π2，π)，减区间为(0，π
2
)
⑵当π2＜a ＜π时，f (x )的增区间为(π2，a )，减区间为(0，π2
)和(a ，π)
综上所述：当a ≥π时，f (x )的增区间为(π2，π)，减区间为(0，π
2
)
当π2＜a ＜π时，f (x )的增区间为(π2，a )，减区间为(0，π2
)和(a ，π)例13.求函数f (x )＝(a x 2－x )l n x －1
2
a x 2＋x (a ∈R )的单调区间.
解：f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝(2a x －1)l n x ＋a x －1－a x ＋1＝(2a x －1)l n x ⑴当a ≤0时，f (x )的增区间是(0，1)，减区间是(1，＋∞)⑵当a ＞0时
①当12a ＜1，即a ＞12时，f (x )的增区间是(0，12a
)和(1，＋∞)，
减区间是(1
2a
，1)
②当12a ＝1，即a ＝12时，f (x )的增区间是(0，＋∞)
③当12a ＞1，即0＜a ＜12时，f (x )的增区间是(0，1)和(12a
，＋∞)，
减区间是(1，1
2a
)
综上所述：当a ≤0时，f (x )的增区间是(0，1)，减区间是(1，＋∞)
当a ＞12时，f (x )的增区间是(0，12a )和(1，＋∞)，减区间是(12a ，1)
当a ＝12
时，f (x )的增区间是(0，＋∞)
当0＜a ＜12时，f (x )的增区间是(0，1)和(12a ，＋∞)，减区间是(1，1
2a )
重要方法七
二次函数型(四)
主导函数类似于二次函数形式.
例如：f ′(x )＝(x ＋1)(e x
－a )；
f ′(x )＝(x －a )c o s x ，x ∈(0，π)，a ＞π
2
；
f ′(x )＝(2a x －1)l n x ，x ∈(0，＋∞)；4.已知函数单调性，求参数范围
例1.函数f (x )＝e
x
a x 2＋1
(a ＞0)为R 上单调函数，求a 的取值范围.
解：f ′(x )＝
e x
(a x 2－2a x ＋1)
(a x 2＋1)2
∵函数y ＝a x 2－2a x ＋1恒过点(0，1)f (x )在R 上单调∴f ′(x )≥0在R 上恒成立，即a x 2－2a x ＋1≥0在R 上恒成立⑴当a ＝0时，符合题意⑵当a ＜0时，不符合题意⑶当a ＞0时，只需△＝4a 2－4a ≤0，即0＜a ≤1综上所述：a 的取值范围为[0，1]
例2.函数f (x )＝l n x ＋1
x
＋a x (a ∈R )在[2,＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围.
解：f ′(x )＝1x －1
x 2
＋a
⑴若f (x )在[2,＋∞)上是单调递增，
则f ′(x )＝1x －1
x 2＋a ≥0在[2,＋∞)上恒成立
∴a ≥1x 2－1x ，x ∈[2,＋∞)
令t ＝1x ，则y ＝t 2－t ，t ∈(0，12]，则y ∈[－14,0)
∴a ≥0⑵若f (x )在[2,＋∞)上是单调递减，
则f ′(x )＝1x －1
x 2＋a ≤0在[2,＋∞)上恒成立
∴a ≤1x 2－1x ，x ∈[2,＋∞)
令t ＝1x ，则y ＝t 2－t ，t ∈(0，12]，则y ∈[－14,0)
∴a ≤－
1
4
综上所述：a ∈(－∞，－1
4
]∪[0,＋∞)
注：以上两题是不明确函数是增函数还是减函数.
例3.函数f (x )＝x e k x
在(－1,1)内单调递增，求k 的取值范围.
解：f ′(x )＝(1＋k x )e
k x
第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .
高考倒计时30天：数学要牢记九个核心考点_知识点总结 现在离高考时间非常近，在有限的时间里，我们复习肯定要有侧重点。关注核心考点非常重要，核心考点包括九个核心的知识点：函数、三角函数，平面向量，不等式，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，导数。这些内容非常重要。当然每章当中还有侧重，比如说拿函数来讲，函数概念必须清楚，函数图象变换是非常重要的一个核心内容。此外就是函数的一种性质问题，单调性、周期性，包括后面我们还谈到连续性问题，像这些性质问题是非常重要的。连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点，我想这些内容特别值得我们在后面要关注的。 再比如说像解析几何这个内容，不管理科还是文科，像直线和圆肯定是非常重要的一个内容。理科和文科有一点差别了，比如说圆锥曲线方面，椭圆和抛物线理科必须达到的水平，双曲线理科只是了解状态就可以了。而文科呢？椭圆是要求达到理解水平，抛物线和双曲线只是一般的了解状态就可以了。这里需要有侧重点。 拿具体知识来讲，比如说直线当中，两条直线的位置关系，平行、垂直的关系怎么判断应该清楚。直线和圆的位置关系应该清楚，椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，参数之间的关系，再比如直线和椭圆的位置关系，这是值得我们特别关注的一个重要的知识内容。这是从我们的一个角度来说。 我们后面有六个大题，一般是侧重于六个重要的板块，因为现阶段不可能一个章节从头至尾，你没有时间了，必须把最重要的知识板块拿出来，比如说数列与函数以及不等式，这肯定是重要板块。再比如说三角函数和平面向量应该是一个，解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个。再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形，这肯定是重要板块。再后面是概率统计，在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起，最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式，四部分内容综合在一起。 应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块来进行。这六个板块肯定是我们的核心内容之一。再比如说现在我们高考当中要体现对数学思想方法的考察，数学思想方法以前考察四个方面，函数和方程思想，数形结合思想，分类讨论，等价转换，现在又增加了三个，原来这四个方面当中有两类做了改造。函数和方程思想，数形结合思想，分类讨论改成了分类讨论与整合，等价转换转为划归与转化。有限和无限思想，特殊和一般的思想。 像北京往年考了一道题，一个班里面设计一个八边形的班徽，给了等腰三角形边长为一，现在让你考虑面积多大，按照常规说法，肯定需要考虑四个三角形面积，二分之一乘上一再乘上一，再乘上四，中间还是正方形，利用余弦定理求等腰三角形底边的平方就可以了，最后再一加就是我们要的面积。这个问题并不是很麻烦，不管怎么说肯定需要计算，你至少知道三角形面积怎么求，还得考虑余弦定理，再相加还有运算问题，说不定哪个地方没有记准，可能出现这样那样的问题。
几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分： 年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点： 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式
二.典例分析： 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别 作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，
即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由． 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．
导数与函数的极值、最值考点与题型归纳 考点一 利用导数研究函数的极值 考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 [例1] 已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数 f (x )的极值． [解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x . ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值； 当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． [例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1 x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)． 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤8 9时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0， 函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞8 9 时，Δ＞0， 设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，
2020年高考数学（理） 函数和导数 知识点归纳汇总
目录 基本初等函数性质及应用 (3) 三角函数图象与性质三角恒等变换 (17) 函数的图象与性质、函数与方程 (43) 导数的简单应用与定积分 (60) 利用导数解决不等式问题 (81) 利用导数解决函数零点问题 (105)
基本初等函数性质及应用 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1 9 ，则f (x )的单调递 减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－1 3 (舍去)，即f (x )＝ 4 231-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在 (－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝? ???? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0， 3x 2 ＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)
考点十一： 导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例 1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数 ()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】D 【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且导函 C.
数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项. 【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二 质检】函数()2 sin 20142 x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ） A. B. C. D.
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
常见函数的导数 学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的 思想并熟悉具体的操作步骤。 学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数 一、 知识点梳理 1. 基本初等函数，有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠， a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－ 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 二、典例讲解 例1、求下列函数导数。 练习：（1）5 -=x y （2） 、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3 l o g = （5）、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ，，， （6）、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ，0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y
函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论
函数与导数核心考点与题型：二阶导数 高中数学中，导数最大的作用是判断复杂函数的单调性。在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接得出导函数的正负，因此无法判断原函数的单调性。可对“主导”函数再次求导，通过判断f ′′(x)的符号，来判断f ′(x)的单调性。“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。 例1.讨论函数f (x )＝(x ＋1)lnx －x ＋1的单调性. 解析：f (x )的定义域为(0，＋∞) f ′(x )＝lnx ＋x ＋1x －1＝lnx ＋1x 令φ(x )＝lnx ＋1x (x ＞0)，则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2 令φ(x )＞0，则x ＞1；令φ(x )＜0，则0＜x ＜1， ∴φ(x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增. ∴φ(x )≥φ(0)＝1＞0，从而f ′(x )＞0 ∴f (x )在(0，＋∞)上递增. 例2. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。 解析：22255()(3)123(3)122 x f x x a x e x x x a x ≥+-+?+-≥+-+， 则2112x e x a x --≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x --=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12 x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x > 恒成立，即17()()028h x h ≥=> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2 +∞ 上单调递增，min 19()g()24 g x == 所以94 a ≤-
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1
§ 3.2 几种常见函数的导数 课时安排 1课时 从容说课 本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用. (1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是x x x x x x f x x f n n ?-?+=?-?+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---?++??+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-?+-+-=-- ， 1112110)1()1(------++-?-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题. (2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim 0=→?x x x ，根据学生的情况可以补充证明. 第五课时 课 题 § 3.2 几种常见函数的导数 教学目标 一、教学知识点 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=-sin x 5.变化率 二、能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 三、德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. 教学重点
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是 近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步计算函数 f (x) 的定义域并求出函数 f ( x) 的导函数f'(x)； 第二步求方程 f ' ( x) 0 的根； 第三步判断 f ' ( x) 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值 . 例 1已知函数 f ( x) 1 ln x ，求函数f x的极值. x 【答案】极小值为 1 ，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 f ' ( x)0 ，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0 即可判断函数 f ( x)的增减性，进而求出函数 f (x) 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数 f ( x) x 322 在 x1 处有极值 10 ，则等于（ ）ax bx a f (2) A．11 或 18B．11C． 18D． 17 或 18【答案】 C 【解读】
试卷分析： f ( x) 3x 2 2ax b , 3 2a b 0 b 3 2a a 4 或 a 3 1 a b a 2 10 a 2 a 12 0 ．? b 11 b 3 当 a 3 时 , f (x) 3( x 1)2 0, 在 x 1 处 不 存 在 极 值 ． ? 当 a 4 时 ， b 3 b 11 f (x) 3x 2 8x 11 (3x 11)( x 1) ， x ( 11 ,1), f ( x) 0 ；x (1, ), f ( x) 0 ,符合题意．所 3 以 a 4 ． f (2) 8 16 22 16 18 ．故选 C ． b 11 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练 2】设函数 f x ln x 1 ax 2 bx ，若 x 1 是 f x 的极大值点，则 a 的取值范围为 2 （ ） A ． 1,0 B ． 1, C ． 0, D ． , 1 U 0, 【答案】 B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练 3】函数 f x 1 x 3 1 (m 1) x 2 2(m 1) x 在 (0,4) 上无极值，则 m _____. ( ) 3 2 【答案】 3 【解读】 试卷分析：因为 f (x) 1 x 3 1 (m 1)x 2 2(m 1) x ， 3 2 所以 f '(x) x 2 (m 1)x 2(m 1) x 2 x m 1 ，由 f ' x 0 得 x 2 或 x m 1，又因为
《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
2021届全国新高考数学备考复习 导数与函数核心考点 目录 题型一切线型 1.求在某处的切线方程 2.求过某点的切线方程 3.已知切线方程求参数 题型二单调型 1.主导函数需“二次求导”型 2.主导函数为“一次函数”型 3.主导函数为“二次函数”型 4.已知函数单调性，求参数范围 题型三极值最值型 1.求函数的极值 2.求函数的最值 3.已知极值求参数 4.已知最值求参数 题型四零点型 1.零点(交点，根)的个数问题 2.零点存在性定理的应用 3.极值点偏移问题 题型五恒成立与存在性问题 1.单变量型恒成立问题 2.单变量型存在性问题 3.双变量型的恒成立与存在性问题 4.等式型恒成立与存在性问题 题型六与不等式有关的证明问题 1.单变量型不等式证明 2.含有e x与lnx的不等式证明技巧 3.多元函数不等式的证明 4.数列型不等式证明的构造方法
题型一 切线型 1.求在某处的切线方程 例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x 2 e x 在点(1， f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝3x 2e x ，得f ′(x )＝6x －3x 2e x ，切点为(1，3e ) ，斜率为f ′(1)＝3 e 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3 e ； ∴切线方程为y －3e ＝3 e (x －1)，即3x －ey ＝0. 例2.求f (x )＝e x (1 x ＋2)在点(1，f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x 2＋1 x ＋2) 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ； ∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0. 例3.求f (x )＝ln 1－x 1＋x 在点(0，f (0))处的切线方程. 解：由f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －1 1＋x 由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2； ∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0. 例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x 2 4 与 直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程. 解：由题意得：a =x 2 4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )， 由f (x )＝x 24，得f ′(x )＝x 2， 当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ， 此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0； 当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ， 此时切线方程为：ax －y －a ＝0；
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数， 这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量
核心考点一 集合、逻辑用语、函数、导数与不等式 第1课时 集合与逻辑用语 1．(2012年山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(?U A )∪B 为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4} 2．(2012年陕西)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2 ≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2] 3．(2012年湖南)命题“若α＝π 4 ，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π 4，则tan α≠1 B ．若α＝π 4 ，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π 4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 4．(2012年湖北)命题“?x 0∈?R Q ，x 3 0∈Q ”的否定是( ) A ．?x 0??R Q ，x 30∈Q B ．?x 0∈?R Q ，x 3 0?Q C ．?x ??R Q ，x 3∈Q D ．?x ∈?R Q ，x 3 ?Q 5．(2012年广东广州一模)已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x ‖x －a |≤1}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为________． 6．(2012年福建)下列命题中，真命题是( ) A ．?x 0∈R ，e 0x ≤0 B ．?x ∈R,2x >x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 7．(2012年新课标)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A ．3个 B ．6个 C ．8个 D ．10个 8．(2011年安徽合肥一模)若A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2 －ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 9．命题p ：关于x 的不等式x 2 ＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． 10．已知p ：x －5x －3 ≥2，q ：x 2 －ax ≤x －a .若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范 围．
导数章节涉及的19个必考点全梳理
必考点1 导数的概念 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 0000()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=??为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ?→?→+?-?==??. 2．函数f (x )的导函数 称函数0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-=?为f (x )的导函数． 例题1 一质点运动的方程为283s t =-. （1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度； （2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【解析】（1）∵2 83s t =-，∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3× 12)=-6Δt -3(Δt)2 ，63s v t t - ?==--??. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00 lim lim(63)6t t s v t t ?→?→?==--?=-?求导法：质点在t 时刻瞬时速度 2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6. 【小结】 1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-； ②求平均变化率 00()() f x x f x y x x +?-?=??； ③得导数00()lim x y f x x ?→?'=?，简记作：一差、二比、三极限. 2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数