高三第一次月考数学(理)试卷
第I 卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 A .
125
81
B .125
54 C .
125
36 D .
125
27
(2)lim
n →∞
2
123n
n
++++ =
A . 2
B .
2
1 C .4 D .0
(3)随机变量ξ的的分布列如下,则m= A
3
1 B 2
1 C 6
1 D.4
1
(4)某路段检查站监控录象显示,在某时段内,有1000辆汽车通过该站,现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析,分析的结果表示为如下图的频率分布直方图,则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有
A .100辆
B .200辆
C .300辆
D .400辆
(5)已知随机变量ξ服从正态分布2
(2)N σ,,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤ A .0.16 B .0.32 C .0.68 D ,0.84
(6)设ξ是随机变量,且(10)40D ξ=,则()D ξ等于
A. 0.4
B. 4
C. 40
D. 400
(7) 有N 件产品,其中有M 件次品,从中不放回地抽n 件产品,抽到的次品数的数学期望值是
A. n
B. (1)
M n N
- C. M n
N
D. (1)
M n N
+
(8)某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采用分层抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A .15,5,25 B .15,15,15 C .10,5,30 D .15,10,20 (9) (x x –
x
1)6的展开式中的第五项是
2
15, S n = x –1 + x –2 + … + x – n , 则∞
→n lim S n 等于
60 70 80 90 100 110
A .1
B .
2
1 C .
4
1 D .
6
1
(10) 用数学归纳法证明“))(12(5312)()2)(1(+∈-???=+++N n n n n n n n ”时,从k n =到1+=k n ,给等式的左边需要增乘的代数式是 ( ) A.12+k B.
1
12++k k C.1
32++k k D.1
)
22)(12(+++k k k
第II 卷(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. (11).2
2
1
1lim 21
x x x x →-=-- .
(12)=-→
x
x x cos sin 1lim
2
π
.
(13) 3)1
1
(
lim 2
=++++∞
→b an n n
n ,则a +b=
(14)f (x )在x =1处连续,且1
()lim
1
x f x x →-=2,则f (1)等于 .
(15)随机变量ξ的分布列如下:
其中a b c ,,成等差数列,若13
E ξ=
,则D ξ的值是 .
(16).n
n
n 2
2
8421lim +++++∞
→ 的值为
(17)a n 是(3-x )n
的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…),则
lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)
a n
)=
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(18)(本题14分)已知函数)R (2sin 3cos 2)(2
∈++
=a a x x x f .
(1)若x ∈R ,求f (x )的单调递增区间;
(2)若x ∈[0,2
π]时,f (x )的最大值为4,求a 的值,并指出这时x 的值
(19)(本题14分)若随机事件A在一次试验中发生的概率为P ( 0<P<1 ),用随机变量ξ表示A在一次试验中发生的次数. (1) 求方差D ξ的最大值; (2) 求21D E ξξ
-的最大值.
20. (本题满分14分)
已知测量误差2~(2,10)N ξ(单位:㎝ ),(1)0.8413,(0.6)0.7257Φ=Φ=. (1) 求一次测量中误差的绝对值不超过8 ㎝ 的概率;
(2) 必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的误差的绝对值不超过8 ㎝ 的概率大于
0.9 ?
21. (本题满分15分)
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为ξ,求随机变量ξ的期望
22. (本题满分15分) 已知数列{n a }中5
31=
a ,1
12--
=n n a a (n ≥2,+∈N n ),数列}{n b ,满足1
1-=
n n a b (+∈N n )
(1)求证数列{n b }是等差数列;
(2)求数列{n a }中的最大项与最小项,并说明理由;
(3)记++=21b b S n …n b +,求1
)1(lim +-∞
→n n
S b n n .
附:答案
二、填空题:(本题有7小题, 每小题4分,共28分)
11. 2/3
12. O 13. 3 14. 0 15. 5/9 16. 2 17. 18
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题14分)
解析:(1)a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(.
解不等式2
ππ26
π22
ππ2+≤+≤-k x k .
得)Z (6
ππ3
ππ∈+
≤≤-
k k x k ------------(7’)
∴ f (x )的单调增区间为3ππ[-k ,)Z ](6
ππ∈+
k k . (2)∵ 0[∈x ,2
π], ∴
6
π76
π26
π≤+
≤x .
∴ 当2
π6π2=+
x 即6
π=
x 时,a x f +=3)(max .
∵ 3+a =4,∴ a =1,此时6
π=x .-------(7’)
19.(本题14分) (1) p = 12
时, D ξ的最大值为
14
-------(7’)
(2)2
P =
时,最大值为2-’)
20.(本题14分)
(1) 0.567 ------(7’)
(2) 至少 3 次 .----(7’) 21.(本题15分)
解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ,2A ,3A , (1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++
0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=??+??+??=.-----(7’)
(2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =, 所以~(30.3)B ξ,,
故30.30.9E np ξ==?=.---------------------(8’)
解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ,,,则
()()()0.3P A P B P C ===,
所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=,
2
(1)3(10.3)0.30.441P ξ==?-?=, 2
(2)30.30.70.189P ξ==??=, 3
(3)0.30.027P ξ===.
于是,()10.44120.18930.0270.9E ξ=?+?+?=. 22.(本题15分) 解析:(1)1
1
1211
1111-=
--
=-=
---n n n n n a a a a b ,
而 1
111-=
--n n a b ,
∴ 1111
1111=-=
-=
-----n n n n n a a a b b .)(+
∈N n
∴ {n b }是首项为2
511
11-
=-=
a b ,公差为1的等差数列.-----(5’)
(2)依题意有n
n b a 11=-,而5.31)1(2
5-=-+-
=?n n b n ,
∴ 5
.311-=
-n a n .
故当n =4时,5
.311-+
=n a n 取最大值3
故当n =3时,取最小值,3a =-1.---(5’)
(3)2
)
5)(1(2)2
5225)(1(1-+=
-+-
+=+n n n n S n ,5.3-=n b n ,
∴ ∞
→+∞
→=-+--=-n n n
n n n n n S b n 2)
5)(1()5.3)(1(2lim
)1(lim 1
.--------(5’