高三第一次月考数学（理）试卷
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 A ．
125
81
B ．125
54 C ．
125
36 D ．
125
27
（2）lim
n →∞
2
123n
n
++++ ＝
A ． 2
B ．
2
1 C ．4 D ．0
（3）随机变量ξ的的分布列如下，则m= A
3
1 B 2
1 C 6
1 D.4
1
（4）某路段检查站监控录象显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有
A ．100辆
B ．200辆
C ．300辆
D ．400辆
（5）已知随机变量ξ服从正态分布2
(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤ A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84
（6）设ξ是随机变量,且(10)40D ξ=,则()D ξ等于
A. 0.4
B. 4
C. 40
D. 400
（7） 有N 件产品,其中有M 件次品,从中不放回地抽n 件产品,抽到的次品数的数学期望值是
A. n
B. (1)
M n N
- C. M n
N
D. (1)
M n N
+
（8）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 A ．15，5，25 B ．15，15，15 C ．10，5，30 D ．15，10，20 （9） (x x –
x
1)6的展开式中的第五项是
2
15, S n = x –1 + x –2 + … + x – n , 则∞
→n lim S n 等于
60 70 80 90 100 110
A ．1
B ．
2
1 C ．
4
1 D ．
6
1
（10） 用数学归纳法证明“))(12(5312)()2)(1(+∈-???=+++N n n n n n n n ”时，从k n =到1+=k n ，给等式的左边需要增乘的代数式是 ( ) A.12+k B.
1
12++k k C.1
32++k k D.1
)
22)(12(+++k k k
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）.2
2
1
1lim 21
x x x x →-=-- .
（12）=-→
x
x x cos sin 1lim
2
π
.
（13） 3)1
1
(
lim 2
=++++∞
→b an n n
n ，则a ＋b=
(14)f (x )在x ＝1处连续，且1
()lim
1
x f x x →-＝2，则f (1)等于 .
（15）随机变量ξ的分布列如下：
其中a b c ，，成等差数列，若13
E ξ=
，则D ξ的值是 ．
（16）．n
n
n 2
2
8421lim +++++∞
→ 的值为
（17）a n 是(3－x )n
的展开式中x 项的系数(n ＝2，3，4，…)，则
lim n →∞(32a 2＋33a 3＋ (3)
a n
)＝
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（18）（本题14分）已知函数)R (2sin 3cos 2)(2
∈++
=a a x x x f ．
（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；
（2）若x ∈[0，2
π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值
（19）（本题14分）若随机事件Ａ在一次试验中发生的概率为Ｐ ( ０<Ｐ<１ ),用随机变量ξ表示Ａ在一次试验中发生的次数. (1) 求方差D ξ的最大值; (2) 求21D E ξξ
-的最大值.
20. (本题满分14分)
已知测量误差2~(2,10)N ξ(单位:㎝ ),(1)0.8413,(0.6)0.7257Φ=Φ=. (１) 求一次测量中误差的绝对值不超过8 ㎝ 的概率;
(２) 必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的误差的绝对值不超过8 ㎝ 的概率大于
0.9 ?
21. (本题满分15分)
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望
22. (本题满分15分) 已知数列{n a }中5
31=
a ，1
12--
=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足1
1-=
n n a b （+∈N n ）
（1）求证数列{n b }是等差数列；
（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）记++=21b b S n …n b +，求1
)1(lim +-∞
→n n
S b n n ．
附：答案
二、填空题：(本题有7小题, 每小题4分，共28分)
11. 2/3
12. O 13. 3 14. 0 15. 5/9 16. 2 17. 18
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．(本题14分)
解析：（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(．
解不等式2
ππ26
π22
ππ2+≤+≤-k x k ．
得)Z (6
ππ3
ππ∈+
≤≤-
k k x k ------------(7’)
∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6
ππ∈+
k k ． （2）∵ 0[∈x ，2
π]， ∴
6
π76
π26
π≤+
≤x ．
∴ 当2
π6π2=+
x 即6
π=
x 时，a x f +=3)(max ．
∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6
π=x ．-------(7’)
19．(本题14分) (1) p = 12
时, D ξ的最大值为
14
-------(7’)
(２)2
P =
时,最大值为2-’)
20．(本题14分)
(1) 0.567 ------(7’)
(2) 至少 3 次 .----(7’) 21．(本题15分)
解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++
0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=??+??+??=．-----(7’)
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，，
故30.30.9E np ξ==?=．---------------------(8’)
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则
()()()0.3P A P B P C ===，
所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，
2
(1)3(10.3)0.30.441P ξ==?-?=， 2
(2)30.30.70.189P ξ==??=， 3
(3)0.30.027P ξ===．
于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=?+?+?=． 22．(本题15分) 解析：（1）1
1
1211
1111-=
--
=-=
---n n n n n a a a a b ，
而 1
111-=
--n n a b ，
∴ 1111
1111=-=
-=
-----n n n n n a a a b b ．)(+
∈N n
∴ {n b }是首项为2
511
11-
=-=
a b ，公差为1的等差数列．-----(5’)
（2）依题意有n
n b a 11=-，而5.31)1(2
5-=-+-
=?n n b n ，
∴ 5
.311-=
-n a n ．
故当n ＝4时，5
.311-+
=n a n 取最大值3
故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1．---(5’)
（3）2
)
5)(1(2)2
5225)(1(1-+=
-+-
+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，
∴ ∞
→+∞
→=-+--=-n n n
n n n n n S b n 2)
5)(1()5.3)(1(2lim
)1(lim 1
．--------(5’