全国各地高考数学试题
数列分类汇编精编
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2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则
=5a （ ）
A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
答案：B 解答：
1111113243
3(3)24996732022
a d a d a d a d a d a d ??+
?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-.
2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．
【答案】63n a n =-
【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-．
3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482S a d a d ?=+=+=，联立112724,61548
a d a d +=??
+=?解得4d =，故选C.
秒杀解析：因为166346()
3()482
a a S a a +=
=+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.
4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”
意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
【答案】B
5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）
A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =?，即()()()2
11125a d a d a d +=++
又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-
∴()616565
61622422
S a d ??=+
=?+?-=-，故选A.
6．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482S a d a d ?=+
=+=，联立11
2724,61548a d a d +=??
+=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()
3()482
a a S a a +=
=+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.
7.（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且
,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的
值等于________．
【答案】9
8.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）
A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =?，即()()()2
11125a d a d a d +=++
又∵11a =，代入上式可得220d d +=
又∵0d ≠，则2d =-
∴()616565
61622422
S a d ??=+
=?+?-=-，故选A. 9.（2016全国Ⅰ理）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）
（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97
【答案】C
【解析】：由已知,1
193627
,98a d a d +=??+=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 考点：等差数列及其运算
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一
10．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年
【答案】B
【解析】
试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1130 1.12n n a -=?，由题意，需
1130 1.12200n n a -=?≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200
万，选B.
考点：等比数列的应用.
11．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则
6S =_____________．
答案：63-
解答：依题意，1121,
21,n n n n S a S a ++=+??=+?作差得12n n a a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，又因
为11121a S a ==+，所以11a =-，所以1
2
n n a -=-，所以661(12)
6312
S -?-==--.
12.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2
2
a b =_______.
【答案】1
【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，那么
221312
a b -+== . 13.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知367
634
4
S S ==
,,则8a = .
【答案】32
【解析】当1q =时，显然不符合题意；
当1q ≠时，316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q
?-=?-??-?=?-?，解得1142a q ?=
???=?，则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项
14.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k S ==∑ 。 【答案】
21
n
n + 【解析】
试题分析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，
由题意有：1123
43
4102
a d a d +=??
??+=?? ，解得111a d =??=? ， 数列的前n 项和()()()111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=?+?=, 裂项有：
()121
1211k S k k k k ??==- ?++??
，据此： 11111111221......21223111n
k k n S n n n n =??????????=-+-++-=-= ? ? ? ??
?+++????
??????∑ 。
15．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列{}n a
满足121a a +=-，133a a -=-，则
4a =________．
【答案】8-
【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-??-=-?，即112
11
13a a q a a q +=-???-=-??①②， 显然1q ≠，10a ≠，
②
①
得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3
341128a a q ∴==?-=-．
16．（2016北京理）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则
6=S _______..
【答案】6
【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，
2d =-，
∴
616156615(2)6S a d =+=?+?-=，故填：6．
考点：等差数列基本性质.
【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.
17．（2016江苏） 已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若2
12
53,S =10a a +=-，则9a 的值是 .
【答案】20.
【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-?==+?= 考点：等差数列性质
【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如
*1()()
,(1,)22
n m t n n a a n a a S m t n m t n N ++=
=+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n m a a n m d =+-
18.（2016全国Ⅰ理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．
【答案】64
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=??+=?得,2
12
1(1)10(1)5a q a q q ?+=??+=??,解得1812a q =??
?=??.所以2(1)
1712(1)
22212
1
18()22n n n n n n n
n a a a a q
--++++-==?=,于是当3n =或4时,12
n a a a 取得最大值
6264=.
考点：等比数列及其应用
高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.
19. （2016上海文、理）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4
【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n 时，若2n S =，则12n S -=，于是
0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k 时，0k a =.其中数列
{}n a ：2,1,1,0,0,0,-???满足条件，所以max 4k =.
考点：数列的求和.
【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
20. （2016浙江理）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，
S 5= .
【答案】1 121
【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+?==，
再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥?-=?=≥，又213a a =，
所以5
15133(1),S 121.13
n n a a n +-=≥==-
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．
【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足
13n n a a +=，否则很容易出现错误．
21.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2
2a b =_______.
【答案】1
【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，那么
221312
a b -+== . 22.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知367
634
4
S S ==
,,则8a = .
【答案】32
【解析】当1q =时，显然不符合题意；
当1q ≠时，316
1(1)7
14(1)6314a q q a q q ?-=?-??-?=?-?
，解得1142a q ?=
???=?，则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项
23.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k S ==∑ 。 【答案】
21
n
n + 【解析】
试题分析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，
由题意有：1123
43
4102
a d a d +=??
??+=?? ，解得111a d =??=? ， 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=?+?=
, 裂项有：
()121
1211k S k k k k ??==- ?++??
，据此： 11111111221......21223111n
k k n S n n n n =??????????=-+-++-=-= ? ? ? ??
?+++????
??????∑ 。 24．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列{}n a
满足121a a +=-，133a a -=-，则
4a =________．
【答案】8-
【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．
121313a a a a +=-??-=-?，即112
11
13a a q a a q +=-???-=-??①②， 显然1q ≠，10a ≠，
②
①
得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3
341128a a q ∴==?-=-．
25. （2016北京文）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，
414b a =.
（1）求}{n a 的通项公式；
（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.
【答案】（1）21n a n =-（1n =，2，3，???）；（2）2
31
2
-+n n
（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=． 因此1213n n n n c a b n -=+=-+．
从而数列{}n c 的前n 项和
2
312
n n -=+．
考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1=q 或1≠q )等.
26. （2016全国Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足
12111
==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，,.
（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.
【答案】（I ）31n a n =-（II ）1
31
.223
n --?
（II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ,得13n n b b +=
,因此{}n b 是首项为1,公比为1
3
的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ,则
27.（2016全国Ⅱ文）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ）23
5
n n a +=
；（Ⅱ）24.
试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得
12
1,5
a d ==，
所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=
. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??
=????
， 当n =1,2,3时，23
12,15
n n b +≤
<=； 当n =4,5时，23
23,25
n n b +≤
<=； 当n =6,7,8时，23
34,35
n n b +≤
<=； 当n =9,10时，23
45,45
n n b +≤
<=，
所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=. 考点：等差数列的性质 ，数列的求和.
【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错；
28. （2016全国Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中
[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．
（Ⅰ）求111101b b b ，，；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．
【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件
[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示
n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =
考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.
【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分
析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.
29.（2016全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2
11(21)20n
n n n a a a a ++---=. （I ）求23,a a ；
（II ）求{}n a 的通项公式.
【答案】（Ⅰ）41,2132==a a ；（Ⅱ）12
1
-=n n a ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将11a =代入递推公式求得2a ，将2a 的值代入递推公式可求得3a ；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{}n a 为等比数列，由此可求得数列{}n a 的通项公式．
试题解析：（Ⅰ）由题意得4
1
,2132==a a . .........5分
考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明
1
n n
a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明2
12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，
转化为等比数列或等差数列来求解．
30（2016全国Ⅲ理）已知数列}{n a 的前n 项和n n a S λ+=1，其中0λ≠． （I ）证明}{n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若3231
5=
S ，求λ． 【答案】（Ⅰ）
1
)
1(11---=
n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．
由01≠a ，0≠λ得
≠n a ，所以
1
1-=+λλ
n n a a .
因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是
1
)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(
1--=λλ
，由32315=S 得3231
)1(15=--λλ，即=
-5)1(λλ321， 解得1λ=-．
考点：1、数列通项
n
a 与前n 项和为
n
S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为
n
S ．
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1
n n a q
a +=（常数）；
（2）中项法，即证明
2
12
n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，
转化为等比数列或等差数列来求解．
31.（2016山东文）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且
1n n n a b b +=+.
（I ）求数列{}n b 的通项公式；
（II）令
1
(1)
(2)
n
n
n n
n
a
c
b
+
+
=
+
.求数列{}n c的前n项和n T.
【答案】（Ⅰ）1
3+
=n
b
n
;（Ⅱ）2
2
3+
?
=n
n
n
T
试题解析：（Ⅰ）由题意当2
≥
n时，5
6
1
+
=
-
=
-
n
S
S
a
n
n
n
，当1
=
n时，11
1
1
=
=S
a；所以5
6+
=n
a
n
；设数列的公差为d，由
?
?
?
+
=
+
=
3
2
2
2
1
1
b
b
a
b
b
a
，即
?
?
?
+
=
+
=
d
b
d
b
3
2
17
2
11
1
1，解之得3
,4
1
=
=d
b，所以1
3+
=n
b
n
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
1
2
)1
(3
)3
3(
)6
6(
=
-
?
+
=
+
+
=n
n
n
n
n
n
n
c，又
n
n
c
c
c
c
T+???+
+
+
=
3
2
1
，即
]
2)1
(
2
4
2
3
2
2[31
4
3
2+
+
+???+
?
+
?
+
?
=n
n
n
T
，所以]
2)1
(
2
4
2
3
2
2[3
22
5
4
3+
+
+???+
?
+
?
+
?
=n
n
n
T，以上两式两边相减得
2
2
2
1
4
3
22
3
]
2)1
(
1
2
)1
2(4
4[3
]
2)1
(
2
2
2
2
2[3+
+
+
+?
-
=
+
-
-
-
+
=
+
-
+???+
+
+
?
=
-n
n
n
n
n
n
n
n
n
T。所以2
2
3+
?
=n
n
n
T
考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.
32.（2016山东理）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且
1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .
【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+?=n n n T . 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.
试题解析：（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，
由???+=+=322211b b a b b a ，即???+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ，
所以13+=n b n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
1(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+?+， 又n n c c c c T +???+++=321，
得23413[223242(1)2]n n T n +=??+?+?+???++?，