同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案7-6
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习题7-6
1. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线5
1123-==-z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为
5
31124-=+=-z y x . 2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.
解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为
1
12243-=+=--x y x . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线?
??=++=+-421z y x z y x . 解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为 k j i k j i n n s 321
1211121++-=-=?=. 在方程组???=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得?
??=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.
所求直线的对称式方程为 3
2123+==--z y x ; 参数方程为
x =3-2t , y =t , z =-2+3t .
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4. 求过点(2, 0, -3)且与直线?
??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.
解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量, 即 k j i k j i n 1114162
53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=. 所平面的方程为
-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0,
即 16x -14y -11z -65=0.
5. 求直线???=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线???=-++=+-+0
188302322z y x z y x 的夹角的余弦.
解 两直线的方向向量分别为 k j i k j i s -+=--=431
233351, k j i k j i s 105101
831222+-=-=. 两直线之间的夹角的余弦为 ||||) ,cos(2121^21s s s s s s ??=
010
)5(10)1(4310)1()5(4103222222=+-+-++?-+-?+?=. 6. 证明直线???=++-=-+7272z y x z y x 与直线?
??=--=-+028363z y x z y x 平行.
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解 两直线的方向向量分别为 k j i k j i s 531
121211++=--=, k j i k j i s 15391
123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.
7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.
解 因为两平面的法线向量n 1=(1, 0, 2)与n 2=(0, 1, -3)不平行, 所以两平面相交于一直线, 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s , 即 k j i k j i s ++-=-=323
10201. 所求直线的方程为 1
4322-=-=-z y x . 8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线1
2354z y x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线1
2354z y x =+=-的方向向量s 1=(5, 2, 1)垂直. 因为点(3, 1, -2)和(4, -3, 0)都在所求的平面上, 所以所求平面的法线向量与向量s 2=(4, -3, 0)-(3, 1, -2)=(1, -4, 2)也是垂直的. 因此所求平面的法线向量可取为
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4112521--=-=?=. 所求平面的方程为
8(x -3)-9(y -1)-22(z +2)=0,
即 8x -9y -22z -59=0.
9. 求直线?
??=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角. 解 已知直线的方向向量为 )2(22421
11311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i k j i s -+=-+=--=--?=, 已知平面的法线向量为n =(1, -1, -1).
因为
s ?n =2?1+4?(-1)+(-2)?(-1)=0,
所以s ⊥n , 从而直线?
??=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角为0. 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系: (1)3
7423z y x =-+=-+和4x -2y -2z =3; 解 所给直线的方向向量为s =(-2, -7, 3), 所给平面的法线向量为n =(4, -2, -2).
因为s ?n =(-2)?4+(-7)?(-2)+3?(-2)=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(-3, -4, 0)不满足平面方程4x -2y -2z =3, 所以所给直线不在所给平面上. (2)7
23z y x =-=和3x -2y +7z =8;
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解 所给直线的方向向量为s =(3, -2, 7), 所给平面的法线向量为n =(3, -2, 7).
因为s =n , 所以所给直线与所给平面是垂直的. (3)4
31232--=+=-z y x 和x +y +z =3. 解 所给直线的方向向量为s =(3, 1, -4), 所给平面的法线向量为n =(1, 1, 1).
因为s ?n =3?1+1?1+(-4)?1=0, 所以s ⊥n , 从而所给直线与所给平面平行. 又因为直线上的点(2, -2, 3)满足平面方程x +y +z =3, 所以所给直线在所给平面上.
11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线???=-+-=+-+01012z y x z y x 和?
??=+-=+-002z y x z y x 平行的平面的方程.
解 已知直线的方向向量分别为 k j i k j i s 321
11121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-?-=, k j k j i s --=--=-?-=1
11112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1. 所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n -+-=----=?=1
1032121, 所求平面的方程为
-(x -1)+(y -2)-(z -1)=0, 即x -y +z =0.
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.
解 平面的法线向量为n =(1, 2, -1). 过点(-1, 2, 0)并且垂直于已知平面的直线方程为 1
2211-=-=+z y x . 将此方程化为参数方程x =-1+t , y =2+2t , z =-t , 代入平面方程x +2y -z +1=0中, 得
(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0, 解得32-=t . 再将32-=t 代入直线的参数方程, 得35-=x , 32=y , 3
2=z . 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)3
2 ,32 ,25(-. 13. 求点P (3, -1, 2)到直线???=-+-=+-+0
4201z y x z y x 的距离. 解 已知直线的方向向量为 k j k j i s 331
12111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-?-=. 过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为
-3(y +1)-3(z -2)=0, 即y +z -1=0.
解线性方程组
?????=-+=-+-=+-+0
104201z y z y x z y x ,
得x =1, 21-=y , 2
3=z .