常见数列公式
等差数列
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +
），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）
2．等差数列的通项公式：
d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m
n a a m
n -- 4．等差中项：,,2
b a b
a A ?+=
成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式
6.等差数列的前n 项和公式 （1）2
)(1n n a a n S +=
（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2d
a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零
的二次式
8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值
（2） 利用n S ：由n )2
d
a (n 2d S 12n -+=
二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n
a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(1≠??=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列?
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?
7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性：
当q>1, 1a >0或0
等比数列的前n 项和公式：
∴当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 ① 或q q
a a S n n --=11 ②
当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.
数列通项公式的求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，
即)8()2(112
1d a a d a +=+d a d 12
=?
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵255a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=??+
…………② 由①②得：5
3
1=
a ，53=d
∴n n a n 5
3
53)1(53=?-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式??
?≥???????-=????????????????=-2
1
11n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a
当2≥n 时，有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-
,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-
].)1(2[3
2
3
])2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2
1
1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。P24（styyj ）
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(112
1+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分
别
令
)1(,,3,2,1-??????=n n ，
代
入
上
式
得
)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 (2004全国卷I.15)已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1
___n a ?=?? 12
n n =≥ P24（styyj ）
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。 解：由条件知
1
1+=
+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n
a a n 1
1=?
又321=
a ，n
a n 32
=∴ （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：
由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，???，12)1(a f a =依次向前代入，得
1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=，
简记为11
1
))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(0
1
=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
（3） 递推式：()n f pa a n n +=+1 解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 例5．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
??????+-=-=∴1
3323A B B A A ?
??==11
B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361?=?=-代入（１）得
132--?=n a n n
说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由
1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
例6．已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=
+ )1(≥n ，求n a 。
解：1231
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=
3437526
331348531n n n n n --=
????=--- 。
类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。 (2006.重庆.14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =
P24（styyj ）
例7. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为
)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以321-=+n n a .
类型4 递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）
（2006全国I.22）（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=
-?+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； P25（styyj ）
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：
q
q a q p q a n n n n 1
11+?=++ 引入辅助数列{}n b （其中n
n n q
a b =），得：q b q p b n n 1
1+=+再应用类型3的方法解决。 例8. 已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2211
+?=?++n n n n a a
令n n n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n n b )32(23-= 所以n
n n
n
n b a )31(2)21(32-== 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++
其中s ，t 满足?
??-==+q st p
t s ，再应用前面类型3的方法求解。
（2006.福建.理.22）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式； P26（styyj ）
例9. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。 解：由n n n a a a 3
1
3212+=
++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 即n n n sta a t s a -+=++12
)(???
????
-==+?313
2st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 这里不妨选用??
?
??-==311t s （当然也可选用?????
=-=131t s ，大家可以试一试），则)(3111
2n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31-
的等比数列,所以1
1)3
1(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，
即2
101)
3
1()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=
-n 又11=a ，所以1
)3
1(4347---=
n n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)
解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2()
1(11n S S n S a n n
n 进行求解。
(2006.陕西.20) (本小题满分12分)
已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n P24（styyj ）
例10. 已知数列{}n a 前n 项和2
214--
-=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2
2
14--
-=n n n a S 得：1
112
14-++-
-=n n n a S
于是)21
2
1()(1
2
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S
所以1
1121
-+++
-=n n n n a a a n n n a a 2
1211
+=?+. （2）应用类型4的方法，上式两边同乘以1
2+n 得：22211+=++n n n n a a
由12
1412
1111=?-
-==-a a S a .于是数列{}
n n
a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12
-=?n n n
a
类型7 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例11. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3
1
11--+=n n n b a b ，求n a ,n b . 解：因=
+n n b a ++--)2(31
11n n b a )2(3
111--+n n b a 11--+=n n b a 所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)
又因为=
-n n b a -+--)2(3
111n n b a )2(3111--+n n b a )(31
11---=n n b a
所以=-n n b a )(3
111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111
b a n -=-
1)31(-=n .即=-n n b a 1)3
1
(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])3
1(1[211
--=n n b
四、待定系数法（构造法）
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k }的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1
-p q
，从而得等比数列{a n +k }。
例12、数列{a n }满足a 1=1，a n =
21
a 1
-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2
1
（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，
∴数列{ a n －2}是以2
1
为公比，－1为首项的等比数列
∴a n －2=－（
21）1-n ∴a n =2－（2
1）1-n 说明：这个题目通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。 例13、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
解：由0731=-++n n a a 得3
7
3
11+
-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得3
7
3=--k k 解得47-=k
∴{47-n a }是以31-为公比，以43
471471-=-=-a 为首项的等比数列
∴1)3
1(4347--?-=-n n a 1
)31(4347--?-=?n n a
例14．已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．
解：设)(31t a t a n n +=++，则1231=?+=+t t a a n n ，
?
+=++)1(311n n a a {}
1+n a 是以
)1(1+a 为首项,以
3为公比的等比数列
???=?+=+--111323)1(1n n n a a 1321-?=-n n a
点评：求递推式形如q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列
)1(11p
q
a p p q a n n -+=-++来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．
例15．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．
解：将123-+=n n n a a 两边同除n 3，得
n
n n n a a 3
2131-+=?11
33213--+=n n n n a a 设n n n a b 3
=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--?t b b n n 31
321+=-
?3=t ．条件可化成)3(3
231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以3833311-=-=-a b 为首项，32
为公比的等比数
列．1
)32(383-?-=-n n b ．因n n n a b 3
=,
)3)3
2
(38(331+?-==∴-n n n n n b a ?2123++-=n n n a ．
点评：递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1
+n q ，得 111+?=++n n n n q a q p q a ，令n
n
n q
a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型． 2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。这种方法适用于n n n qa pa a +=++12型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列}{1--n n a a ：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。
（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
例16、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。
分析：递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。 解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a 即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a ∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列 ∴1123-+?=-n n n a a
利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++ =2232323021+?++?+?-- n n =2)1222(321+++++?-- n n
=22
1213+--?
n
=123-?n ∴1231-?=-n n a
例17、数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式。
解：由n n n a a a +=++1223得,3
1
3212n n n a a a +=
++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得31
32=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取3
1,1-==h k ，则有)(31
112n n n n a a a a --=-+++
∴}{1n n a a -+是以31
-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列
∴1
1)3
1(-+-=-n n n a a
由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=11)3
1()31()31()
31(232
++-+-++-+--- n n =1311)31(11
++---n =11)31(43471)31(143---?-=+??????--n n
说明：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3
1
31112+=++++即得
}31{1n n a a ++为常数列,n n a a 311++ 131-+=n n a a 1231
a a +==
3
7
312=+=故可转化为例13。
例18．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++求n a ．
解：设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++?
n n n sta a t s a -+=++12)(???
????-==+?313
2st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s 则条件可以化为)(3
1
112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31-的等比数列,所以
11)31(-+-=-n n n a a ．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得1)3
1
(4347---=n n a ．
点评：递推式为n n n qa pa a +=++12（p 、q 为常数）时，可以设)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，其待定常数s 、t 由p t s =+,q st -=求出，从而化归为上述已知题型． 五、特征根法
1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。作出一个方程
,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数
列，即01111,x a b c b b n n -==-.
例19．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23
111=∈--=+a n a a n n 求.n a
解：作方程.2
3,2310-=--
=x x x 则 当41=a 时，.2
11
23,1101=+=≠a b x a
数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)3
1(2112323,)31(211)31(1
111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n
2、对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12
11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =
时，数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入
11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）
。 例20：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23?-=-a b a a ，
234)3
2
()(?-=-a b a a ，
???
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=-。
a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：
02532=+-x x 。
3
2,121=
=x x , ∴1
2
11--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。 又由b a a a ==21,，于是
??
?-=-=???
?
??+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)3
2)((323--+-=n n b a a b a
3、如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=
+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，
且r h
a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ????-??
是等差
数列;当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时，则12n n a x a x ??
-??-??
是等比数列。
(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）
数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足求数列}{n a 的通项公式. 解：由已知，得125
168n n n
a a a ++=
-，其特征方程为25168x x x +=-，解之，得1524x x ==或
116()122168n n n a a a +-∴-=-，15
12()544168n n n
a a a +-∴-=- 111112255244n n n n a a a a ++-
-∴=--，11111
1422()2244n n n
n a a a a ---
∴=?=---
125
24
n n n a -+=+。 P26 (styyj)
例21、已知数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
解: 数列}{n a 的特征方程为,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
.N ,)2
21211(2313)(1
1212111∈?-?-?+-=--?--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----?-=--=--n c c a n n n n n λλ
即.N ,)
5(24
)5(∈-+--=n a n
n n 例22．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=
+n n n a a a
（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？
解：作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x
特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ
λr p r
n a b n --+-=
)
1(11 51131
)1(531?-?-+-=
n ,8
1
21-+
-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5
17
51--=
+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ
令,0=n b 则.7n n ?-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8
1
51)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得
N ,1
13
51∈--=
n n n a 且n ≥2.
∴当1
13
51--=
n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或
,:1
13
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在. 说明：形如:)(11b a k ma a n n n +=
--递推式，考虑函数倒数关系有)1
1(11m a k a n n +=-?m
k a k a n n +?=-111令n n a b 1=
则{}n b 可归为q pa a n n +=+1型。(取倒数法)
例23：1,1
3111
=+?=
--a a a a n n n
解：取倒数：
1
111
3131---+
=+?=n n n n a a a a ?
?????∴n a 1是等差数列，3)1(1
11?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231-=?n a n 六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，
如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人
耳目一新的感觉.
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例24： 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422
=+成立，求
{}n a 的通项an.
解：n n n S a a 422
=+?112
142---=+n n n S a a ， ∴n n n n n n n a S S a a a a 4)(42211212=-=-+----
0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵01≠+-n n a a ，∴21=--n n a a . 即{}n a 是以2为公差的等差数列，且
24211121=?=+a a a a . ∴n n a n 2)1(22=-+=
例25： 数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a .
解：∵121111=?-==a a S a 当n ≥
2时，
[]12
1
2)1(221111+=?++-=----=-=----n n n n n n n n n a a a a a n a n S S a )2(2
1
21-=
-?-n n a a 令2-=n n a b ，则12
1
-=n n b b ，且1211-=-=b
{}n b 是以21为公比的等比数列，11)21()21(1---=?-=n n n b
∴1
)2
1(2--=n n a .
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例26： 设{}n a 是首项为1的正项数列，且012
12=-----n n n n na na a a ，
（n ∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n . ∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 例27： 数列{}n a 中，3,121==a a ，且n n n a n a n a )2()3(12+-+=++，（n ∈N*），求通项公式n a . 解： =-++12n n a a =-++))(2(1n n a a n ))(1)(2(1--++n n a a n n
)1)(2(++==n n )!2()(3412+=-?n a a
∴!!3!21)()()(123121n a a a a a a a a n n n +++=-++-+-+=-（n ∈N*） 3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例28： 数列{}n a 中，2
1
1=
a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 解：1221221)1()1()1(----=-?--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a
11
1+-=?-n n a a n n ，
∴11
2211a a a
a a a a a n n n n n ??=--- )1(12131211+=?-?+-=n n n n n n ∴)
2)(1(1
1++=+n n a n
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例29： 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{
}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a
a ，设1log 2+=n a n
b ，
则12-=n n b b
{}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .
11221--=?=n n n b ，122
1log -=+n a n
，12log 12-=-n a n ， ∴1
2
1
2--=n n a
例30： 已知数列{}n a 中，21=a ，n ≥2时1
33
711+-=
--n n n a a a ，求通项公式.
解：∵1344111+-=---n n n a a a ，两边取倒数得4
3
11111+-=--n n a a .
可化为等差数列关系式.
4
1
3)1(4311111+=
-+-=-n n a a n ∴1
35
3++=n n a n
求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()n n k a a f n +=-=∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 练习. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2-= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函 数、指数函数、分式函数，求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法
1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，111 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n n a n a +=+，故13211221 12211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=?????=-+-+??+?+??=-? ????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1232 5!.n n n n a n --=??? 练习. 已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案：=n a )1()!1(1+?-a n -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 ,11-+=+n na a n n 转化为 ), 1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求 出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
数列公式大全 设An为等差数列,d为公差 性质1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)d Sn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/2 2)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k) 3)若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad 设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质: 4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差 数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数. 5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即 x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)] 所以Bn=An-b/(1-a)为等比数列 6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的数列,总可以化为等比数列,即令 ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则 An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)] An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)] 令B(n-1)=An-x1A(n-1) (1) B(n-1)'=An-x2A(n-1) (2) 则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。再解(1)(2)方程组可求出An。 7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的数列可化为5)的形式,即两边取对数 即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c 等差数列：Sn=a1n+n(n-1)d/2
等比数列：1:q=1时;Sn=na1 2:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q） 求和 等差“(首数+末数)*项数/2 等比数列求和公式＝首项*(1-比值^项数)/(1-比值) 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、 等比数列求和公式： 自然数方幂和公式： 3、 4、 5、 [例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项 当x2＝1 即x＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈
递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。
求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P
㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。
常见数列公式 等差数列 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式： 或=pn+q (p、q是常 数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=－② d=③ d= 4．等差中项：成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n项和公式 6.等差数列的前项和公式 （1）（2）（3），当d≠0，是一个常数项为零的二次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用：当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n 的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n 的值 （2）利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 等比数列 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比数列的通项公 式:，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）. 6．性质：若m+n=p+q， 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性： 当q>1, >0或0
递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。 一、型 例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。 解：已知递推式化为，即， 所以 。 将以上个式子相加，得 ，
所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。解：当， 即 当，所以。
三、型 例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比 ，得。于是，得 ，以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得，因此，数列是以 为首项，以3为公比的等比数列。 所以，所以 。
四、型 例4. 设数列，求通项公式。 解：设，则， ， 所以， 即。 设这时，所以。 由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得：。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。
五、型 例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。 解：将已知递推式两边乘以，得 ，又设， 于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。 说明：对于递推式，可两边除以，得 ，引入辅助数列 ，然后可归结为类型三。
六、型 例6. 已知数列，求。 解：在两边减去。 所以为首项，以 。 所以令上式，再把这个等式累加，得 。所以。 说明：可以变形为，就是 ，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。
常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 （会昌中学，江西赣州342600） 摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词：数列；通项公式；求法 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01 例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。 ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15， ∴b2＝5。 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。 ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n
一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、 a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时， a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n= S n= S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式： a n= a1 q n-1a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，S n= S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 11、{a n}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列中： （1）若项数为，则 （2）若数为则，， 14. 在等比数列中：
1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n
(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]
数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 22 ++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+?-=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n － 1 例3. 等差数列 {}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得?? ?±==2 4 3d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<
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