高考数学一轮复习 53课时作业

高考数学一轮复习 53课时作业

一、选择题

1．(2010·福建卷，理)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.1

2 B.3

3 C.22

D.32

答案 A

解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1

2.

2．已知sin α＝1213，cos β＝4

5

，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－

β)等于( )

A.33

65

B.6365

C ．－1665

D ．－5665

答案 A

解析 因为α是第二象限角，且sin α＝12

13，所以cos α＝－

1－144169＝－5

13

.又因为β是第四象限角，cos β＝4

5，所以sin β＝－

1－1625＝－3

5

.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝33

65

.

3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π

4

)等于( )

A.7

5 B.15 C ．－75

D ．－15

答案 B

解析 因为α∈(0，π2)，sin α＝3

5

，所以cos α＝

1－925＝4

5

. 所以2cos(α＋

π

4

)＝2(cos αcos

π

4

－sin αsin

π

4

)＝2(

22cos α－22

sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝1

5

4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( ) A ．sin(2α＋β) B ．cos(α－2β) C ．cos α D ．cos β

答案 C

解析 等式即cos(α－β＋β)＝cos α

5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝6

2

，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．a

B ．a

C ．b

D ．b

答案 B

解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°

b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°

c ＝

6

2

＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝23

3，则cos A cos B ＝( )

A.14

B.34

C.12 D ．－14

答案 B

解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B

cos B

＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B ＝32cos A cos B ＝23

3

∴cos A cos B ＝3

4

7．已知tan(α＋β)＝25，tan ? ????β－π4＝14，那么tan ? ????α＋π4等于( ) A.13

18 B.1322 C.322

D.16

答案 C

解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－?

????β－π4，所以

tan ? ????α＋π4＝tan ?

???

??

α＋β－?

????β－π4

＝tan α＋β－tan ?

????β－π41＋tan α＋βtan ? ????β－π4＝322.

8．(09·陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1

cos 2

α＋sin2α

的值为( )

A.10

3

B.53

C.23 D ．－2

答案 A

解析 3sin α＝－cos α?tan α＝－1

3

.

1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2

α＋2sin αcos α＝1＋tan 2

α

1＋2tan α＝1＋191－23＝103

. 二、填空题

9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________． 答案 12

解析 cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝1

2

.

10．(2010·全国卷Ⅰ，理)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan (π

4＋2α)

＝________.

答案 －1

7

解析 由cos 2α＝2cos 2

α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝

－

255，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－1

7. 11．(2011·潍坊)化简：

sin 3α－πsin α＋cos 3α－π

cos α

＝________.

答案 －4cos2α

解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3α

cos α＝

－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4α

sin αcos α＝

－

4sin αcos α·cos2α

sin αcos α

＝－4cos2α.

12．不查表，计算1sin10°－3

sin80°＝________.(用数字作答)

答案 4

解析 原式＝cos10°－3sin10°

sin10°cos10°

＝212cos10°－3

2

sin10°sin10°cos10°

＝4

sin30°cos10°－cos30°sin10°

2sin10°cos10°

＝4sin 30°－10°

sin20°

＝4.

三、解答题

13．求(tan10°－3)·cos10°

sin50°的值．

解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°

cos10°－

sin60°cos60°

)·

cos10°sin50°

＝

sin10°cos60°－sin60°cos10°

cos10°cos60°

·

cos10°sin50°

＝

－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1

cos60°

＝－2.

14．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π

4.求cos α的值．

解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π

4

∴

π

2<α＋π

4

<π

∴cos(α＋π

4

)＝－

1－sin

2

α＋π4

＝－35

∴cos α＝cos[(α＋π4)－π

4

]

＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π

4

＝－35×22＋45×22＝2

10

.

15．已知tan2θ＝34(π

2<θ<π)，求2cos 2

θ

2＋sin θ－1

2cos θ＋

π

4的值．

解 ∵tan2θ＝

2tan θ1－tan 2

θ＝3

4

， ∴tan θ＝－3或tan θ＝1

3，

又θ∈(π

2，π)，∴tan θ＝－3，

∴

2cos 2

θ

2

＋sin θ－1

2cos θ＋

π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ

＝1－31＋3＝－1

2

.