轴对称（1）
1、把一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做
，直线叫做它的．
2、把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形，直线叫
做，折叠后能够重合的点叫做．
3．两个图形成“轴对称”与“轴对称图形”的辨证关系是：①把成轴对称的两个图形视为一个整体，它就是一个；②把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形．
4．观察图中(1)～(5)，它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?是轴对称的，请把对称轴在图中画来．
是轴对称的是（填写序号）
5．矩形有________对称轴；正三角形有________条对称轴；正六边形有________条对称轴．
6．下列8个汉字：上下目王田天显吕，其中不是轴对称图形的是_______；有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________．
7．指出图中各有多少条对称轴．
8．指出下图中的轴对称图形（包括涂色），并在各个轴对称图形上画出它所有的对称轴．
9．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．有两个角相等的三角形； B．有一个角为45°的直角三角形；
C．有一个内角为30°，一个内角为120°的三角形；D．有一个内角为30°的直角三角形；
10．下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．下列四个图形中，不是
．．轴对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
13．下列图形中一定是轴对称图形的是 （ ）
A ．梯形
B ．直角三角形
C ．角
D ．平行四边形 14．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是 （ ）
15．如图，羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 16．轴对称图形的对称轴的条数 ( )
A ．只有1条
B ．2条
C ．3条
D ．至少一条
17．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形．将留下的纸展开，得到的图形是（ ）
18．数的运算中有一些有趣的对称式，如12×231=132×21,请你仿照这个等式填空：__________×
462=__________×__________．
19．（2009年枣庄
市）
请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化． 对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
20．（2010山东日照）已知以下四个汽车标志图案：其中是轴对称图形的图案是
21.喜爱剪纸的小芳拿了几张正方形的纸如图1，沿虚线对折一次得图2，载对折一次得图3，然后用剪刀沿图4种不同位置的虚线剪去一个角，打开后的形状如图5，请将图4与图5中的相对应的图形用线段连接起来。
图1.1-20
轴对称变换 （30分钟 50分） 一、选择题（每小题4分,共12分） 1. 两个图形关于 某直线对称，对称点一定在（ ） A. 直线的两旁 B. 直线的同旁 C. 直线上 D. 直线的两旁或直线上 2. （2013 ?郴州中考）如图,在Rt △ ABC 中,/ ACB=90 / A=25° ,D 是 AB 上一点，将 Rt △ ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在AC 边上的B'处,则/ ADB'等于（ ） A. 25 ° B.30 ° C.35 ° D.40 、填空题（每小题4分,共12分） 4.观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 ________ （只写序号）. 3.如图，正六边形 ABCDE 关于直线I 的轴对称图形是六边形 A'B'C'D'E'F', F 列判断错误的是（ ） A.AB=A'B' B. BC // B'C' C.直线I 丄BB' D. / A'=120 D B [> D f C f
5. _______________________________ 如图 ,三角形1与 ___________________ 成轴对称,整个图形中共有条对称轴. 6. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C',D'处,C'E交AF于点G.若/ CEF=70 贝GFD'= _________ 三、解答题（共26分） 7. （8分）辨别下列图形是不是轴对称图形或成轴对称，并说明理由 8. （8分）如图，在10 X 10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ ABC（即三角形的顶点都在格点上）. D1
圆和轴对称图形 圆和轴对称图形教学内容：教科书第131一132页，练习二十九的第1—4题。 教学目的： 1．使学生掌握圆的基本特点，能用工具画指定的圆。 2．使学生认识轴对称图形。能找出轴对称图形的对称轴。3．加深对平面图形的认识。 教具、学具准备： 1．教师、学生准备圆规。 2．教师准备小黑板，画几个轴对称图形。 教学过程： —、圆 教师：“上一节课我们复习的图形都是直线形。今天。我们复习的图形是由曲线围成的。同学们能想出是什么图形 吗?”(圆。)“圆是平面上的一种曲线图形。” 让学生用圆规自己画一个圆。画完后，指名说一说是怎样画的。然后，教师根据学生的回答，在黑板上画一个圆。 教师：“我们在学习圆时，学了与圆有关的哪些概念?”(圆心、半径和直径。)让学生分别说一说用什么字母表示，教师根据学生的回答，在黑板上标出圆心、画出半径和直径，写上相应的字母。 教师：“同一个圆内的所有半径的长度怎样?直径呢?”(长度相
等。) 接着问：“半径和直径有什么关系?”(半径是直径的一半。) 教师：“想一想，要画一个指定的圆，应该怎样画?”先让学生想一想，然后让学生画一个半径是2厘米的圆。教师巡视，看学生画圆的方法是否正确，发现问题及时纠正。教师还可以问：“通过画圆你们发现圆的大小与什么有关：”(与半径的长短有关。) 教师：“在一个圆里有多少条半径?有多少条直径?” “两端都在圆上的线段是不是都是直径?为什么?” 可以多让几个学生说一说道理，注意提问一些学习有困难的学生： 二、轴对称图形 教师：“我们学过轴对称图形，谁能说一说什么样的图形是轴对称图形?”(如果一个图形沿着——条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。)“这条直线叫做什么?”(对称轴。) 让学生看教科书第132页下面的图形，判断哪几个图形是轴对称图形，各有几条对称轴，并让学生画一画。先让学生独立判断，并画对称轴．教师巡视．了解学生画的情况。集体订正时，让学生说一说每一个图形有多少条对称轴：特别要弄清楚：圆有无数条对称轴。 教师：“我们学过的图形中，还有哪些是轴对称图形。”(等腰
轴对称 一．填空题（共26小题） 1．（2019?上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是． 2．（2019?西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为． 3．（2019?陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为． 4．（2019?黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是． 5．（2019?内江）如图，在菱形ABCD中，sin B=4 5，点E，F分别在边AD、BC上，将四边
形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN ⊥BC 时，AE AD 的值是 ． 6．（2019?通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边上的一点，且AM =1 3AD ，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ．则A ′C 长度的最小值是 ． 7．（2019?长春）如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将△AEF 沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则△GCF 的周长为 ． 8．（2019?吉林）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 ． 9．（2019?鸡西）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为 ． 10．（2019?咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形
轴对称变换1 八年级数学教案 课时安排 3课时 从容说课 这部分内容与学生的实际生活联系比较紧密?学生通过实际操作去体会轴对称图形的性质，并且可以利用轴对称变换来设计美丽的图案 在本节的教学中有两个重点，一个是作出图形关于一条直线的对称图形，另一个重点是用坐标表示轴对称?在教学过程中应注意：(1)?注重学生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展学生的合作交流意识和能力.(2)?注意学生运手能力的培养，在动手的过程中体会轴对称变换，并且对上一节的知识作进一步的理解.(3)关注学生对知识技能的理解和应用，?发展学生在实际应用中体会数学思想的能力. 另外，在本节的探究中，也提出了一个应用较广泛的实际问题，要引导启发学生,初步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力. § 14.2.1.1轴对称变换(一) 第四课时
教学目标 （一）教学知识点 1?通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换. 2?如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形. （二）能力训练要求 经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用. （三）情感与价值观要求 1?鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣. 2?初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识. 3?在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点 1?轴对称变换的定义. 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 教学难点
1?作出简单平面图形关于直线的轴对称图形 2?利用轴对称进行一些图案设计. 教学方法 讲练结合法. 教具准备 多媒体课件. 教学过程 I ?设置情境，引入新课 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题?在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样. ［生甲］将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，?得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形. ［生乙］准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕?再将纸打开后铺平，?位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.
13.1.1 轴对称 【教学目标】 1.认识轴对称图形的共同特征，能识别简单的轴对称图形及对称轴，通过实践操作，理解轴对称图形 和两个图形成轴对称的区别。 2.经历折叠、剪纸等活动，发展学生的形象思维和空间观念，积累数学活动的经验，在动手实践中学 会与人合作、彼此交流。 3.初步获得动手的乐趣和成就感，欣赏并体会对称美，感受轴对称的价值，培养学生热爱生活的情感。【教学重点、难点】 重点：掌握轴对称图形和两图形关于直线对称的概念，识别轴对称图形和对称轴。 难点：理解轴对称图形和两个图形关于直线对称的区别。 【教学准备】 剪刀、已裁好的圆、矩形、等腰三角形，平行四边形等，白纸，彩纸，多媒体课件。 【教学过程设计】 一、设计问题，创设情境 师：一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？” 你知道怎么做吗? 生：挪动第第一个数中的2根火柴， 师：这不是火柴搭的，所以没法挪动。学生茫然了。 师：我相信，通过这节课的学习，大家一定能解决这个问题。 设计意图：以学生感兴趣的的问题引入,引起学生的兴趣，激起学生的思维。 二、信息交流，揭示规律 1．欣赏生活中的轴对称图片。 设计意图：以生活中尽可能多的丰富实例，让学生欣赏并体会轴对称图形，发展学生审美能力、鉴赏能力。 2．观察特点、形成概念 [问题1]：这些美丽的图形来自生活，细心观察之后，你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述。 师生活动：鼓励学生积极用自己的语言概括图形的共同特征。并课件演示以下两个轴对称图形的重合 过程，让学生感受动态过程。
[问题2]：举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴交流。 师生活动：给学生一定的思考交流时间，鼓励学生从自己的生活经验出发，列举符合对称特征的物体，并进行广泛交流，进一步体会轴对称图形的特点。） 板书轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线即折痕所在直线就是它的对称轴。 3．练习: (1)我们学过的图形中，你知道哪些图形是轴对称图形吗？ 设计意图：学生回忆学过的几何图形，比如线段、角、长方形、等腰三角形、圆等，并让学生折一折，看看各有几条对称轴。并让学生明确对称轴是直线，而不是射线或线段，有些图形的对称轴不止一条。有的学生可能会说出平行四边形也是轴对称图形，让学生亲自折一下，体会到平行四边形并不是轴对称图形。 （2）下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗 ? （3）下列图形是轴对称图形吗？各有几条对称轴？ 4. 作“印墨迹”实验。 (1)在纸上滴几滴墨水， 把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对称轴是什么呢？ (2)观察探究、相互交流。 设计意图：动手实践、自主探索与合作交流是学生进行有效的数学学习活动的重要方式，在教学中， 注重学生的活动，鼓励人人亲身经历与实践，积极思考，体会活动的乐趣，培养学生的空间观念、动手能力。 5．类比观察，发现区别 (1)再向学生展示几组图案，如：两扇门、两只小脚印等。 (2)观察每组图案，你发现和刚才的轴对称图形是一回事吗？与大家交流。 设计意图：在学生的发现中，使学生进一步体会轴对称现象的特点，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别，学生理解即可，暂不深究。 板书：两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。 （3）全等与对称的关系
12.1轴对称（一） 【学习目标】 １.通过丰富的实例认识轴对称图形,并能找出轴对称图形的对称轴. ２.理解轴对称图形、关于轴对称这两个概念的区别和联系，进一步发展对图形的分析、判断、归纳能力 【学习过程】 一.课前自学： 观察下列图形有什么特点？ 想一想：你能将上图中的每一个图形沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？ 二．展示交流： 通过以上实验，能不能给具有这样特征的图形命名呢？ 如果一个平面图形沿，直线部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的，这时，我们也说这个图形. 三.合作探究: 活动1 1、下面这些图形是不是轴对称图形？如果是，画出它们的对称轴？ 2、你学过的几何图形中有轴对称图形吗？举例说明，并说出它们的对称轴。 活动2 观察课本59页思考中的几幅图，思考：每对图形有什么共同特点? 结论：像这样，把沿着折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形，我们把这条直线叫做它们的，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做． 练习：课本第60页第二题 活动3如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点， 线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ （1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？ 于是有PA＝，∠MPA＝＝度 （2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的情况吗？ （3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢？ 1．垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 2．轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的 类似地，轴对称图形的对称轴，是的垂直平分线.
轴对称与坐标变换》教案 教学内容 沪科版数学八年级上册轴对称图形P123-P124. 教学目标 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识. 3、经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力. 教学重点 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系. 教学难点 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识.教学过程 一、引入新课 师：在以前的学习中我们学习过平面直角坐标系的有关知识，会画平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标. 我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点.如果坐标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的点关于坐标轴对称的问题. 探索两个关于坐标轴对称图形的坐标关系.
1、在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小 旗. 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特 点？其它对应的点也有这个特点吗？ 2、在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y 轴对称的点， 看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理. 3、如果关于x 轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 4、关于x轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标； 关于y 轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标. 二、拓展练习 1?点A(2, -3)关于x轴对称的点的坐标是(). 2?点B(-2，1)关于y轴对称的点的坐标是(). 3.点(4，3)与点(4，-3)的关系是(). A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系 4?点(m，-1)和点(2，n)关于x轴对称，则mn等于(). A.-2 B.2 C.1 D.-1 5、(1)若mn二0，则点P(m, n)必定在上.
C B A 《几何解题方法》之一：轴对称变换 引例： 如图，半圆O 的直径AB ＝10cm ，把弓形AD 沿直线AD 折，交直径AB 于点C ’, 若AC ’=6cm ，则AD 的长为（ ....8A B C D cm （导出课题）几何变换之一：轴对称变换 1、有关翻折的问题 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. ∠=∠+∠A 12 B. 212∠=∠+∠A C. 3212∠=∠+∠A D. )21(23∠+∠=∠A 2、含有角平分线的问题 在△ABC 中，AB>AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的角平分线 交BC 于D ，若AB-AC=CD ，求∠ABC 的度数。 思考：如图，在△ABC 中，∠BAC=54°，∠BAC 的外角平分线交直线BC 于D ，若AB+AC=BD ，求∠ABC 的度数。 3、有关轴对称图形的问题 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 、E 三点在半圆上，H 、K 是直径AB 上的点，若∠AHC=∠DHB ，∠DKA=∠EKB ，已知2565____.AC BE HDK ==∠=，，则 4、含有特殊角的问题 如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西方向的公路沿线上，其中AB ＝3km ，BC=2km ，在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠ADC ＝45o，现将△ADC 区域规划为开发区，试求这个开发区的面积。 E D C A B C D B
应用： 1、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD，交AD的延长线于E，? EF?∥AC交AB于F．求证：AF=FB． 2、如图AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上 运动（不与A重合），以OC为直径的半圆M与半圆 O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。 （1）求证：CD是半圆O的切线； （2）过点E作EF⊥AB于F，则有OA=2EF,请说明理 由。 （拓展练习）1、在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG 与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重 合)。在旋转过程中，BD2＋CE2=DE2是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 2、如图，正方形AMBD的边长为6，C，E分别在AD，BD上，且AC＝2，BE＝3，H、K是对角线AB上的点。若∠AHC=∠DHB，∠BKE=∠DKA，试求∠HDK的度数。 3、在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=1,AD=2,在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN 的最小周长为 . C E D G F C B A
第十四章轴对称 §14．1．1 轴对称（一） 教学目标 1．在生活实例中认识轴对称图． 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． 教学重点 轴对称图形的概念． 教学难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐． 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课 出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征． 这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子． 我们的黑板、课桌、椅子等． 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的． 如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），?再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合． 结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称． 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做． 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，?将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合． 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合． 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？ 结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴． (1) (2) (3) (4) (5) 展示挂图，大家想一想，你发现了什么？
§14．2 轴对称变换 1.轴对称变换 知识要点 1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 2．轴对称变换的性质： （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤： （1）作出一些关键点或特殊点的对称点． （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 典型例题 例：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，?根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA?和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长． 作法：如图．①作点P关于直线OA Array的对称点E； ②作点P关于直线OB的对称点F； ③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则 C、D就是所要求作的点． 证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD． 在OA上任取异于点C的一点H，连 接HE、HP、HD，则HE=HP． ∵△PHD的周长 =HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF 而△PCD的周长 =PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF ∴△PCD的周长最短．
练习题 一、选择题 1．下列说法正确的是（ ） A ．任何一个图形都有对称轴; B ．两个全等三角形一定关于某直线对称; C ．若△ABC 与△A ′B ′C ′成轴对称，则△ABC ≌△A ′B ′C ′; D ．点A ，点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，若AO=BO ，则点A 与点B?关于直线l 对称. 2．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，?则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 二、填空题 3．由一个平面图形可以得到它关于某条直 线对称的图形，?这个图形与原图形的 _________、___________完全一样． 4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成 立． ①12×231=132×21; ②12×462=___________; ③18×891=__________; ④24×231=___________. 5．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB?的对称点，线 段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是___________． 三、解答题 6．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B?是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A?球经过的路线，并写出作法． 7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个
13、1 轴对称 基础巩固 1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是（) 2。下列说法中错误的是( ) A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B.关于某条直线对称的两个图形全等 C.全等的三角形一定关于某条直线对称 D.若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 3.如图,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4、5，分别以A,B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长是__________。 4。如图,在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E、若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________。 能力提升 5.我国的文字非常讲究对称美,分析图中的四个图案，图案（）有别于其余三个图案. 6.如图所示,将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞,则纸片展开后的图是( )
7.如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲)。结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是（) A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分 C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行 8。如图,P在∠AOB内,点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点,且与AO,BO相交于点E,F，若△PEF的周长为15,求MN的长. 9。如图①,将一张正六边形纸沿虚线对折3次,得到一个多层的60°角形纸,用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线,如图②、 图① 图② （1）猜一猜,将纸打开后,你会得到怎样的图形？ （2）这个图形有几条对称轴？ （3)如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？ 10.如图所示，在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC 的延长线于点F、
课题：轴对称（一） 主备：晏珊慧审核：八年级数学备课组时间：总节次： 学习目标：1、通过展示轴对称图形的图片，使学生初步认识轴对称图形。 2、归纳出轴对称图形概念，能用概念判断一个图形是否是轴对称图形。 3、培养学生的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力。 学习重点：轴对称图形和两个图形成轴对称的概念。 难点：轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系。 学习过程： 一、预习导入：1、“赏”对称：欣赏下列图形。 2、“做”对称：把一张半透明纸对折，然后从折叠处剪出一个图形（折痕处不要完全剪断），把剪出的图形展开后再沿着折痕折叠起来，观察图形，你能发现什么? 3、a“识”对称：通过赏和做对称，请你用自己的话说说，什么样的图形是轴对称图形？（小组讨论） b “识”对称轴：通过对下列图形的观察，你发现它们有什么共同特点吗？ 如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做_______________，这条直线就是它的______．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 4、“分”对称：把一个轴对称图形沿对称轴剪开，并均匀的向两边分离，一个图形变成两个，这两个图形我们该如何表述它们的关系呢？ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形________，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做_________。 5、思考：轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别和联系吗？ 轴对称图形两个图形成轴对称区别一个图形两个图形 联系1、都有对称轴。2、沿一条直线折叠后，直线两旁的部分都可以互相重合。 互相转换把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对 称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。 二、个体展示 1、大家一起来：A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母。如果，你认为你所报字母的形状是一个轴对称图形， 你就迅速站起来报出；如果，你认为你报的字母形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座 位上报就可以了。 2、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为_______ 3、下列说法正确的是（） A、全等的两个图形一定成轴对称 B、直角三角形一定是轴对称图形 C、两个关于某直线对称的图形一定全等 D、轴对称图形是由两个图形组成的 三、学习体会1、轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别和联系是什么？ 2、谈谈你的收获有哪些？ 四、课堂反馈 1、下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A、有两个角相等的三角形 B、有一个角为45o的直角三角形 C、有一个内角为30o，一个内角为120o的三角形 D、有一个内角为30o的直角三角形 2、判断：①角的平分线是角的对称轴.（）②等腰直角三角形不是轴对称图形.（） ③等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴.（）④射线是轴对称图形.（） 3、下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试找出它们的对称轴，并找 出一对对称点。 4、如图，已知△ABC和△A′B′C′关于MN对称， 并且AB=5，BC=3，则A′C′的取值范围是_________ 五、预习要求：认真阅读课本内容 1、什么是线段的垂直平分线？ 2、线段垂直平分线的两个性质是怎样的？ 3、思考：如图，政府为了方便居民的生活， 计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一 个购物中心，试问，该购物中心应建于何处， 才能使得它到三个小区的距离相等？ 喜喜 C′ B′ A B C M A′ A B C
人教版数学四年级下册7.1轴对称（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！ 一、选择题 (共5题；共10分) 1. （2分）下图展开后的图形是（） A . B . C . 2. （2分）(2016·玉溪模拟) 在下列图形中，（）有3条对称轴． A . 圆 B . 正方形 C . 长方形 D . 等边三角形
3. （2分）从镜子中看到的左边图形的样子是下面图形中的哪一个？（） A . B . C . 4. （2分）下面是轴对称图形的是（） A . B . C .
5. （2分）把一张长方形纸对折后再对折，沿着折痕所在的直线画出台灯的一半，把它沿边缘线剪下来，能剪出（）个完整的台灯。 A . 1 B . 2 C . 4 二、判断题 (共5题；共10分) 6. （2分）汉字“中”是轴对称图形。 7. （2分） (2020二下·红河期末) 字母F是轴对称图形。（） 8. （2分）圆有无数条对称轴。 9. （2分）是从上剪下来的。（） 10. （2分）圆只有一条对称轴．（判断对错） 三、填空题 (共4题；共10分) 11. （3分）圆是________图形，________所在的直线就是圆的对称轴，圆有________条对称轴． 12. （1分）从图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由。 答：图形________； 理由是：________。 13. （1分） (2019二下·东莞期中) 下面的图形，是轴对称图形的画“√”，不是的画“O” ________ ________ ________ ________
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换 变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。 一、轴对称变换 把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。 两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。 轴对称图形有以下两条性质： 1.对应点的连线被对称轴垂直平分； 2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。 例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。 分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。 证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。 ∴ BE＋AE＞AB ① EC'＋ED'＞C'D' ② ①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。 注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立； (2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。其证明思路也完全相同，读者试自证。 二、中心对称变换 如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。 中心对称变换有以下性质： (1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。这个性质的逆命题也成立，即“如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么两个图形关于这一点对称。 (2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等。 例3 如图所示，地面上有不在同一直线的A、B、C三点，一只青蛙位于地面异于A、B、C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到关于A的对称点P4，……，以下跳法类推，问青蛙跳完第1992步，落在地面的什么位置？ 解：青蛙每跳一次，就是完成一个中心对称变换，如图，根据中位线定理，有 PP22AB P3P5① 并且由P2C=CP3，P6C=CP5，可知P3P5P2P6是平行四边形。 ∴P2P6P2P。② 由①、②及平行公理可知P和P6重合，这表明青蛙每跳6步，都可以回到起点P，而1992是6的倍数，因此跳完第1992步青蛙应落在P点。 三、平移变换 把图形F上的所有的点都按一定方向移动一定距离d形成图形F'，则由F到F'的变换叫做平移变换。
课题：轴对称变换（一） 教学目标： （一）知识与技能 1.通过实际操作，了解什么叫轴对称变换。 2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形 （二）过程与方法 经历实际操作，认真体验的过程，发展学生的空间思维，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用。 （三）情感态度与价值观 1.鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣。 2.初步认识数学和人类生活的密切联系，体验活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识。 3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 教学重点： 1.轴对称变换的定义 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。 教学难点： 1.作出简单图形关于直线的轴对称图形 2.利用轴对称进行一些图案设计 教学方法： 实验、观察、归纳、讨论、练习等 教具准备： 多媒体课件 教学过程： （一）创设情境，提出问题。 1.欣赏剪纸图案 剪纸是中国最流行的民间艺术之一，据考古其历史可追溯到6世纪，发展到今天，剪纸更多的是用于装饰，也可作礼品点缀之用或作为礼物赠送他人。下面请欣赏剪纸图片，多媒体展示。 设计意图：欣赏图片，陶冶情操，引发兴趣，问题引入。
2.引入新课：教师提出问题，如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢？下面让我们尝试一种剪纸的基本过程。 （二）探究讨论，发现新知。 1.建立轴对称变换的概念 ⑴动手操作，让学生把纸按多媒体演示方法折叠，沿虚线裁剪。 ⑵猜测图案，让学生想象图形展开后的形状。 ⑶验证结论，将图形打开，看是否与自己想象的一致，多媒体课件演示，几种折叠的方法。 设计意图：让学生动手、动脑经历实际操作，认真体验，猜想验证的过程，培养学生想象力，发展空间思维。 ⑷提出问题： ①折痕两侧的图形有什么关系？（让学生回答出关于折痕轴对称，折痕是对称轴） ②两个图形成轴对称有什么特征？ 设计意图：本问题的提出，使学生和上节轴对称图形联系起来，形成知识，自然过渡，符合建构主义的从学生原有知识和经验出发，建构新知识的理论。 ⑸师生共同总结：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换。 2.轴对称变换的性质 ⑴研究图形，探究图形的轴对称变换的作法。 图形中的点A与点A’什么关系？若已知点A和对称轴l，你能作出点A 的对称点A’吗？ 作法：作AA⊥l，并延长AH至A’，使AH=A’H，则点A’就是所求的点。 如图中△ABC和折痕l，你能作出△ABC关于直线l的轴对称图形吗？ 作法：①作点关于直线l的对称点A’ ②同理作点B、C关于直线l的对称点B’、C’ ③连结A’B’、B’C’、C’A’，则△A’B’C’就是所求作的图形。 设计意图：在自己剪出的图形中找一个点，通过作图找到对称点，由点扩大到面，进而启发诱导学生作出三角形关于直线的对称图形，进而可以用同样方法把整个图形的轴对称图形做出来，在此过程中，不仅培养了作图能力，也
轴对称变换 教学目标 知识技能1. 通过实例认识轴对称变换,认识轴对称变换的性质和定义.能利用轴对称变换的性质作出简单平面图形关于一条直线的轴对称图形. 2. 能尝试利用轴对称变换设计图案. 数学思考用轴对称变换的方式去认识几何图形,并能逐步完成从“具体-抽象-具体”的认知过程. 解决问题1. 经历轴对称变换的操作、观察、交流探索轴对称变换的性质和定义. 2. 利用轴对称变换进行作图和图案设计，发展学生用数学的能力. 情感态度1．通过学生亲自操作，培养学生的动手能力. 2．通过欣赏和设计图案，让学生形成学数学、用数学的意识，并培养学生的创新能力.重点轴对称变换性质及利用轴对称变换作图. 难点轴对称变换性质的利用. 教学流程安排 活动流程图活动内容和目的 活动1 创设情境，引入新课 活动2 实践活动，探求新知：理解轴对称变换的性质和定义 活动3 运用新知：利用轴对称变换的性质作图，归纳作图方法，然后练习巩固 活动4欣赏利用轴对称变换设计的图案，并对学生提出设计要求 活动5 课堂小结，布置作业 创设问题情境，提出问题，让学生带着疑问有目的的学习. 经历操作、观察、交流、讨论，得到各图例的共同点，从而归纳出轴对称变换的性质和定义.作已知三角形关于直线的对称图形，进一步理解利用轴对称变换的性质，掌握轴对称变换的作图方法. 让学生感觉对称的静态美及利用轴对称变换设计图案过程中的动态美，培养学生欣赏美和创造美的能力. 回顾知识要点，畅谈收获. 教学过程设计 问题与情境师生行为设计意图 [活动1] 如果只知道轴对称图形的一半，你能得到另一半吗？怎么得到另一半？ 学生欣赏轴对称图案思考教师提出的问题，由此引入新课,教师板书课题. 通过创设情境，提出相应问题，给学生思考的空间，也给学生学习本节课指出了方向. [活动2] 问题1：在一张半透明纸的左边部分画一只左脚印，你怎么得到相应的右脚印呢？ 观察图形提问：连接对称点的线段与对称轴有什么关系？ 问题2：观察前四朵花的形成过程后提问：①图案形成过程中有几条对称轴，它们有什么关系？②如果想得到更多的花，你有什么方法？
附录中文译文 对薄的,横向各同性弹性层轴对称接触的渐近解 摘要 对刚性球与一个薄的，横向各同性弹性层正常接触的问题进行研究，薄的弹性层建立在刚性基础上。无论是在极限情况下，其中的接口可以是理想的粘结或无粘结摩擦，并被认为是用于球形压头下的接触压力和接触补片的半径近似解。通过用有限元法预测和比较这些近似解，来确定解决方案的准确性。 关键词：固体润滑剂;各向异性涂层;有限元法;接触压力 1引言 表面涂层已成为广泛使用在工程领域，由于它们提供了许多潜在的好处。这些涂层可以是各向同性或各向异性的性质，通常被用于提高接触特性及改进的配合部件的摩擦性能。表面涂层最普遍的应用是在运行于真空或低压环境中的一些滚动元件或滑块轴承[1]。涂层通常是非常薄层软金属（如金，银，锌及铅）层固体（如二硫化钼和硼氮化物）或聚合物（例如，聚四氟乙烯，聚酰胺复合材料和酚醛树脂和环氧树脂），其被沉积到衬底上。当固体润滑剂的涂层被施加到基材上时，接触应力和位移场显著从赫兹接触轮廓的半空间内偏离。这是设计时的显著问题，因为没有可用于分析三维涂层表面接触方法，所以即使简单的几何形状封闭形式也没很好的解决方案。 回顾文献，许多研究人员调查解析与各向同性弹性层[ 2-12 ]轴对称接触得问题。各向异性涂料展示更复杂的接触特性，不是因为他们定向的依赖各向同性弹性层。Ovaert [ 13 ]分析了横观各向同性固体润滑膜的刚性椭球压头的打孔问题。Kuo和科尔[ 14 ]通过汉克尔方式取得横观各向同性多层介质数值解变换。Lovell]和洛弗尔以及Khonsari [ 16]采用有限元方法来研究具有弹性基板上的横向各向同性弹性层接触的弹性球法向应力和切向的摩擦特性。为了更好地了解层状介质的接触，本文的重点是刚性的，无摩擦的横观各向同性层上刚性基板的轴对称缩进。弹性层和刚性基板之间的界面上被假定为理想的粘结或无粘结摩擦。所采取的方法是延续约翰逊横观各向同性弹性涂料的“平面截面后仍保持平面压缩”的假设[2]。 2 问题描述 在考虑刚性的基础上，其中旋转对称层的轴是垂直于所述层和所述衬底之间界面的无限横观各向同性弹性层。在所述层和衬底之间的界面将被假定为理想的粘结或无粘结摩擦。一个刚性的球形压头穿透层法线方向的