章末质量评估(三) 三角恒等变换
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．cos 230°－sin 230°的值是( )． A.12 B.－12
C.32
D.－
32
解析 cos 230°－sin 230°＝cos 60°＝1
2.
答案 A
2．已知sin α＝35且α∈? ????
π2，π，那么sin 2αcos 2α的值等于( )．
A ．－3
4
B.3
4 C ．－32
D.32
解析 ∵sin α＝35，α∈? ????
π2，π，
∴cos α＝－45，∴tan α＝－3
4.
∴
sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝－32
答案 C
3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( )． A.π2 B.π C ．2π
D.4π
解析 f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ?
???2x －π4，故T ＝2π2＝π. 答案 B
4．若tan α＝3，tan β＝4
3
，则tan(α－β)等于( )．
A ．－3 B.－13
C ．3
D.13
解析 tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
＝
3－
43
1＋3×
43
＝13
. 答案 D
5．已知cos 78°约等于0.20，那么sin 66°约等于( )． A ．0.92 B.0.85 C ．0.88
D.0.95
解析 ∵cos 78°＝sin 12°≈0.20，∴sin 66°＝cos 24°＝1－2sin 212°≈1－2×(0.20)2＝0.92. 答案 A
6．若cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2的值为( )．
A ．2 B.－2 C ．±2
D.±1
2
解析 ∵cos θ＝－35且180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，∴tan θ
2＝－
1－cos θ1＋cos θ
＝－2. 答案 B
7．函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象________得到．( )． A ．向右移动
π
12
个单位 B ．向左移动π
12个单位
C ．向右移动π
6个单位
D ．向左移动π
6
个单位
解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x ，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ?
???2x －π6＝2sin 2? ?
???x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到． 答案 A
8．(2012·余姚高一检测)在△ABC 中，已知tan
A ＋B
2
＝sin C ，则△ABC 的形状为 ( )．
A ．正三角形 B.等腰三角形 C ．直角三角形 D.等腰直角三角形
解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B
2
，∴2cos 2
A ＋
B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π
2
，△ABC 为直角三角形． 答案 C
9．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈?
????
0，π2，β∈? ????
－π2，0，则sin α＝( )． A.33
65
B.6365 C ．－3365
D.－
6365
解析 ∵α∈? ????
0，π2，β∈? ????－π2，0，∴α－β∈(0，π)， 由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝4
5，
由sin β＝－
513得cos β＝1213
， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×? ????－513＝33
65.
答案 A
10．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ? ????π3＋x cos ? ??
??π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )． A ．1
B.±1
C. 3
D.－1
解析 y ＝? ????32cos x ＋12x ? ????12cos x ＋3
2sin x
＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋3
4sin x cos x ＝
34＋1
2
sin 2x . 当sin 2x ＝1时，y max ＝
3＋2
4
， 此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π
4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.
答案 A
11．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且－π2α<π2，－π2<β<π
2，
则角α＋β的大小为( )． A.π
6 B.－
2π
3
C.π6或－5π6
D.－π3或2π3
解析 由题意，知tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0.又∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π
2β<0，－π<α＋β<0.
又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝－2π
3
.
答案 B
12．(江苏连云港模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2? ????
π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．m <1 B.m >－3 C ．m <3
D.m >1
解析 f (B )＝4sin B cos 2?
????
π4－B 2＋cos 2B ＝4sin B 1＋cos ? ??
??
π2－B 2
＋cos 2B
＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.
∵f (B )－m <2恒成立，即m >2sin B －1恒成立． ∵01. 答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．(2012·杭州高一检测)若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋tan β＝tan αtan β－1?
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－1.
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π
4，k ∈Z .
答案 k π－π
4
，k ∈Z
14．(2012·台州高一检测)已知a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝6
2
，则a ，b ，c 从大到小的关系是________．
解析 a ＝sin 14°＋cos 14°＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2·sin 60°.因为59°<60°<61°，所以a
15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹
角为120°.如图，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．
解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，
即B ? ????－12，3
2.设∠AOC ＝α，则OC →
＝(cos α，sin α)．
∵OC →＝xOA →＋yOB →
＝(x,0)＋? ????
－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，
∴?
??
??
x －y 2＝cos α，
3
2
y ＝sin α.∴???
??
x ＝sin α
3＋cos α，y ＝2sin α3
，
∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°.
∴当α＝60°时，x ＋y 有最大值2. 答案 2
16．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ? ?
???2x －π3＋cos ? ????2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；
②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间? ??
??
π24，
13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π
24个单位后，将与已知函数的图象重
合．
其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ? ?
???2x －π3＋cos ? ????2x ＋π2－π3 ＝cos ? ?
???2x －π3－sin ? ????2x －π3＝2cos ? ????2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π
2
＝π，即②正确．
f (x )的递减区间为2k π≤2x －π
12≤2k π＋π(k ∈Z )．
即k π＋π24≤x ≤k π＋13
24
π(k ∈Z )，
k ＝0时，π24≤x ≤13π
24，所以③正确．
将函数y ＝2cos 2x 向左平移π
24个单位得
y ＝2cos ??????2? ?
??
?x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 答案 ①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos ?
????π4＋x ＝3
5，求sin 2x －2sin 2 x 1－tan x 的值． 解 sin 2x －2sin 2x 1－tan x
＝
cos x ·2sin x (cos x －sin x )
cos x －sin x
＝sin 2x
＝－cos ? ?
???2x ＋π2＝－2cos 2? ????x ＋π4＋1 ＝－2×
925＋1＝725
. 18．(本小题满分12分)求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)
sin 70°1＋sin 50°.
解
cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)
sin 70°1＋sin 50°
＝
cos 40°＋sin 50°? ??
?
?1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°
＝cos 40°＋cos 40°·
2sin (10°＋30°)
cos 10°
2cos 2
20°
＝
cos 40°＋1
2cos 2
20°
＝ 2. 19．(本小题满分12分)(2012·哈尔滨高一检测)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β. 证明 ∵tan(α－β)＝sin 2β，
tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
，
sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos β
sin 2β＋cos 2β
＝2tan β
1＋tan 2β
，
∴
tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β
1＋tan β
，
整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β
1－tan 2β
.
∴tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β
1－tan 2β
＝
2×2tan β
1－tan 2β
＝2tan 2β.
20．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A
5，求cos 2A 的值． 解 ∵A π
20<2A ＋C <π.
∵sin B ＝45，∴cos B ＝3
5.
∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝4
5，
cos(A ＋C )＝－3
5.
∵cos(2A ＋C )＝－4
5，
∴sin(2A ＋C )＝3
5
.
∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×? ????－35－? ????－45×45 ＝
725
.
∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝
527
625
. 21．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝5
5，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解 (1)由cos β＝5
5
，β∈(0，π)， 得sin β＝
25
5
，即tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－13＋21＋
23
＝1.
(2)∵tan α＝－1
3，α∈(0，π)，
∴sin α＝
110
，cos α＝－
310.
∴f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －25
5sin x ＝－5sin x .
∴f (x )的最大值为 5.
22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )．
(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间． (2)当x ∈??
????0，π6时，－4 ???2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π， 在[0，π]上的单调递增区间为??????0， π6，???? ??2π3，π. (2)∵当x ∈?????? 0，π6时，f (x )单调递增，∴当x ＝π6 时，f (x )的最大值等于m ＋3. ?m＋3<4 m＋2>－4，解得－6 当x＝0时，f(x)的最小值等于m＋2.由题设知 ? ?
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