数列的求和与综合应用专题
[基础达标](40分钟65分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1.数列1，(1+2)，(1+2+22)，…，(1+2+22+…+2n-1)，…的前n项和为()
A.2n-1
B.n·2n-n
C.2n+1-n
D.2n+1-n-2
D【解析】记a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1，∴S n=2·(2n-1)
2-1
-n=2n+1-2-n.
2{a n}的前n项和为S n，a2，a4是方程x2-x-2=0的两个根，S5=()
A.5
2B.5 C.-5
2
D.-5
A【解析】解法1：由x2-x-2=0解得a2=-1，a4=2，或a2=2，a4=-1，当a2=-1，
a4=2时，d=3
2，a n=3
2
n-4，所以S5=5×-5
2
+5×4
2
×3
2
=5
2
；当a2=2，a4=-1时，d=-3
2
，
a n=-3
2n+5，所以S5=5×7
2
+5×4
2
×-3
2
=5
2
.解法2：由已知得a2+a4=1，则
S5=5(a1+a5)
2=5(a2+a4)
2
=5
2
×1=5
2
.
3{a n}的通项公式为a n=2n-2，若
b n=log2a n+3，则数列1
b n b n+1
的前n项和T n为()
A.n
2(n-2)B.n
2(n+2)
C.2n
n+2
D.1
2(n+2)
B【解析】由题可知b n=log2a n+3=log22n-2+3=n+1，1
b n b n+1=1
(n+1)(n+2)
=1
n+1
?1
n+2
，
则T n=b1+b2+…+b n=1
2-1
3
+1
3
-1
4
+…+1
n+1
-1
n+2
=1
2
?1
n+2
=n
2(n+2)
.
4{a n}和等比数列{b n}中，有a n=n，b n=2n-1，记c n=a n b n，则数列{c n}的前n项和为()
A.(n+1)×2n+1
B.(n-1)×2n-1
C.(n-1)×2n+1
D.(n-1)×2n+1+1
C 【解析】由c n =a n b n =n ·2n-1，记其前n 项和为T n ，则
T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1 ①，两边同乘以2，得2T n =1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n ②，①-②得-T n =1+21+22+23+…+2n-1-n×2n ，化简得T n =(n-1)×2n +1.
5.现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管为 ( )
A .9根
B .10根
C .19根
D .29根
B 【解析】设堆成x 层，得1+2+3+…+x ≤200，即求使得x (x+1)≤400成立的最大正整数x ，应为19.∴剩余的钢管为200-19(19+1)
2
=10.
6S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d<0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|.其中正确命题的个数是 ( )
A .5
B .4
C .3
D .1
C 【解析】由已知得S 6-S 5=a 6>0，S 7-S 6=a 7<0，S 7-S 5=a 6+a 7>0，则d=a 7-a 6<0，S 11=
11(a 1+a 11)
2
=11a 6>0，S 12=
12(a 1+a 12)
2
=6(a 6+a 7)>0，由a 6>0，a 7<0，a 6+a 7>0，得
|a 6|>|a 7|，数列{S n }中的最大项为S 6，故①②⑤正确. 二、填空题(每小题5分，共15分)
7{a n }中，a 1=0，a n+2+(-1)n a n =2.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2016-S 2013= .
2016 【解析】当n 为奇数时，a n+2-a n =2，又a 1=0，则数列{a n }的奇数项构成以0为首项，2为公差的等差数列，即a 2k-1=2k-2，k ∈N *；当n 为偶数时，a n+2+a n =2，则S 2016-S 2013=a 2014+a 2015+a 2016=a 2015+2=2014+2=2016.
8{a n }中，a 1=2，当n ≥2时，a n =2a n-1+3·2n-1，数
列 a
n 2n 的前n 项和为S n ，则不等式S n <20的解集为 .
{1，2，3，4} 【解析】当n ≥2时，a n
2n =a n -12
n -1+32，令b n =a
n
2
n ，则数列{b n }是以b 1=1为首项，公差为3
2的等差数列，S n =n+
n (n -1)2
×3
2=
3n 2+n 4
，由S n <20得
3n 2+n-80<0，即(3n+16)(n-5)<0，所以n=1，2，3，4符合条件.
9
{a n }的首项a 1=2，前n 项和为S n ，且a n+1=2S n +2n+2(n ∈N *)，则S n = .
3n +12
-n-32 【解析】由a n+1=2S n +2n+2得S n+1=3S n +2n+2，则S n+1+(n+1)+3
2=3 S n +
n +3
2 ，且S 1+1+3
2=9
2，所以数列 S n +n +3
2 是以9
2为首项，3为公比的等比数
列，则S n +n+32=9
2×3n-1，S n =3n +12
-n-3
2.
三、解答题(共20分)
10.(10分
{a n }中，a 1=13，a n+1=a
n
2-a n
，(n ∈N *).
(1)求证：数列 1
a n
-1 是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；
(2)设b n =na n
1-a n
，求证：∑i =1
n
b i <2.
【解析】由已知得1
a
n +1
=2a n
-1，∴1
a
n +1
-1=2 1
a n
-1 ，
∴
1
a n +1
-1
1a n
-1=2，∴ 1a 1
-1 是首项为1
a 1
-1=2，公比为2的等比数列，
∴1a n
-1=2·2n-1=2n ，∴a n =1
2n +1.
(2)b n =na n 1-a n
=n
2n ，
∴S n =12+22+…+n 2，∴12S n =12+22+…+n
2， 两式相减得1
2S n =1
2+1
2+1
2+…+1
2?n
2=1-n +2
2， ∴S n =2-n +2
2
<2，即∑i =1
n
b i <2.
11.(10分S n 为公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 1，S 2，S 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 一、选择题 1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音 的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ） A B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，， 又1a f =，则7 781a a q f ===，故选D ． 2．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >> 答案：B 解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-， 得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤， 212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <. 3．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答：
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法
2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】 6 数列 一．基础题组 1. 【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2010全国2，文6】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 【答案】： C 【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 4＝4. ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ＝7a 4＝28. 3. 【2006全国2，文6】已知等差数列中，，则前10项的和＝( ) （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B 【解析】依题意可知：，，解得：， ∴. 4.【2005全国2，文7】如果数列是等差数列，则（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵数列是等差数列，∴， ∴. 5. 【2012全国新课标，文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________． 【答案】：－2 【解析】：由S 3=－3S 2，可得a 1+a 2+a 3=－3(a 1+a 2)， 即a 1(1+q +q 2 )=－3a 1(1+q )， {}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1) 2 n n -177() 2 a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==101109109 1030421022 S a d ??=+ =+?={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+?+=+1845a a a a +=+ 高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________． 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有： 等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n . 第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) 2016—2018年全国卷数列高考汇编 8.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 错误！未找到引用源。满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 6.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误！未找到引用源。的前n 项和1n n S a λ=+错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。其中0λ≠． （I ）证明{}n a 错误！未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132 S =错误！未找到引用源。 ，求λ． 4．【2017高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 15. 【2017高考新课标2理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 9．【2017高考新课标3理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8 4．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 15．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+，则6S = ． 4．【2018高考新课标2文理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若17a =-，315S =-. ⑴求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值. 17．（2018年全国卷3） 等比数列{}n a 中，12314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 ) 2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为 例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1 新数学《数列》试卷含答案 一、选择题 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21 C ．63- D ．21 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得 21112163S a ==-. 【详解】 ∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】 此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和. 2．在递减等差数列{}n a 中，2132 4a a a =-．若113a =，则数列1 1 { }n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ． 24143 B ． 1143 C ． 2413 D ． 613 【答案】D 【解析】 设公差为,0d d < ，所以由2 1324a a a =-，113a =，得 213(132)(13)42d d d +=+-?=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为 111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +?? ???? 的前n 项和等于 1111116 ()()213213213261313 n --≤--=-?- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中 间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +?? ???? (其中{}n a 是各项均不为零的等差数 列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类 考点十二 数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ， 所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 （1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用 二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 2018年全国高考真题分类汇编----数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++ . 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a +++=+++ 2=222n +++ 1=22n +-.∴12e e e n a a a +++ 1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)
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