一、等差数列选择题
1.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,
n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则
n a =( )
A .21n -
B .43n -
C .54n -
D .n 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )
A .8
B .10
C .12
D .14
3.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .
825
两 B .
845
两 C .
865
两 D .
885
两 4.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=,则数列11n n a a +??????
的前10项的和为( ) A .
89
B .
910
C .10
11
D .
1112
5.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+,*n N ∈,则
存在数列{}n b 和{}n c 使得( )
A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列
C .·
n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·
n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 6.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4S
B .5S
C . 6S
D . 7S
7.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2
B .
4
3
C .4
D .4-
8.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸
C .二丈一尺五寸
D .二丈二尺五寸9.题目文件丢失!
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15
B .20
C .25
D .30
11.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+
B .2
()4f x x =
C .3()4x
f x ??= ???
D .4()log f x x =
12.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .
53
B .2
C .8
D .13
13.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
{}n a ,已知11a =,2
2a
=,且满足()211+-=+-n
n n a a (n *∈N ),则该医院30天入
院治疗流感的共有( )人
A .225
B .255
C .365
D .465
14.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12
B .20
C .40
D .100
15.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )
A .7
B .9
C .21
D .42
16.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18
B .19
C .20
D .21
17.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15
B .30
C .3
D .64
18.已知数列{}n a 的前n 项和()2
*
n S n n N =∈,则{}n
a 的通项公式为( )
A .2n a n =
B .21n a n =-
C .32n a n =-
D .1,12,2n n a n n =?=?≥?
19.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019
B .4040
C .2020
D .4038
20.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+,则6
3a b 的值为
( ) A .
5
11
B .38
C .1
D .2
二、多选题
21.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确
的有( )
A .数列{}n a 的公差d <0
B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10
C .S 10>0
D .S 11>0
22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-
B .180S =
C .当0d >时,6140a a +>
D .当0d <时,614a a >
23.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >
B .130S >,140S <,则78a a >
C .若915S S =,则n S 中的最大值是12S
D .若2
n S n n a =-+,则0a =24.题目
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25.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )
A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021
B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1
C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021
D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=0
26.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +??
-=+ ???
,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4
B .-2
C .0
D .2
27.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则50a >,60a <;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;
C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;
D .若89S S <,则78S S <. 28.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
29.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ??
?
???
是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项
30.在数列{}n a 中,若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
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一、等差数列选择题 1.A 【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】
11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,
令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-
令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2
311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,
与已知矛盾,故解得31a t =+
{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =
则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 2.C 【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,
S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =?=. 故选:C 3.C 【分析】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子,数列{}n a 是等差数列,
8106
100
a S =??
=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】
设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子,由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,
则由题意得8106100a S =??=?,即1176109
101002a d a d +=??
??+=??,解得186585a d ?
=????=-??
. 所以长兄分得86
5
两银子. 故选:C. 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得
()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和
前n 项和公式. 4.C
首先根据()12n n n S +=得到n a n =,设1
1111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==,所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ??????
=-+-++-=-= ? ? ?
??????
…. 故选:C 5.D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+,
∴当1n =时,有110S a a ==≠;
当2n ≥时,有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?,
又当1n =时,0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式,
1()2n n a a bn b -∴=-+?,
令n b a b bn =+-,1
2n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,
故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??,0b ≠,所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列,也不是等比数
列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:
由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解,考查学生的计算能
力. 6.B
根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】
依题意55647560
0000
a a a a a a a d >?>??
?
?+=+?
,所以015n a n >?≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 7.C 【分析】
由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:
()111116
11111322
a a S a
+?=
==,
612a ∴=,
又
5620a a +=,
58a ∴=,
654d a a ∴=-=.
故选:C . 8.D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为
985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差
数列性质求得后5项和. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()
19959985.52
a a S a +=
==(尺),所以59.5a =(尺),由题知
1474331.5a a a a ++==(尺),
所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D .
9.无
10.B
设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()51154
55254202
S a d a d ?=+=+=?= 故选:B 11.D 【分析】
把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结
果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】
对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以
1
n n
x x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;
对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1
n n
x x +为常数,
因此1n n y y +-=()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;
对于C ,函数3()4x
f x ??= ???上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1
n n
x x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x
+-=3
3
()()144n q
x
??
-????
,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等
差数列;
对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x
,由于{x n }是等比数列,所以
1
n n
x x +为常数, 因此1n n y y +-=11
444
4log log log log n n n
n
x x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;
故选:D .
方法点睛:
判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.B 【分析】
设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】
设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 13.B 【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】
解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==???==,
2430,,,a a a ???是以2为首项,2为公差的等差数列,
所以30132924301514
()()1515222552
S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=, 故选:B 14.B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:
1011045100S a d =+=,
12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.
故选:B. 15.C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则()
1212121632
a a S +=
=, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==?=,
故选:C 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
16.B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥,且11a =,
∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,
通项公式为()12121n a n n =+-=-,
10210119a ∴=?-=,
故选:B. 17.A 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,
12111a a d =+,即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
则111681631a d a d a d +++=??+=?,即117831a d a d +=??+=? 解得:174
174d a ?=????=-??
,
所以12117760
111115444
a a d =+=-+?==, 所以12a 的值是15, 故选:A 18.B 【分析】
利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】
2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,
当1n =时,111a S ==,上式也成立,
()
*21n a n n N ∴=-∈,
故选:B. 【点睛】
易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即
11,1,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结
果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 19.B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
?=?+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==?=+?? 故选:B 20.C 【分析】
令2
2n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则6
3
a b 可得.
【详解】
令2
2n S n λ=,()37n T n n λ=+,
可得当2n ≥时,()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,
当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,
()232n b n λ=+
故622a λ=,322b λ=,
故6
3
1a b =.
【点睛】
由n S 求n a 时,11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符
合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解.
二、多选题
21.AC 【分析】
由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,
所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()
5()02a a S a a +=
=+>,11111611()1102
a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC 22.ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,
140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,
对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=,故选项B 正确;
对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;
对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,
所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可. 23.AD 【分析】
对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】
对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,
所以2
4619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;
对于B ,因为130S >,140S <,所以
77713()
1302
a a a +=>,即70a >,
787814()
7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以
7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++
++=,所以12133()0a a +=,即
12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值
是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;
对于D ,若2
n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,
221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,
所以12120a a =?-==,故D 正确. 故选:AD 【点睛】
关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.
24.无
25.ABD 【分析】
对于A ,由题意得b n =
4
πa n 2
,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,
则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】
由题意得b n =
4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4π
a 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·
a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;
数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n
-1
2
=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+
(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;
由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·
a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 26.AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为
()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-
=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,
则
11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111
122
a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,122n a n n
∴=-<, ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42??-????
,包含[]1,2,故A 正确;
对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22??-????
,包含[]1,2,故B 正确;
对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02
??-????
,不包含[]1,2,故C 错误;
对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2
??-???
?
,不包含[]1,2,故D 错误,
故选:AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题. 27.ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】
对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()
02
a a S +=
=,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,
所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +?=
==>,116891616()16()
022
a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为1158
15815()15215022
a a a S a +?=
==>,则80a >, 116891616()16()022
a a a a S ++=
==,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;
对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 28.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC 29.ABD 【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;
B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么
()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确;
C.
1111
11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ??????
不是等差数列,故C 不正确;
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型. 30.BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,
则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}
n a 不是等方差数列,故A 错误;
对于B ,数列
(){}1n
-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,
{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;
对于C ,数列{}n a 中的项列举出来是,1a ,2a ,,k a ,,2k a ,
数列{}kn a 中的项列举出来是,k a ,2k a ,3k a ,
,
()()()()
2
222222212132221k k k k k k k k a
a a a a a a a p +++++--=-=-=
=-=,将这k 个式子累加
得(
)(
)(
)
()
22
22
22
2212132221k k k k k k k k a a a a a a a a kp +++++--+-+-+
+-=,222k k a a kp ∴-=,
()
221kn k n a a kp +∴-=,{}*
(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列,故C 正确; 对于D ,
{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列,
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,22
10n n a a --=是常数,故D 正确.
故选:BCD. 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题.