余弦定理练习题
1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13
，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6
2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )
A. 3
B. 2
C. 5 D ．2
3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150°
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.π6或5π6
D.π3或2π3
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．以上均不对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加的长度决定 7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )
A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2
9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．
11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．
12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.
13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13
，S △ABC ＝43，则b ＝________. 14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．
15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．
18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16
sin C ，求角C 的度数．
19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4
)的值．
20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．
余弦定理
1.解析：选A.由余弦定理，得
AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B
＝ 42＋62－2×4×6×13
＝6.
2．解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°
＝2， ∴c ＝ 2. 3．解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32
， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.
4．解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B
. 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5． 解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2
2c
＝c . 6． 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.
设增加的长度为m ，
则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，
又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
7．解析：选A.S △ABC ＝3＝12
|AB →|·|AC →|·sin A ＝12
×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32
，又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12
， ∴AB →·AC →＝4×1×12
＝2. 8．解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.
9． 解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3
. 在△ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B
＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案： 3
10．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，
∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.
设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，
∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12
， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.
11． 解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32
，∴C ＝60°或120°. ∴cos C ＝±12
，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.
答案：21或61
12．解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ 2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k ＝1116
， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14
， ∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．
答案：14∶11∶(－4)
13．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223
. 又S △ABC ＝12
ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223
＝43， ∴b ＝2 3.
答案：2 3
14．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC
＝49＋25－362×7×5
＝1935
， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )
＝7×5×(－1935
) ＝－19.
答案：－19
15．解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2
＝12
ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°
16．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，
则?
????
k 2＋ k －1 2－ k ＋1 2＜0k ＋k －1＞k ＋1?2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，
∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78
. 答案：78
17． 解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1， ∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，
∴a ＋b ＝23，ab ＝2.
∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C
＝a 2＋b 2－2ab (－12
) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab
＝(23)2－2＝10，
∴AB ＝10.
18．解：(1)由题意及正弦定理得
AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，
两式相减，得AB ＝1.
(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13
， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 2
2AC ·BC
＝ AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12
， 所以C ＝60°.
19． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A
， 得AB ＝sin C sin A
BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得
cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255
， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55
. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45
， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35
. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210
.
20． 解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b
. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b
. 又根据余弦定理，得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc
， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .
又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，
所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，
所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，
因此△ABC 为等边三角形．