一、多选题1．题目文件丢失！
2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0?=?=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 3．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤
B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23??
???
B ．4,33??
???
C ．()2,3
D ．8
,33?? ???
5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122AE A
B A
C →
→→
=+
B ．2AB EF →→
=
C ．1133
CP CA CB →
→→
=+
D ．2233
CP CA CB →
→→
=+
6．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，
sin sin sin +=+a b c
A B C
8．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
9．在ABC 中，若30B =?，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30° B ．60°
C ．120°
D ．150°
10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF
CE G =，
则（ ）
A ．12AF AD A
B =+ B ．1()2EF AD AB =+
C ．21
33
AG AD AB =- D ．3BG GD =
11．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
12．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
13．下列命题中，正确的有（ ）
A ．向量A
B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、
C 、
D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角2
α
为第二或第四象限角 C ．函数1
cos 2
y x =+
是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 14．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
???PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心
D ．外心重心内心
17．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
18．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
19．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC
a b c
==，则
∠B 的大小是（ ） A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 20．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=
B ．1a b ?=
C ．a b =
D ．0a b ?=
21．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
22．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
23．已知ABC 的面积为30，且12
cos 13
A =，则A
B A
C ?等于（ ） A ．72
B ．144
C ．150
D ．300
24．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，
，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则
ABC 一定为直角三角形；④若3
B π
=
，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是
)
+∞.以上结论中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
25．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
2
3
26．题目文件丢失！
27．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．3
4
D ．
14
28．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则
ABC ?为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
29．在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A ．
7 B ．
27
C ．2
D ．
21 30．已知ABC 中，1,3,30a b A ?===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
31．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A ．21
33
AB AD - B ．
12
33
AB AD -
C ．21
33
AB AD -
+ D ．12
33
AB AD -
+ 32．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=?，ABC 的面积为3
2
，那么b 等于（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
22
+ D ．2
33．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
34．题目文件丢失！
35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
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一、多选题 1．无 2．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ?=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++?=
+，
()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b -=
-=+-?=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
3．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-
且0λ≠，故D 错误；
故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
4．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ?=-????-=-??
，
解得432
x y ?=???=?，
所以4,23P ??
???
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =，
则()()24124x x y y ?=-?
?
-=-??
，
解得8
33x y ?=???=?，
所以8,33P ?? ???
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心
解析：AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的；
根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→????
==?+=+ ? ?????
，
所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
6．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，
即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
7．ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中
解析：ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C
R B C
+=+＝左边，故该选项正确.
【详解】
对于A ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2
π
，∴a ＝b 或a 2+b 2
＝c 2，故该选项错误；
对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；
对于D ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92
c B b c =?==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且
sin 432
c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B
为锐角且sin 422
c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
9．BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】
由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得sin 2
C =，再由()0,150C ∈??即可得解. 【详解】
由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
，所以1
sin 2sin 2AB B C AC ?===， 又30B =?，所以()0,150C ∈??， 所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
10．AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，
解析：AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有
||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
11．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
12．BCD 【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
13．BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误
解析：BCD 【分析】
根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角
2
α
的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1
cos 2
y x =+
的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；
对于B 选项，2sin sin tan 0cos α
ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0αα
>?
， 则角α为第四象限角，如下图所示：
则
2
α
为第二或第四象限角，B 选项正确；
对于C 选项，作出函数1
cos 2
y x =+
的图象如下图所示：
由图象可知，函数1
cos 2
y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，
tan tan 1A B <，
()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B
π+--∴-=-===cos 0cos cos C
A B
=-
>，cos cos cos 0A B C ∴<，
对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.
14．ABD 【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对
解析：ABD 【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：
()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确．
对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．C 【详解】
试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ?的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则
2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ?的重心；由???PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -?=，即0AC PB ?=，所以
AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ?的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用. 17．A 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】
ABC ?中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，
整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，
cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<< 90A ∴=?，
则此三角形形状为直角三角形． 故选：A
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 18．B 【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．D 【分析】
根据正弦定理，可得
111
tan tan tan 235
A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得
到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosC
a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C
A B C ==，
即
111
tan tan tan 235
A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1
A C
B A
C A C +=-+=-，
∴2
73101k k k =
-，解得k =
∴tan 3B k ==B ＝3
π
．
故选：D . 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，
tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键
20．C 【分析】 取,a b 夹角为3
π
，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】 取,a b 夹角为3π
，则0a b -≠，12
a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 21．B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 22．D 【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】
由题意cos()0a b a b B π?=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴
2
B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 23．B 【分析】
首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求． 【详解】
解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =
，所以5sin 13
A =，所以1
||||sin 302
AB AC A ?=，得到||||626AB AC ?=?， 所以12
|||||cos 62614413
AB AC AB AC A =?=??=； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 24．B 【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2
A B π
+=
，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2
A π
=，因此③正确；
④由正弦定理
sin sin a b A B =得sin sin a B b A ==， 因为三角形有两解，所以
2,332
A B A πππ
>>=≠
所以sin 2A ??
∈ ? ???
，即)
b ∈，故④错误.
故选：B 【点睛】
本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 25．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】
连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点，
所以11
22
AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以
()211132m AB m AD AB AD λ+??+-=+ ???
， 则213
112m m λλ
+?=????-=??
，
解得3
4
λ=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
26．无
27．D 【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】
延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线， 所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB = 代入可得CP mCA nkCB =+
即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-?=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11
,142
nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44
m n =
=