课题：教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的
证明．
教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．
（一） 主要知识：
1.三角函数求值问题一般有三种基本类型：
1.给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；
2.给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；
3.给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．
2.三角函数式的化简要求：
通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：
①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．
3.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.
（二）主要方法：
1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．
4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
5.三角恒等式的证明：
三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．
①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．
（三）典例分析：
问题1．()1已知tan 24πα??+= ???
，求212sin cos cos ααα
+的值；
()2已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．
问题3． ()1求证：
()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα
+-+=；
()2 ()2223cos 4tan cot 1cos 4x x x x
++=
-
问题4．已知()1tan 2αβ-=
，1tan 7
β=-，且(),0,αβπ∈，求2αβ-的值
（四）巩固练习：
1.化简
1tan151tan15+?-?等于 .A .B 2 .C 3 .D 1
2. .A sin 4-.B sin 4.C sin 42cos 4-.D 2sin 4cos 4-
3.（06萍乡模拟）tan tan tan 6666ππππθθθθ????????-++-+= ? ? ? ?????????
.A .B 3 .C .D 3
4.已知3sin 5m m θ-=
+，42cos 5m m θ-=+（2
πθπ<<），则tan θ=
5.tan
cot 88ππ-= .A 1-.B 2-.C 1.D 2
6.tan 204sin 20?+?
7.已知1tan 7α=，1tan 3β=，已知,αβ均为锐角，则2αβ+= .A 4π .B 54π .C 4π或54π .D π
8.已知,αβ均为锐角，且满足223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=. 求证：22παβ+=
9.已知：22tan 2tan 1θ?=+，求证：cos 212cos 2?θ=+
（五）课后作业： 10.1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα
++=+- .A c o t α；.B cot 2α；.C tan α；.D tan 2a
11. (05全国Ⅲ文) 22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα
?=+.A tan α；.B tan 2α；.C 1 ；.D 12
12.
222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+
13.若21cos cos =
+βα，31sin sin =+βα，则 ()βα-cos =
14.已知()sin 22sin αββ+=，求证：()tan 3tan αβα+=
15.(04全国) 已知α为锐角，且21tan =
α，求α
αααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值
（六）走向高考：
16.（06安徽）已知34παπ<<，10tan cot 3
αα+=- （Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求2
25sin 8sin cos 11cos 8
22222αα
α
α
πα++-??- ??
?的值
17.（05福建文）已知5
1cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求x
x x tan 1sin 22sin 2-+的值.
18.（05全国Ⅱ文）已知α为第二象限的角，
3sin 5α=，β为第一象限的角，5cos 13
β=． 求tan(2)αβ-的值．
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角，且445 9 sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 三、例题分析 例1、化简： 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
2011突破难点 （十六）三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2 α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =2 1 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ 3sin20° (cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－4 1cos40°－ 43sin40°+43sin40°－2 3sin 220°
=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2 1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y =2(cos x －2a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )??? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122 ) 2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a = 21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1 ，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；
第七节三角函数的化简与求值 [选题明细表] 知识点、方法题号 三角函数式的化简15 三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13 三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14 一、选择题 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B ) (A)(B)(C)-(D)- 解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B. 2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为α为锐角,即0<α<, 所以<α+<+=. 因为cos(α+)=, 所以sin(α+)=.
所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+) =2×× =. cos(2α+)=2cos2(α+)-1=. 所以sin(2α+)=sin(2α+-) =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =×-× =. 故选A. 3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D ) (A)(B)-(C)(D)- 解析:cos 2α=sin(-2α) =sin[2(-α)] =2sin(-α)cos(-α), 代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),
因为α∈(,π),所以cos(-α)=, 所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D. 4.函数y=的单调递增区间是( A ) (A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z) (B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) (C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z) (D)(kπ-,kπ+)(k∈Z) 解析:y== = = =tan(+), 当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z. 故选A.
课题：二倍角的三角函数 本节考试要求为B 级 一、知识梳理 1、二倍角公式 =α2sin ；=α2cos ；=α2tan ． 2、公式变形 =α2sin ；=α2cos ；=-αcos 1 ； =+αcos 1 ；=-α2sin 1 ；=+α2sin 1 ． 3、技巧：（1）巧变角；（2）切化弦；（3）变逆用；（4）幂升降；（5）变结构；（6）1代换；（7）三兄妹． 二、三基能力强化 1、已知5 3 )4sin( = -x π ，则=x 2sin ． 2、已知θ是第三象限角，且9 5cos sin 4 4=+θθ，那么θ2sin ＝ ． 3、在ABC ?中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C sin 的值为 ． 4、教材习题改编）已知1tan 2tan 1=+-θθ，则=++)4 tan(42tan π θθ ． 5、已知βα,均为锐角，且α αα αβsin cos sin cos tan +-=，则=+)tan(βα ． 三、典例互动 三角函数式的化简：化简的要求 例1：（1）化简)4 cos(6)4sin( 2x x -+-π π ； （2）α αααα2sin ) 1cos )(sin 1sin (cos +--+ 规律总结： 三角函数式的求值：求值的方法 例2：求值：0 01000 1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 又如：ο ο ο ο 78sin 66sin 42sin 6sin ＝
例3：已知),43(ππα∈，3 10 tan 1tan =+αα，求 ) 2 sin(28 2 cos 112 cos 2 sin 82 sin 52 2 π αα α α α --++的 值。 变题：本题条件不变，求 ) 3 sin(cos 22sin 2π ααα- -的值。 例4：已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αtan ，y =βtan ，记)(x f y = （1）求)(x f 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)(x f 的值域 四、课堂反馈 1．已知cos2α＝1 4 ，则sin 2α＝________． 2．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α 等于________． 3．已知α，β，γ∈(0，π 2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于________． 4．定义运算a b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________． 5．(原创题)已知sin θ＝4 5 ，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________． 6．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan(π4－x )·sin 2(π 4＋x ) .
【知识要点】 利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ-+-= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22 αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2 αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+-- 【典型例题】 例1求234cos cos cos cos 9999 π πππ的值. 例2化简下列各式： （1）2sin10cos 20sin 20?-?? （2）22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---（3）66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=，求：（1） 4sin 2cos 5sin 3cos αααα -+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-.
例4已知sin()410πα- =，7cos 225α=，求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角，3sin 5α= ，β为第一象限内的角，5cos 13 β=，求tan （2α-β）的值. 【课堂练习】 1.若sin cos 2sin cos x x x x +=-，则sin cos x x =（ ）.
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（）
A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D．
三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1.
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
高考 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的 重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.● 案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体 会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°= 21 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－2 1 cos40° +2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－4 3 (1－ cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－ 3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°= －2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =4 1 ，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座 等.解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122) 2( 12 a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)故－ 22a －2a －1= 21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12 π，127π ］时，f (x )的反函数
三角函数化简求值专题复习 高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 【例1】求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+ ?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ? ?+ ?=20cos 10cos 20sin 2?? +?=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝ ? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【变式】1、求值 () ? +??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()2 5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23 10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=? ??=??+?=??-?+?=? ?? ? ? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求00 20 210sin 21)140 cos 1140sin 3( ?- 。 分析：原式= 202020210sin 21 140cos 140sin 140sin 140cos 3? -
专题12 三角函数的化简与求值 一、复习目标 1．掌握三角函数恒等变形的一般思路与方法； 2．能利用恒等变形进行三角函数式的化简与求值． 二、基础训练 1．=-15cot 15tan ( ) A ．2 B ．32+ C ．4 D ．32- 2．3,(2),2 P π απ=<<若 则化简P 可得 （ ） A ．2 cos α - B ．2 cos α C ．2 sin α- D ．2 sin α 3． 若α为锐角，且,3 1 )6sin(=- π α则=αcos ． 42 cos 1010)1cos 10170 --= ． 三、典型例题 1．（1）若等于则θ θ θ2sin 12cos ,21tan +- = （ ） A ．2- B ．2 1 - C ．3- D ．3 （2）若71cos = α，??? ??∈2,0πα，则??? ? ? +3cos πα=__________。 2．已知)3 tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π +αα=α=π-α及求
3．化简：2 2221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? ． 4．已知1 0,sin cos 25 x x x π - <<+= ． （Ⅰ）的值求x x cos sin -； （Ⅱ）求2 23sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值．
四、课堂练习 1． 对任意的锐角βα，，下列不等关系中正确的是 （ ） A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 2． 已知,16 3,16π βπ α= = 则 =+?+)tan 1(tan 1βα）（ ． 3． 已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，13 5 cos =β，求) 2tan(βα-的值． 五、巩固练习 1．已知=-=+= +)4 tan(,223)4tan(,52)tan(π βπαβα那么 （ ） A ．51 B ．41 C ．1813 D ．2213 2．若=+=-)232cos(,31)6sin(απ απ则 （ ） A ．97- B ．31- C ．31- D ．9 7 3．若βα，均是锐角，且2 sin cos(),ααβ=-则的关系是与βα （ ） A ．αβ> B ．αβ< C ．βα= D ．2 π αβ+> 4．函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(-=的最小正周期为 ． 5．已知α为锐角，且2 2 sin sin cos 2cos 0,αααα--=则αtan = ，
简单的三角恒等变换——化简与证明 学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧. 学习过程 一、知识清单 1.证明了cos()a b -= ?cos()a b += ?cos()2p a -= ，cos()2 p a += ?sin()a b += sin()a b -= ?tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ?cos 2a = = = sin()a b += ?sin 2a = tan()a b += ?tan 2a = 3.倍角的相对性 sin a = ，cos a = ，tan a = 4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”. 如：降幂扩角公式 2sin a = ；2 cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ； 1sin a += ；1sin a -= . 5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）. 二、范例解析 题型一 三角函数式的化简和证明 1.三角函数式的化简要求：
通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中： ①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值． 2.三角变换的三项基本原则： （1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）； （2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）； （3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）. 例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a +-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a -=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44 a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简） ①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②2 2 1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ ③sin 1cos tan 21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++- ⑤sin sin 2sin cos 22 q f q f q f +-+=. 三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.
三角函数的求值、化简与证明 教学目标 1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正 确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值； 2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。 教学重点 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 教学难点 能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值 教学过程 一、知识归纳 1、两角和与差公式： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()t a n t a n t a n 1t a n t a n αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22t a n t a n 21t a n αα α=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=- 公式变形：1sin cos sin 22 ααα= 21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求： ①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值 ④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数 4、求值问题的基本类型及方法： (1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的 关系。 （2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键 在于变角，使其角相同。 （3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。 5、证明三角恒等式的思路和方法： ①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。 ②证明三角不等式的方法： 比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。 二、典例分析： 题型一：三角函数式的化简 例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。
数学(第 二 轮)专 题 训 练 第九讲: 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂 公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34 (2) 已知=α=α cos ,32 tan 则 .
1. 已知3,1616 π παβ==,则(1tan )(1tan )αβ++（1+tanα）的值为 。 2. 已知5sin 5α=,10sin 10 β=,且,αβ为锐角，则αβ+的值是 。 3. 若cos 222sin() 4απα=--，则sin cos αα+的值为 。 4. 已知()4 3sin 2,,252π πααπ??-=∈ ???,则sin cos sin cos αα αα+-等于 。 5. 若23 5cos 2,3252x x π π=<<,则sin 2x 和tan 2x 的值分别是 。 6. sin50(13tan10)+=___________________。 7. 44sin 22.5cos 22.5-=______________________。 8. 化简22cos() cos()23cos 2tan ()cos ()sin() 2π θθπ ππθθθ+--=?-+?-___________。 9. 已知向量(c o s ,s i n )a b ααββ==，25 5a b -=, 若0,022π παβ<<-<<，且5 sin 13β=-,则sin α的值为_______。 10. 已知23cos ()5cos()12x x π π++-=，求226sin 4tan 3cos ()x x x π+--的值． 11. 已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求) sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπ απαπ----+-的值。 12. 已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+，且(0)8,()126f f π == （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.
三角函数的化简与证明 一、知识点 1、化简 （1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号 （2）化简三种基本类型： 1） 根式形式的三角函数式化简 2） 多项式形式的三角函数式化简 3） 分式形式的三角函数式化简 （3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。 2、证明及其基本方法 （1）化繁为简法 （2）左右归一法 （3）变更命题法 （4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。 3、无论是化简还是证明都要注意： （1）角度的特点 （2）函数名的特点 （3）化切为弦是常用手段 （4）升降幂公式的灵活应用 二、范例解析 例1：（1）已知α为第四象限角，化简：α αααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- （2）已知 360270<<α，化简 α2cos 2 1212121++ 解：（1）因为α为第四象限角 所以原式=α ααααα22 22cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααα ααααα sin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-= （2） 360270<<α，02cos ,0cos <>∴α α
所以原式=2cos 2cos 2cos 1cos 212122cos 1212122ααααα-==+=+=++ 思路点拨：根式形式的三角函数式化简常采用有理化如（1）或升幂公式如（2） 例2、P(55 例1) 试求函数Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值,最小值. 若[0,]2 x π∈呢? 解： 练习：a,b 为何值时，函数()x b a x b a y 22cos 2 sin ++-=的值为2？(a=3,b=1) 思路点拨：注意角度α22-x 与α-x 关系，先化简整理。 例3 _sin(2)sin :2cos()sin sin αββαβαα +-+=求证 练习、求证：()x x x x 4cos 14cos 32cot tan 22-+=+ 思路点拨：要据角度x 与4x 的特点和函数名的特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。 证：左边= ()x x x x x x x x x x x x x x x 2sin 2sin 242sin 41cos sin 2cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin 222222 2222442222-=-+=+=+ 右边=()()() x x x x x x 2sin 22sin 242sin 22sin 2422sin 2112sin 2132222222-=-=---+ 所以左边=右边，即等式成立。 本题采用了左、右归法，从左到右或从右到左见书本。 例4、P 是以F 1, F 2 为焦点的椭圆上一点,且1221,2PF F PF F αα∠=∠= 求证:椭圆的离心率e=2cosa-1 预备：例5 在ΔABC 中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)= C C 2cos 452cos 54++. 证明：C C B A tan )tan()tan(-=-=+π C B A B A tan tan tan 1tan tan -=-+∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan ??=++? 由条件得B C B A tan 3tan tan tan =++ ∴C B A B tan tan tan tan 3??=