摘要 (1)
Abstract (1)
1.前言 (1)
2.预备知识 (2)
2.1带有Peano型余项的泰勒公式 (2)
2.2带有Lagrange型余项的泰勒公式 (3)
2.3函数的泰勒公式(或Maclaurin公式)展开 (4)
2.4常见的Maclaurin公式 (5)
3.泰勒（Taylor）公式的应用 (6)
3.1定义某些非初等函数 (6)
3.2利用泰勒公式求极限 (6)
3.3利用泰勒公式求高阶导数 (7)
3.4泰勒公式在不等式（等式）证明中的应用 (8)
3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计 (9)
3.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用 (10)
3.6.1定理及其证明 (10)
3.6.2定理的应用 (11)
3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 (12)
3.8泰勒公式巧解行列式 (12)
3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解 (14)
4.总结 (15)
谢辞 (16)
参考文献 (17)
关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
韩凯
（咸阳师范学院数信学院陕西咸阳 712000）
摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限、近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。
关键词：泰勒公式；定积分；级数收敛；行列式。
The initial exploration of application on Taylor formula
Han Kai
(Department of mathematics of Xian yang normal university Xian yang Shaanxi 712000) Abstract: Taylor Formula is a very important content of mathematics analysis, it can focally emb ody the soul of “approximation” of calculus, and is extensively applied in most aspects of calculus. By using some examples about it, the present paper elucidates its applications and skills in some aspects, such as limitation, approximation differential coefficient, proof of inequality determinant of series convergence and determinant solving. Through studying the skills above, this paper aims to form special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.
Key words:Taylor Formula, Definite Integral, Series convergence, Determinant.
1.前言
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内陈述了他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，
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因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数，同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握这一公式。
2.预备知识
2.1带有Peano 型余项的泰勒公式
皮亚诺型余项泰勒公式[1]，是各种形式泰勒公式中，所需要条件较少、形式简单，在处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。
定理 设函数()f x 在点o x 处具有n 阶导数，则有
()2''()()()()()'()()()02!!n n n o o o o o o o o f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ??=+-+-+???+-+-?? (1) 证明：记2''()()()()'()()()()2!!n n o o o o o o o f x f x P x f x f x x x x x x x n =+-+-+???+-
()()()R x f x P x =-
显然()R x 在o x 处n 阶可导，从而在o x 的邻域内1n -阶可导，且有
()()'()''()()0n o o o o R x R x R x R x ===???==
由于(1)()n R x -在点o x 处连续，所以lim
o x x →()()0k R x = 0,1,,1k n =???- 为证（1）必须且只需证明lim
o x x →()0()n o R x x x =-。 有前面分析知该极限为0
0未定式，连续运用1n -次洛必达法则得 lim
o x x →1'()()n o R x x x --=lim o x x →(1)()!()n o R x n x x --
注意到(1)()0n o R x -=，由导数定义得
lim
o x x →(1)()n o R x x x -=- lim o x x →(1)(1)()()()()0n n n o o o R x R x R x x x ---==-
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因此lim o x x → ()0()n o R x x x =-，定理得证。
注 01该定理说明当o x
x →时用泰勒公式()P x 近似代替()f x 时，其误差()R x 是比()n o x x -高阶的无穷小。其中()R x =o[()n o x x -
]叫做皮亚诺型余项。 02与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比，该定理对()f x 的假设条件较少，只
需在点o x 处n 阶可导，不需1n +阶导数存在，也不需在o x 的邻域内存在n 阶（连续）导
数，因此应用范围较广。
2.2带有Lagrange 型余项的泰勒公式
定理 若函数()f x 在[],a b 上存在连续1n +阶导数，则[],x a b ?∈，泰勒公式
()()2'()
''()
()
()()()()1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R x n =+-+-+???+-+（1）
其中 ()()11()(),,(1)!n n n f R x x a a x n ζζ++=-∈+
称为拉格朗日余项[2]。
证明：[],x a b ?∈，有
()()2'()''()()()()()()1!2!!n n n f a f a f a R x f x f a x a x a x a n ??=-+-+-+???+-????
显然有()n R a =0，???，()()n n R
a =0，(1)()n n R x += (1)()n f x +。 若令(1)()()n n x x a +ψ=-，则有()n a ψ (1)0,,()0n n a +=???ψ= (1),()(1)!n n x n +ψ=+
在区间[],,a x x ≤b 上连续应用柯西中值定理1n +次，有
112112()()()'()'()'()''()
()
()()'()'()'()''()n n n n n n n n n n n n n n R x R x R a R R R a R x x a a ζζζψψψψζψζψψζ--====--= ??? ()
()()()()()11()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n R R
a R a ζζψζψψζ++-==-
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()()
1(1)!n f n ζ+=+（记1321,n n a x b ζζζζζζζ+=<<
从而得到
()()()1(1)1()1!n n n R x f x a n ζ++=-+
a x
b ζ<<≤ （1）得证。
2.3函数的泰勒公式(或Maclaurin 公式)展开
函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数（Taylor 公式仅有有限项，是用多项式逼近函数。项数无限增多时，得
=+-++-''+-'+ n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000
∑
∞
=-000)()(!)(n n n x x n x f ，
称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数。只要函数)(x f 在点0x 无限次可导，就可写
出其Taylor 级数。称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数，即级数∑
∞
=0)(!)0(n n n x n f 。）
收敛且和恰为)(x f ，则称函数)
(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数（自然要附带展开区间）。 称此时的Taylor 级数为函数
)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式。简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数。当0x =0 时，称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式。
可展条件[3]：
定理(必要条件) 若函数
)(x f 在点0x 可展，则必有)(x f 在点0x 有任意阶导数 。 定理(充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数。则)(x f 在区间
) 0 ( ) , (00>+-r r x r x 内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是：对)
, (0r x U x ∈?， 有0)(lim =∞→x R n n 。其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项。
定理(充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数，且导函数所成函数列)}({)(x f n 一
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致有界，则函数)(x f 可展。
例：展开函数
)(x f 3223x x x =-++，(1) 按x 幂；(2) 按) 1 (+x 幂。 解
3223)0(++-=x x x f ， 3) 0 ()0(=f ， 1) 1 ( )0(-=-f ； 1432+-='x x f ， 1) 0 (='f ， 8) 1 (
=-'f ； 46-=''x f ， 4) 0 (-=''f ， 10) 1 (-=-''f ；
6='''f ，
6) 0 (='''f ， 6) 1 (=-'''f ； 0)()4(==== n f f 。
所以 ， (1) 323223!3)
0(!2)
0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=。
可见 ， x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身。
(2) =+-'''++-''+
+-'+-=32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x 。
2.4常见的Maclaurin 公式
1. ()2
3
()12!3!!n
x n x x x f x e x R x n ==++++???++； ()1()01(1)!x n n e R x x n θθ+=<<+ 2.()()()
3
5
2112sin 13!5!
(21)!m m m x x x x x R x m --=-+-???+-+-()()()()2121co s 01(21)!m m m x R x x m θθ
+-=<<+ 3. ()()2
4221()()co s 112!4!2!m
m
m x x
x f x f x x R x m +===-+-???+-+
()()()()122211co s 01(22)!
m m m x R x x m θθ+++-=<<+ 4. ()()()11a f x x x =+>-
()()()()211112!!n n a a a a a n a x x x R x
n --???-+=+++???++
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()()()()()111101(1)!
a n n n a a a n R x x x n θθ--+-???-=+<<+
5. ()f x =()ln 1x += ()()231123n
n n x x x x R x n --+-???+-+
3.泰勒（Taylor ）公式的应用
3.1定义某些非初等函数
若函数
()f x 在R (或某个区间)上连续,则函数()f x 在R 上存在原函数0()()X
F x f t d t =?，
x R ∈,而这个原函数()F x 不一定可用初等函数表示,如此仿佛陷入了困境。事实上,若
()f x 可运用泰勒公式展成幂级数,则()F x 可表示为幂级数的和函数形式[4]。
例如:函数2()x f x e -=在R 上连续,因而它在R 上存在原函数,但它的原函数()F x 是非初等函数,于是可采用下述方法:
由泰勒公式知, 22
4
21(1)1!2!!n
x n x x x e n -=-+-???+-+???，由于它在任意闭区间上都一致
收敛,于是x R ?∈,它的原函数
()22221000000()(1)(1)(1)
!!!21n n n x
x x t n n n n n n x x x F x e d t d t d t n n n n +∞∞∞-===??==-=-=-??+??∑∑∑???
3.2利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷的求出[5]。 例：求极限2
240co s lim
x x x e x →- 分析：此为00型极限，若用罗比达法则很麻烦，这时可将cos x 和2
2x e 分别用其泰勒展开式代替，则可以简化此比试。
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解：由24co s 12!4!x x x
=-+()2
420x x e +()2224()21022x x x =-++ 得：()2444422111co s (),4!2*2!12x x e
x o x x o x -??-=-+=-+????于是 2
240co s lim
x x x e x →-=0lim x →()444111212x o x x -+=-
有泰勒公式计算的实质是用等价无穷小来计算极限，我们知道，当0x →时，
s i n ,t a n x x x x →→等，
这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们所熟悉的等价无穷小结合，问题又能进一步简化。 例：就极限22011lim (
)sin x x
x →- 解：22011
lim ()sin x x x →-=22220sin lim ()sin *x x x x x →- （*）
下面用泰勒公式法和等价无穷小法结合起来考虑。
1co s 21
1
sin co s 2,222x
x x -==-
用泰勒公式将cos 2x 展开：
cos 2x =()
()
()2442212!4!x x o x -++，
于是
()()()()24
424242211sin 1222!4!3x x x x o x x o x ??=--++=--?????? 将式（*）分子上的2sin x 用上式代替，而分母中的2sin x 用2x 代替，则：
2201
1lim ()sin x x x →-=()4224220[]3lim *x x x x o x x x →---==()444013lim 3x x o x x →+=
3.3利用泰勒公式求高阶导数
例：设cot y arc x = ,求()()0n y .
分析 如果直接求高阶导数,比较麻烦,并且规律性不是很强, 可以考虑利用函数在x =
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0 处的麦克劳林展开式.
解：()()''
246221co t (11)1n n y a rc x x x x x x ==-=--+-+???+-+???+ 1x < ()1 ()357211111135721n n y x x x x x n +??=--+-+???+-?????+?
? ()1357211
111135721n n x x x x x n ++=-+-+-???+-???+ 1x <
又 ()f x 在0x =处的麦克劳林展开式为
()()()00!n n n f y f x x n ∞
===∑
()2
比较()1和()2 中n x 的系数,得
()()200k f =，()()()()()()1
1211021!12!21k k k f k k k +++-=+=-+
这里,我们通过Maclaurin 公式把求解一个复杂的反三解函数的高阶导数转化为多项式函数的高阶导数,而后者的求解是非常简单的.
3.4泰勒公式在不等式证明中的应用
例：设函数
()f x 在[],a b 上具有二阶导数，且()()0f a f b ==，并存在一点(),c a b ∈，使()0f c >，证明至少存在一点(),u a b ∈，使
''()0f u <。 证：因()f x 具有二阶导数，将()f x 在c 点展开成为一阶泰勒展开式：
()()()2
''()()'()2!f f x f c f c x c x c ε
=+-+-（1） 其中ε在x 与c 之间。
（1） 当()''0f c ≤时，在（1）式中取x a =，得：
()()
()2
1''()()'()2!f f a f c f c x c x c ε=+-+-（2） 其中1ε在x 与c 之间。
因为()f a =0，()'0f c >（由已知），且a c <，()'0f c ≤（假设）所以由（2）式得：
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()()12()'()'()02
f c f c x c f a c ε+-=-<-，这里1ε(),a b ∈，故存在一点1ε(),a b ∈，使1''()0f ε<
（2） 当'()0f c ≥时，在（1）中取x b =，得： ()()
()2
2''()()'()2!f f b f c f c b c b c ε=+-+- 其中2ε在b 与c 之间,即2c
b ε<< 因为()0f b =，()0f
c >（已知），()'0f c ≥（假设），c b <由（3）式可得， ()()22()'()''()00,2
f c f c b c f b c ε+->=-<-
因为()2,c b ε∈，而()(),,c b a b ∈，所以()2,c b ε∈，故存在一点()2,c b ε∈，使
1''()0f ε<。综上所述，无论()'f c 为正还是为负，至少存在一点(),u a b ∈，使'()0f u <，
证毕。
3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计
根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日型余项()
()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=-+，如果()()1n f x M +≤ , M 为一定数，则其余项不会超过
()101!n M x x n +-+。由此可以近似地计算某些数值并估计它们
的误差。 例：求ln1.2的近似值，使误差不超过0.0001。
解： 设()()ln 1f x x =+，将其在0x = 0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式
()()()2
31ln 1123n n n x x x x x R x n -+=-
++???+-+ 其中()()()()1
1111n n n n x R x n ξ++-=++ ( ξ 在0 和x 之间)，令0.2x = ，则00.2ξ<<。要使
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()()()()()1110.20.20.000111n n n n R x n ξ+++=<≤++
则取5n = 即可。此时ln 1.2 ≈ 0.2 ? 0.02 + 0.00267 ? 0.00040 + 0.00006 = 0.1823 其误差50.0001R <。
3.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用
3.6.1定理及其证明
泰勒定理：若函数()f x 在点0x 的邻域()0x U 内有连续的1n +阶导数，则()0
x x U ?∈，有()()()()()()()()()()2'''0000000112!!n n n f x f x f x x x f x x x f x x x R x n =+
-+-+???+-+ 其中()()()()011
!x n n n x R x f t x t d t n +=-? 称为积分型余项[8].
为了证明上述定理，我们先证明下面的引理.
引理：若函数()U x ，()V x 在闭区间[],a b 上存在连续的1n + 阶导数，则有
()()()()()()()()()()()()()11'1|b
n n n n n b a a U x V
x d x U x V x U x V x U x V x +-??=-+???+-+???()()()()()111b
n n a U x V x d x ++-? ()1,2,3,n
=??? ()1 证明：01.若1n
=，则有()()()()()()()()''''''|b
b b b a a a a U x V x d x
U x d V x U x V x U x V x d x ==-???()()()()()()'''''||b b b a a a U
x V x U x V x U x V x d x =-+?，结论成立。 02.设当n k =时结论成立，即有
()()()()()()()()()()()()()11'1|b k k k k k b a a x V
x d x U x V x U x V x U x V x +-??=-+???+-???()
()()()111b k k a U x V x d x +++-?。 03.则当1n
k =+时，有()()()()()()()()211|b
b k k k b a a a U x V x d x U x V x U x V
x +++==??()()()1'k b a U x V x d x +-? ()()()1|k b a
U x V x +=-()()()()()()()()()()()()()()()112'''1|1b k k k k k k b a a U x V x U x V x U x V x U x V x d x +-+??-+Λ+-+-????
?
关于泰勒（Taylor ）公式的应用初探
()()()()()()()()()()()()()()12112'1|1b k k k k k k b a a U x V x U x V x U x V x U x V x d x +++++??-+???+-+-???
由01，02，03可知，对所有的自然数n ，()1式成立。
下面我们用引理来证明泰勒定理。
证明：设()()n U t x t =-，()()V t f t =则由引理有
()()()01n x n x x t f
t d t +-=?()()()()
()()()()()()()()()1212'1132|n n n n n n n x x x t f t n x t f t n n x t f t n n x t f t ----??-+-+--+???+-?????-??()()0110x n x f t d t ++-??=
()()()()()()()()()()()()
11'0000000132!!n n n n x x f x n x x f x n n x x f x n f x n f x -------???--????-+-从而有：
()()01'2''()()1()()()()()()()2!!!n x
n n n o o o o o o o x f x f x f x f x f x x x x x x x f t x t d t
n n +=+-+-+???+-+-?泰勒公式亦可以改写为
()()()()()01'0()1()()()()!!n x
n n n o o o o x f x f t x t d t f x f x f x x x x x n n +??-=----???--??
???
3.6.2定理的应用
例1：计算()
1
01n x e x d x -? ()n N +∈ 解：设()x f x e =
，则()()1n x f x e +=，由公式有()
1100001111!11!2!2!!n x n e x d x n e e e e n e n n ????-=--?-???-?=---???- ? ?????? 例2 计算()1
01n m x x d x -?
解：()
()()111
100!111n m n n n m x m x x d x x d x m n +++???-=-??++????()()!!!!1!1!m n m n m n m n ??==??++++?? 例3 计算()
21b
n n a b x d x x +-?，()n N +∈ ()0a b << 解：设()1
f x x =，则()()()()11211!
n n n n f x x +++-+=
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()()()()11111!n n b
n a b x d x n x ++-??- ?+??
? ()()()()()()21231111111!11!n n n n n b a b a b a b a a a a n ++??-=?-+---+???+-??-+????
()11
111n n b a n b ++??- ?-?
?=?+
3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用
定理1 若0n
u >,0n v >且n u ～n v ()n →∞ ,则1n n u ∞=∑与1n n v ∞
=∑ 同敛散性。 定理2 若n n u →∞
∑条件收敛,而n n v →∞∑
绝对收敛,则()n n n u v →∞±∑条件收敛。 利用上述两个定理[4]和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。
例 :判别()1ln 1n p n n →∞??-+ ? ???∑ ，()0p > 的敛散性。
此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。
解:由泰勒公式得()ln 1x +的一阶展开式()()221ln 121x x x ξ+=
-+,ξ在0与x 之间,从而()()()22111ln 121n n p p p n n n
n ξ??--+=- ? ?+??，n ξ在0 与()1n p n -之间,于是 ()()()2222111ln 121n n p p p n n n n n n ξ∞∞==????
--+=- ???
?+???
???∑∑ 因为()21n p n n ∞=-∑当01p <
≤时条件收敛,当1p >时绝对收敛,又由()()2221
10~221p p n n n n ξ<→∞+知, 当1
2
p > 时，()222121p n n n ξ∞=+∑收敛,当102p <≤时发散。所以()21l n 1n
p n n ∞=??-+ ? ???∑，当1
02p <≤时发散，当1
12p <≤时条件收敛,当1p > 时绝对收敛。
3.8泰勒公式巧解行列式
关于泰勒（Taylor ）公式的应用初探
利用泰勒公式计算行列式的主要思路[9]:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可。
下面通过一个例子来具体说明求解过程。
例: 求n 阶行列式的值:
n a
b b b c
a b b D c
c a b c c c a ??????=??????
???????????????
(注: 本例可利用代数知识中的递推法、数学归纳法求解; 这里介绍利用泰勒公式计算, 起到一定的简化作用。)
解: 把行列式n D 看作x 的函数,记()n x
b b b
c x
b b D x
c c
x b c c c x ??????=?????????
????????????,
则n D =()n D a .将()n D x 在x
b = 按泰勒公式展开: ()()()
()()()()()()'''21!2!!n n n n n n n D b D b D b D x D b x b x b x b n =+-+-+???+- 这里()()10000000000n n b b b
b b
c b b
b b D x b b
c c c b b c b c c c c
b c b c -????????????===-???
-???????????????
????????????????????????-，下面求行列式函数Dn (x) 的各阶导数:
()()'
11
00001000001n n x x b b b x b b b c x b b c x b b D x n D c
c c x c c c x -??????????????????=++???+=??????
???????????????????????????????????????????????? 类似地:
()()''
'1n n D x n D x -=
咸阳师范学院2009届本科毕业生论文
??????
()
()()11n n n n D x nD x --=
递推关系还可推出:
()()()'
121n n D x n D x --=-
??????
()()'212D
x D x = ()'
11D x = (因()1D x x =)
则
()()()2'1n n n D
b n D b n b b
c --==- ()()()()()()3'''1211n n n n D
b nD b n n D b n n b b
c ---==-=-- ()()()()()()()4''''''12112n n n n D b nD b n n D b n n n b b c ---==-=---
??????
()()()()()111212n n D
b n n D b n n b -=-???=-??? ()()!n n D b n =
代入()n D x 在x
b = 的泰勒展开式 ()()()()()()
()()()()()
231211121!2!1!n n n n n n b b c n n b b c n n b
D x b b c x b x b x b x b n --------???=-+-+-+???+-+--若b c = 则
()()()()()110001n n n n D x nb x b x b x b x n b --=++???++-+-=-+-????
若b c ≠ 则
()()()()()()()()()()12211!2!n n n n n n n n n n b
n c D x b c b c x b b c b c x b x b x b b c b c ----??=
-+--+-+--+???+---??--??()()()()()
n n n n b x c c x b b
c
b c x b x b b c b c b c ---=-+---=????---
令x a = 得
()()11n n D a b a n b -=-+-???? 当b c =时
关于泰勒（Taylor ）公式的应用初探
()()n n n b a c c a b D b c ---=- 当b c ≠时
结论: 只要行列式函数的各阶导数较易计算, 则应用泰勒公式计算行列式就便利。
3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解
微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程
''()'()0y r x y s x y ++= (1)
的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解()y x 可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成为更为一般的幂级数形式，从而得出了解这类方程的一个重要方法。事实上，若()(),r x s x 在某点o x 的邻域0:D
x x R -<内，可以展开关于0()x x -
的泰勒级数（或幂级数），则方程（1）的解在o x 的邻域D 内也能展开成关于0()x x -的泰勒级数（或幂级数），即()()00n n n y x a x x ∞==
-∑。 例：解微分方程'''0y xy y +
+= 解：显然()(),1r x x s x ==，可在00x =的邻域内展开成泰勒级数，故原方程有形如
()0n n n y x a x ∞
==∑ (2)
的幂级数解。
将（2）及其导数带入原方程得：()1121010n n n
n n n n n n n n a x x na x a x ∞∞∞--===-++=∑∑∑ 即：()()()220232[11]0n n n n a a n n a n a x
∞--=++-+-=∑，令x 的同次幂系数为零，得 2020a a +=，3
13*20a a +=，???，()()2110n n n n a n a --+-=(4)n ≥ 从而021
23,,,23
n n a a a a a a n -=-=-???=-。既有 ()()
()2021111
(1),12*!1*321n n n n n a a a a n n n +-=-=≥???+ 所以其通解为()()()221010011!21*321n
n n n n x y x a a x n n ∞∞+==-??=-+?????+??
∑∑，即 ()()()221201011*321n
x n n y x a e a x n -∞
+=-=+???+∑。
咸阳师范学院2009届本科毕业生论文
4.总结
本文是在阅读大量有关泰勒公式的资料后作出的初步整理，这篇文章主要通过用比较大的篇幅和例子较系统的介绍了泰勒公式的由来、发展经过的有关知识。泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限, 近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式等方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。只有了解了这些知识，在此基础上不断加强训练、不断进行总结，才能牢固掌握，才能善于熟练运用。这样的学习可使学习者养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，形成独特的解题技巧，在数学研究中取得可喜成绩。
谢辞
通过几个月的准备, 从收集、整理到写作，通过阅读大量天线方面的书籍和资料,
通过指导老师张老师一次次耐心的引导与指点，今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了。回想大学期间的点点滴滴真是让人难以忘怀，感慨万分。大学四年的不懈努力让我数学有了更深一步的认识与了解。感谢大学期间所有传授我知识的老师，是她们的细心教导使我有了良好的专业课知识，这是我完成论文的基础。在此，特别向张力娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢她在我撰写论文的过程中给予我极大地帮助。张老师严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；她那循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在此次论文的写作过程，我收获了很多，既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。最后感谢在大学期间给我帮助和鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们，有你们的支持，在以后的人生道路上我将更加自信的走好每一步。
参考文献
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关于泰勒（Taylor）公式的应用初探
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