几种多元统计分析方法及其在生活中的应用[1]

第2章聚类分析及其应用实例

2. 1聚类分析简介

聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统

计分析方法，它们讨论的对象是大量的样品，要求能合理地按各自的特性來进行合理的分类，没有任何模式可供参考或依循，即是在没有先验知识的情况下进行的[']。

聚类分析方法有很多，按不同的分类方式，有不同的分类。按聚类方法的不

同可分为以下几种：

(1)系统聚类法：对所在的指标进行分类，每一次将最相似的两个数据合并

成一类，合并之后和其他数据的距离会重新计算，这个步骤会不断重复下去直至所有指标合并成一类，并类的过程可用一张谱系聚类图描述.

(2)调优法（动态聚类法）：所谓调优法，从表面意思就可以看出是在对n

个对象初步分类后，根据分类后的信息损失尽可能小的原则对分类进行择优调整，直到分类合理为止.

(3)有序样品聚类法：在很多实际问题中，所谓的样品都是相互独立的个体，

因此可以平等的划分。但是有序样品聚类法的存在就是因为在另外一些实际问题中，样品之间是存在着某种联系而在分类中是不允许打乱顺序的。有序样品聚类法开始时将所有样品归为一类，然后根据某种分类准则将其分为二类等等，一直往下分类下去直至满足分类要求。它的思想正好与系统聚类法的相反。

(4)模糊聚类法：利用模糊聚集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有

模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果.

(5)图论聚类法：在处理分类问题中独创性的引入了图论中最小支撑树的概

念。

(6)聚类预报法：顾名思义，就是用聚类分析的方法来在各个领域中进行预

报。在多元统计分析中，判别分析、回归分析等方法都可以用来做预报，但是在

一些异常数据面前，这些方法做的预报都不是很准确，方法也不好准确的实施，

而聚类预报则很好的解决了这一点。可以预见，聚类预报法经过更深入的研究后，一定会得到更加广泛的应用。

按聚类对象的不同，聚类分析可分为2型[对样品（CASES)聚类]与型[对

变量（V ARIABLE)聚类]，两种聚类在方法和步骤上都基本相同.

2. 2聚类分析方法介绍

数学方法在实际应用中是否受欢迎，最主要的一点就是它能不能适用于大型

6

第2章聚类分析及.11；应用实例

计算的问题。图论聚类法、基于等价关系的聚类方法和谱系聚类法在大型问题中

难以快速有效处理数据而应用甚少。基于目标函数的聚类方法因其设计简单，在

实际生活中被广泛运用，其主要思想是将问题转换为带约束条件的非线性优化，

这样就可以运用完备的线性最优化知识解决问题，而且这种方法也易于在计算机

上实现。而伴随着计算机技术的突飞猛进，基于目标函数的聚类方法必定会成为

研究的热点。

2. 2. 1谱系聚类方法

在待分析样本数较小时，通常采用谱系聚类方法（系统聚类法）。谱系聚类法

是按距离准则来对样本进行分类的，例如我们要将样本集X中的〇个样本划分为C

类。那么算法的实现过程如下：首先令这^个样本各自为一个类，此时，总的类数为〇;其次，计算这/7个类别之间的相互距离，合并距离最小的两个样本，这样总得分类数就只有个；然后计算新形成的个类别之间的距离，同样合并最

小的两个类，使类别减少为n-2个，依此原则，继续合并；最后，当总的类别只

剩下C类时，停止计算，分类结束，此时的C类就是聚类的结果。需要注意的是，在此过程中，计算类与类之间的距离的方法有很多种，具体选择什么方法，需要

视具体情况而定。计算类间距离的方法，后续也会有比较详细的介绍。

根据上述聚类原则，我们很快可以知道，对于样本集里的任意两个样本X?和

Xj’它们总是可以聚类到一个类别中去。

“

上述所介绍的，只是谱系聚类算法中的一种，这种算法一般称为聚集法，它

比较适合于类别比较多的时候，当类别较少时，用此种方法就显得计算量非常的大，使得分类效率不高；另一种谱系聚类算法叫做分裂法，它与聚集法初始时将

所有样本卑独分成一类刚好相反，它是将所有样本当成一类，然后在将某些样本

分离出去，形成其他的类别，这样就节省了相当一部分的计算量。在实际运用中，具体选择哪种方法来聚类就得以具体情况为准。

上述算法中的分类仅仅依靠样本间的距离或者类间距离，因而，距离的计算

决定了分类结果。距离的计算种类有：闽可夫斯基距离（包括街区距离、欧氏距

离和切比雪夫距离等），也可以选择马氏距离、角度相似性函数或者Taniraoto测度。

其中马氏距离定义

DI = - m)' C~' - m)

(2—1)

这里X为模式向量，w为均值向量，C为模式总体的协方差矩阵.马氏距离的优点k

是排除了模式样本之间的相关性影响.比如，我们取一个模式特征向量，可能有九

7

第2章聚类分析及用实例

如果B类是由E和F两类合并而成的，则有

2.最长距离法[9】

与上述相似，两个聚类A和B间的最长距离定义为

=max{i/J a e e 5}

(2—5)

同样地，如果B类是由E和F两类合并而成的，贝max

3.中间距离法[9]

如果B类是由E和F两类合并而成的，则A类和B类之间的距离为

(2-6)

它介于最长距离和最短距离之间.

4.重心法

上述定义的类间距离没有考虑每一类中包含的样本数目，如果E类中有个

样本，F类中有个样本，则E和F两类合并后共有+?,.个样本.用”）

fP"'//工、代替中_距离、法中的系数，即得：重心、法的类与类之间的距离递推公/l?A- +?/■■；

式为

D,. ?

(2-7)

V n, + n, n, +n, (?/:.+?,)—

5.类平均距离法[9]

如果采用类间所有距离的平均距离，则有

Da,B = Yj ^Ih

(2-8)

V oA,heB

不难得到类平均距离的递推公式为

D,、b =

(2-9)

V ?// + n〉n,,. + n,,-

由于定义类间距离的方法不同，使分类结果不太一致.实际问题中常用几种不

同地方法进行计算，比较其分类结果，选择一个比较切合实际的分类.对于上述五种定义类间距离的方法，可采用统一的递推公式：

~ ^E^AJi + ^F^AJ'七PD丨“1: + 7\D^J；-

（2-10)

由此，我们可以得到五种类间距离递推公式中的权系数，如表1所示，其中

9

第2章聚类分析及ji；应用实例

n, ^n, +n,,即B类样本数目是E和F类样本的合并。

表2-1统一类间距离递推公式中的权系数

Table2-1 The Weight Coefficient in The Recurrence Formula of Distance Between the Unified Class

方法

a、: a,,.

P 7 空间性质

最短距离法0. 5 0.5 0 -0.5 HI缩

最长距离法0.5 0.5 0 0.5 扩张

类间平均距离法nJriB ?/./"/} 0 0

保持

重心法〇/;/??

- n,:/1,, / nl 0

保持

中间距离法0.5 0.5 -0.25 0 ^

2. 2. 2基于等价关系的聚类方法

由离散数学中关于关系的描述我们知道，定义在集合Z = ^[;c,，x,,上的关

系如果具有自反性、对称性和传递性则被称为等价关系.设义是一给定集合，尤…，是它的子集，如果满足[9】：

X! nXj 二(j)，V/,7 = 1,2,"?<;，/ 半j

X^yjX^Kj^--KjX^=X

则集合尸=, ,…，X《被称为集合的一个划分，而，被叫做这

个划分的块.若是集合上的等价关系，对于任意一个元素X, 可以构造一

个X 的子集，叫做X,对于的等价类，[x,],, = e X,Kx.RXj\.

对于这种集合，它具有下列性质：

(1) x, e[x丄；

(2)如果Xy e [x, \，则必有[xy. = [x, L ；

(3)若X广[x^ L，但?生V. L，则必有k ]r。L = .

由此可知，集合Z上的等价关系7?所构成的类，两两互不相交，而且覆盖整

个集合JT .我们得到如下定理：集合X上的等价关系R所构成的类产生集合X的10

个分量是反映同一特征A，而只有一个分量反映另一特征B，欧氏距离计算出來的结果将绝大部分反应特征A，而弱化了特征B，而马氏距离去除了相关性后，据规避了这个缺点。通过式（2.1)我们可以看出，当C为对角阵时，各特征分量相互

独立，同时，我们还发现，欧氏距离其实就是协方差矩阵C等于单位矩阵I时的一个特例。可以看出，在这种条件下模式样本集的概率分布不仅各分量之间不相关，而且其密度函数的等高线为圆（或者超球面），即各分量方向上的密度分布是均匀的

需要指出的是，计算协方差矩阵是计算马氏距离的关键所在，但是我们只有

在模式集给定的情况下，才能计算出协方差矩阵，遗憾的是这个条件很难实现。角度相似性函数定义为

‘士^^ (2-2)

是模式向量;C与X之间的夹角余弦，也就是X的单位向量II与X的单位向量

* ‘

‘

/IW ‘

II之间的点积.夹角余弦的测度反映了几何上相似形的特征，它对于坐标系的

/KII

旋转及缩放时不变的，但对位移和一般的线性变换则并不具有不变性的性质. Tanimoto测度是将夹角余弦度量进行细小的修改后得到的，主要用于具有{0，1} 二值特性的情况[”。其具体定义为

共有的特征数目，

xlx,

= ；Cf或；Cj.中占有的特征数目之总数一

不过，相似性测度函数的共同点都涉及到把两个相比较的向量X和X的分量

k

j

值组合起来，但怎样组合并无普遍有效的方法，对于具体的模式分类，需视情况作适当的选择[8]。

在谱系聚类算法中，每次迭代中形成的聚类之间以及它们与各个样本之间的

距离，有多种不同的准则函数[7]。

1.最短距离法[9]

假设A和B是两个聚类，则两类间的最短距离定义为

j | a e A,b e b]

(2—4)

式中，（力表示A类中的样本X。和B类中的样本之间的距离.表示A类中所

有样本与B类中所有样本之间的最小距离.

8

第2章聚类分析及其应用实例

￡(? -^j)

?=I 广' n.

(2-14)

Jpr 叫pr 又J"

这里，七=—XX.i，■^J ~ ~ X ^A . S k=\

S

4.指数相似系数

5

r".=—文e' si

(2-15)

S k^\

这里，是第A个特征的方差，

=-^(? ‘k = \’2,…，S

(2-16)

“M

5.最大最小法

^min(x?,x^J

r,

(2-17)

Jmax(x?,x^J

/c=l

6.算术平均最小法

Emm(x?,x^J

r? = ^

(2—18)

Z k = \

7.算术平均最小法

Emin(x?,x^J

r,丨-

(2-19)

舍t(?+?）

L 人--1

8.几何平均最小法

Emin(x,,,x^J

r, = ^

(2-20 )

y s ^^

k=\

9.绝对值指数法

12

笫2苹聚类分析及K:应用实例

一个划分，此划分叫做Z关于的商集，记做例如，同余关系i?‘对整数集/

产生的商集就是模C的剩余类[9]:

///?,={[0],,.,[lL,..,[c-4.}

由上述讨论可知，在给定集合Z上定义一个等价关系，就决定集合;r的一种

划分.显然，这样的划分是硬分割，我们可以把这一概念推广到模糊关系上来[9]。由于模糊等价关系及是论域与自己笛卡尔乘积jxl上的一个模糊集合，

而模糊集合的任何a(0 S a S 1)截集及?都是X X X上的一个普通集合，即为X上的普通等价关系，也就得到了关于X中对象元素的一种分类.当〇由1下降为0时，

所得到的分类由粗变细，逐渐归并，从而形成一个动态的聚类谱系图.由此可见，分类对象集Z上的模糊等价关系的建立是这种聚类分析方法中的一个关键性的

环节[9]。

为了建立分类对象集合X上的模糊等价关系瓦，通常需要首先计算各个分类

对象之间的相似性统计量，建立分类对象集合I上的模糊相似关系= k]，

?、L IJ Jfjxn

0

象的相似性统计量的方法有如下几种[9]。

1.夹角余弦法

■S

广’J =广'.

(2-11)

V k=\ k=\

2.数量积法

'1

i = j

r,j = ‘ 1

(2-12)

Mtl

I* ]

这里，M是一个适当选取的正数，并且满足

M > max|^X丨k(2-13)

3.相关系数法

11

笫2苹聚类分析及;用实例

即合成的传递闭包：

巧==充。瓦.，R:=R^or；,……

这样下去，就必然存在一个自然数I使得巧* = R'。紀?这时，^便是一个模糊

等价关系了.在此基础上，我们就可以利用不同水平下的截集得到该水平上的聚类

结果，所有不同水平的聚类结果形成聚类的谱系图[9]。

2. 2. 3图论聚类方法

图论聚类方法最早是由Zahn提出来的，又称作最大（小）支撑树聚类算法.

后来经过人们加以改造从而可以实现模糊聚类分析.图G中一条长度为尺的路径

(Path ) P是一系列连接的结点，P =々x,，X2，".,Xa.+,〆，其中对

V/ e (0,Ar),(x,,x,+|)e E ；如果图G中没有一条非零长度的路径P = ,

且X, =Xh,，则称图G不包含环（Cycle);图G的支撑树〈]是指由连接所有结点的

?-1条边构成的无环图pr，r].显然，一个图中当且仅当任意两对结点之间

只有一条路径时才是树，通常在一个图G中可以构造多个支撑树[1,7；如

果我们给图中每条边e赋以权值，那么所谓的最小支撑树（Minimum Spanning

Tree, MST)是指满足下列条件的支撑树：

w(MST ) = minj^ w(e)|

对于一棵树如果移去一条边e,则生成两组连通的结点jc又和

A=X-A,我们定义y为共环边⑼，

0" = |e,.-|x, e A,Xj- e A,A = X -jj

(2-26)

也就是说，f为图[X,G]中连接两组节点J和：？的一组边；森林是指不包含

环的非联通图，其中的每一个联通的部分被称为一棵树。

下面的定理给出了构造最小支撑树的充分必要条件.即：是图G的最小支撑

树的充分必要条件是，对于所有的边其共环边y满足

14

第2帝聚类分析及其应用实例

"Z

= e '=丨

(2'21)

10.绝对值倒数法

'1

i = j

r =——M

(2-22)

y

s

3?I i* j

.i=l

这里，M是一个适当选取的数，使得SI.

在实际应用中，由于所获取的分类对象的数据比较复杂，往往不是[0,1]区间中

的数，因此首先需要把各个原始数据标准化.假设被分类的对象一共有n个，对于每一维特征Xt共有〇个原始数据，设为x;"x'2”…，x:p把它们叫做这一特征的各

个元素.为了把这些数据标准化，首先计算每一维特征的均值和方差[iG]:

^=-1? ‘

(2-23)

H /=1

n /=1

下式（2.24)是求数据标准化值X；；的公式

X：

(2-24)

Sk

对上式（2.24)求出的值进行极值标准化，就能确保所有被标准化为[0，1]闭区间内的值，极值标准化公式为：

?5 -:?“

(2-25)

max 工Amin

上式中，是指x;;，x丨”中的最大值，而指最小值-

得到待分类对象集X上定义的模糊相似性关系足后，还要进一步改造成为模

糊等价关系足由前面有关模糊关系的介绍可知，模糊相似性关系足.满足自反性

和对称性，但一般而言并不满足传递性，也就是说，它并不是模糊等价关系.因此，为了聚类我们必须采用传递闭包的性质，将这种模糊相似性关系足改造为模糊等

价关系民[9〗。

13

第2韋聚类分析及jl;应用实例

6" r\T = {￠^), w{e) < w{s), s ^ 0'人s * e).

在传统的图论聚类分析，首先把待分类的对象X = ^[xi，x2,…，〃看作一

个全连接的无向图G = 中的结点，然后给每一条边赋以权值，比如我们可以

用任意两个结点(X,, Xj)在特征空间的汉明距离定义边e丨J (1 < /，j < n)的权值为w{e,j) = ||x, - Xj II, x,,xj e X

然后，我们再对该组对象进行聚类分析，其具体步骤再次就不多讲.

下面，我们主要介绍模糊最大支撑树算法的具体步骤

步骤一：建立分类对象集上的模糊相似关系，构造模糊图：

(1)计算各个分类对象之间的相似性统计量r".,/,y = l,2,…，n ,建立分类对象集

Z上的模糊相似关系瓦=h]；

‘、L tj

(2)将^^表示成由〇个结点所构成的模糊图6二|^，五1，使G中的任意两个结点与Xj之间都有一条边相连接，且赋该边的权值为r,j.

步骤二：构造模糊图G上的最大模糊支撑树：

；：'

(1)找出图G中最大权值的边?；

(2)将存放在集合C中，将边上的新结点放入集合r中，若r中已含有所有

?个结点时，转至（4);

(3)检查r中每个结点与r外的结点组成的边的权值，找出其中最大者转至(2)；

(4)结束，此时G中的边就构成了G的最大模糊支撑树!；?.

步骤三：由最大模糊支撑树进行聚类分析：选择某一个〇值对炎,=j作截集，

将r■中小于〇的边断开，使相连的各结点构成一类，当a由1下降到0

时，所得到的分类由细变粗，各结点所代表的分类对象逐渐归并，从而

形成一个动态聚类谱系图.

2. 2. 4基于目标函数的模糊聚类分析

15

第2章聚类分析及：U:应用实例

实际中最常用的是基于目标函数的模糊聚类方法，即把聚类归结成一个带约

束的非线性规划问题，通过优化求解获得数据集的模糊划分和聚类.该方法具有设计简单、解决问题的范围广、可转化为优化问题而借助经典数学非线性规划理论求解以及易于在计算机上实现等诸多方面的优点，因而深受广大学者的喜欢，成为最常用的一种聚类分析方法.伴随着计算机的应用和发展，基于目标函数的模糊聚类算法成为新的研究热点

在基于目标函数的聚类算法中模糊C均值（FCM，Fuzzy c-Means)类型算法

的理论最为完善、应用最为广泛.模糊C均值类型的算法最早是从硬聚类目标函数的优化中导出的.为了借助目标函数法求解聚类问题，人们利用均方逼近理论构造了带约束的非线性规划函数，从此类内平均误差和（WGSS, Within-Groups Sum of Squared Error) J,成为聚类目标函数的普遍形式.为极小化该目标函数而采取的Pikard迭代优化方案就是著名的硬C均值（HCM)算法和ISODATA(Iterative

Self-Organizing Data Analysis Technique A)算法?模糊划分概念提出后，Dunn

首先把WGSS函数J,扩展到J2——类内加权平均误差和函数，后来Bezdek又引入一个参数m，把推广到一个目标函数的无限族，并给出了交替优化（AO, Alternative Optimization)算法，即为人们所熟知的FCM算法?从此，奠定了FCM 算法在模糊聚类中的地位.下面我们从以下几个方面来逐步介绍基于目标函数的

模糊聚类分析法['3].

(1)数据集的e划分

给定数据集；^ = ^^,1:，...,1?；1〔/?'-为模式空间中〇个模式的一组有限观测样

本集，X,

…;eiT为观测样本&的特征矢量或模式矢量，对应特征

空间中的一个点，Xkj为特征矢量Xk的第_/维特征上的赋值.对给定样本集X的聚类分析就是要产生i的C■划分

由上面有关聚类分析的数学模型可知，数据集I的C划分得到的C个子集

如果满足下式的条件，则称之为X的硬C划分

…uZc =jr ~

X0 Xk = < i ^ k < c ‘

(2-27)

X,

X,\

如果用隶属函数//,vt =表示样本X?与子集毛的隶属关系，则

硬C划分也可以用隶属函数表示，即用C个子集的特征函数值构成的矩阵

16

第2帝聚类分析及其应用实例

个矢量间的距离来度量.J、{CJ，P)表示了各类中样本与其典型样本的误差平方和. 利用/?，Ji(?7，P)也可以表示为

J人=

伙

1

k=\ /=1

32)

e Mhc

聚类准则为寻求最佳对以使得在满足& 条件下为最小.

解决这类优化问题最常用的方法是用迭代法求取的近似最小值

Dunn按照Ruspini定义的模糊划分的概念，把硬聚类的目标函数推广到模糊

聚类的情况.为了避免产生平凡解，保证这一推广有意义，Dunn对每一个样本与每类原型间的距离用其隶属函数平方加权，从而把类内误差平方和目标函数扩展为类内加权误差平方和目标函数

1

k=\ /=1

\l-66)

s.tU e Mjc

(3)模糊c均值聚类算法

为了优化聚类分析的目标函数，人们提出了现在相当流行和应用广泛的模糊c

均值（FCM, Fuzzy c-means)聚类算法.该算法是从硬c均值（HCM, Hard c-means) 聚类算法发展而来的HCM算法用于求解满足式中的尸)为最小时的分类结

果.以下给出FCM算法的具体步骤?:

初始化：给定聚类类别数C，2

始化聚类原型模式p(°),设置迭代计数器6 = 0;

步骤一：用下面两式计算或更新划分矩阵t/(十

对于V/,A：,如果则有

〉2 "11 _1

,、C f Ab)

必=\L ik

(2-34)

y=i \"jk J

如果3/，r，使得￠￠)=0,则有

= 1,且对y 本r,ju-p = 0

(2-35)

18

%2章聚类分析及其应用实例

步骤二：用下式更新聚类原型模式矩阵

p 产、、二过

，/ = 1,2.--.,C

(2-36)

1("”广

k=\

步骤三：如果则算法停止并输出划分矩阵t/和聚类原型尸，否

则令6 = Z) + l，转向步骤一.其中I.I为某种合适的矩阵范数.

对于HCM算法的具体步骤，大家可以参照西安电子科技大学出版社出版的由

高新波著作的〇模糊聚类分析及其应用一书〈.FCM算法还具有另一种形式，即从初始化模糊划分矩阵开始，先用上一公式计算聚类原型（中心）矩阵，然后用上上公式更新模糊分类矩阵，直到满足停止准则为止["].

由以上算法不难看出，整个计算过程就是反复修改聚类中心和分类矩阵的过

程，因此常称这种方法为动态聚类或者逐步聚类法.几经修补，该算法的收敛性已

经得以证明：FCM算法能从任意给定初始点开始沿一个迭代子序列收敛到其目标函数的局部极小点或鞍点.对于满足下列条件的集合FCM算法可以收敛

到局部最优解，这样的被称作模糊聚类的解集["1:

VUeM^^,J^(u\P')

(2-37)

\jp^r\j?[u\p')

(2-38

第2章聚类分析及其应用实例

U = [//? ]??来表示.矩阵t/中的第/行为第/个子集的特征函数，而矩阵t/中的第A

歹J为样本相对于c个子集的隶属函数[“].则工的硬C划分空间为

=jt/e e {0,1}，Va; J//,* = l,V;t;0 < < ?, ▽/} (2-28)

I

/=1

k=\

J

Ruspini利用模糊集理论把隶属函数//,?从{0,1} 二值扩展到[0,1]区间，从而把

硬C划分概念推广到模糊C划分，因此X的模糊C划分空间为

M,. =|t/ e e [0,4V/，A：;文//,女=1，V A:;0< < n,V/l (2-29)

[

/=1

k=\

J

由于模糊划分可以得到样本分属于各个类别的不确定性程度，建立了对于类

别的不确定性的描述，因此更能客观地反映现实世界在划分结果中，模糊划分

还能指明划分的外围、不同划分块间的衔接和离散的情况，因此能挖掘出更多的A 细节信息[，

应用多元统计分析课后答案

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密 度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度 函数的维数小于p 。 2.2设二维随机向量1 2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设1 2()X X '的均值向量为()1 2μμ'=μ，协方差矩阵为21 122212σσσσ?? ? ?? ，则其联合分布密度函数为 1/2 12 2 2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--???????? '=---?? ? ??? ?????? x x μx μ。 2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为 12121222 2[()()()()2()()] (,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----= -- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断 1X 和2X 是否相互独立。 （1）解：随机变量 1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 11212122 2[()()()()2()()] ()()()d x c d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--? 1221222222 2()()2[()()2()()]()()()() d d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----? 121 222202()()2[()2()]()()()() d d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------= +----? 221212222 2()()[()2()] 1()()()()d c d c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a ------=+= ----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为 ()2 12 b a -。

多元统计思考题及答案

《多元统计分析思考题》 第一章 回归分析 1、回归分析是怎样的一种统计方法，用来解决什么问题 答：回归分析作为统计学的一个重要分支，基于观测数据建立变量之间的某种依赖关系，用来分析数据的内在规律，解决预报、控制方面的问题。 2、线性回归模型中线性关系指的是什么变量之间的关系自变量与因变量之间一定是线性关系形式才能做线性回归吗为什么 答：线性关系是用来描述自变量x 与因变量y 的关系；但是反过来如果自变量与因变量不一定要满足线性关系才能做回归，原因是回归方程只是一种拟合方法，如果自变量和因变量存在近似线性关系也可以做线性回归分析。 3、实际应用中，如何设定回归方程的形式 答：通常分为一元线性回归和多元线性回归，随机变量y 受到p 个非随机因素x1、x2、x3……xp 和随机因素?的影响，形式为： 01p βββ???是p+1个未知参数，ε是随机误差，这就是回归方程的设定形 式。 4、多元线性回归理论模型中，每个系数（偏回归系数）的含义是什么 答：偏回归系数01p βββ???是p+1个未知参数，反映的是各个自变量对随机变 量的影响程度。 5、经验回归模型中，参数是如何确定的有哪些评判参数估计的统计标准最小二乘估计法有哪些统计性质要想获得理想的参数估计值，需要注意一些什

么问题 答：经验回归方程中参数是由最小二乘法来来估计的； 评判标准有：普通最小二乘法、岭回归、主成分分析、偏最小二乘法等； 最小二乘法估计的统计性质:其选择参数满足正规方程组， （1）选择参数01 ??ββ分别是模型参数01ββ的无偏估计，期望等于模型参数； （2）选择参数是随机变量y 的线性函数 要想获得理想的参数估计，必须注意由于方差的大小表示随机变量取值 的波动性大小，因此自变量的波动性能够影响回归系数的波动性，要想使参数估计稳定性好，必须尽量分散地取自变量并使样本个数尽可能大。 6、理论回归模型中的随机误差项的实际意义是什么为什么要在回归模型中加入随机误差项建立回归模型时，对随机误差项作了哪些假定这些假定的实际意义是什么 答：随机误差项?的引入使得变量之间的关系描述为一个随机方程，由于因变 量y 很难用有限个因素进行准确描述说明，故其代表了人们的认识局限而没有考虑到的偶然因素。 7、建立自变量与因变量的回归模型，是否意味着他们之间存在因果关系为什么 答：不是，因果关系是由变量之间的内在联系决定的，回归模型的建立只是 一种定量分析手段，无法判断变量之间的内在联系，更不能判断变量之间的因果关系。 8、回归分析中，为什么要作假设检验检验依据的统计原理是什么检验的过程

应用多元统计分析习题解答典型相关分析Word版

第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,, ,)p X X X =X 、(2)(2)(2) (2) 12(,, ,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1)()(1) ()(1) ()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=++ +a X ()(2)()(2) ()(2) ()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠ 2. 0(,1,2,,) (,)0 ()0() i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X =X

应用多元统计分析试题及答案

一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A

和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S

多元统计分析模拟考题及答案

一、判断题 （ 对 ）112(,,,)p X X X X '=L 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 ）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （ 对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。 （ 错）5),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，,X S 分别是样本均值和样本离差阵，则, S X n 分别是,μ∑的无偏估计。 （ 对）6),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，X 作为样本均值μ的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错）7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对）8因子载荷阵()ij A a =中的ij a 表示第i 个变量在第j 个公因子上的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher 判别与距离判别等 价。 （对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher 判别法对总体的分布无特定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵． 2、设∑是总体1(,,)m X X X =L 的协方差阵，∑的特征根(1,,)i i m λ=L 与相应的单 位正交化特征向量 12(,,,)i i i im a a a α=L ，则第一主成分的表达式是 11111221m m y a X a X a X =+++L ，方差为 1λ。 3设∑是总体1234(,,,)X X X X X =的协方差阵，∑的特征根和标准正交特征向量分别 为：' 112.920(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)U λ==--- ' 221.024(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)U λ==- '330.049(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)U λ==--

多元统计分析课后习题解答_第四章

第四章判别分析 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。 答：设p维欧几里得空间中的两点X= 和Y=。则欧几里得距离为 。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。 设X,Y是来自均值向量为，协方差为 的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)= 。当 即单位阵时，

D(X,Y)==即欧几里得距离。 因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。 试述判别分析的实质。 答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk是p维空间R p的k个子集，如果 它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p维空间 构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。 简述距离判别法的基本思想和方法。 答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。

①两个总体的距离判别问题 设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是 1 和 2， 对于一个新的样品X ，要判断它来自哪个总体。计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2（X ，G 2），则 X ，D 2（X ，G 1）D 2（X ，G 2） X ，D 2（X ，G 1）> D 2（X ，G 2， 具体分析， 2212(,)(,) D G D G -X X 111122111111 111222********* ()()()() 2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2() 22()2() ---''=-++-' +? ?=--- ??? ''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ 记()()W '=-X αX μ 则判别规则为 X ，W(X)

多元统计分析题

多元统计分析模拟试题（两套：每套含填空、判断各二十道） A卷 1)判别分析常用的判别方法有距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法、逐步 判别法。 2)Q型聚类分析是对样品的分类，R型聚类分析是对变量_的分类。 3)主成分分析中可以利用协方差矩阵和相关矩阵求解主成分。 4)因子分析中对于因子载荷的求解最常用的方法是主成分法、主轴因子法、极 大似然法 5)聚类分析包括系统聚类法、模糊聚类分析、K-均值聚类分析 6)分组数据的Logistic回归存在异方差性，需要采用加权最小二乘估计 7)误差项的路径系数可由多元回归的决定系数算出，他们之间的关系为 P e=√1?R2 8)最短距离法适用于条形的类，最长距离法适用于椭圆形的类。 9)主成分分析是利用降维的思想，在损失很少的信息前提下，把多个指标转化 为几个综合指标的多元统计方法。 10)在进行主成分分析时，我们认为所取的m（m

多元统计分析自己写

多元统计分析有哪些应用? 比较 关系 预测 分类 评价 各种应用对应的多元统计分析方法 比较：多元方差分析 关系：回归模型 预测：回归模型 分类：聚类分析与判别分析、回归模型 评价：主成分分析与因子分析 ?多元回归、logisitic回归、Cox回归、Poisson回归 多元统计分析方法主要内容 多元T检验、多元方差分析 ?Hotelling T2 ?multivariate analysis of variance (MANOV A) 多元线性回归(multivariate linear regression) logistic回归(logistic regression) Cox比例风险模型(Cox model) Poisson回归(Poisson regression) 聚类分析(cluster analysis) 判别分析(discriminant analysis) 主成分分析和因子分析 生存分析 本课程的要求 上机做练习，分析实际资料 学会看文献，判断统计分析的应用是否正确 统计软件SAS，或Stata, SPSS10.01 考试： 理论占30%，实验占70% 二、多元统计分析的基本概念 研究因素从广义的角度看，所有可以测量的变量都可以成为研究因素，比如：年 龄、性别、文化程度、人体的各种生物学特征和生理生化指标环境因素、心理因素等。狭义来看，研究因素是指可能与研究目的有关的影响因素 多元统计分析对多变量样本的要求 ①分布：多元正态分布、相互独立、多元方差齐 ②样本含量 目前尚没有多元分析的样本含量估计方法，一般认为样本含量应超过研究因素5-10倍以上即可。 数值变量→分类成有序分类变量 哑变量的数量=K-1（K为分类数）

高惠璇多元统计分析习题答案

第四章 4-1 设 ?????++=+-=+=,2,2,332211εεεb a y b a y a y ).,0(~32 3321I N σεεεε?? ?? ??????= （1）试求参数b a ,的最小二乘估计； （2）试导出检验b a H =:0的似然比统计量，并指出当假设成立时，这个统计量是分布是什么？ 解：（1）由题意可知 .,,,211201321 321??? ? ??????=??????=??????????=??????????-=εεεεβ b a y y y Y C 则 ??????????????????? ?-?????? ????????????-??????????-==--321' 1 ''1'211201************)(?y y y Y C C C β .??)2(51)2(6132321??????=???? ? ?????+-++b a y y y y y （2）由题意知，检验b a H =:0的似然比统计量为 2 3 2 2 ? ??? ? ??=σσλ 其中，])?2?()??2()?[(3 1?23 22212 b a y b a y a y --++-+-= σ 。 当0H 成立时，设0a b a ==，则 ?????+=+=+=,3,,303202101εεεa y a y a y ,311???? ? ?????=C 可得

,?)3y (111311311311)(?0321321' 1 ''1'a y y y y y Y C C C =++=??? ? ? ????????? ? ?????????? ? ??????????????????????==--β ],)?3()?()?[(3 1?20320220120a y a y a y -+-+-=σ 因此，当假设0H 成立时，与似然比统计量λ等价的F 统计量及其分布为 ).1,1(~???2202 F F σσ σ -= 4-3 设Y 与321,,x x x 有相关关系，其8组观测数据见表4.5. 表 4.5 观测数据 序号 1x 2x 3x Y 1 38 47.5 23 66.0 2 41 21. 3 17 43.0 3 3 4 36. 5 21 36.0 4 35 18.0 14 23.0 5 31 29.5 11 27.0 6 34 14.2 9 14.0 7 29 21.0 4 12.0 8 32 10.0 8 7.6 （1）设εββββ++++=3 322110x x x Y ，试求回归方程及决定系数2 R 和均方误差2 s 。 解：用sas 软件的编写程序如下： title ' "应用多元统计分析" p171 习题4-3'; data xt43;

数学建模多元统计分析

实验报告 一、实验名称 多元统计分析作业题。 二、实验目的 （一）了解并掌握主成分分析与因子分析的基本原理和简单解法。 （二）学会使用matlab编写程序进行因子分析，求得特征值、特征向量、载荷矩阵等值。（三）学会使用排序、元胞数组、图像表示最后的结果，使结果更加直观。 三、实验内容与要求

四、实验原理与步骤 （一）第一题： 1、实验原理： 因子分析简介： (1) 1.1 基本因子分析模型 设p维总体x=(x1,x2,....,xp)'的均值为u=(u1,u2,....,u3)'，因子分析的一般模型为 x1=u1+a11f1+a12f2+........+a1mfm+ε 1 x2=u2+a21f1+a22f2+........+a2mfm+ε 2 ......... xp=up+ap1f1+fp2f2+..........+apmfm+εp 其中，f1,f2,.....,fm为m个公共因子；εi是变量xi(i=1,2,.....,p)所独有的特殊因子，他们都是不可观测的隐变量。称aij(i=1,2,.....,p;j=1,2,.....,m)为变量xi的公共因子fi上的载荷，它反映了公共因子对变量的重要程度，对解释公共因子具有重要的作用。上式可以写为矩阵形式 x=u+Af+ε

其中A=(aij)pxm 称为因子载荷矩阵；f=(f1,f2,....,fm)'为公共因子向量；ε=(ε1,ε2,.....εp)称为特殊因子向量 (2) 1.2 共性方差与特殊方差 xi的方差var(xi)由两部分组成，一个是公共因子对xi方差的贡献，称为共性方差；一个是特殊因子对xi方差的贡献，称为特殊方差。每个原始变量的方差都被分成了共性方差和特殊方差两部分。 (3) 1.3 因子旋转 因子分析的主要目的是对公共因子给出符合实际意义的合理解释，解释的依据就是因子载荷阵的个列元素的取值。当因子载荷阵某一列上各元素的绝对值差距较大时，并且绝对值大的元素较少时，则该公共因子就易于解释，反之，公共因子的解释就比较困难。此时可以考虑对因子和因子载荷进行旋转（例如正交旋转），使得旋转后的因子载荷阵的各列元素的绝对值尽可能量两极分化，这样就使得因子的解释变得容易。 因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两种，这里只介绍一种普遍使用的正交旋转法：最大方差旋转。这种旋转方法的目的是使因子载荷阵每列上的各元素的绝对值（或平方值）尽可能地向两极分化，即少数元素的绝对值（或平方值）取尽可能大的值，而其他元素尽量接近于0. (4) 1.4 因子得分 在对公共因子做出合理解释后，有时还需要求出各观测所对应的各个公共因子的得分，就比如我们知道某个女孩是一个美女，可能很多人更关心该给她的脸蛋、身材等各打多少分，常用的求因子得分的方法有加权最小二乘法和回归法。 注意：因子载荷矩阵和得分矩阵的区别： 因子载荷矩阵是各个原始变量的因子表达式的系数，表达提取的公因子对原始变量的影响程度。因子得分矩阵表示各项指标变量与提取的公因子之间的关系，在某一公因子上得分高，表明该指标与该公因子之间关系越密切。简单说，通过因子载荷矩阵可以得到原始指标变量的线性组合，如X1=a11*F1+a12*F2+a13*F3,其中X1为指标变量1，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子；通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合，如F1=a11*X1+a21*X2+a31*X3，字母代表的意义同上。 (5) 1.5 因子分析中的Heywood（海伍德）现象 如果x的各个分量都已经标准化了，则其方差=1。即共性方差与特殊方差的和为1。也就是说共性方差与特殊方差均大于0，并且小于1。但在实际进行参数估计的时候，共性方差

应用多元统计分析习题解答_朱建平_第九章

Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的… 何老师考简单点啊……

第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,,,)p X X X =X 、(2) (2)(2)(2) 12(,,,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1) ()(1)()(1)()(1) 11 22i i i i i P P U a X a X a X ' =+++a X ()(2) ()(2)()(2) ()(2) 11 22i i i i i q q V b X b X b X ' =+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2) 'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0, (,)0 ()i j i j C ov U U C ov V V i j ==≠ 2. 0 (,1,2,,)(,)0()0()i i j i j i r C ov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2) 1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X = X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X = X

应用多元统计分析课后答案

应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞）

1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别选择距离公式应遵循哪些原则 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 ,min i k j r kr ij X G X G D d ∈∈= min{,}kp kq D D = （2）最长距离法 ,max i p j q pq ij X G X G D d ∈∈= 21 ()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min

生物统计学 第九章 多元统计分析

第九章多元统计分析简介 多元统计分析主要研究多个变量之间的关系以及具有这些变量的个体之间的关系。无论是自然科学还是社会科学，无论是理论研究还是应用决策，多元统计分析都有较广泛的应用。近年来，随着计算机的普及和广泛应用，多元统计分析的应用越来越广泛，越来越深入。生物学研究中，有许多问题要考虑样本与样本之间的关系、性状与性状之间的关系，也要考虑样本与性状之间的关系，为了能够正确处理这些错综复杂的关系，就需要借助于多元统计分析方法来解决这些问题。 从应用的观点看，多元统计分析就是要研究多个变量之间的关系，但哪些问题才是多元统计的内容，并无严格的界限。一般认为，典型的多元统计分析主要可以归结为两类问题：第一类是决定某一样本的归属问题：根据某样品的多个性状（特征）判定其所属的总体。如判别分析、聚类分析即属于此类内容。第二类问题是设法降低变量维数，同时将变量变为独立变量，以便更好地说明多变量之间的关系。主成分分析、因子分析和典型相关分析均属于此类问题。此外，多因素方差分析、多元回归与多元相关分析和时间序列分析，均是研究一个变量和多个变量之间的关系的，也是多元统计分析的内容。 第一节聚类分析(Cluster Analysis) 聚类分析是研究分类问题的一种多元统计方法，聚类分析方法比较粗糙，但由于这种方法能解决许多实际问题，应用比较方便，因此越来越受到人们的重视。近年来聚类分析发展较快，内容也越来越多。常见的有系统聚类、模糊聚类、灰色聚类、信息聚类、图论聚类、动态聚类、最优分割、概率聚类等方法，本节重点介绍系统聚类法。 系统聚类法是目前应用较多的聚类分析方法，这种聚类方法从一批样本的多个观测指标(变量)中，找出能度量样本之间相似程度的统计数，构成一个相似矩阵，在此基础上计算出样本(或变量)之间或样本组合之间的相似程度或距离，按相似程度或距离大小将样本(或变量)逐一归类，关系密切的归类聚集到一个小分类单位，关系疏远的聚集到一个大的分类单位，直到把所有样本(或变量)都聚集完毕，形成一个亲疏关系谱系图，直观地显示分类对象的差异和联系。 第二节判别分析(Discriminant Analysis) 判别分析是多元统计分析中较为成熟的一类分类方法，它是根据两个或多个总体的观测结果，按照一定的判别准则和相应的判别函数，来判断某一样本属于哪一类总体。判别分析的内容很多，常见的有距离判别、贝叶斯判别、费歇判别、逐步判别、序贯判别等方法。 第三节主成分分析（Principal components analysis）

应用多元统计分析应用报告(DOC)

应用多元统计分析 课程报告 班级专业:_ 市调0901 _ 学号: 2009***** __ 姓名:__ CYQ _____ 成绩:______________ 2010年10月7日

我国部分城市主要经济指标统计 ——官方与民间数据差异分析 一、引言 经济指标是反映一定社会经济现象数量方面的名称及其数值。本题主要经济指标包括人均GDP 1x （元）、人均工业产值2x （元）、客运总量3x （万人）、货运总量4x （万吨）、5x （亿元）、固定资产投资总额6x （亿元）、在岗职工占总人口的比例7x （％）、在岗职工人均工资额8x （元）、城乡居民年底储蓄余额9x （亿元）。所以我们借助这一指标体系对我国部分城市的主要经济指标进行分析。 二、数据分析 过程 1. 在SPSS 窗口中选择Analyze→Classify→Hierachical Cluster ，调出系统聚类分析主界面，并将变量X 1～X 5移入Variables 框中。在Cluster 栏中选择Cases 单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables ，则对变量进行聚类）。在Display 栏中选择Statistics 和Plots 复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。

2. 点击Statistics按钮，设置在结果输出窗口中给出的聚类分析统计 量。这里我们选择系统默认值，点击Continue按钮，返回主界面。 3. 点击Plots按钮，设置结果输出窗口中给出的聚类分析统计图。选 中Dendrogram复选框和Icicle栏中的None单选按钮，即只给出聚类树形图，而不给出冰柱图。单击Continue按钮，返回主界面。 4. 点击Method按钮，设置系统聚类的方法选项。这里我们仍然均沿 用系统默认选项。单击Continue按钮，返回主界面。 5. 点击Save按钮，指定保存在数据文件中的用于表明聚类结果的新 变量。None表示不保存任何新变量；Single solution表示生成一

教学大纲_多元统计分析(双语)

《多元统计分析（双语）》教学大纲 课程编号：120303B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □√学科基础课 总学时：48讲课学时：32 实验（上机）学时：16 学分：3 适用对象：统计学专业 先修课程：高等代数、概率论、数理统计 毕业要求： 1.扎实的数学基础和完整的统计知识体系 2.计算机编程技能与经济学基本常识 3.解决实际问题的能力 一、教学目标 多元统计分析是数理统计学的一个重要分支，它的研究对象是多个随机变量组成的随机向量。本课程讲授经典的多元统计分析方法，对于统计学专业来说要求掌握各个方法的基本原理与算法，并且学会使用统计软件实现计算。使得学生在掌握多元分析基础理论和方法的同时，能够对多变量的实际问题进行数据处理分析应用。本课程为双语教学。 二、教学内容及其与毕业要求的对应关系 使学生掌握经典的多元统计分析理论与方法，并能将其应用于社会经济领域的问题研究。本课程共分十章。第一章绪论，首先介绍了多元统计分析的概况，

然后复习矩阵代数知识，之后再复习随机向量的知识，在此基础上拓展相关的内容，这是本课程的基础。第二章和第三章是将一元统计推广到多元统计的理论内容，主要讲解多元分布的基本概念和多元正态总体的统计推断。第四章为多元数据的图表示法。第五章至第十章是多元统计分析的方法部分，包括：聚类分析[Cluster analysis]、判别分析[Discriminant analysis]、主成分分析[Principal Components Analysis]、因子分析[Factor Analysis]、对应分析[Correspondence Analysis]和典型相关分析[Canonical correlation analysis]等。 为实现教学目标所采取的教学方法：以教师讲授为主，以学生自主学习为辅。除了课堂上多元分析理论与方法精讲之外，还有实验课配合，使用SPSS等统计软件计算实现。 三、各教学环节学时分配 教学课时分配

多元统计分析期末试题

一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p =∑αμα 且相互独立，则样本均值向量X 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,('21n i X X X X ip i i i ==，总体),(~∑μp N X ，对样品进行分类常用的距离有：明氏距 离，马氏距离2 ()ij d M =)()(1j i j i x x x x -∑'--，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是：εββ++=x y 10，多元回归的数学模型是： εββββ++++=p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3∑μN X ，其中??? ? ? ??=∑200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21'X X 和3X 是否 独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21=X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵??? ? ??∑∑ ∑∑=∑22211211 ，),(21'X X 的协差矩阵为11∑因为12321),),cov((∑='X X X ，而012=∑，所以),(21'X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以),(21'X X 和3X 是独立的。

应用多元统计分析论文

东北三省经济发展水平 及影响因素因子分析 摘要：东北三省在我国属经济欠发达地区，对于这个资源丰富、地理位置占有绝对优势的地区来讲，这是一个可悲的现象。东北三省有着太多的共同点，但又有着各自的特点，这对于东北三省发挥各自的优势以及进行经济合作都是非常有利的。作为东北土生土长的孩子,很希望能为家乡的经济发展献计献策，贡献一份自己的力量。本文通过对部分经济指标进行因子分析，判断出造成东北三省经济差距的潜在因素及三省各自的优势，并给出东北三省发挥各自优势以及共同合作的建议。 关键词：经济比较，东北三省，因子分析 （一）前言 改革开放以来,我国的经济发展取得了举世瞩目的成就,综合国力日益增强,人民生活水平也显著提高，我国各个省的经济发展水平也都随着国力的增强而提高。但是，各个省的经济发展速度并不是同步的,导致省域经济发展水平不同,而且差距有日趋扩大的趋势。区域经济发展的不平衡性是世界经济、世界各国各地区经济发展中普遍存在的现象。就全世界而言，表现为发达国家与发展中国家之间的差距；就我国，则表现为东西部差距。这种不平衡发展会影响国民经济整体素质的提高以及国民经济的协调发展,关系到整个现代化的进程。在这种情况下,比较各省域的经济发展水平,明确各省域经济在整个国民经济中的位置,分析各省域的优势与劣势,对于各省域制定其最优发展策略以及对国家制定区域经济协调发展政策都有重大的意义。 在各地区的经济蓬勃发展的同时,东北三省经济日益相对落后,已成为制约中国经济跃上新台阶、实现工业化与现代化的瓶颈。在中华人民共和国历史上,东北三省经济曾有过令人刮目相看的成就与辉煌。直到1978 年,东北三省的人均GDP 仅次于京、津、沪3 大直辖市,在全国处于领先地位。但是,从上个世纪90 年代开始,东北三省经济发展明显落后了。由于中国改革开放首先从东南沿海地区起步,各种优惠政策首先在那里实施,外国资本及先进技术与管理方法最先从那里引入,因而东南沿海地区经济快速增长。尤其是自1992 年春天起,在邓小平南巡讲话精神的鼓舞下,中国经济发展战略的重点更是明显地移向东南沿海地区,资本、技术和人才一并“东南飞”。而此时，东北三省几乎被冷落、被担负大量沉重包袱的国企所拖累、被落后且严重失衡的产业结构所困扰,发展步伐日益趋缓。可以肯定地讲,东北三省经济若不振兴,中国的工业化与现代化必然大受影响,甚至难以实现。因此,振兴东北三省经济是当今中国经济发展的大局,是全国人民的根本利益所在。 我是一名土生土长的黑龙江人，虽然对家乡充满了无限的热爱，但也深知家乡的经济水平处在全国相对落后的位置。而黑龙江作为全国位置最东北的一个省，作为东北三省这个整体的重要组成部分，对于整个东北的发展也起到至关重要的作用。因此，我通过对本文的创作，对东北三省的经济进行综合的比较和分析，得到三个省各自的优势和劣势，为其各自的发展和东北三省彼此间的合作提出合理的意见和建议，希望能够为东北三省的经济发展提供一定的帮助。