第3课时 余 弦
知|识|目|标
1．结合正弦的定义，探究锐角的余弦的定义，并能在直角三角形中计算一个锐角的余弦值．
2．通过对锐角的余弦值的分析，理解30°，45°，60°角的余弦值，并能进行有关的计算．
3．通过对正弦与余弦的函数值进行比较、分析，归纳出互余两角的正弦与余弦之间的关系．
4．通过回顾用计算器计算锐角的正弦值，掌握用计算器求锐角的余弦值及已知锐角的余弦值求它的对应锐角．
目标一 会求锐角的余弦值
例1 教材补充例题如图4－1－4所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.求cos A ，cos B 的值．
图4－1－4
【归纳总结】 锐角的余弦的含义
(1)锐角A 的余弦的定义：cos A ＝∠A 的邻边
斜边
；
(2)求一个锐角的余弦时，先要在直角三角形中求出这个角的邻边、直角三角形的斜边；
(3)锐角A的余弦的取值范围是0 (4)锐角的余弦值与角度的变化关系：角度越大，锐角的余弦值越小．目标二用特殊角的余弦值进行计算 例2 教材例4针对训练计算： 2cos45°－3cos30°·cos60°. 例3 教材补充例题在△ABC中，已知|cos A－ 3 2 |＋cos B－ 1 2 ＝0，试求cos C 2 的值． 【归纳总结】运用特殊角的余弦值进行计算 1．与特殊锐角的余弦有关的运算，先把特殊角的余弦用余弦值代替，然后转化成具体的实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法． 2．锐角余弦值的变化规律：锐角α的余弦值随着角度的增大而减小． 3．同一锐角的正弦与余弦的关系：sin2A＋cos2A＝1. 目标三理解互余两角的正、余弦之间的关系 例4 教材补充例题已知α＋β＝90°，若sinα＝0.4321，则cosβ＝________． [全品导学号：90912112] 【归纳总结】互余两角的正、余弦之间的关系 一个锐角的正弦等于它的余角的余弦，一个锐角的余弦等于它的余角的正弦．用几何语言表述：若α＋β＝90°，则sinα＝cosβ，cosα＝sinβ或在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝cos B，cos A＝sin B. 目标四用计算器求锐角的余弦值 例5 教材补充例题用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.0001)： (1)70°；(2)55°；(3)74°28′. [全品导学号：90912113] 例6 教材补充例题如图4－1－5，在等腰三角形零件ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝ 16 cm.求∠B的度数(精确到1°)． [全品导学号：90912114] 图4－1－5 【归纳总结】利用计算器计算锐角的余弦值或已知锐角的余弦值求它的对应锐角1．用计算器求任意锐角的余弦值有两种方法： (1)直接按顺序按键：cos→度→DMS→分→DMS→秒→DMS→＝； (2)先将含有“度、分、秒”的角度转换为以“度”为单位，再按键cos→度→＝. 2．已知一个锐角的余弦值，用计算器求它的对应锐角的方法： 2ndF→cos→余弦值→＝. 3．不同型号的计算器按键方法可能不同． 知识点一余弦的定义 1．在直角三角形中，我们把锐角α的______与______的比叫作角α的余弦，记作cos α，即cosα＝__________． 2．若α是锐角，则0＜cosα＜1. 知识点二互余两角的正、余弦之间的关系 1．若α是锐角，则sinα＝cos(__________)，cosα＝sin(__________)． 2．若α，β为锐角，且sinα＝cosβ，则α＋β＝__________． 知识点三特殊角的正弦、余弦值 1．30°，45°，60°角的正弦、余弦值： α30°45°60° 正弦(sinα)1 2 2 2 3 2 余弦(cosα)__________________ 2.锐角α的余弦值的变化规律：锐角α越大，余弦值cosα越____．知识点四用计算器求锐角的余弦值 先按键“cos”，再输入角的度数，再按键“＝”，即可得结果． 知识点五用计算器由余弦值求角度 按键顺序为“2ndF，cos，数值，＝”或“SHIFT，cos，数值，＝”． 1．一个锐角的正弦与余弦有什么不同？ 2．在△ABC 中，BC ＝3，AB ＝5，求cos B 的值． 解：在△ABC 中，∵BC ＝3，AB ＝5，∴cos B ＝BC AB ＝3 5 . 上述解答是否正确，若不正确，请说明错误原因． 详解详析 【目标突破】 例1 解：由勾股定理，得AB ＝AC 2 ＋BC 2 ＝5， ∴cos A ＝AC AB ＝45，cos B ＝BC AB ＝3 5. 例2 解：原式＝2× 22－3×32×12＝1－34＝1 4 . 例3 解：根据非负数的性质，可得|cos A － 3 2 |≥0，cos B －12 ≥0， 又|cos A －32|＋cos B －12 ＝0， ∴|cos A －3 2 |＝0，cos B －12 ＝0， 即cos A ＝ 32，cos B ＝12 ， ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴cos C 2＝cos 45°＝22. 例4 [答案] 0.4321 [解析] cos β＝cos (90°－α)＝sin α. 例5 解：(1)cos 70°≈0.3420. (2)cos 55°≈0.5736. (3)cos 74°28′≈0.2678. 例6 解：过点A 作AD⊥BC 于点D ， 则BD ＝CD ＝1 2 BC. ∵BC ＝16 cm ，∴BD ＝8 cm . 在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝8 10＝0.8， ∴锐角∠B≈37°. 备选题型 比较正、余弦值的大小 例 比较sin 29°与cos 45°的大小． 解：方法1：用计算器求出sin 29°与cos 45°的值后比较它们的大小，sin 29°≈0.4848， cos 45°≈0.7071，∴sin 29° 方法2：cos 45°＝cos (90°－45°)＝sin 45°， ∵29°＜45°，∴sin 29°＜sin 45°， ∴sin 29°＜cos 45°. [归纳总结] 方法一：先利用计算器计算出正、余弦的值，再进行比较； 方法二：利用sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)，把三角函数转化为同为正弦或同为余弦，利用锐角α的正弦值随着角度α的增大而增大，锐角α的余弦值随着角度α的增大而减小进行比较． 【总结反思】 [小结] 知识点一 1.邻边 斜边 角α的邻边 斜边 知识点二 1.90°－α 90°－α 2.90° 知识点三 1.32 22 1 2 2.小 [反思] 1．解：它们都是直角边与斜边的比，正弦是以锐角所对的直角边作为比的前项，余弦是以锐角的邻边作为比的前项，即锐角的正弦＝锐角的对边斜边，锐角的余弦＝锐角的邻边 斜边 . 2．解：不正确．错误原因是题中没有明确指出AB 是斜边，无法确定△ABC 是直角三角形，所以不能直接求解． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
相关主题
文本预览