本科生毕业论文 论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程 学生姓名：罗加宽 学号： 2008021152 专业名称：物理学 论文提交日期： 2012年05月17日 申请学位级别：理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名：陈洛恩 职称：教授 工作单位：玉溪师范学院 学位授予单位：玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月
图解刚体力学—欧拉运动学方程 罗加宽 （玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：陈洛恩、杨春艳 摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转 化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一 定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。 关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程 1.引言 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。 “图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。 理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学
9-7 若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度． 分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果． 解 （1） 将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()?ω+= t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s π20-=ω，初相?＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ． （２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为 ()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-?=+=t x ()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ?-=+-==t x v ()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ??-=+-==t x a 9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程． 分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0 和v ＝v 0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0 和速度v 0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．
10-1 质量为10×10－3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按 20.1cos(8)3x t ππ=+ (SI)的规律做谐振动，求： (1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t2＝5 s 与t1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知： 3/2,s 412,8,m 1.00πφωπ πω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -? 51.2=1s m -? 2.632==A a m ω2s m -? (2) N 63.0==m m a F J 1016.32122-?== m mv E J 1058.1212-?===E E E k p 当p k E E =时，有p E E 2=， 即 )21(212122kA kx ?= ∴ m 20222±=± =A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t 10-2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是： (1)x0＝－A ； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过 2A x = 处向负向运动； (4) 过x =处向正向运动. 试求出相应的初位相，并写出振动方程. 解：因为 ???-==0000sin cos φωφA v A x 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 )2cos( 1πππφ+==t T A x )232cos(232πππ φ+==t T A x )32cos(33πππ φ+==t T A x
10个最伟大公式 10 Greatest Formulae 英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式……这些公式美丽而精妙，这个地球上有多少伟大的智慧曾耗尽一生，才最终写下一个等号。每当你解不开方程的时候，不妨换一个角度想，你正在见证的，是科学的美丽与人类的尊严。 让我们一起来看看这十个公式，你认识几个呢?
No.10 圆的周长公式 The Length of the Circumference of a Circle r 2C π= 这个公式虽然简单，但却蕴含着深刻的智慧。任何圆——不论大小——用它的周长比上直径，一定得到一个常数π。你别小看圆周率π。众所 周知，. . . 1415926 .3=π是一个无限不循环小数，也是数学中最重要的常数之一。许多数学家终其一生, 才能将圆周率计算到小数点后几十位. 而目前人类制造的超级计算机已经能得到圆周率的30万亿位，却仍然没有找到任何循环的迹象。
No.9 傅立叶变换 The Fourier Transform []dt e t f t f F F t i ωω-∞ ∞-?= = )()()( 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。虽然这个公式复杂难懂，但是它在物理学、电子类科学、信号处理、统计学、密码学、声学、光学、海洋学等领域都有着广泛的应用。另外，没有这个公式，就没有今天的电子计算机。因此，你今天能够享受网上冲浪带来的乐趣，除了要感谢党和政府, 还要感谢傅里叶。
No.8 德布罗意方程组 The de Broglie Relations p=?k=h/λ E=?w=hv' 这个方程组不仅指出了微观粒子波长和动量的关系，频率和能量的关系，还表明了粒子具有“波粒二象性”，彻底颠覆了牛顿的光粒子说，还否定了光的波动说。德布罗意凭借这一发现荣获了1929年诺贝尔物理学奖。
英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2，又有著名的E=mc2；既有简单的-圆周公式，又有复杂的欧拉公式…… 从什么时候起我们开始厌恶数学？这些东西原本如此美丽，如此精妙。这个地球上有多少伟大的智慧曾耗尽一生，才最终写下一个等号。每当你解不开方程的时候，不妨换一个角度想，暂且放下对理科的厌恶和对考试的痛恨。因为你正在见证的，是科学的美丽与人类的尊严。 No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle） 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle）.png 这公式贼牛逼了，初中学到现在。目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的-圆周率值，有十几位已经足够了。如果用35位精度的-圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。 No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform） 傅立叶变换（The Fourier Transform）.png 这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说没有这个式子没有今天的电子计算机（这个说法有待大家证实），所以你能在这里上网除了感谢党感谢政府还要感谢这个完全看不懂的式子。另外傅立叶虽然姓傅，但是法国人。 No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations） 这个东西也挺牛逼的，高中物理学到光学的话很多概念跟它是远亲。简要地说德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有“波长”。于是搞啊搞就有了这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系。同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。 No.7 1+1=2 这个公式不需要名称，不需要翻译，不需要解释。（有网友指出这个不符合公式的定义，可能有争议吧，不过不必过分苛求吧，这个等式内涵很深的） No.6 薛定谔方程（The Schrödinger Equation）
1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各 量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故t s t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有 四种意见,即
一、力和运动 1.1 质点运动的描述！ 1.质点 2.参考系和坐标系 3.空间和时间 4.运动学方程 轨迹方程 5.位矢 6.位移 7.速度 （瞬时）速度： （瞬时）速率： 8.加速度 （瞬时）加速度： 1.2 圆周运动和一般曲线运动！ 1.切向加速度和法向加速度 自然坐标系；法向加速度处处指向曲率中心。 2.圆周运动的角量描述 角速度： 角加速度： 3 .抛体运动的矢量描述 1.3 相对运动常见力和基本力 1.相对运动 （伽利略）速度变换式： 2.常见力 重力、弹力、摩擦力、万有引力 3.基本力 万有引力、电磁力、强力、弱力 1.4 牛顿运动定律！ 1.牛顿第一定律 （惯性定律） 2.牛顿第二定律 3.牛顿第三定律 （作用力和反作用定律） 4.牛顿运动定律应用举例 1）常力作用下的连接体问题 2）变力作用下的单体问题 1.5 伽利略相对性原理非惯性系惯性力 1.伽利略相对性原理 （力学的相对性原理） 2.经典力学的时空观 * 3.非惯性系 * 4.惯性力 二、运动的守恒量和守恒定律 2.1 质点系的内力和外力质心质心运动定理！ 1.质点系的内力与外力 2.质心 对于N个质点组成的质点系： 质心的位矢 对于质量连续分布的物体： 质心的位矢 3.质心运动定理
2.2 动量定理动量守恒定律！ 1.动量定理 冲量： 动量定理： 动量定理是牛顿第二定律的积分形式。 *2. 变质量物体的运动方程 3.动量守恒定律 *4.火箭飞行 2.3 功能量动能定理！ 1.功的概念 功： 功率： 2.能量 3.动能定理 动能： 动能定理： 2.4 保守力成对力的功势能！ 1.保守力 保守力：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力：摩擦力、回旋力等。 2.成对力的功 3.势能 4.势能曲线 2.5 质点系的功能原理机械能守恒定律！ 1.质点系的动能定理 2.质点系的动能原理 3.机械能守恒定律 4.能量守恒定律 *5.黑洞 2.6 碰撞 对心碰撞（正碰撞） 1.碰撞过程系统动量守恒 2.牛顿的碰撞定律 恢复系数： 完全弹性碰撞（1）；非弹性碰撞；完全非弹性碰撞（0）完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。 2.7 质点的角动量和角动量守恒定律！ 1.角动量（动量矩） 2.角动量守恒定律 力矩： 2.8 对称性和守恒定律 1.对称性和守恒定律 2.守恒量和守恒定律 三、刚体和流体的运动 3.1 刚体模型及其运动 1.刚体 2.平动和转动 3.自由度 质点、运动刚体、刚性细棒的自由度。 3.2 力矩转动惯量定轴转动定律！ 1.力矩 力臂： 2.角速度矢量 3.定轴转动定律
第九章 机械波 选择题 9—1 下列叙述正确的是 （ C ） (A) 机械振动一定能产生机械波; (B) 波函数中的坐标原点一定要设在波源上; (C) 波动传播的是运动状态和能量; (D) 振动的速度与波的传播速度大小相等. 9—2 下列叙述正确的是 （ C ） (A) 波只能分为横波和纵波; (B) 介质中各质点以波速向前运动; (C) 质点振动的周期与波动的周期数值相等; (D) 波在传播的过程中经过不同介质时波长不变. 9—3 一平面简谐波通过两种不同的均匀介质时,不会变化的物理量是 （ D ） (A) 波长和频率; (B) 波速和频率; (C) 波长和波速; (D) 频率和周期. 9—4 一平面简谐波的波函数为 cos()x y A t u ωω=- 式中x u ω-表示 （ D ） (A) 波源振动的相位; (B) 波源振动的初相; (C) x 处质点振动的相位; (D) x 处质点振动的初相. 9—5 一平面简谐波在弹性介质中传播,某一时刻介质中一质点正处于平衡位置,此时该质点 （ C ） (A) 动能为零,势能最大; (B) 动能为零,势能为零; (C) 动能最大,势能最大; (D) 动能最大,势能为零. 9—6 一平面简谐波在弹性介质中传播,介质中某质点从最大位移返回平衡位置的过程中 （ C ） (A) 它的势能转换成动能; (B) 它的动能转换成势能; (C) 它的能量逐渐增加; (D) 它的能量逐渐减少. 9—7 两波源发出的波相互干涉的必要条件是:两波源 （ A ） (A) 频率相同、振动方向相同、相位差恒定; (B) 频率相同、振幅相同、相位差恒定; (C) 发出的波传播方向相同、振动方向相同、振幅相同; (D) 发出的波传播方向相同、频率相同、相位差恒定.
现代物理学的九大终极问题 潘多拉之盒 在1900年，英国物理学家开尔文勋爵得意地声明道：“在物理上没什么没被发现的重大东西了。剩下的一点未知事物也很容易精确地观测。”但是在接下来的三十年中，量子力学、爱因斯坦的相对论已经颠覆了这个结论。今天，没有物理学家敢断言我们对物理和宇宙的认识“接近完成”。相反，每一个新的发现似乎又打开了又一个“潘多拉之盒”——喷涌出更深更多的物理问题。 这里有我们挑选出来的著名而开放性的物理未解难题。
无论天体物理学家如何推敲数字，宇宙的的组成模型已经不需要再加上什么了。但是，虽然重力在时空中向内聚(pulling inward)，宇宙的构造却不断向外延伸——越来越快地向外膨胀。为了解释这一点，天文学家提出了一个看不见的介质通过推开时空来抵消掉重力的影响，这东西就被叫做“暗能量”。在大多广为接受的暗能量模型中，暗能量是一个”宇宙常数“——一个空间的固有属性，拥有”负压力”来把宇宙空间拉开。当空间膨胀时，更多地方被腾出来，然后暗能量随之而入。基于观测到的扩展速度，科学家们认为暗能量总和组成了宇宙70%以上的部分。但竟然没有人知道如何找到它。
显然，宇宙中84%的物质不吸收也不发射光线。“暗物质”，正如它的名字一样，无法直接观测，也没法间接探测到。暗物质的存在是从可见物质的重力效应、辐射和宇宙结构理论中推导出来的。这个神出鬼没的物质理论上遍布整个星系，而且应该是弱相互作用的组成部分。世界上已经有几个寻找WIMP的探测器，不过目前还没成功嗅探出来。 七、熵是怎么回事？
时间不断向前流逝，因为宇宙的熵(即它的混乱度)只会增加，并且我们没法扭转这一增加的过程。“熵总是增加”的这一事实涉及这样的逻辑：混乱的物质排列总是比有规则的排列普遍，而且当你改变事物时，它往往会陷入混乱无序(#耳机线)。但这里的问题是：为什么过去的熵如此之低？换句话说，为什么宇宙在最初是有序的——当大量能量被压挤在狭小的空间中时？ 六、平行宇宙存在吗？ 天体物理数据表明时空并非弯曲，而可能是”平“的，因此它会延伸下去。如果是这样，我们能够观测到的地方(即我们认为的”宇宙“)只是一个无限大的绗缝多元宇宙(quilted multiverse)中的一块补丁罢了。与此同时，量子力学的法则也推定：每个”宇宙块“(总共大概有10^22^122个宇宙块吧)的粒子排列配置拥有可能性上限，所以，相对于无限的“补丁式宇宙”，肯定会有一些微粒排列重复的宇宙——而且有无限个这样雷同的平行宇宙(里面有完全相同的你我)，也会有只差了一个粒子位置不一样的宇宙，和差了两个粒子的宇宙……到完全不同的宇宙。 这个逻辑有破绽吗？还是说，这种离奇的结论的确无误？这怎么可能？假如正确，我们又会如何证实平行宇宙的存在？
现代物理学的九大终结问题 在1900年，英国物理学家开尔文勋爵得意地声明道：“在物理上没什么没被发现的重大东西了。剩下的一点未知事物也很容易精确地观测。”但是在接下来的三十年中，量子力学、爱因斯坦的相对论已经颠覆了这个结论。今天，没有物理学家敢断言我们对物理和宇宙的认识“接近完成”。相反，每一个新的发现似乎又打开了又一个“潘多拉之盒”——喷涌出更深更多的物理问题。 这里有我们挑选出来的著名而开放性的物理未解难题。 九、暗能量是什么? 无论天体物理学家如何推敲数字，宇宙的的组成模型已经不需要再加上什么了。但是，虽然重力在时空中向内聚(pulling inward)，宇宙的构造却不断向外延伸——越来越快地向外膨胀。为了解释这一点，天文学家提出了一个看不见的介质通过推开时空来抵消掉重力的影响，这东西就被叫做“暗能量”。在大多广为接受的暗能量模型中，暗能量是一个”宇宙常数“——一个空间的固有属性，拥有”负压力”来把宇宙空间拉开。当空间膨胀时，更多地方被腾出来，然后暗能量随之而入。基于观测到的扩展速度，科学家们认为暗能量总和组成了宇宙70%以上的部分。但竟然没有人知道如何找到它。 八、暗物质是什么? 显然，宇宙中84%的物质不吸收也不发射光线。“暗物质”，正如它的名字一样，无法直接观测，也没法间接探测到。暗物质的存在是从可见物质的重力效应、辐射和宇宙结构理论中推导出来的。这个神出鬼没的物质理论上遍布整个星系，而且应该是弱相互作用的组成部分。世界上已经有几个寻找WIMP的探测器，不过目前还没成功嗅探出来。 七、熵是怎么回事?
时间不断向前流逝，因为宇宙的熵(即它的混乱度)只会增加，并且我们没法扭转这一增加的过程。“熵总是增加”的这一事实涉及这样的逻辑：混乱的物质排列总是比有规则的排列普遍，而且当你改变事物时，它往往会陷入混乱无序(#耳机线)。但这里的问题是：为什么过去的熵如此之低?换句话说，为什么宇宙在最初是有序的——当大量能量被压挤在狭小的空间中时? 六、平行宇宙存在吗? 天体物理数据表明时空并非弯曲，而可能是”平“的，因此它会延伸下去。如果是这样，我们能够观测到的地方(即我们认为的”宇宙“)只是一个无限大的绗缝多元宇宙(quilted multiverse)中的一块补丁罢了。与此同时，量子力学的法则也推定：每个”宇宙块“(总共大概有10^22^122个宇宙块吧)的粒子排列配置拥有可能性上限，所以，相对于无限的“补丁式宇宙”，肯定会有一些微粒排列重复的宇宙——而且有无限个这样雷同的平行宇宙(里面有完全相同的你我)，也会有只差了一个粒子位置不一样的宇宙，和差了两个粒子的宇宙……到完全不同的宇宙。 这个逻辑有破绽吗?还是说，这种离奇的结论的确无误?这怎么可能?假如正确，我们又会如何证实平行宇宙的存在? 五、为什么物质比反物质多? 为什么物质，比它的电荷相反、自旋方向也相反的双胞胎——反物质粒子的总量更多?反物质，根本上是说是”物质为什么存在“的问题。我们假设，宇宙中的物质和反物质对称相抵，而且在宇宙大爆炸的那一刻物质和反物质一起被生产出来了。但是如果这样的话，两者不会存活到现在：在那时质子和反质子就会互相湮灭，电子和正电子彼此抵消，中子和反中子也这样，——只留下一大堆光子。对于这些东西，我们目前还没法给出一个令人信服的解释。 四、宇宙命运如何?
大雅之美：数学物理学家心中的十大方程（上） “你认为最美的数学、物理方程是什么？”当代十位大数学家、物理学家给出了他们自己的回答。这些回答构成了大雅之美（The Concinitas Project）的十篇文章。我们将分上下两期，为读者带来这些大师对自己眼中最美方程的精彩解读。 在本文中，你将读到：当代数学界的领袖阿蒂亚（Atiyah）爵士提供的答案是他与合作者发现的指标公式（最简单的版本），并以建筑之美来形容数学之美。 阿蒂亚的高足唐纳森（Donaldson）则认为，描述电磁学的安培定律令他陶醉。他借以成名的工作，则与安培定律之推广——杨(振宁)-米尔斯方程有关。以拓扑学的研究而成名的斯梅尔（Smale）对多项式求根的牛顿迭代法情有独钟，可以想见，当他得知30多年前他提出的猜想在2016年被解决时一定非常欣喜。计算机科学家卡普（Karp）感兴趣的，是著名的P=NP是否成立的问题，这是“理论计算机领域最核心的公开问题，是所有数学分支中最难的问题之一，因其难解而闻名于世。” 应用数学家拉克斯（Lax）提出的是支配流体运动的守恒律，“守恒思想之美，在于其基本性。” 你心中最美的方程是哪个？欢迎在评论区留言，给出你的选择与理由，点赞数最高的3位将获赠球礼。
1指标定理撰文阿蒂亚爵士（Sir Michael Atiyah）翻译邵红亮（重庆大学数学与统计学院）校译林开亮 数学既是一门艺术，也是一门科学，而美在其中扮演至关 重要的角色，这是数学家众所周知的事实。伟大的德国数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）是我心目中的英雄。他说：“我的工作总是试图将真和美统一起来，如果我必须做出抉择，我常常选择美。”我觉得他讲得非常好。数学是最精准的科学，它致力于发现真理，外尔的话似乎有些荒诞，甚至带有挑衅的感觉——似乎只是一句半开玩笑的话。但是我相信，外尔讲这句话时是非常认真的。在外尔的话中有一个明显的悖论，我们寻求的虽然是客观真理，可是任何时候，真理都是不确定的，是暂时的。然而美是一种主观体验，“情人眼里出西施”，我们相信，美是指引我们找到真理的光亮。何为数学之美？是否与艺术之美、音乐之美、诗歌之美类似？维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）表面上是一个严肃的分析学家，却曾经说过：“如果没有一颗诗人般的灵魂，就不可能成为完全的数学家。” 对门外汉而言，这样的表达是难以理解的，然而我也曾经说过，著名的欧拉公式极其简洁且极具深度，无异于哈姆雷特的著名问题，“活下去还是不活……” 也许最可与数学比肩的一种艺术形式就是建筑了，其中有充满精美细节的宏观视野，实体基础和功能效用都是其本质组成。我选择这样一个方程来阐释我自己的工作美妙之处，它宏伟
第十章波动 1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为 )π4π10cos(05.0x t y -=，x ， y 的单位为米， t 的单位为秒。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度。（3）求 2.0=x m 处的质点在1=t s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？ 解 （1）将题中绳波表达式0.05cos(10π4π)0.05cos 2π( )0.2 0.5 t x y t x =-=- 与一般波动表达式 ) ( π2cos λ x T t A y - =比较，得振幅 05.0=A m ，s T 2.0=频率 5=ν Hz ，波长5.0=λ m 。波速5.255.0=?== λνu m ?s -1 （ 2 ） 绳上 各 质点 振 动 的 最大速度 57 .105.0514.32π2max =???===A A v νω m ?s -1 绳上各质点振动时的最大加 速度 3 .4905.0514.34π42 2 2 2 2 max =???===A A a νωm ?s - （3）将 2 .0=x m ， 1 =t s 代入 ) π4π10(x t -得到所求相位 π 2.92.0π41π10=?-?， 2.0=x m 处质点的振动比原点处质点的振动在时间上 落后 08 .05 .22.0== u x s （ 5 .2==λνu m ?s -1），所以它是原点处质点在 92 .0)08.01(0=-=t s 时的相位。 2.设有一平面简谐波 )3 .001 .0( π2cos 02.0x t y - = ， x ，y 以m 计， t 以s 计。（1）求振 幅、波长、频率和波速。（2）求 1.0=x m 处质点振动的初相位。 解（1）将题设平面简谐波的表式)3 .001 .0( π2cos 02.0x t y - =与一般表式 )( π2cos λ x T t A y - =比较，可得振幅02.0=A m ，波长3.0=λ m ，周期01.0=T s 。 因此频率 100 01 .011== = T νHz ， 波速 30 1003.0=?==λνu m ·s - （2）将 1.0=x m 代入波动表式，得到位于该处的质点的振动表式
1：牛顿 主要开创了微积分、经典力学、几何光学等几门学科，发现万有引力定律、导出了声波的传播速度、导出流体粘性阻力与剪切率成正比、导出物体在单位时间单位面积上散失的热量与温度梯度成正比。因此我们可以把牛顿的功劳简称3K+4D。//牛顿的导出结果在现在看来也许不算什么，但在当时无一不是惊天动地的大事。还有，牛顿差点就发现波动光学了，好可惜！ 2：爱因斯坦 开创了相对论时空观和现代宇宙学、和别人一起创立量子力学、导出激光原理、建立固体物理理论的爱因斯坦模型、证明原子的存在、解释了光电效应、独立导出玻色_爱因斯坦统计。因为量子力学的创始人很多，玻尔、海森堡、狄拉克、薛定谔、普朗克等贡献都很大，所以爱因斯坦的贡献最多只算0.2个。因此他贡献合计2.2K+5D。//没给狭义相对论和广义相对论颁奖实在太不合理了！据说是因为太难证实，没等到找到广义相对论的直接证据，爱因斯坦早死了。 此二人的贡献足以令其他科学家望尘莫及，谁如果没把他们二人排在前两名，那这个排名就是无理取闹。不过，他们二人的贡献还真是差不多，3K+4D对2.2K+5D，好像是牛顿强一些吧？ 其余的人中我认为较突出的有以下几个。 3：麦克斯韦： 他没有开创新学科(热力学与统计物理不太算一级学科吧？)，但他用两个方程组结束了两个学科。一是电磁学的大名鼎鼎的麦克斯韦方程组；另一个是著名的热力学的麦克斯韦方程组。后人基本上就是确定边界条件，代公式计算就完了。他的贡献可表示成2J。//麦克斯韦是个可怕的数学天才，他用数学方法证明了土星环是由一群离散的卫星聚集而成的，在论文中运用了200多个方程。 4：伽利略： 他不能算开创学科，因为没有建立经典力学的理论体系；但他结束了经验力学和经验天文学。其中天文学他最多算0.8的功劳，因为有哥白尼0.1、布鲁诺0.1。所以贡献大约1.8J。//附加个说明，开创或结束一门学科其中当然包括好多D级的贡献，这里如日心说啦、加速度的概念啦、天文望远镜啦、月球环形山、金星月相、木星卫星啦等等，但为了不重复计算，就不另加说明了，反正大家记得K和J>>D就是了，另外K>J。 5：狄拉克： 开创量子力学(0.2K)，导出电子自旋、预言正电子、提出生命靠负熵生存、独立导出费米_狄拉克统计。0.2K+4D，不可思议的高。 6：阿基米德： 开创微积分初步，提出日心说(用来解释了日月食的成因，可惜流传不广，要不历史上就没有哥白尼的名字了)、浮力定律、杠杆原理，0.2K+强3D。莫要小看浮力定律和杠杆原理，要往大了说这就是流体力学和刚体力学的基础了。
习题一 一、选择题 1． 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C [ ] (A) (B) (C) (D) 答案：C 解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C ）。 2． 一质点沿x 轴运动的规律是245x t t =-+（SI 制）。则前三秒内它的 [ ] （A ）位移和路程都是3m ； （B ）位移和路程都是-3m ； （C ）位移是-3m ，路程是3m ； （D ）位移是-3m ，路程是5m 。 答案：D 解： 3 253t t x x x ==?=-=-=- 24dx t dt =-，令0dx dt =，得2t =。即2t =时x 取极值而返回。所以： 022*********|||||||||15||21|5t t t t S S S x x x x x x ----=====+=+=-+-=-+-= 3． 一质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+，R 、ω为正常数。从t ＝/πω到t =2/πω时间内 （1）该质点的位移是 [ ] （A ） -2R i ； （B ）2R i ； （C ） -2j ； （D ）0。 （2）该质点经过的路程是 [ ] （A ）2R ； （B ）R π； （C ）0； （D ）R πω。 答案：B ；B 。 解：（1）122,t t ππ ωω = = ，21()()2r r t r t Ri ?=-=； （2）?t 内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为πR 。或者：
,x y dx dy v v dt dt = = ，21,t t v R S vdt R ωπ====? 4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v 滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 [ ] （A ）大小为/2v ，方向与B 端运动方向相同； （B ）大小为/2v ，方向与A 端运动方向相同； （C ）大小为/2v , 方向沿杆身方向； （D ）大小为/(2cos )v θ ，方向与水平方向成θ角。 答案：D 解：对C 点有 位置：sin ,cos C C x l y l θθ==； 速度：cos ,sin Cx Cy d d v l v l dt dt θθθ θ==；所以，2cos C d v v l dt θθ == . （B 点：2sin ,2cos ,2cos B B d d v x l v l v dt dt l θθθθ θ ===∴= ）。 5． 某人以4km/h 的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为 [ ] (A) 4km/h ，从北方吹来； (B) 4km/h ，从西北方吹来； (C)，从东北方吹来； (D) ，从西北方吹来。 答案：D 解：0v v v v v v '=+?=+风人风地人地 0 v v v '+''= ，002v v '= 0 cos v v θ = ，0tan v v θ'= v v '='' 45sin 0t a n v v v θ'''= 2 2 2 2 2 0000002222200002cos 42.2cos cos cos 442tan cos 2v v v v v vv v v v v v v θθ θθθθ ??''''=+-=+- ???=+-= v v ' θ v ' θ 45?