（十九）等量点电荷电场的电场线分布及特点
高考题型训练
1.两个等量异种点电荷位于x 轴上，相对原点对称分布，正确描述电势φ随位置x 变化规律的是图中( )
2.如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z ＜0的空间，z ＞0的空间为真空．将电荷为q 的点电荷置于z 轴上z=h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电
平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上z=h/2处的场强大小为（k
为静电力常量）（ ）
A.24h q k
B.294h q k
C.2932h q k
D.2940h
q k 3.（多选）在电荷量分别为2q 和一q 的两个点电荷形成的电场中，
电场线分布如图所示，在两点电荷连线上有a 、b 两点，则（ ）
A ．在两点电荷之间的连线上存在一处电场强度为零的点
B ．在负试探电荷从a 点向b 点移动过程中所受电场力先减小后增
大
C ．在负试探电荷从a 点向b 点移动过程中电场力先做正功后做负
功
D ．负试探电荷在a 点具有的电势能比在b 点时具有的电势能小
4.空间中P 、Q 两点处各固定一个点电荷，其中P 点处为正电荷，P 、Q
两点附近电场的等势面分布如图所示，、b 、c 、d 为电场中的4个点，
则（ ）
A ．P 、Q 两点处的电荷等量同种
B ．点和b 点的电场强度相同
C ．c 点的电势低于d 点的电势
D ．负电荷从到c ，电势能减少
5.如图所示，MN 、PQ 是圆的两条相互垂直的直径，O 为圆心。两个等量正
电荷分别固定在M 、N 两点。现有一带电的粒子（不计重力及粒子对电场的
影响）从P 点由静止释放，粒子恰能在P 、Q 之间做直线运动，则以下判断
正确的是
A ．O 点的电场强度一定为零
B ．P 点的电势一定比O 点的电势高
C ．粒子一定带负电
D ．粒子在P 点的电势能一定比Q 点的电势能小
6.一条直线上连续有a 、b 、c 、d 、e 、f 六点，且相邻两点距离相等.在a,c 两点分别固定一个点电荷、带电荷量分别为1Q 和2Q ，MN 过c 点与af 垂直、且Nc Mc =，已知电子在d 、f 之间移动过程中，电子在e 点时的电势能最大，由此可知下列判断不正确的是（ ）
A.1Q 一定为负电、2Q 一定为正电，且214Q Q -=，e 处场强一定为0、b 处场强一定不为0
B.电子在M 和N 点受到的电场力大小相等，且具有的电势能相同
C.质子从b 移动到d 点，电场力对质子一定做负功
D.质子从a 移动到c 的过程中电势能可能先增大后减小 7.如图甲所示，Q 1、Q 2为两个被固定的点电荷，其中Q 1为正点电荷，在它们连线的延长线上有a 、b 两点．现有一检验电荷q （电性未知）以一定的初速度沿直线从b 点开始经a 点向
远处运动（检验电荷只受电场力作用），q 运动的速度图象如
图乙所示．则（ ）
A ．Q 2的电荷量必定大于Q 1的电荷量
B ．从b 点经a 点向远处运动的过程中检验电荷q 所受的电场
力一直减小
C ．可以确定检验电荷的带电性质
D ．Q 2必定是负电荷
8.(多选)如图所示，M,N 为两个固定在绝缘水平面上的带等量异种
电荷的点电荷，A 、B 、C 、D 为一菱形，B 、D 位于M 、N 连线上，A 、
C 位于M 、N 连线上，A 、C 位于M 、N 连线的中垂线上，P 、Q 分别
为AD 、BC 的中点，下列说法正确的是（ ）
A.P 、Q 两点的电场强度大小相等
B.Q 点的电势高于P 点的电势
C.把正电荷从D 点移到C 点，电荷的电势能减少
D.把一带负电的小球从A 点由静止释放后、小球的机械能增加 9.（多选）如图所示，A 、B 、C 、D 是真空中一正四面体的四个顶点（正四面体
是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形），所有棱长都为a ，现在A 、B 两
点分别固定电量分别为+q 和-q 的两个点电荷，下列说法正确的是（ ）
A ．将试探电荷从C 点移到D 点，电场力做正功，试探电荷的电势能降低
B ．将试探电荷从
C 点移到
D 点，电场力做负功，试探电荷的电势能升高
C ．将试探电荷从C 点移到
D 点，电场力做功为零，试探电荷的电势能不变
D ．C 、D 两点的场强大小一定相等
10.（多选）如图所示，竖直平面内有两个水平固定的等量同种正点电荷，
AOB 在两电荷连线的中垂线上，O 为两电荷连线中点，AO=OB=L ，一质量为m 、
电荷量为q 的负点电荷若由静止从A 点释放则向上最远运动至O 点．若该点
电荷以某一初速度向上通过A 点后，最远运动至B 点，重力加速度为g ，则
下列说法正确的是（ ）
A.该点电荷从A 点运动到B 点的过程中电势能先增加后减小
B.该点电荷从A点运动到B点的过程中电场力先做正功后做负功
2
C.该点电荷经过O点时速度大小为gL
D.该点电荷经过O点时所受电场力一定不为零
11.（多选）如图所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a与c关于MN对称，b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上。以下判断正确的是( )
A.b点场强大于d点场强
B.b点场强小于d点场强
C.a、b两点的电势差等于b、c两点的电势差
D.试探电荷+q在a点的电势能小于在c点的电势能
12.（多选）如图所示，实线表示某电场的电场线，过O点的虚线MN
与电场线垂直，两个相同的带负电的粒子P、Q分别从A、B两点以
相同的初速度开始运动，速度方向垂直于MN，且都能从MN左侧经过
O点。设粒子P、Q在A、B两点的加速度大小分别为a1和a2，电势
能分别为Ep1和Ep2，以过O点时的速度大小分别为v1和v2，到达O
点经过的时间分别为t1和t2。粒子的重力不计，则 ( )
A．a1＜a2B．Ep1＜Ep2C．v1＜v2D．t1>t2
13.如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两
点的加速度大小分别为a A、a B，电势能分别为E p A、E p B。下列
说法正确的是( )
A．电子一定从A向B运动
B．若a
A>a B，则Q靠近M端且为正电荷
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有E p A D．B点电势可能高于A点电势 14.两个正、负点电荷周围电场线分布如图所示，P、Q为电场中两 点，则 A．正电荷由P静止释放能运动到Q B．正电荷在P的加速度小于在Q的加速度 C．负电荷在P的电势能高于在Q的电势能 D．负电荷从P移动到Q，其间必有一点电势能为零 15.两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示，c点在两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则 A．a点的电场强度比b点的大B．a点的电势比b点的高 C．c点的电场强度比d点的大D．c点的电势比d点的低 16.如图所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从a、b两点运动到c点，设电场力对两电子做的功分别为 Wa和Wb，a、b两点的电场强度大小分别为Ea和Eb，则 A．Wa =Wb，Ea >Eb B．Wa≠Wb，Ea >Eb C．Wa=Wb，Ea 17.如图，P为固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个 圆．带电粒子Q在P的电场中运动．运动轨迹与两圆在同 一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速 度大小分别为a a、a b、a c，速度大小分别为v a、v b、v c，则（） A、a a＞a b＞a c， v a＞v c＞v b B、a a＞a b＞a c， v b＞v c＞v a C、a b＞a c＞a a， v b＞v c＞v a D、a b＞a c＞a a， v a＞v c＞v b 18.如图所示，在O点固定一点电荷Q，一带电粒子P从很远处以初速度 v0射入电场，MN为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹．虚线是以O为中 心，R1、R2、R3为半径画出的三个圆，且R2﹣R1=R3﹣R2， a、b、c为轨迹 MN与三个圆的3个交点，以下说法正确的是（） A、P，Q两电荷可能同号，也可能异号 B、a点电势大于b点电势 C、P在 a的电势能大于在c点的电势能D、P由c点到b点的动能变化大于由c点到a点的动能变化 19.图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一 带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨 迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子（） A、带负电 B、在c点受力最大 C、在b点的电势能大于在c点的电势能 D、由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化 20.如图所示，虚线a，b，c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电 的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P，R，Q是这条轨迹 上的三点，由此可知（） A、带电粒子在R点时的速度大于在Q点时的速度 B、带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大 C、带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大 D、带电粒子在R点时的加速度大于在Q点时的加速度 21.如图，一带正电的点电荷固定于Ｏ点，两虚线圆均以Ｏ为圆心，两 实线分别为带电粒子Ｍ和Ｎ先后在电场中运动的轨迹，ａ、ｂ、ｃ、ｄ、 ｅ为轨迹和虚线圆的交点。不计重力。下列说法说法正确的是（） A、M带负电荷，N带正电荷 B、M在b点的动能小于它在a点的动能 C、 N在d点的电势能等于它在e点的电势能D、N在从c点运动到d点的过 程中克服电场力做功 22.如图所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线 是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点．若粒 子在运动中只受电场力作用．根据此图可以判断出（） A、带电粒子所带电荷的种类 B、粒子在a、b两点的受力方向 C、粒子在a、 b两点何处速度大D、a、b两点何处电场强度大 23.如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为+Q．图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的等势面．有两个一价离子M，N（不计重力，也不计它们之间的电场力）先后从a 点以相同的速率v 0射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb和aqc，其中p、 q分别是它们离固定点电荷最近的位置．以下说法正确的是（） A、M在b点的速率大于N在c的速率 B、M是负离子，N是正离子 C、a→p→b过程中电场力先做负功再做正功 D、M从p→b过程中电势能的增量小于N从a→q电势能的增量 参考答案。 1.答案：A等量异种电荷的电场线分布如图所示，正、负电荷在连线中点处产生的电势一正 一负，故此处即坐标原点处的总电势为零。顺电场线方向电势逐渐降低，因此，在坐标原点左侧，各点的电势都大于零；在坐标原点右侧，各点的电势都小于零，正电荷处电势最高，负电荷处电势最低，无穷远处的电势为零，因此选项A正确。 2.答案：D 3.答案：BD 4.答案：D 5.答案：AC 6.答案：D 7.答案：CD 8.答案：ABD 9.答案：CD 10.答案：BC 11.答案：BC对于等量异种点电荷所形成的电场中每一个位置处的电场强度都是两个电荷形成的电场相叠加的结果，在MN直线上在两电荷中点处的场强最大，在两点电荷连线上，中点场强最小(在电场线分布稠密的地方电场较强)。可以判断B正确，A错误。电势差是电势的差值，由题意可知MN是两个电荷连线的中垂线，故C正确。把正电荷从a点移到c点，电场力做正功，电荷的电势能减小，D错误。 12.答案：BCD 13.BC 14.D 15.ACD 16.解读】 试卷分析：电子在电场中运动电场力做功W=qU，由于a、b两点位于同一条等势线上，故，有，可得；电场线的疏密程度反映场强的大小，a点比b点的电场线密些，故场强大些，，故选A． 考点：电场线和等势面的特点、电场力做功、电场强度的判断. 17.D 18 CD 19.CD 20.AD 21.ABC 22.BCD 23.BD 一．等量异种同种电荷产生电场电势等势面 1.等量异种点电荷的电场：是两簇对称曲面，两点电荷连线的中垂面是一个等势面．如图1－4－6所示．在从正电荷到负电荷的连线上电势逐渐降低，φA>φA′；在中垂线上φB＝φB′. 2.等量同种点电荷的电场：是两簇对称曲面，如图1－4－7所示，在AA′线上O点电势最低；在中垂线上O点电势最高，向两侧电势逐渐降低，A、A′和B、B′对称等势． 二．等量异种同种电荷产生电场电场线场强关系 1．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 (1)两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷． (2)两点电荷连线的中垂面(中垂线)上，电场线方向均相同，即场强方向均相同，且总与中垂面(线)垂直．在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线中点)． (3)在中垂面(线)上的电荷受到的静电力的方向总与中垂面(线)垂直，因此，在中垂面(线)上移动电荷时静电力不做功． (4) 等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大； (5)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同； 2．等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 (1)两点电荷连线中点O处场强为零，此处无电场线． (2)中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零． (3)两点电荷连线中垂面(中垂线)上，场强方向总沿面(线)远离O(等量正电荷)． (4)在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变强后变弱． (5)等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (6)等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. PS:等量异种电荷和等量同种电荷连线上以及中垂线上电场强度各有怎样的规律？ (1)等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大；等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (2)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同；等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. 匀强电场 等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场 － － － － 点电荷与带电平+ 孤立点电荷周围的电场 几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表 一、场强分布图 二、列表比较 下面均以无穷远处为零电势点，场强为零。 孤立 的 正点 电荷 电场线 直线，起于正电荷，终止于无穷远。 场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不 同。 电势 离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为正。 等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。 孤立 的 负点 电荷 电场线 直线，起于无穷远，终止于负电荷。 场强 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大小相等，方向不同。 电势 离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势面，每点的电势为负。 等势面 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越密。 等量 同种 负点 电荷 电场线 大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。 电势 每点电势为负值。 连 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势 由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。 中 垂线上场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。电势 中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。 等量同种正点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。 电势每点电势为正值。 连 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都是指向中 点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。 中 垂 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相反，都沿着中垂 线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一个位置场强最大。 电势 中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。 等量异种点电荷电场线大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线。 电势中垂面有正电荷的一边每一点电势为正，有负电荷的一边每一点电势为负。 连 线 上 场强 以中点最小不等于零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是由 正电荷指向负电荷；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势由正电荷到负电荷逐渐降低，中点电势为零。 中 垂 线 上 场强 以中点最大；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相同，都是与中垂线垂 直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷远处，逐渐减小。 电势 中垂面是一个等势面，电势为零 例如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V，则B点的电势是 A.一定等于6V B.一定低于6V C.一定高于6V D.无法确定 解：由U=Ed，在d相同时，E越大，电压U也越大。因此U AB> U BC，选B 要牢记以下6种常见的电场的电场线和等势面： 注意电场线、等势面的特点和电场线与等势面间的关系： ①电场线的方向为该点的场强方向，电场线的疏密表示场强的大小。 ②电场线互不相交，等势面也互不相交。 ③电场线和等势面在相交处互相垂直。 ④电场线的方向是电势降低的方向，而且是降低最快的方向。 + ．问题分析： 研究双电荷静电系统的电力线和等势线的分布，设在（-a ，0）处有一正电荷q 1，在（a ，0）处有一负电荷q 2，则在电荷所在平面内任意一点（坐标为（x ，y ））的电势和场强分别为： 1 212(,)44q q V x y r r πεπε=+, E V =-? . 其中：r1=y a x 22+ +）（ r2=y a -x 2 2+）（ 二．问题解决： 为简化模型，可令1 14πε=，a=3， MatlAB 语言描述如下： clear all clc close all q1=input('请输入q1: '); q2=input('请输入q2: '); a=3; [X,Y]=meshgrid(-10:0.7:10,-10:0.7:10); rm=sqrt((X-a).^2+Y .^2); rp=sqrt((X+a).^2+Y .^2); V=q1*(1./rp)+q2*(1./rm); [Ex,Ey]=gradient(-V); E=sqrt(Ex.^2+Ey .^2); Ex=Ex./E; Ey=Ey ./E; cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),100); contour(X,Y ,V ,cv , 'r-');%用红线画等势线； hold on quiver(X,Y ,Ex,Ey ,1,'b');%用蓝线画电场线； title('\fontname{宋体}\fontsize{15}双电荷静电系统的电场线和电势线') hold off (1)请输入q1: 5 请输入q2: -1此时绘出图形为： (2)请输入q1: 3 请输入q2: -1此时绘出图形为： 两等量同种（异种）电荷场强分布特点 等量同种（异种）点电荷在空间的场强分布比较复杂，但在两条线（点电荷连线及其中垂线）上仍有其规律性，为研究方便，设它们带电量为Q ，两电荷连线AB 长度为L,中点为O. 一、 等量异种电荷 1、 两电荷连线上 如图1所示，在两电荷连线上任取一点G ，设AG 长度为x ， 则G 点场强E G 为两点电荷分别在该点的场强E A 、E B 荷指向负电荷一侧），由点电荷场强公式知： E G = E A + E B =()[] ()[]2 22 22)(x L x x x L L kQ x L kQ x kQ ---=-+ ∵x+(L-x)等于定值L ，∴当x=(L-x)，即x= 2 L 时，x 与 (L-x)乘积最大， E G 有最小值，即在两电荷连线中点O 处场强最小，从O 点向两侧逐渐增大，数值关于O 点对称。 2、 中垂线上 如图2所示，在中垂线上，任取一点H ，设OH=x ，根据对称性知：E H 沿水 平方向向右，即在中垂线上各点场强水平向右（垂直于中垂线指向负电荷 一侧），沿中垂线移动电荷，电场力不做功，由电势差定义知：中垂线为一 等势线，与无限远处等势，即各点电势为零。 H 点的场强E H = 2 3 2222 22 2 2 22222cos 22??? ?????+??? ??= +?? ? ??? +?? ? ??= ?+?? ? ??x L kQL x L L x L kQ x L kQ θ， ∴在O 点，即x=0处，E H 最大，x 越大，即距O 点越远E H 越小，两侧电场强度数值关于O 点对称。 图1 G O B 图2 H 常见电场电场线分布规律 电场强度、电场线、电势部分基本规律总结 整理：胡湛霏 一、几种常见电场线分布： 二、等量异种电荷电场分析 1、场强： ①在两点电荷连线上，有正电荷到负电荷，电场强度先减小后增大，中点O 的电场强度最小。电场强度方向由正电荷指向负电荷； ②两点电荷的连线的中垂线上，中点O的场强最大，两侧场强依次减小。各 点电场强度方向相同。 2、电势： ①由正电荷到负电荷电势逐渐降低； ②连线的中垂线所在的、并且与通过的所有电场线垂直的平面为一等势面； ③若规定无限远处电势为0，则两点电荷连线的中垂线上各点电势即为0。 3、电势能：（设带电粒子由正电荷一端移向负电荷一端） ①带电粒子带正电：电场力做正功，电势降低，电势能减少； ②带电粒子带负点：电场力做负功，电势降低，电势能增加。 三、等量同种电荷电场分析 1、场强： ①两点电荷的连线上，由点电荷起，电场强度越来越小，到终点O的电场强度 为0，再到另一点电荷，电场强度又越来越大； ②两点电荷连线的中垂线上，由中点O向两侧，电场强度越来越大，到达某一 点后电场强度又越来越小； ③两点电荷（正）连线的中垂线上，电场强度方向由中点O指向外侧，即平行 于中垂线。 2、电势： ①两正点电荷连线上，O点电势最小，即由一个正点电荷到另一正点电荷电势先降低后升高。连线的中垂线上，O电电势最大，即O点两侧电势依次降低。 ②两负点电荷连线上，O点电势最大，即由一个负点电荷到另一负点电荷电势先增高后降低。连线的中垂线上，O点电势最小，即O点两侧电势依次升高。 ③其余各点电势由一般规律判断，顺着电场线方向电势逐渐降低。 3、电势能： ①由电势判断：若带电粒子为正电荷，则电势越高，电势能越大；若带电粒子为负电荷，则电势越高，电势能越小。 ②由功能关系判断：若电场力做负功，则电势能增加；若电势能做正功，则电势能减少。 3、匀强电场 1、特点： ①匀强电场的电场线，是疏密相同的平行的直线。 ②场强处处相等。 ③电荷在其中受到恒定电场力作用，带电粒子在其中只受电场力时做匀变速运动。 2、等势面：垂直于电场线的系列平面。 四、电势、电势能的变化规律 1、电势：q E p = ?（相当于高度） ①根据电场线判断：电势沿电场线方向减小。 ②根据在两点间移动试探电荷，根据电场力做功情况判断电势： 正电荷：电场力做正功，电势能减小，电势降低；电场力做负功，电势能增加，电势升高。 负电荷：电场力做正功，电势能较小，电势升高；电场力做负功，电势能增加，电势降低。 ③根据公式q W AO A = ?和q W BO B =?判断：把电荷q 从将要比较的A 、B 两点分别移到零电势点O ，若做的功分别为AO W 、BO W ，则可根由公式q W AO A = ?和q W BO B =?直接判断出A ?、B ?的高低。 2、电势能：q E p ?=?（相当于重力势能） ①在电场中，无论移动+Q 还是-Q ，只要电场力做正功，Q 的电势能一定减小；只要电场力做 负功，Q 的电势能一定增大。 ②对于正电荷，若电势降低，则电势能一定降低，若电势升高，则电势能一定升高； 对于负电荷，若电势降低，则电势能一定升高，若电势升高，则电势能一定降低； ③电场力做功只与初末位置有关，与运动路径无关。 五、常见等势面 1、点电荷电场中的等势面： 2、等量异种点电荷电场中的等势面： 3、等量同种点电荷电场中的等势面： 以点电荷为球心的一簇球面。 是两簇对称曲面。 是两簇对称曲面。 一．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 1.两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷． 2.两点电荷连线的中垂面(中垂线)上，电场线方向均相同，即场强方向均相同，且总与中垂面(线)垂直．在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线中点)． 3.在中垂面(线)上的电荷受到的静电力的方向总与中垂面(线)垂直，因此，在中垂面(线)上移动电荷时静电力不做功． 4.等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大； 5.等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同； 二.等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 1.两点电荷连线中点O处场强为零，此处无电场线． 2.中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零． 3.两点电荷连线中垂面(中垂线)上，场强方向总沿面(线)远离O(等量正电荷)． 4.在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变强后变弱． 5.等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． 6.等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. 等量异种电荷和等量同种电荷连线上以及中垂线上电场强度各有怎样的规律？ (1)等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大；等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (2)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同；等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. 三．等量异种同种电荷产生电场电势等势面 1.等量异种点电荷的电场：是两簇对称曲面，两点电荷连线的中垂面是一个等势面．如图－所示．在从正电荷到负电荷的连线上电势逐渐降低，φA>φA′；在中垂线上φB＝φB′. 2.等量同种点电荷的电场：是两簇对称曲面，如图1－4－7所示，在AA′线上O点电势最低；在中垂线上O点电势最高，向两侧电势逐渐降低，A、A′和B、B′对称等势． （十九）等量点电荷电场的电场线分布及特点 高考题型训练 1.两个等量异种点电荷位于x 轴上，相对原点对称分布，正确描述电势φ随位置x 变化规律的是图中( ) 2.如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z ＜0的空间，z ＞0的空间为真空．将电荷为q 的点电荷置于z 轴上z=h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电 平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上z=h/2处的场强大小为（k 为静电力常量）（ ） A.24h q k B.294h q k C.2932h q k D.2940h q k 3.（多选）在电荷量分别为2q 和一q 的两个点电荷形成的电场中， 电场线分布如图所示，在两点电荷连线上有a 、b 两点，则（ ） A ．在两点电荷之间的连线上存在一处电场强度为零的点 B ．在负试探电荷从a 点向b 点移动过程中所受电场力先减小后增 大 C ．在负试探电荷从a 点向b 点移动过程中电场力先做正功后做负 功 D ．负试探电荷在a 点具有的电势能比在b 点时具有的电势能小 4.空间中P 、Q 两点处各固定一个点电荷，其中P 点处为正电荷，P 、Q 两点附近电场的等势面分布如图所示，、b 、c 、d 为电场中的4个点， 则（ ） A ．P 、Q 两点处的电荷等量同种 B ．点和b 点的电场强度相同 C ．c 点的电势低于d 点的电势 D ．负电荷从到c ，电势能减少 5.如图所示，MN 、PQ 是圆的两条相互垂直的直径，O 为圆心。两个等量正 电荷分别固定在M 、N 两点。现有一带电的粒子（不计重力及粒子对电场的 影响）从P 点由静止释放，粒子恰能在P 、Q 之间做直线运动，则以下判断 正确的是 A ．O 点的电场强度一定为零 B ．P 点的电势一定比O 点的电势高 Matlab对电磁学中等量异种点电荷电场线的不完整演示 ——总结分析 ——09物本 ——薛花 ——09050141058 1、实验目的： 利用matlab对等量异种点电荷电场线的绘制的演示，加深了解等量异种点电荷电场线的分布情况，同时熟悉matlab在电磁学中的应用。 2、实验原理物理推导： 首先建立电场线的微分方程，因为电场中任意一点的电场方向都沿该电场线的切线方向，所以满足： dy/dx=Ey/Ex 引入参变量t得到： dx/Ex=dy/Ey=dt 设二点电荷位于（-1,0）（1,0）,二点电荷“电量”为q1,q2,由库仑定律和电场的叠加原理，得出下列微分方程： x’=dx/dt=Ex=q1(x+2)/[(x+2)2 +y2 +0.01]3/2+ q2(x-2)/[(x-2)2 +y2 +0.01]3/2 y’=dy/dt=Ey=q1y/[(x+2)2 +y2+0.01]3/2+ q2y/[(x-2)2 +y2+0.01]3/2 3、程序： 微分方程的函数文件： function ydot=dcxlfun(t,y,flag,p1,p2) %p1,p2是参量，表示电量 ydot=[p1*(y(1)+2)/(sqrt(((y(1)+2).^2+y(2).^2)+0.01 ).^3)-... p2*(y(1)-2)/(sqrt((( (y(1)-2).^2+y(2).^2)+0.01 ).^3); %dx/dt=Ex p1*y(2)/(sqrt(( (y(1)+2).^2+y(2).^2)+0.01 ).^3)-... p2*y(2)/(sqrt(( (y(1)-2).^2+y(2).^2)+0.01).^3)]; %dy/dt=Ey 这里的y是微分方程的解矢量，它包含俩个分量，y(1)表示x，y(2)表示y，解出y后就得到了x与y的关系，即可依次绘制出电场线。微分方程的主程序： p1=1;p2=1; %点电荷所带电量 axis([-5,5,-5,5]); %设定坐标轴范围 hold on %图形控制，不可擦出模式 plot(1,0,'*r'); plot(-1,0,'*r') %绘制两源电荷 a=(pi/24):pi/12:(2*pi-pi/24); %圆周上电场线起点所对应的角度 b=0.1*cos(a);c=0.1*sin(a); %电场线起点所对应的相对坐标 b1=-1+b;b2=1+b; %把起点圆周的圆心放在源电荷处 b0=[b1 b2]; c0=[c c]; %初始条件，所有电场线的起点 for i=1:48 %循环求解48次方程 [t,y]=ode45('dcxlfun',[0:0.05:40],[b0(i),c0(i)],[],p1,p2); %调用ode45求解，对应一个初条件（起点），求解一条电场线plot(y(:,1),y(:,2),'b') %绘制出此条电场线 对等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度变化情况 的研究 [摘要]：本文用点电荷电场强度的计算公式以及场强的叠加原理，讨论了等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度变化的情况。 [关键词]：电场强度，等量异种，等量同种，点电荷，叠加原理 [正文] 等量异种点电荷和等量同种点电荷形成的电场的电场线如图1所示。 图1 根据电场线的疏密程度，我们可以知道电场中两点间的电场强度关系。在实际处理问题时，最常见的又是两点电荷连线上的场强变化情况以及连线的中垂线上电场强度的变化情况，我们将就此展开讨论。 一、等量异种点电荷的电场 1．二者连线上电场强度的变化情况 如图2所示，设两点电荷电荷量的绝对值都是q ，二者间的距离为2a ，我们讨论与连线中点O 的距离为x （a x <<0）的A 点的电场强度。 如图所示，由点电荷的场强公式及电场的叠加原理知，A 点的电场强度为： ()() 22a x kq a x kq E ++-= 可见E 是x 的函数，对x 求导，有： 图2 ()()()()[] ()()?? ????+--=+-+---=-3323112212'x a x a kq x a x a kq E 由于，所以0'>E ，所以在a x <<0上，E 是增函数。这说明x 的数值越大，即A 点离两点电荷连线的中点O 越远，场强越大。 由对称性可知，当A 位于O 点右边时，有同样的结果。 总之，从连线中点沿连线向两电荷移动时，电场强度逐渐增大，二者连线上中点位置的场强最小。 2．二者连线的中垂线上电场强度的变化情况 如图3所示，我们研究二者连线的中垂线上与垂足O 相距x 的点A 的电场强度。 由对称性知，两点电荷在此处产生的场强的大小相等，方向如图所示。由点电荷的场强公式和场的叠加原理知： θcos 22 2?+? =x a kq E 而 22cos x a a +=θ 由上面两式可得： ()23222x a kqa E += 从上式可以看出，当x 增大时，E 减小。这说明：从垂足向远处移动时，中垂线上的点的电场强度减小。 二、等量同种点电荷的电场 我们以等量的正点电荷形成的电场为例进行研究： 1．二者连线上电场强度的变化情况 图3 常见电场电场线分布规律 常见电场电场线分布规律 电场强度、电场线、电势部分基本规律总结 整理：胡湛霏 一、几种常见电场线分布： 二、等量异种电荷电场分析 1、场强： ①在两点电荷连线上，有正电荷到负电 荷，电场强度先减小后增大，中点O的 电场强度最小。电场强度方向由正电荷 指向负电荷； ②两点电荷的连线的中垂线上，中点O的场强最大，两侧场强依次减小。各点电场强度方向相同。 2、电势： ①由正电荷到负电荷电势逐渐降低； ②连线的中垂线所在的、并且与通过的所有电场 线垂直的平面为一等势面； ③若规定无限远处电势为0，则两点电荷连线的中垂线上各点电势即为0。 3、电势能：（设带电粒子由正电荷一端移向负电荷一端） ①带电粒子带正电：电场力做正功，电势降低，电势能减少； ②带电粒子带负点：电场力做负功，电势降低，电势能增加。 三、等量同种电荷电场分析 1、场强： ①两点电荷的连线上，由点电荷起，电场 强度越来越小，到终点O的电场强度为 0，再到另一点电荷，电场强度又越来越 大； ②两点电荷连线的中垂线上，由中点O向两侧，电场强度越来越大，到达某一点后电场强度又越来越小； ③两点电荷（正）连线的中垂线上，电场强度方向由中点O指向外侧，即平行于中垂线。 2、电势： ①两正点电荷连线上，O点电势最小，即由一个 正点电荷到另一正点电荷电势先降低后升高。 连线的中垂线上，O电电势最大，即O点两侧电势依次降低。 ②两负点电荷连线上，O点电势最大，即由一个负点电荷到另一负点电荷电势先增高后降低。连线的中垂线上，O点电势最小，即O点两侧电势依次升高。 ③其余各点电势由一般规律判断，顺着电场线方向电势逐渐降低。 3、电势能： ①由电势判断：若带电粒子为正电荷，则电势越高，电势能越大；若带电粒子为负电荷，则电势越高，电势能越小。 ②由功能关系判断：若电场力做负功，则电势能增加；若电势能做正功，则电势能减少。 3、匀强电场 1、特点： ①匀强电场的电场线，是疏密相同的平行的直线。 ②场强处处相等。 ③电荷在其中受到恒定电场力作用，带电粒子在其中只受电场力时做匀变速运动。 一．等量异种同种电荷产生电场电场线场强关系 1．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 (1)两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷． (2)两点电荷连线的中垂面(中垂线)上，电场线方向均相同，即场强方向均相同，且总与中垂面(线)垂直．在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线中点)． (3)在中垂面(线)上的电荷受到的静电力的方向总与中垂面(线)垂直，因此，在中垂面(线)上移动电荷时静电力不做功． (4) 等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大； (5)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同； 2．等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 (1)两点电荷连线中点O处场强为零，此处无电场线． (2)中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零． (3)两点电荷连线中垂面(中垂线)上，场强方向总沿面(线)远离O(等量正电荷)． (4)在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变强后变弱． (5)等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (6)等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. PS:等量异种电荷和等量同种电荷连线上以及中垂线上电场强度各有怎样的规律？ (1)等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大；等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (2)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同；等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. . 一．等量异种同种电荷产生电场电场线场强关系 1．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 (1)两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷． (2)两点电荷连线的中垂面(中垂线)上，电场线方向均相同，即场强方向均相同，且总与中垂面(线)垂直．在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线中点)． (3)在中垂面(线)上的电荷受到的静电力的方向总与中垂面(线)垂直，因此，在中垂面(线)上移动电荷时静电力不做功． (4) 等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大； (5)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同； 2．等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 (1)两点电荷连线中点O处场强为零，此处无电场线． (2)中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零． (3)两点电荷连线中垂面(中垂线)上，场强方向总沿面(线)远离O(等量正电荷)． (4)在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变强后变弱． (5)等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (6)等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. PS:等量异种电荷和等量同种电荷连线上以及中垂线上电场强度各有怎样的规律？ (1)等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大；等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (2)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同；等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反. 二．等量异种同种电荷产生电场电势等势面 1.等量异种点电荷的电场：是两簇对称曲面，两点电荷连线的中垂面是一个等势面．如图1－4－6所示．在从正电荷到负电荷的连线上电势逐渐降低，φA>φA′；在中垂线上φB＝φB′. 2.等量同种点电荷的电场：是两簇对称曲面，如图1－4－7所示，在AA′线上O点电势最低；在中垂线上O点电势最高，向两侧电势逐渐降低，A、A′和B、B′对称等势． -三、练习 1．如图所示，在真空中有两个固定的等量异种点电荷+Q和-Q。直线MN是两点电荷连线的中垂线，O是两点电荷连线与直线MN的交点。a、b是两点电荷连线上关 于O的对称点，c、d是直线MN上的两个点。下列说法中正确的 是（） A．a点的场强大于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移 动到d，所受电场力先增大后减小 B．a点的场强小于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移 动到d，所受电场力先减小后增大 C．a点的场强等于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先增大后减小D．a点的场强等于b点的场强；将一检验电荷沿MN由c移动到d，所受电场力先减小后增大 2．等量异种点电荷的连线和其中垂线如图所示，现将一个带负电的检验电荷先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点．则（） A．从a点到b点，电势逐渐增大 B．从a点到b点，检验电荷受电场力先增大后减小 C．从a点到c点，检验电荷所受电场力的方向始终不变 D．从a点到c点，检验电荷的电势能先不变后增大 3、某静电场的电场线分布如图所示，P、Q为该电场中的两点，下列说法正确的 是 +Q-Q a b c d O M N ＋ － ?? ? a b c 常见的电场电场线分布 规律 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H- 常见电场电场线分布规律 电场强度、电场线、电势部分基本规律总结 整理：胡湛霏 一、几种常见电场线分布： 二、等量异种电荷电场分析 1、场强： ①在两点电荷连线上，有正电荷到负电荷，电场强度先减小后增 大，中点O的电场强度最小。电场强度方向由正电荷指向负电 荷； ②两点电荷的连线的中垂线上，中点O的场强最大，两侧场强依 次减小。各点电场强度方向相同。 2、电势： ①由正电荷到负电荷电势逐渐降低； ②连线的中垂线所在的、并且与通过的所有电场线垂直的平面为一等势面； ③若规定无限远处电势为0，则两点电荷连线的中垂线上各点电势即为0。 3、电势能：（设带电粒子由正电荷一端移向负电荷一端） ①带电粒子带正电：电场力做正功，电势降低，电势能减少； ②带电粒子带负点：电场力做负功，电势降低，电势能增加。 三、等量同种电荷电场分析 1、场强： ①两点电荷的连线上，由点电荷起，电场强度越来越小，到终点O 的电场强度为0，再到另一点电荷，电场强度又越来越大； ②两点电荷连线的中垂线上，由中点O向两侧，电场强度越来越 大，到达某一点后电场强度又越来越小； ③两点电荷（正）连线的中垂线上，电场强度方向由中点O指向外 侧，即平行于中垂线。 2、电势： ①两正点电荷连线上，O点电势最小，即由一个正点电荷到另一正点电荷电势先降低后升高。连线的中垂线上，O电电势最大，即O点两侧电势依次降低。 ②两负点电荷连线上，O点电势最大，即由一个负点电荷到另一负点电荷电势先增高后降低。 连线的中垂线上，O点电势最小，即O点两侧电势依次升高。 ③其余各点电势由一般规律判断，顺着电场线方向电势逐渐降低。 3、电势能： ①由电势判断：若带电粒子为正电荷，则电势越高，电势能越大；若带电粒子为负电荷，则电势越高，电势能越小。 ②由功能关系判断：若电场力做负功，则电势能增加；若电势能做正功，则电势能减少。 3、匀强电场 1、特点： 一．等量异种同种电荷产生电场电场线以及场强关系： 1．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点如右图。 (1)两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷． (2)两点电荷连线的中垂面或中垂线上，电场线方向 均相同，即场强方向均相同，且总与中垂面线垂直．在中 垂面上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线中点) (3)在中垂面(线)上的电荷受到的静电力的方向总与中垂面(线) 垂直，因此，在中垂面(线)上移动电荷时静电力不做功． (4) 等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的 场强为最大； (5)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同； 2．等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点 （1）两点电荷连线中点O处场强为零，此处无电场线． (2)中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零． (3)两点电荷连线中垂面(中垂线)上，场强方向总沿面(线)远离O(等量正电荷)． (4)在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变强后变弱． (5)等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处 场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之 间某位置场强必有最大值． (6)等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反 等量异种电荷和等量同种电荷连线上以及中垂线上电场强度各有怎样的规律？ (1)等量异种点电荷连线上以中点O场强最小，中垂线上以中点O的场强为最大；等量同种点电荷连线上以中点电场强度最小，等于零．因无限远处场强E∞＝0，则沿中垂线从中点到无限远处，电场强度先增大后减小，之间某位置场强必有最大值． (2)等量异种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强相同；等量同种点电荷连线和中垂线上关于中点对称处的场强大小相等、方向相反 两个点电荷电场线分布示意图及场强电势特点 等量同种负点电荷 电场线 大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有 两条电场线是直线。 电势每点电势为负值。 连 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强 大小相等，方向相反，都是背离中点；由连线的 一端到另一端，先减小再增大。 电势 由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势 最高不为零。 中 垂 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强 大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向中点； 由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必有一 个位置场强最大。 电势 中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至 零。 等量同种正点 电荷 电场线 大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有 两条电场线是直线。 电势每点电势为正值。 连 线 上 场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强 大小相等，方向相反，都是指向中点；由连线的 一端到另一端，先减小再增大。 电势由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势 最低不为零。中 垂线上场强 以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强 大小相等，方向相反，都沿着中垂线指向无穷远 处；由中点至无穷远处，先增大再减小至零，必 有一个位置场强最大。 电势 中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至 零。 等量异种点电 荷 电场线 大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有 三条电场线是直线。 电势 中垂面有正电荷的一边每一点电势为正，有负电 荷的一边每一点电势为负。 连 线 上 场强 以中点最小不等于零；关于中点对称的任意两点 场强大小相等，方向相同，都是由正电荷指向负 电荷；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 电势由正电荷到负电荷逐渐降低，中点电势为零。中 垂 线 上 场强 以中点最大；关于中点对称的任意两点场强大小 相等，方向相同，都是与中垂线垂直，由正电荷 指向负电荷；由中点至无穷远处，逐渐减小。 电势中垂面是一个等势面，电势为零 （以无穷远处为零电势点，场强为零）孤立点电荷电场线分布示意图及场强电势特点关于等量同种或者一种电荷场强分布
几种典型电场线分布示意图及场强电势特点
异种不等量电荷的电场线及电势线
两等量同种(异种)电荷场强分布特点
常见的电场电场线分布规律
等量同种异种电荷电场分布
(十九)等量点电荷电场的电场线分布及特点
Matlab对电磁学中等量异种点电荷电场线的不完整演示
对等量异种点电荷和等量同种点电荷电场中电场强度的变化情况的研究
常见电场电场线分布规律
等量异种同种电荷总结
等量异种同种电荷总结
常见的电场电场线分布规律
关于等量同种异种电荷电场分布特点的详细说明
电荷电场线分布示意图及场强电势特点
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