四川省成都市2016-2017学年高三下学期2月月考
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（x+1）≥2}，则A∩B等于（）
1．已知集合A={x∈N|4x﹣x2≥0}，B={x∈N|log
2
A．{2，3} B．{3，4} C．{4，5} D．{5，6}
2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）
A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4 D．20ix4
5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）
附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．
A．6038 B．6587 C．7028 D．7539
6．已知f（x）满足对?x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）
A．30m B．40m C． m D． m
8．设p：实数x、y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1，q：实数x、y满足，则p是q的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物
线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）
A．20 B．16 C．10 D．5
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]
12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），x=﹣为f（x）的零点，x=为
y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值是（）
A．5 B．7 C．9 D．11
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．
14．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）焦距长为4，焦点到渐近线的距离等于，则双曲线离
心率为 ．
15．已知定义在R 上的单调函数f （x ）满足对任意的x 1、x 2，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）
成立．若正实数a ，b 满足f （a ）+f （2b ﹣1）=0，则+的最小值为 ．
16．棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在同一个球面上，其中PA ⊥平面ABC ，△ABC 是正三角形，PA=2BC=6，则该球的表面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有a n =+2成立．
（1）记b n =log 2a n ，求数列{b n }的通项公式；
（2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．
18．小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B 平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别
为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．
（Ⅰ）求A恰好获得4元的概率；
（Ⅱ）设A获得的金额为X元，求X的分布列及X的数学期望．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
20．已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
21．已知函数f（x）=e x+ax2+bx．
（Ⅰ）当a=0，b=﹣1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在点P（t，f（t））（0＜t＜1）处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q．若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围．
请从下面所给的（22）、（23）两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，22．在直角坐标系xoy中，曲线C
1
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为ρ=4cosθ．
2
（Ⅰ）将曲线C
的方程化为极坐标方程；
1
（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C
交与点A，
1
交与点B，且|AB|=，求α的值．
l与C
2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．
四川省成都市2016-2017学年高三下学期2月月考试卷
（理科数学）参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（x+1）≥2}，则A∩B等于（）
1．已知集合A={x∈N|4x﹣x2≥0}，B={x∈N|log
2
A．{2，3} B．{3，4} C．{4，5} D．{5，6}
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x∈N|4x﹣x2≥0}={x∈N|0≤x≤4}={0，1，2，3，4}，
（x+1）≥2}={x∈N|x≥3}={3，4，5，6，7，…}，
B={x∈N|log
2
∴A∩B={x∈N|3≤x≤4}={3，4}．
故选：B．
2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．
【解答】解：，；
∴；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选A．
3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】化简=， ==， ==，进而得出．
【解答】解：∵=， ==， ==，
而0＜＜2，
∴a＞b＞c．
故选：C．
4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）
A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4 D．20ix4
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．
【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4?i2=﹣15x4，
故选：A．
5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）
附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．
A．6038 B．6587 C．7028 D．7539
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．
【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，
则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．
故选：B．
6．已知f（x）满足对?x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）
A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f （ln5），进而可得答案．
【解答】解：∵f（x）满足对?x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，
故f（﹣x）=﹣f（x），
故f（0）=0
∵x≥0时，f（x）=e x+m，
∴f（0）=1+m=0，
m=﹣1，
即x≥0时，f（x）=e x﹣1，
则f（ln5）=4
f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，
故选：B．
7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）
A．30m B．40m C． m D． m
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．
【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，
∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos∠DCB
即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40?x?cos120°
整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）
即所求电视塔的高度为40米．
故选B．
8．设p：实数x、y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1，q：实数x、y满足，则p是q的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由q：实数x、y满足，画出可行域：则实数x、y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1，反之不成立．即可判断出关系．
【解答】解：由q：实数x、y满足，画出可行域：
则实数x、y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1，
反之不成立，例如取点（1，2）．
则p是q的必要不充分条件．
故选：A．
9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物
线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）
A．20 B．16 C．10 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得．
【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），
设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，
∵，
∴1+2=﹣3（m+2），
∴m=﹣3，
∴n=±2，
∵a=﹣3n，
∴a=±6，
∴|AB|==20．
故选：A．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积． 【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：
其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，
∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+
=
．
故选D ．
11．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，若不等式f （x 3﹣x 2+a ）+f （﹣x 3+x 2﹣a ）≥2f （1）对x ∈[0，1]恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[
，1]
B ．[﹣
，1] C ．[1，3] D ．（﹣∞1]
【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．
【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，
∴不等式f （x 3﹣x 2+a ）+f （﹣x 3+x 2﹣a ）≥2f （1）等价为2f （x 3﹣x 2+a ）≥2f （1） 即f （x 3﹣x 2+a ）≥f （1）对x ∈[0，1]恒成立，