模拟试题（一）参考答案
一.单项选择题（每小题2分,共16分）
1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立
(C) 0)(0)(==B P A P 或
(D) AB 未必是不可能事件
解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.
2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）
(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21
3)1(p p C -
解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.
3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ）
(A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续
解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足
?
∞+∞
-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]2
1
,31[上的均匀分布的随机变量的概
率密度
?????≤≤=其他,
0,2131,6)(x x f
在31=
x 与2
1
=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e
21
)(4
)3(2
+∞<<-∞=+-
x x f x π,则=Y （ ）)1,0(~N
(A)
2
3+X (B)
2
3
+X (C)
2
3-X (D)
2
3
-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=
DX ,令2
3+=
X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.
5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)
(
(C) DY DX DXY ?=
(D) EY EX EXY ?=
解 因为0=ρ,故
0),cov(=?=DY DX Y X ρ,
DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(,
但无论如何,都不成立DY DX DXY ?=.故本题应选C.
6、设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) )1,0(~N X
(B) )1,0(~N X
n
(C)
)(~21
2n X n
i i χ∑=
(D)
)1(~-n t S
X
解 )1,0(~n
N X ,),0(~n N X n ,
)1(~-?n t S
X
n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望μ的无偏估计量
(A)
∑=n
i i
X
1
(B) X
(C) )46(1.01n X X +
(D) 321X X X -+
解 由无偏估计量的定义计算可知,
∑=n
i i
X
1
不是无偏估计量,本题应选A.
8、在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H
解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.
二.填空题（每空2分,共14分）
1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解
81;8
3
. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且3
1
,3=
=DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,31
12)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为?????≤≤=.0
,
42,21
)(其他x x f
3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________. 解 4
7
3])([232)32(2
2
2
=
++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P ________.
解 根据切比雪夫不等式,
121
36),cov(26
)(}6||{2
=++=+≤
≥+Y X DY DX Y X D Y X P . 5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21
X 服从分布________（并写出其参数）.
解 设
)(~n t n
Z
Y X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n Z
X =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.
解 ∑=--=n
i i X X n S 1
22
)(11
.
三.(本题６分)
设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得
27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P .
3
1
)()|()()()()|(===
B P A B P A P B P AB P B A P .
四.(本题8分)
两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:
(1) 任取一个零件是合格品的概率,
(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.
解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得
973.098.03
1
97.032)|()()|()()(2211≈?+?=
+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102
.031
)
()
|()()()()|(2222≈-?===
B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)
袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:
(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；
(4) )(XY E .
解 （1） Y
X 1 2 3 1 0
61 121 2 61 61 61
3 121 61
（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41
)3(==X P .
41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,4
1
)3(==Y P .
（3）因为)1()1(16
1
0)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(??+??+??+??+??=XY E 612312113??+??+6
23
=.
六.(本题12分)
设随机变量X 的密度函数为
)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,
试求:
(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因
?∞+∞
-x x f d )(?
∞+-===0
214d e 2A x x A x ,从而4
1
=
A ; (2) ???
---+=
=
≤<-20201221
d e 4
1d e 41d )(}21{x x x x x x f X P x
x 1
2e 4
5e 251----
=;
(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,
)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=
)()(y F y F X X --=,
所以,两边关于y 求导可得,
.e 4
1
21e 4
1
21e 4
1
)(y
y
y
Y y y
y y
y y f ---?=
-?
?-
?
?=
故Y 的密度函数为
???
??>?≤=-
.
0,e 4
1
,0,0)(y y y y f y
Y
七.(本题6分)
某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时
间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.
解 设??
?=人购买该种商品第人不购买该种商品
第i i X i ,
1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则
)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得
)240
600
240
600(
)(
)(-≤
-=-≤-=≤n X P DX
EX n DX
EX X P n X P 997.0)240
600
(
=-Φ≈n . 查正态分布表得
75.2240
600=-n ,解得6436.642≈=n 件.
八.(本题10分)
一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R .
(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即?
??=白球，，黑球，
，01X 求总体X 的分布；
(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.
解
（1） X 1 0 P
R R +1 R
+11
即R
R R R R x X P x
x
x
+=
??
?
??+??
? ??+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）n
x n
i i i
R R x X
P R L i
)1()()(1
+∑=
==∏=,
两边取对数,
)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,
两边再关于R 求导,并令其为0,得
011
=+-∑R
n
x i , 从而∑∑-=i
i
x
n x
R
?,又由样本值知,
m n x
i
-=∑,故估计值为1?-=m
n
R
. 九.(本题14分)
对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:Ω）:
A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；
B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.
已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:
(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）
解 (1) 2
2
21122210 σσσσ≠=：，：H H . 检验统计量为
22
2
1S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）,
由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15
.712/1=
-αF . 由样本值算得962.00000078
.00000075
.0==
F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子
元件的电阻的方差相等.
(2) 211210 μμμμ==：，
：H H . 统计量
2
)1()1()11(
2122
22
1
121-+-+-+-=
n n s
n s n n n Y
X T )10(~t （在0H 成立时）,
查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得
005.26
0000078
.00000075.0139.01405.0=+-=
T ,
因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.
模拟试题（二）参考答案
一.单项选择题（每小题2分,共16分）
1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（ ）.
(A) C , ,B A 中有一个发生 (B) C , ,B A 中不多于一个发生 (C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,6
1
)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则==
==（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 4
1
解 18
1
)|()()(==A B P A P AB P ,
18
7)()()(1)(1)()(=
+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.
3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（ ）
(A) 21}0{=
≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 2
1
}1{=≤-Y X P
解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.
4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 2
5.6 (D) 17.6
解 2.1),cov(=?=DY DX Y X XY ρ,
6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .
故本题应选C.
5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2
X 的数学期望是（ ）
(A) λ
(B)
λ
1
(C) 2
λ
(D) λλ+2
解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.
6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记
∑=--=n i i X X n S 122
)(111 ∑=-=n i i X X n S 1
22
2)(1 ∑=--=n i i X n S 1223
)(11μ ∑=-=n i i X n S 1
224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）
(A) 1
/1--=
n S X t μ
(B) 1
/2--=
n S X t μ
(C) 1
/3--=
n S X t μ
(D) 1
/4--=
n S X t μ
解 ),(~2n N X σμ,)1(~)(1
1
22
--∑=n t X X
n
i i
σ
,再由t 分布的定义知,本题应选B.
7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是（ ）
(A) X (B) ∑=-n
i i X n 12)(1μ
(C) ∑=--n i i X X n 1
2
)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.
8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小
(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.
二.填空题（每空2分,共14分）
1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.
解 设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为
5
1
)()()()()|(===
A P
B P A P AB P A B P
2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.
解 X 服从0-1分布,其分布函数为??
?
??≥<≤<=.11,10,2.0,0,
0)(x x x x f
3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2
σ
的正态分布,且6.0}40{=< }0{ 解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知 2.02 6 .01}0{=-= 解 由定义计算知85= X ;56 152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知 2710 1 =∑=i i x ,那么λ的矩估计值为________. 解 27 10 1?==X λ . 6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--= n t n S X T μ (0H 为真时). 三.（本题8分） 设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求: （1）取到的球是黑球的概率； （2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率. 解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得 ≈?+?+?==∑=508 3130531201431)|()()(3 1 i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得 ≈= ) () |()()|(111B P A B P A P B A P 0.682. 四.（本题6分） 设随机变量X 的概率密度为 ?????≤≤=其他，，，，002 cos 21 )(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3 π地次数,求2 Y 的数学期望. 解 2 1 d 2c o s 21)3 (3 ==> ? ππ π x x X P ,)21 ,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY . 五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为 Y X 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立； (2) 计算)(Y X P =的值； (3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为 )0()1(4.05.02.01.0)0,1(===?=≠===Y P X P Y X P , 所以Y X ， 不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 97 45.035.0)2()2,1()2|1(====== ==Y P Y X P Y X P , 9 2 971)2|2(=-===Y X P . 六.（本题12分） 设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为 ?? ?≤≤≤=,, 0, 10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ； (2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1) ?? ?≤≤?? ???=≤≤==??∞ +∞ -. ,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x x x y y y y x f x f x X (2) 2 1d 12d )(03 10==??y xy x XY E x ; (3) ==>+??-y y x Y X P x x d 12d )1(12 12 187. 七.（本题6分） 一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率. 解 设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知 2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==10 1 i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产 品为合格品的概率为 )025 .01.0|025 .020(| )1.0|20(|≤ -=≤-X P X P 4714.01)025 .01 .0( 2=-Φ=. 八.（本题7分） 设总体X 具有概率密度为 ?? ???>-=--,,0, 0,e )! 1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计. 解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数 ∑-= ==-=-=∑∏n i i x n i k i n nk n i i x k x f L 1 e ] )!1[()()(1 11 θ θ θ, 两边取对数, ∑-+--===-∑n i i n i k i x x k n nk L 1 1 1 ln )!1ln(ln )(ln θθθ, 关于θ求导,并令其为0,得 0)(ln 1 =∑-= =n i i x nk L θθ, 从而解得θ的极大似然估计为 X k X nk n i i = ∑==1 ?θ . 九.（本题14分） 从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下: 东支:230.01=x ,1337.02 1=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α 53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t 解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等. 第一步假设0H :2 1 σ=22 σ,统计量22 2 1s s F =~)1,1(21--n n F , 经检验,接受0H :21σ=2 2σ； 第二步假设0H :21μμ=, 统计量2 )1()1()11( 2122 22 1 121-+-+-+-= n n s n s n n n Y X T )2(~21-+n n t 经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题) 十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为 ?????≤≤=,, 0,0,3)(2 3其它θθx x x f 其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34 是θ的无偏估计量. 证明 ?∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==?03 3 d 334x x , 故X 3 4 是θ的无偏估计量. 模拟试题（三）参考答案 一.填空题（每小题2分,共14分） 1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为81 80 ,则该射手的命中率为 . 解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为 81801)(4- =A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为3 2)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( . 3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则 λ= . 解 )2(e 2 e )1(2 === ==--X P X P λλ λλ,从而解得2=λ. 4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为: X 0 1 P 21 2 1 则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1. 4 12121)0()0()0,0()0(=?========Y P X P Y X P Z P . 4 3 411)1(=- ==Z P . 5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数 4.0=XY ρ,则 ),(Y X Cov = . 解 12),cov(=?=DY DX Y X XY ρ. 6.设总体X 的期望值μ和方差2 σ都存在,总体方差2 σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则 =k . 解 1 -= n n k . 7.设总体),(~2 σμN X ,μ未知,检验2 2 0σσ =H ：,应选用的统计量是 . 解 )1(~)(22 1 2 --∑=n X X n i i χσ (0H 为真时) 二 .单项选择题（每小题2分,共16分） 1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A) ! 10! 6!4 (B) 10 7 (C) ! 10! 7!4 (D) 10 4 解 本题应选C. 2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P = (D) =)|(B A P )(1A P - 解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D. 3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为（ ） (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p = 4.0 (C) n =5,p =32.0 (D) n =6,p =3.0 解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A. 4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P 5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x 解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B. 5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY (D) 0=?DY DX 解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B. 6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令= Y 2 1 2 )(σ ∑=-n i i X X ,则 ~Y （ ） (A) )1(2-n χ (B) )(2 n χ (C) ),(2 σμN (D)), (2 n N σμ 解 本题应选A. 7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2 σ的无偏估计量的统计量是（ ） (A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-n i i X n 1 11 解 由无偏估计的定义及期望的性质知, 2221 212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E n i i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A. 8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2 σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量 n S X t /0 μ-= (A) μ未知,检验2σ=2 0σ (B) μ已知,检验2σ=2 0σ (C) 2σ未知,检验 μ=0μ (D) 2σ已知,检验μ=0μ 解 本题应选C. 三.（本题8分） 有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？ 解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得 ) |()()|()() |()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P += 75.001.05 2 02.05302.053 =?+??=. 四.（本题8分） 假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无 故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？ 解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为: X 0 5 10 P 548.08.02.051-??- 48.02.05?? 58.0 从而由期望的定义计算可得216.5=EX . 五.（本题12分） 1.设随机向量X ,Y 的联合分布为: X Y 1 2 3 1 0 61 12 1 2 61 61 61 3 121 6 1 (1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为： X 1 2 3 Y 1 2 3 P 41 21 41 P 41 21 4 1 (2) X 与Y 不相互独立. 2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为: ),(y x f =?? ?<<-其他， ， ，， 00e y x y 求概率)1(≤+Y X P . 解 ==≤+? ? --y x Y X P x x y d e d )1(1210 2 11 e 2e 1---+. 六.（本题8分） 设连续型随机变量X 的分布函数为: =)(x F ???? ? ≤>+-， ， ，， 000e 22 x x B A x 求: (1) 系数A 及B ； (2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤ ≤X P . 解 (1) 由分布函数的性质知 1)e (lim )(2 2==+=+∞-+∞ →A B A F x x , )0(0)e (lim )(lim 2 02F B A B A x F x x x ==+=+=- →→+ + ,从而1-=B ; (2) 分布函数的导数即为其概率密度,即 )(x f =?????≤>-0 00e 2 2 x x x x ， ，， (3) 6 1 )4ln ()9ln ()9ln 4ln (= -=≤≤F F X P . 七.（本题8分） 设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为: )(x f =???? ?≤≤-其他， ， ，，0101 x x θθ 其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量. 解 令X x x EX =+= = ? 1 d 10 θθθθ,从而解得θ的矩估计量为 2 )1( X X -=θ . 极大似然估计为: ∑∑==+= n i i n i i X X n 1 1 ln ln θ .(具体做法类似与模拟试卷二第八题) 八.（本题１０分） 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？ 解 假设0H :70=μ,选取统计量 n s X T /μ-= )1(~-n t , (0H 为真时) 在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值 0301.24.136 /15705.66||<=-= T , 从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分. 九.（本题１２分） 两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为 x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α） 解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与2 2σ是否相等. 第一步假设0H :2 1 σ=22 σ,统计量22 2 1s s F =~)1,1(21--n n F , 经检验,接受0H :21σ=2 2σ； 第二步假设0H :21μμ=, 统计量2 )1()1()11( 2122 22 1 121-+-+-+-= n n s n s n n n Y X T )2(~21-+n n t 经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题) 十.（本题４分） 设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数, ???-=为偶数， ，为奇数， ，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ 2-e 的一个无偏估计量. 证明 ∑∞ === )()()]([x x X P x T X T E ∑∞ =-=0 ! ) (x x e x x T λ λ=-=∑∞ =-0 ! ) 1(n n n e n λλλ2-e , 所以)(X T 是λ 2-e 的一个无偏估计量. 模拟试题（四）参考答案 一.填空题(每小题2分,共20分) 1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P 2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D . 解 8.19.01.0544)21(=???==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为 64 37 ,则每次击中的概率为 . 解 4 3. 4.设随机变量X 的概率密度是:???<<=,, 0, 10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a . 解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故 ， 784.01d 3)(1 32?=-==≥α αx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有: =+-? ∞ +∞ --- x x x x d e )44(212 )2(22 π . 解 令t x =-2,则原式1)(d e 2122 22 =+== ? ∞ +∞ --EX DX t t t π ,这里)1,0(~N X . 6.设总体X 的密度函数为: ? ??<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα )0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数 =);,,,(21αn x x x L . 解 ∏=-n i i n x 1 1 α α . 7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是 关系. 解 完全相关. 8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2 ,S X 分别为样本均值和方差,则 S n X )(μ-服从 分布. 解 )1(-n t . 9.设),(~211σμN X ,),(~2 22σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本, 样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 . 解 ), (2 22 1 2 121n n N σσμμ+ -. 10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分) 1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( ) (A) 16 1≥ (B) 16 1≤ (C) 16 15 ≥ (D) 16 15≤ 解 本题应选C. 2.B A ,为随机随机事件,且A B ?,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P = (B) )()()(A P B P A B P -=- (C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P = 解 本题应选A. 3. 设随机变量X 的密度函数为???≤≤+=其他，， ，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ). (A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令 1d )(10 =+?x B Ax ,12 7 d )(1 0= +?x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ?= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E (D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C. 5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ). (A) ),(1 21n n F α (B) ) ,(1 121n n F α- (C)) ,(1 12n n F α (D) ) ,(1 211n n F α- 解 6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ). (A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立 (D) 432,,A A A 两两独立 解 21)(1= A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,4 1 )(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C. 三.计算题(每小题８分,共48分) 1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1, 各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09; (2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题) 2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为 )3,2,1(11=+= i i p i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差 DX . 解 (1) 12 234132411241=?+?+=EX , (2) 2 7 41924114412=?+?+= EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2 σ的最大似 然估计. 解 似然函数2 1 2 2 1 2 22 2 22 e )21( e )21()(σσ σ πσ πσ∑=∑===- - n i i n i i x n x n L , 两边取对数 212 222ln 22ln 4)(ln σ σπσ∑---==n i i x n n L , 关于2 σ求导,并令其为零,得 0) (21 22212 2=∑+?- =σσn i i x n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1 22 1?σ . 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度: ???>>=+-其它，， ， ，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关； (2) )1(≤+X Y P . 解 (1) ?? ???≤>== ?? ∞ ++-∞+∞ -0,0, 0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X 3 4 1 ???≤>=-. 0, 0, 0,e x x x 同理 ?? ?≤>=-. 0, 0, 0, e )(2y y y f y Y 从而 )()(),(y f x f y x f Y X =, 故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关. (2) = ≤+)1(X Y P =? ? -+-y x x y x d 2e d 10 )2(10 21)e 1(--. 5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为5 1 的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一 周内至少有一次步行上班的概率. 解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为 210 e d e 5 1)10(--∞ +==>? x X P s x . 故)e ,5(~2-B Y . 52)e 1(1)1(---=≥Y P . 6.设随机变量X 的概率密度为 ??? ??∈?=其他，， ，，0]8,1[31 )(32 x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布. 解 ??? ????>≤<-≤=.8,1,81,1,1, 0)(3 1x x x x x F (3) 当0 当10<≤y 时, ))1(()1()()(33 1 +≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Y y y F X =+=))1((3; 当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度, ???<<=其它， ，， ，0101)(y y f Y 即]10[~， U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分) 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计模拟题一 一、 单项选择题（每小题3分，共30分） 1、设,,A B C 是随机事件，且AB C ?，则（ ）。 (A)C A B ?U (B) A C ?且B C ? (C)C AB ? (D) A C ?或B C ? 2、某工厂生产某种圆柱形产品，只有当产品的长度和直径都合格时才算正品，否则就为次品，设A 表示事件“长度合格”，B 表示事件“直径合格”，则事件“产品不合格”为（ ）。 (A)A B U (B) AB (C)AB (D) AB 或AB 3、已知()0.6,()0.8,()0.6P A P B P B A ===，则()P A B =（ ）。 (A)0.4 (B) 0.5 (C)0.6 (D) 0.7 4、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的为（ ）。 (A)21()1F x x = + (B) 11 ()arctan 2 F x x π=+ (C)1(1),0 ()20, 0x e x F x x -?->?=??≤? (D) ()()x F x f x dx -∞=?，其中()1f x dx +∞-∞ =? 5、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则（ ）。 (A)0()1f x ≤≤ (B)()()P X x F x == (C)()()P X x F x =≤ (D) ()()P X x f x == 6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ ）。 (A)1)1(2-Φ (B))2()4(ΦΦ- (C))2()4(---ΦΦ (D))4()2(ΦΦ- 7、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 已知事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，则（ ）。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 练习题一 一、填空题。 1、已知P(A)=0.3，P(A+B)=0.6，则当A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。 2、已知X ～),(p n B ,且8E X =, 4.8D X =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。 3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。 4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为： 则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立？_____________（填独立或不独立）。 5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n = ++ 服从__________。 6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为 。 7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 ()1 010 x x x x x ?+≤ 3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。（ ） 4、已知θ 是θ的无偏估计，则2 θ 一定是2θ的无偏估计。（ ） 5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为 0.4。（ ） 三、选择题。 1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是 （A ）1e -； （B ）3e -（C ）31e --（D ）13e - 2、设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为 （A ） ()3 131- y F （B ）()13+y F （C ）1)(3+y F （D ）?? ? ??- 313 1y F 3、设随机变量(3,4)N ξ ，且()()P c P c ξξ≤=>，则c 的取值为（） （A ）0； （B ）3； （C ）-3； （D ）2 4、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是（）。 （A ）8； （B ）16； （C ）28； （D ）44 5、设B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ） （A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件 （C ）Φ=?B A （D ）)()(A P B P ≤ 四．据某医院统计，心脏手术后能完全复原的概率是0.9，那么在对100名病人实施手术后，有84至95名病人能完全复原的概率是多少？ （Ф0(1.67)=0.9525, Ф0(2)=0.9773） 五、设总体ξ的概率密度为0 (,)0x e x x λλ?λ-? >=? ?当其它，其中0λ>，试求参数λ的 最大似然估计量。 六、若已知某地幼儿身高总体的标准差7()cm σ=，现从该地一幼儿园中抽查了9名幼儿，测得身高()cm 为：115，120，131，115，109，115，115，105，110，试求总体期望值μ的95％的置信区间：（1）若已知幼儿身高分布为正态分布；（2）若幼儿身高分布未知。 七、证明：对于任何的随机变量ξ，都有22()D E E ξξξ=-。 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤概率论与数理统计习题集及答案
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