（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
1．函数
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.
（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.
（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质.
2．指数函数
（1）了解指数函数模型的实际背景.
（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
（3）理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.
（4））知道指数函数是一类重要的函数模型.
3．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
（2）理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型..
（4）了解指数函数与对数函数互为反函数（a>0，且a≠1 ).
4．幂函数
（1）了解幂函数的概念.
（2）结合函数
1
232
1
,,,
y x y x y x y y x
x
=====
，的图象，了解它们的变化情况.
5．函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数. （2）根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
1．涉及本专题知识的考题，大多以选择题、填空题的形式出现，可易可难，预测2018年高考仍然会出小题.
2．函数的概念及其表示：考查函数的概念、定义域和值域，函数的解析表示法，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.
3．函数的性质：考查单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；对称性和周期性结合，用以考查函数值重复出现的特征以及求解析式.
4．基本初等函数：比较大小，基本初等函数的图象和性质，基本初等函数的综合应用，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.
考向一 函数的定义域、值域
样题1 （2017年山东卷文）设()(
)1
21,1x f x x x <<=-≥??,若()()1f a f a =+,则
1f a ??
= ???
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由
()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14
a =
,则1(4)2(41)6f f a ??
==-= ???
,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
样题2（2016年新课标Ⅱ卷文）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lg x
的定义域和值域相同的是 A ．y =x
B ．y =lg x
C ．y =2
x
D ．y
=
【答案】D
【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．
【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.
考向二 函数的单调性、奇偶性的应用
样题3 （2017新课标全国Ⅱ文科）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞
【答案】D
样题4（2017北京文科）已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
A ．是偶函数，且在R 上是增函数
B ．是奇函数，且在R 上是增函数
C ．是偶函数，且在R 上是减函数
D ．是奇函数，且在R 上是减函数
【答案】B
样题 5 （2017天津文科）已知奇函数
()f x 在R 上是增函数．若
0.8221
(log ),(log 4.1),(2)5
a f
b f
c f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【答案】C
【解析】由题意可得221
(log )(log 5)5
a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以
0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即
c b a <<．故选C ．
【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．
考向三 函数图象的判断
样题6 (2016高考新课标Ⅰ) 函数y =2x 2
–e |x |
在[–2,2]的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
样题7 函数()x
f x x x
=+
的图象是
A
B C D
【答案】C
【解析】对x 进行讨论，将函数()x
f x x x
=+
转化为所熟知的基本初等函数即可作图． 当x ＞0时，()1f x x =+，故图象为直线1y x =+上0x >的部分； 当x ＜0时，()1f x x =-，故图象为直线1y x =-上0x <的部分； 当x =0时，()f x 无意义.
综上，1,0
()1,0
x x f x x x +>?=?-的部分，1y x =-上0x <的部分，即两条射
线.故选C.
【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象.作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标.
考向三 函数的最值问题
样题8 （2017浙江）若函数f (x )=x 2
+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
【答案】
B
样题9 （2017浙江）已知a ∈R ，函数4
()||f x x a a x
=+
-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9
(,]2
-∞
【解析】[][]4
1,4,4,5x x x
∈+∈，分类讨论：
①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x
=--
+=--， 函数的最大值为9
245,2
a a -=∴=，舍去；
②当4a ≤时，()44
5f x x a a x x x
=+
-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+，则：
4545a a a a a a ?-+≥-+??
-+=??或4555
a a a a a a ?-+<-+??-+=??，解得92a =或92a <． 综上可得，实数a 的取值范围是9,2?
?-∞ ??
?．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]4
4,5x x
+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，
进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
样题10 (2016北京)设函数33,()2,?-≤=?->?x x x a
f x x x a
.
①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.
高考数学专题练习--函数图像 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2 21,0 ,0 x x f x x x x ->?=? +≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1 ,04 ?? - ??? 【解析】 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】已知函数31 1, ,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程 ()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1 (0,)2 【解析】 试题分析：作函数()y f x =及(1)y k x =+图像，(11), (1,0)A B -，，由图可知要使关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，须满足1 (0,)(0,).2 AB k k ∈=
3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点 ()4,2，则k α+= ▲ ． 【答案】 32 【解析】 试题分析：由题意得11,422 k α α==?=∴32k α+= 4. 【泰州中学第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1 (4,)2 ，则 1 ()4 f 的值为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：设()y f x x α ==，则11422α α=?=-，因此1 211()()244 f -== 5. 【江苏省南通中学高三上学期期中考试】已知函数2 +1, 1, ()(), 1, a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数 ()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数的取值范围是 ▲ ． 【答案】23a <≤ 【解析】
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => )
3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k
B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2
O x
A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D
2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______
三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。
7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P
专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利
函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => )
2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得
函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常
函数的最值（值域） ●高考要求 掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法 最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了 ●重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法（图像法）导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 ●知识点归纳 一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x = 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x = 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )
三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
2019高考数学《函数的图像》题型专题汇编 题型一 作函数的图象 1、分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋ 1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x －1x －1 . 解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1 的图象，如图②所示． (3)y ＝x 2－|x |－2＝???? ? x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0， 其图象如图③所示． (4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1 x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所 示． 题型二 函数图象的辨识 1、函数y ＝x 2ln|x | |x | 的图象大致是( ) 答案 D 解析 从题设解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间????0，1e 上单调递减，在区间??? ?1 e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D.
2、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |) 答案 C 解析 题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C. 3、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝????12x 在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 答案 B 解析 因为函数g (x )＝????12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B. 4、函数f (x )＝??? ?2 1＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为( ) 答案 A 解析 ∵f (x )＝? ????21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝? ????21＋e －x －1· sin(－x ) ＝－? ????2e x 1＋e x －1sin x ＝? ?? ?? 21＋e x －1· sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ， ∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)＝? ?? ??21＋e 2－1· sin 2<0，故排除B ， 只有A 符合． 5、若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )
4 2 ) 三角函数 1.已知函数 f (x ) = 4 c os x s in(x + （Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期； ) -1. 6 （Ⅱ）求 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 6 4 2、已知函数 f (x ) = sin(2x + ) 3 + sin(2x - 3 + 2 cos 2 x - 1, x ∈ R . （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的最大值和最小值. 4 4 3、已知函数 f (x ) = tan(2x + ), 4 （Ⅰ）求 f (x ) 的定义域与最小正周期； ? ? （II ）设∈ 0, ? ，若 f ( ) = 2 cos 2, 求的大小 ? ? 4、已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) sin 2x . sin x （1） 求 f (x ) 的定义域及最小正周期； （2） 求 f (x ) 的单调递减区间. 5、 设函数 f (x ) = cos(2x + + sin 2 x . 2 4 （I ）求函数 f (x ) 的最小正周期； （ II ） 设 函 数 1 g (x ) 对 任 意 x ∈ R ， 有 g (x + 2 = g (x ) ， 且 当 x ∈[0, ] 时 ， 2 g (x ) = - f (x ) ，求函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式. 2 2 ) )
3 + = 6、函数 f (x ) = A sin(x - 称轴之间的距离为 ， 2 ) +1（ A > 0,> 0 ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对 6 （1）求函数 f (x ) 的解析式； （2）设∈(0, ) ，则 f ( ) = 2 ，求的值. 2 2 7、设 f ( x ) = 4cos( ωx - π )sin ωx + cos 2ωx ，其中> 0. 6 （Ⅰ）求函数 y = f ( x ) 的值域 （Ⅱ）若 y = f ( x ) 在区间?- 3π , π? 上为增函数，求 的最大值. ?? 2 2 ?? 8、函数 f (x ) = 6 cos 2 x + 2 3 cos x - 3(> 0) 在一个周期内的图象如图所示， A 为 图象的最高点， B 、C 为图象与 x 轴的交点，且?ABC 为正三角形. （Ⅰ）求的值及函数 f (x ) 的值域； 8 3 （Ⅱ）若 f (x 0 ) 5 ，且 x 0 ∈(- 10 2 , ) ，求 f (x 0 1) 的值. 3 3 9、已知 a , b , c 分别为?ABC 三个内角 A , B , C 的对边， a cos C + 3a sin C - b - c = 0 （1）求 A ； （2）若 a = 2 ， ?ABC 的面积为 ；求b , c . 10、在 ? ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 cos A cos C ． ＝ 2 ，sin B ＝ 5 3 (Ⅰ)求 tan C 的值； (Ⅱ)若 a ＝ 2 ，求? ABC 的面积．
高考数学三角函数大题 综合训练 Revised as of 23 November 2020
三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3， cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．
欢迎下载学习好资料 2. 函数的零点专题高考解读函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利求方程的根、用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的x掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数轴的交点的横坐标的等价性；图象与学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．知识梳理 1．函数的零点与方程的根xffxfxx 的零()，我们把使叫做函数())＝0 (1)函数的零点对于函数的实数( 点．函数的零点与方程根的关系(2)xfxgxyfFxxgxf的图象与)＝函数((()＝(＝)－)(的根，)的零点就是方程即函数()xgy )(函数的图象交点的横坐标．＝ (3)零点存在性定理bbfafyfxa，上的图象是连续不断的一条曲线，且有)<0如果函数(＝(([)在区间)，·]cbfcyfxabca这个)使得)在区间(＝，()内有零点，即存在∈(0, 那么，函数，＝)(xf的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条＝也就是方程(0) 件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数2即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函形结合是基本的解题方法，xxgfxgxf的形式，这时())，＝(()，即把方程写成)数的解析式，然后构造两个函数(可以根据图象的变化趋势找到方程中字母方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，. 参数所满足的各种关系高频考点突破函数的零点判断考点一 11?x?2x?)ea(?xf(x)?e?2x?有唯一零点，已知函数11课标20173，理】1例、【a= 则111?DBCA．1 ．．．223 1x fxx－2的零点所在的区间是＋( 【变式探究】(1)函数) (＝)e211)(,1,(0)(2,3) (1,2) D．A. B.． C222xfxfyxxgxxx＝)(，若函数0)≥(3－ ＝)(满足：R∈，)(＝已知偶函数(2)． 学习好资料欢迎下载 xx，，>0log?2??yfxgx)的零点个数为( )－则＝(() 1x，，<0－?x?A．1 B．3 C．2 D．4 【方法技巧】函数零点的求法 fx)＝0(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．( ab]上是连续不断的曲线，且，(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[fafb)<0，还 必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性()(才能确定函数有多少)·个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点． fxxxfx)的零点所在的区间为( (＝ln ＋) －2【变式探究】设(，则函数)A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 考点二、二次函数的零点 2axxafx∈R. )＝＋2＋2例、已知函数，(2xfxfx的解集；1－[1,2]，求不等式 ((1)若不等式)(≥)≤0的解 集为2axxfxg的取值上有两个不同的零点，求实数1)＋(2)若函数在区间((1,2))＝(＋范围．【方法技巧】 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 【变式探究】 22xaafxxa小，求实数大，一个零点比1的一个零点比＋(－2)－1)已知1()＝＋(的取值范围．
2019年三角函数大题综合训练 一．解答题（共30小题） 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A． （I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长．
6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 9．（2015?新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍． （1）求； （2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根． （Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 12．（2015?河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B． （Ⅱ）若sinAsinC=，求C． 13．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2． （1）求tanC的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值．