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二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系
1、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；
2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0
函数y=ax 2＋bx ＋
c （a ≠0）与x ②
直接看方程③平移
例1：抛物线y=ax 2＋bx ＋c 图像如下， ① ax 2＋bx ＋c =0的根有 （ ②ax 2＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个
③ax 2＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个
x 3-≥a
例2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2-x ＋41与X
x a 515-≤
轴交点有（ ）个；
例3：一元二次方程22717)83(2-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；
例4：二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1） 写出方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根；
（2） 写出不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集；
（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；
（4） 若方程ax 2＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k
的取什范围。
3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（a c a b x x x x =-=+2121，）
① 已知其中一个交点，求另一个交点：
例5：若抛物线m x y x +-=22与X 轴的一个交点是（－2，0）则另一个交点是（ ）；
② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212421)(-=+
例6：若抛物线32-+=ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a
③ 利用韦达定理求面积：
例7：抛物线m x y x ++=-22与X 轴的一个交点是A(3，0），另
一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，
（1）求m 的值；
（2）求点B 的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），
使s s ABC ABD ??=，求点D 的坐标。
例5：已知如图，二次函数2)2(22++++-=m x m y x 与x 轴于A,B 两点，若OA:OB=3:1，求m
例6：已知二次函数m x m y x ++-=)1(2的图像交x 轴于A(x 1，0)、
B （x 2，0）两点，交y 轴正半轴于点
C ，且1021
2
2=+x x 。 （1） 求此二次函数的解析式； （）
x
1 2
（2） 是否存在过点D(0，2
5-)的直线与抛物线交于点M 、N,与x 轴交于E 点，使得M 、N 关于点E 对称？若
存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。
4、 抛物线ax2＋bx ＋c =0与x 轴交点及对称轴之间的关系； 设抛物线与x 轴的交点为A(x 1，0)和B （x 2，0）则对称轴为直线2
21x x x +=，抛物线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有），（，，k N k x x M 21)(，则则对称轴为直线2
21x x x +=。 例10：已知二次函数m x y x ++-=22的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程
22++-x x
5. 若二次函数y=(a-2)x^2-(2a-1)x+a 的图象与坐标轴共有两个交点，则a 可取( )
6. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （-1，2）和点N （1，-2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=-2； ②该二次函数图象与y 轴交于负半轴； ③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上； ④若a=1，则OA ?OB=OC 2．
以上说法正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．②③④
C ．①②④
D ．①②③ 解析：解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （-1，
2）和点N （1，-2），
∴
2＝
a ?
b +
c ?2＝
a+b+c
解得b=-2．故该选项正确．
②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0
∴该二次函数图象开口向上
∵点M（-1，2）和点N（1，-2），
∴直线MN的解析式为y=-2x，
根据抛物线的图象的特点必然是当-1＜x＜1时，二次函数图象在y=-2x的下方，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．
③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．
④当a=1时，c=-1，∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1
当y=0时，0=x2-2x+c，利用根与系数的关系可得x
1?x
2
=c，
即OA?OB=|c|，
当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，
∴若a=1，则OA?OB=OC2，
故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y
1
=kx+b（k ≠0）与反比例函数y2＝m/x(m＜0)交于A（-2，n）及另一点B，与两坐标轴分别交于点C、D．过A作AH⊥x轴于
H，若OC=2OH，且△ACH的面积为9．（1）求一次函数与反比例函数的解析式及另一交点B的坐标；
（2）根据函数图象，直接写出当y
1＞y
2
时自变量x的取值
范围．
解析：（1）∵A（-2，n），
∴OH=2，
∴OC=2OH=4，
∴CH=2+4=6，
∴S△ACH＝1/2CH?|y A|＝1/2×6?n＝9n=3，（2分）
∴A（-2，3），C（4，0），
∵一次函数图象过点A（-2，3），C（4，0），
∴∴y1＝?1/2x+2．（4分）
∵3＝m/-2，
∴m=-6
∴y2＝?6/x，
∴B（6，-1）；（8分）
（2）x＜-2或0＜x＜6（10分）
8.已知二次函数y=x^2+ax+a-2(1)说明y=ax^2+ax+a-2与x轴有两个不同交点（2）求出交点距离（用a的表达式）
解析：(1)因为△＝a＊2-4(a-2)=(a-2)＊2+4＞0，（即y=0时，方程x^2+ax+a-2＝0有两个不同的实数根），故y=x^2+ax+a-2与x 轴有两个不同交点。
（2）令交点坐标为（x1,0)、(x2,0),且：x2＞x1，故：交点距离＝x2-x1
又x1、x2可以看作是方程x^2+ax+a-2＝0的两个不同实数根，故：
x1+x2=-a
x1?x2=a-2
故：（x2-x1）^2＝（x1+x2）^2－4x1?x2＝a＊2-4(a-2)=a＊2-4a+8 故：交点距离＝√(a＊2-4a+8)