知识框架图
7 计数综合 7-8 几何计数
1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成
2
1223(2)2
n n n ++++=
++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
教学目标
知识要点
几何计数
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．
数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．
例题精讲
【例 1】（难度等级※※）下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有
几层，共用了多少根小棍？
【解析】通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形
多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n层用4+6×(n-1)根，现在共用
了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．
【例 2】（难度等级※※※）用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?
【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：
最上一层只用了3根火柴；
从上向下数第二层用了3×2=6根；
从上向下数第二层用了3×3=9根；
……
从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630．
【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？
【解析】首先，需弄清形状如图的大三角形共有多少层．
从上往下，第一层用331
=?根火柴；第四层用
=?根火柴；第三层用933
=?根火柴；第二层用632
n n
=?根火柴；…；第n层用33
=?根火柴．
1234
=?根火柴；第五层用1535
根据题意，有：36912153108
++++++=，所以，8
n=，
n
n
++++++=，故1234536即形状如图的大三角形共有8层，是边长为8根火柴的大正三角形．
然后，数出共有多少个三角形．
尖朝上的三角形共：
+++++++++++++++++++++
(12345678)(1234567)(123456)
(12345)(1234)(123)(12)1120
++++++++++++++=(个)；
尖朝下的三角形共：
++++++++++++++++=(个)；
(1234567)(12345)(123)1050
所以，共有三角形：12050170
+=(个)．
本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止．
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止．
【例 3】（难度等级※※※）如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?
【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根
共需1996×4+1997×3=13975根．
【例 4】（难度等级※）图中共有多少个长方形？
【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四
边形）mn 个．所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100．
【例 5】 （难度等级 ※）下面的55?和64?图中共有____个正方形．
【解析】 在55?的图中，边长为1的正方形25个；边长为2的正方形24个； 边长为3的正方形23个；边长
为4的正方形22个；边长为5的正方形有21，总共有 222225432155++++=(个)正方形．在64?的图中边长为1的正方形64?个；边长为2的正方形53?个； 边长为3的正方形42?个；边长为4的正方形31?个；总共有 6453423142?+?+?+?=(个)．
【例 6】 （难度等级 ※※）在图中(单位：厘米)：
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?
3
74218
12
5
【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++?+++=(个)长方形；
②所求的和是
[][]
51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++?
+++++++++++++++++++
1448612384=?=(平方厘米)．
【巩固】（难度等级 ※※）如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘
米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．
【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664．
【例 7】（难度等级※）下图中共有____个正方形．
【解析】每个44?正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个；边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222
+++=(个)正方形．现有5个44
432130
?的正方形，它们重叠部分是4个22?的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130
?-?=．
【巩固】（难度等级※）图中有______个正方形．
【解析】55?的正方形1个；44?的正方形4个；33?的正方形5个；2?2的正方形4个；1?1的正方形13个．共27个．
【例 8】（难度等级※※※）如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．
【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方
形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形．
【巩固】（难度等级※※※）在下图中，不包含☆的长方形有________个．
【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有441-144=297(个)．
【例 9】图中含有“※”的长方形总共有________个．
※
※
【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618
++=个，
其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；
宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；
宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；
含有右上※号的长方形有：662624
+?+=个，
其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；
宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62?个；
宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；
同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448
+=个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；
宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；
所以，含有※号的长方形总共有：1824834
+-=个．
【巩固】（难度等级※※）由20个边长为1的小正方形拼成一个45
?长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”
的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是．(第六届走美决赛试题)
7-8_
【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)
含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)
所以总共长方形有6848?=个，面积总和为
(12233445)(122
334)360+++++++?+++++=．
【例 10】 （
难度等级 ※※）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三
角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．
*
【解析】 分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，
边长为
1的正三角形有1个； 边长为2的正三角形有4个； 边长为3的正三角形有
1个；
因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416++=(个)．
【例 11】 （难度等级 ※※※）如图AB ，CD ，EF
，MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?
【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个．
【例 12】（难度等级※※）图中共有多少个三角形？
【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类
（1）最大的三角形1个(即△ABC)，
（2）第二大的三角形有3个
（3）第三大的三角形有6个
（4）第四大的三角形有10个
（5）第五大的三角形有15个
（6）最小的三角形有24个
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）
图中共有三角形2×59=118（个）．
【例 13】（难度等级※※）下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一
共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点
为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小
面积的有多少个？
【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积
设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是
?×2×3=3
2．思考图中怎样的三角形的面积等于3
（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．
这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；
（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．
这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．
【例 14】(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？
①②③
【解析】本题需要分类进行讨论．
⑴先考虑其中的等边三角形．
图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；
图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；
图③中，大号等边三角形有2个；
⑵再考虑其中非等边的等腰三角形．
图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④．