江西省抚州一中2014届高三上学期第四次同步考试
理科数学
总分：150分 考试时间：120分钟
一．选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．
1. 已知集合{
}
0,2|>==x y y M x
，{}
2|lg(2)N x y x x ==-，则N M 为（ ）
A ．(1,2) B.),1(+∞ C.),2[+∞ D.),1[+∞
2. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为等 ( )
A. 297
B. 144
C. 99
D. 66
3. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥??
+≤??≥-?
,若2z x y =+的最小值为1,则a =
（ ） A ．
12
B ．
14
C ．2
D ．1
4. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A ．命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.
B ．函数()tan f x x =的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈.
C ．命题“,x R ?∈使得210x x ++<”的否定是：“,x R ?∈均有210x x ++<” .
D ．“2a =”是“直线2y ax =-+与14
a
y x =
-垂直”的必要不充分条件. 5. 已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a ( )
A.50
B.35
C.55
D.46
6. 若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（ ）
A
B
C
D
7. 函数()()()()2
2log ,2,f x x g x x f x g x ==-+?则的图象只可能是（ ）
8. 若G 是ABC ?的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若0aGA bGB +=
则角A =（ ） A 、90 B 、60 C 、45 D 、30
9. 已知函数()2cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点12,x x ,则12
tan
2
x x +的值为（ ）
A B C D ． 10. 已知2242,12),,0(,b a ab s b a b a --==++∞∈则且的最大值为（ ）
A.
212- B.12- C.12+ D.2
1
2+ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若2
0,2
0π
βπ
α<
<<
<，53)3
sin(
=
-απ
，552)32cos(=-πβ，则)2
cos(αβ
-的
值为____
12. 已知实数y x ,满足0142
2
=+-+x y x ，则
x
y
的最大值为 . 13. 设函数)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以．．3．为周期的奇函数．．．．．．．，
2|)1(|>f ,4log )2(a f =,0(>a ,且)1≠a ，则实数a 的取值范围是 .
14. 已知函数2
1)(x x f -=，函数)0(23)3
cos(
2)(>+-=a a x a x g π
，若存在
]1,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是____
15. 设集合R A ?，如果R x ∈0满足：对任意0>a ，都存在A x ∈,使得a x x <-<||00，那么称0x 为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：（1）-
+
z z ；（2）
-+R R ;(3)，以0为聚点的集合有
（写出所有你认为正确的结论的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数2()log (|1||2|f x x x m =++--）． （1）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；
（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．
17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S
1
4
与2(1)n a +的等比中项. （1）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式； （2）在（Ⅱ）的条件下，若3
n
n n a c b =
+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18. 设ABC ?的内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,,且满足ac c b a 32
2
2
=+-
（1）求角B 的大小； （2） 若)cos cos (3cos 2C a A c A b +=，BC 边上的中线AM 的长为7，求ABC
?的面积．
19. 设函数()(,)b
f x ax a b R x
=+
∈，若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1． （Ⅰ）用a 表示b ； （Ⅱ）设()ln ()g x x f x =-，若()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；
20. 和点)0 , 1(P ，
过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为，试求函数)(t g 的表达式；
（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最
大值．
21. 下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中有n 个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f .
图1 图2 图3 图4 （1）求出)2(f ,)3(f ,)4(f ,)5(f ;
（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式；
（3(*N n ∈).
参考答案与解析
10. 【答案】A
【解析】2221
(4)224)4
S a b ab ab =-+≤?=-=-，因为
21a b +=，所以1≥，所以108ab <≤，当且仅当1
22
a b ==时取等号。所以当
1
8
ab =时，S A. 14.【答案】
22
1
≤≤a 【解析】当]1,0[∈x 时,]1,0[)(∈x f ,又当]1,0[∈x 时,3
3
0π
π
≤
≤
x ,有
13
cos 21≤≤x π
,因0>a ,有a x g a -≤≤-2)(22,要条件成立,就要?????≥-≤->121220a a a 或???
??≥-≤->0202
20
a a a ,即
121≤≤a 或21≤≤a ,故]2,
2
1
[∈a 15.【答案】（2）（3）
故答案为（2）（3）．
考点：新定义问题，集合元素的性质，数列的性质。
点评：中档题，
理解新定义是正确解题的关键之一，能正确认识集合中元素---数列的特征，是正确解题的又一关键。
16.
???>-++≥7212x x x ，或???>+-+<≤72121x x x ，或??
?>+---<7
211
x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞?--∞；
R x ∈ 时，恒有
R ，m m ,34≤+∴
的取值范围是]1-,(-∞ 17.解：（Ⅰ）221(1)4n a =
+即21
(1)4n n S a =+- 当1n =时，2111
(1)4a a =+，∴11a =
当2n ≥时，2111
(1)4n n S a --=+
∴22
1111(22)4
n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-
即11()(2)0n n n n a a a a --+--=
∵0n a > ∴ 12n n a a --=,∴数列{}n a 是等差数列
由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+
∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= ∴ 123n n b +=- （Ⅱ）121
32
n n n n a n c b +-=
=+
∴2341
13521
2222n n n T +-=
++++
① 两边同乘以12得3452113521
22222n n n T +-=++++ ②
①-②得23451211222221
2222222n n n n T ++-=+++++-
23411111111212222222
n n n n T -+-=++++++-
1111121323(1)22222
n n n n n -++-+=+--=-
18.解:(1)因为ac c b a 32
2
2
=+-,由余弦定理有ac
b c a B 2cos 222-+=
故有2
3
cos =B ,又),0(π∈B 即：6
π
=
B …………………5分
（2）由正弦定理： C
c
B b A a sin sin sin =
= …………………6分 可知：)cos sin cos (sin 3cos sin 2)cos cos (3cos 2C A A C A B C a A c A b +=?+=
6
23cos sin 3cos sin 2π
=?=?=?A A B A B …………………9分 32π=
∴C ，设m CM m AB m BC m AC 2
1
||3||||,||====，，则 ………………10分 由余弦定理可知：
,23
2
cos ||||2||||||222=???-+=m AC CM AC CM AM π …………………11分
,33
2sin ||||21=??=
?πCB CA S ABC ……………………12分
19.解：（Ⅰ）2()b f x a x '=-
，依题意有：2
(1)11b
f a a b b a x
'=-=-=?=-； （Ⅱ）1
()ln ()ln ()1a g x x f x x ax x
-=-=-+≤-恒成立．
由()1g x ≤-恒成立，即max ()1g x ≤-．
2222
111(1)(1)
()a ax x a ax a x g x a x x x x
--++--+--'=-+==， ①当0a =时，21
()x g x x
-'=，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，当
(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，则max ()(1)1g x g ==，不符题意；
②当0a ≠时，
22
1
[(1)](1)
(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a ---+--+--'===?==-+， （1）若0a <，1
10a
-+<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，
()0g x '>，()g x 单调递增，则min ()(1)1211g x g a ==->>-，不符题意；
（2）若0a >，
若102a <≤，1
11a -+>，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减， 这时11
(1)ln(1)211g a a a
-+=-++->-，不符题意；
若112a <<，1011a <-+<，1
(0,1)x a ∈-+，()0g x '<，()g x 单调递减，这时(1)12121g a =->-=-，不符题意；
若1a ≥，1
10a
-+
≤，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，则max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；
综上，得()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥．
20.【答案】（Ⅰ）函数)(t g 的表达式为
（Ⅱ）存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且
（Ⅲ）m 的最大值为6．
【解析】试题分析：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，
∴切线PM 的方程为： 又 切线PM 过点)0,1(P ，
∴有，即02121=-+t tx x ， （1） 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222
2=-+t tx x ．（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，
???-=?-=+∴.
,
22121t x x t x x （ * ）
把（ * ）式代入,
因此，函数)(t g 的表达式为
（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，
化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，
21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． （3）
对一切的正整数n 恒成立．
．由于m 为正整数，6≤∴m ． 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6．解法2：依题意，当区间
，∴长度最小的区间为]16,2[ 当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m
（2）(1)()63f n f n n +-=+， 2
()3f n n =．
（3 【解析】试题分析：（1）由题意有
3)1(=f ， 12233)1()2(=?++=f f ， 27433)2()3(=?++=f f ， 48633)3()4(=?++=f f ，75833)4()5(=?++=f f ．
（2）由题意及（1）知，36)(233)()1(++=?++=+n n f n n f n f ， 即(1)()63f n f n n +-=+，所以(2)(1)613f f -=?+，
(3)(2)623f f -=?+，(4)(3)633f f -=?+，
()(1)6(1)3f n f n n --=-+， 5分
将上面)1(-n 个式子相加，得：
()(1)6[123(1)]3(1)f n f n n -=+++???+-+-
233n =- 6分
又()13f =，所以2
()3f n n =． 7分
（3） 2
3)(n n f =
9分 11分
原不等式成立． 13分 综上所述，对于任意*n N ∈，原不等式成立． 14分