第三节 两个正态总体的假设检验
上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.
1.两正态总体数学期望假设检验
（1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法） 设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22已知，要检验的是
H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验)
怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…，
1
n X 及Y 1，Y 2，…，2
n Y ，由于
2111~,X N n σμ?? ??
?，2
222~,Y N n σμ??
???，
E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）=
2
2
1
21
2
n n σσ+
，
故随机变量X -Y 也服从正态分布，即
X -Y ~N (μ1-μ2，
2
2
1
21
2
n n σσ+
).
从而
~N （0，1）.
于是我们按如下步骤判断.
（a ） 选取统计量 Z
， （8.16）
当H 0为真时，Z ~N （0，1）.
（b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使
P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （8.17） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0：
z 0
x y
.
（d ） 作出判断：
若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0.
例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭
圆度X ~N （μ1，σ12），B 车床加工的轴的椭圆度Y ~N （μ2，σ22），且σ12=0.0006(mm 2)，σ22=0.0038(mm 2)，现从A ，B 两台车床加工的轴中分别测量了n 1=200，n 2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定α=0.05)
解 ① 提出假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2. ② 选取统计量
Z
X Y
-，
在H 0为真时，Z ~N （0，1）.
③ 给定α=0.05，因为是双边检验，α/2=0.025.
P {｜Z ｜＞z α/2}=0.05, P {Z ＞z α/2}=0.025，
P {Z ≤z α/2}=1-0.025=0.975.
查标准正态分布表，得
z α/2=z 0.025=1.96.
④ 计算统计量Z 的观察值z
z 0
x y
=
.
⑤ 作判断：由于｜z 0｜=3.95＞1.96=z α/2，故拒绝H 0，即在显著性水平α=0.05下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.
用Z 检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差σ12与σ22往往是未知的，这时只能用如下的t 检验法.
（2） 方差σ12，σ22未知，关于均值的假设检验（t 检验法） 设两正态总体X 与Y 相互独立，X ~N （μ1，σ12），Y ~N （μ2，σ22），σ12，σ22未知，但知σ12=σ22，检验假设
H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 从总体X ，Y 中分别抽取样本X 1，X 2，…，1
n X 与Y 1，Y 2，…，2
n Y ，则随机变量
t
()
X
Y
μ
μ---t （n 1+n 2-2），
式中
S w 2=
2
2
1122
12(1)(1)2
n S n S n n -+-+-，S 12，S 22分别是X 与Y 的样本方差.
当假设H 0为真时，统计量
t ~t （n 1+n 2-2）. （8.18）
对给定的显著性水平α，查t 分布得t α/2（n 1+n 2-2），使得
P {｜t ｜＞t α/2（n 1+n 2-2）}=α. （8.19）
再由样本观察值计算t 的观察值
t 0x y
， （8.20）
最后作出判断：
若｜t 0｜＞t α/2（n 1+n 2-2），则拒绝H 0； 若｜t 0｜≤t α/2（n 1+n 2-2），则接受H 0.
例8.8 在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.
表8-3
假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为σ1=σ2=σ，而σ是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定？（取α=0.01)
解 这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2未知的情况下检验假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.我们用t 检验法，由样本观察值算得：
x =2.063, y =2.059，
s 12=0.00000956， s 22=0.00000489，
s w 2=
2
2
12990.0000860.000044
10102
18
s s ?+?+=
+-=0.0000072.
由（8.20）式计算得
t 0=3.3.
对于α=0.01，查自由度为18的t 分布表得t 0.005(18)=2.878.由于｜t 0｜=3.3＞t 0.005(18)=2.878,于是拒绝原假设H 0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.
2. 两正态总体方差的假设检验（F 检验法(F -test )） （1） 双边检验
设两正态总体X ~N （μ1，σ
12
），Y ~N （μ2，σ
22
）
，X 与Y 独立，X 1，X 2，…，1
n X 与
Y 1，Y 2，…，2
n Y 分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H 0：σ
1
2
=
σ
2
2
；H 1：σ12≠σ22.
在原假设H 0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小.于是我们选取统计量 F =
212
2
S S . （8.21）
显然，只有当F 接近1时，才认为有σ
12
=σ
2
2
.
由于随机变量F *=
2
2112222
//S S σσ
~F （n 1-1，n 2-1）,所以当假设H 0：σ
12
=σ
2
2
成立时,统计量
F =
212
2
S S ~F （n 1-1，n 2-1）.
对于给定的显著性水平α，可以由F 分布表求得临界值
12
a F
-（n 1-1，n 2-1）与F α/2（n 1-1，n 2-1）
使得 P { 12
a F
-
（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）}=1-α
（图8-5），由此可知H 0的接受区域是
12
a F
-（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）；
而H 0的拒绝域为
F ＜12
a F
-（n 1-1，n 2-1），
或 F ＞F α/2（n 1-1，n 2-1）.
然后，根据样本观察值计算统计量F 的观察值，若F 的观察值落在拒绝域中，则拒绝H 0，接受H 1；若F 的观察值落在接受域中，则接受H 0.
图8-5
例8.9 在例8.8中我们认为两个总体的方差σ12=σ22，它们是否真的相等呢？为此我们来检验假设H 0：σ12=σ22（给定α=0.1).
解 这里n 1=n 2=10，s 12=0.00000956,s 22=0.00000489，于是统计量F 的观察值为
F =0.00000956/0.00000489=1.95.
查F 分布表得
F α/2（n 1-1，n 2-1）=F 0.05(9,9)=3.18，
F 1-α/2（n 1-1，n 2-1）=F 0.95(9,9)=1/F 0.05(9,9)=1/3.18.
由样本观察值算出的F 满足
F 0.95(9,9)=1/3.18＜F =1.95＜3.18=F 0.05(9,9).
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H 0：σ12=σ22，从而认为两个总体的方差无显著差异.
注意：在μ1与μ2已知时，要检验假设H 0：σ12=σ22，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
F =
1
2
2
1112
21
2
1
()1()
n i
i n i
i X
n Y
n μμ==--∑∑~F （n 1，n 2）.
其拒绝域参看表8-4.
(2) 单边检验
可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了.
比率P的假设检验及其应用 摘要：假设检验是统计推断的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同。 参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。本文将主要介绍总体比率的假设检验的原理和方法，以及其在各种生活实例中的应用，从而更深的了解假设检验在各种统计方法中的重要作用。 关键词：假设检验；总体比率；检验统计量；拒绝域 Hypothesis Testing and Its Application of Ratio P Abstract:Hypothesis testing is another important content to statistical inference, and it is similar to parameter estimation, but the Angle is different. Parameter estimation is use sample information to infer an unknown population parameter, and the hypothesis testing is a hypothesis is proposed first in the overall parameters, and then using the sample information to determine whether the hypothesis is established. This article mainly introduces the overall rate of the principle and method of hypothesis testing, and its application in all kinds of living examples, thus deeper understanding of the hypothesis testing plays an important part in all kinds of statistical methods. Key words:hypothesis testing；the overall rate；test statistics；rejection region 目录 一、假设检验的基本问题 （一）假设检验的概述 （二）假设检验的基本步骤 （三）检验的P值 二、总体比率的假设检验及其应用 （一）单个总体比率的假设检验 1.单个总体比率的精确检验及其应用 2.单个总体比率的大样本检验及其应用 （二）两个总体比率的假设检验 1.两个总体比率之差的精确检验及其应用 2.两个总体比率之差的大样本检验及其应用
关于假设检验的详细总结与典型例题 假设检验是数一考生普遍反映非常头疼的一块内容，因为它入门较难，其思想在初次复习时理解起来较难。虽然这一部分在历年真题中考查次数很少，但为了做到万无一失，我们也应该准备充分，何况相对来说这一部分内容的难度和变化并不大。为了让各位考生对假设检验有一个全面深入的理解和掌握，我们给出如下总结与例题。 对于假设检验，首先要理解其基本原理，即小概率原理，假设检验的方法即是从此原理衍生而来；其次，要掌握其步骤，会根据显著性水平α，即第一类心理学考研错误，来求拒绝域与接收域，其求法要根据不同的条件来套用公式，能根据理解推导公式是上策，如果时间不够，可以选择记忆各种不同条件下的求拒绝域的公式。最后，相比之下两个正态总体参数的假设检验的考查可能性要低于一个正态总体参数的假设检验。 假设检验的基本概念 数理统计的基本任务是根据样本推断总体，对总体的分布律或者分布参数作某种假设，然后根据抽得的样本，运用统计分析的方法来检验这一假设是否正确，从而作出接受假设或者拒绝假设的决定，这就是假设检验. 根据实际问题提出的假设0H 称为原假设，其对立假设1H 称为备择假设. 假设检验中推理的依据是小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生. 假设检验中的小概率α称为显著性水平，通常取0.05α=或者0.01α=. 假设检验中使用的推理方法是：为了检验原假设0H 是否成立，我医学考研论坛们先假定原假设0H 成立. 如果抽样的结果导致小概率事件在一次试验中发生了，根据小概率原理，有理由怀疑0H 的正确性，从而拒绝0H ，否则接受0H . 假设检验的步骤 ⑴根据实际问题提出原假设0H 和备择假设1H ； ⑵确定检验统计量T ； ⑶根据给定的显著水平α，查概率分布表，确定拒绝域W ； ⑷利用样本值计算统计量T 的值t ，若t W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H . 假设检验中可能犯的两类错误 由于小概率事件还是可能发生的，根据小概率作出的判断可能是错误的. 事件0H 真而拒绝0H ，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率为{} 0P t W H α∈≤，因此显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率的. 0H 假而接受0H ，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率为{} 1P t W H ?，记作β.
学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011级 姓名姚瑞娟 论文题目单个正态总体的检验假设 指导教师韩英波职称副教授成绩 2014年3月10日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstrac (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 假设检验的基本步骤 (2) 1.1 建立假设 (2) 1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式 (2) 2 单个正态总体均值的检验 (3) 2.1 δ已知时的μ检验 (4) 2.2 δ未知时的t检验 (6) 3 单个正态总体方差的检验 (8) 参考文献 (9)
单个正态总体的假设检验 学生姓名：姚瑞娟学号：20115034036 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导老师：韩英波职称：副教授 摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确.此外,从2δ已知和2δ未知详细的讲述了单个正态总体μ的检验,还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例. 关键词：正态分布；假设检验；均值；方差；拒绝域；接受域；原假设； Hypothesis test of one normal population Abstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper, and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition, it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown. There is a single of normal population variance test and the related application. Keywords：normal distribution；price value；hypothesis test；variance；rejected region；receptive regions；the original hypothesis 前言 假设检验是由K.Pearson于20世纪初提出的,之后由费希尔进行了细化,并最终由奈曼和E.Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了”高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他.也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举.但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态
第三节 两个正态总体的假设检验 上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题. 1.两正态总体数学期望假设检验 （1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法） 设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22 已知，要检验的是 H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 怎样寻找检验用的统计量呢从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…， 1n X 及Y 1，Y 2，…，2n Y ，由于 2111~,X N n σμ?? ??? ，2222~,Y N n σμ?? ???， E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）= 22 121 2 n n σσ+， 故随机变量X -Y 也服从正态分布，即 X -Y ~N (μ1-μ2， 22 121 2 n n σσ+). 从而 X Y ~N （0，1）. 于是我们按如下步骤判断. （a ） 选取统计量 Z X Y ， （） 当H 0为真时，Z ~N （0，1）. （b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使 P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0： z 0 x y . （d ） 作出判断： 若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0. 例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭
第三节 双正态总体的假设检验 上节中我们讨论单正态总体的参数假设检验，基于同样的思想，本节将考虑双正态总体的参数假设检验. 与单正态总体的参数假设检验不同的是，这里所关心的不是逐一对每个参数的值作假设检验，而是着重考虑两个总体之间的差异，即两个总体的均值或方差是否相等. 设 X ~),(211σμN , Y ~),(2 22σμN ,1 ,,,21n X X X 为取自总体),(211σμN 的一个样本, 2 ,,,21n Y Y Y 为取自总体),(2 22σμN 的一个样本, 并且两个样本相互独立, 记X 与Y 分别为样 本1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 的均值, 21S 与22S 分别为1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 的方差. 内容分布图示 ★ 双正态总体均值差的假设检验（1） ★ 例1 ★ 例2 ★ 双正态总体均值差的假设检验（2） ★ 例3 ★ 例4 ★ 双正态总体均值差的假设检验（3） ★ 例5 ★ 双正态总体方差相等的假设检验 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-3 ★ 返回 内容要点： 态总体均值差的假设检验 1．方差2 221,σσ已知情形 1) 检验假设 .:,:02110210μμμμμμ≠-=-H H 其中0μ为已知常数. 由第五章第三节知, 当0H 为真时, ),1,0(~//2 2 2 1210 N n n Y X U σσμ+--= 故选取U 作为检验统计量. 记其观察值为u . 称相应的检验法为u 检验法. 由于X 与Y 是1μ与2μ的无偏估计量, 当0H 成立时, ||u 不应太大, 当1H 成立时, ||u 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为 k n n Y X u ≥+--= 2 2 2 1210 //||σσμ (k 待定). 对于给定的显著性水平α,查标准正态分布表得2/αu k =, 使 αα=≥}|{|2/u U P , 由此即得拒绝域为 ,//||2/2 2 2 1210 ασσμu n n Y X u ≥+--= 根据一次抽样后得到的样本观察值1,,,21n x x x 和2,,,21n y y y 计算出U 的观察值u , 若2/||αu u ≥,则拒绝原假设0H ,当00=μ时即认为总体均值1μ与2μ有显著差异;若2/||αu u <,则 接受原假设0H , 当00=μ时即认为总体均值1μ与2μ无显著差异. 类似地，对单侧检验有： 2)右侧检验：检验假设.:,:02110210μμμμμμ>-≤-H H 其中0μ为已知常数. 得拒绝域为
7.2 正态总体参数假设检验 教学目的：理解和掌握单个以及两个正态总体均值的假设检验的方法与思想，掌握正态总体方差检验的方法，能用R软件来完成这些检验。 教学重点：检验方法的掌握，检验方法思想的理解。 教学难点：检验方法的掌握。 在实际问题中，有关方差的检验问题也是常遇到的，如上节介绍的u检验和t检验中均与方差有密切的联系。因此，讨论方差的检验问题尤为重要。 7.2.1 检验 设总体未知，x1，…，nx为取自X的样本，欲检验假设 其中为已知数。 自然想到，看的无偏估计s2有多大，当H0为真时，s2应在周围波动，如果很大或很小，则应否定H0，因此构造检验统计量。对于给定的显著水平α，可查（n-1）表可得分位数 ∴拒绝域W为。 若统计量落在拒绝域W内，则拒绝，接受。 若统计量落在接受域内，则接受，拒绝 例7-6 设某厂生产铜线的折断力，现从一批产品中抽查10根测其折断力后经计算得样本均值=575.2，样本方差s2=68.16。试问能否认为这批铜线折断力的方差仍为82（公斤）（取α=0.05）？ 解按题意，欲检验假设 （1）， （2）引进统计量 （3）根据α=0.05，查（n-1）=（9）表得临界值
于是得拒绝域 （4）。 （5）计算 由于不在拒绝域W内，故不拒绝，即可认为该批铜线折断力的方差与82（公斤）无显著差异。 7.2.2 F检验 前面介绍的用t检验法检验两个独立正态总体的均值是否相等时，曾假定它们的方差是相等的。一般说来，两个正态总体方差是未知的，那么，如何来检验两独立正态总体方差是否相等呢？为此介绍F检验法。 设有两正态总体和分别是取 自X和Y的样本且相互独立。欲检验统计假设。 由于是的无偏估计，是的无偏估计，当为真时，自然想到和应该差 不多，其比值不会太大或大小，现在关键在于统计量服从什么分布。由§6.3节定理6-4推论我们知道，当为真时，这样，取F为检验统计量，对给定的水平α，查附表5，确定临界值使 。 即得拒绝域。 若由样本观测值算得F值，当F∈W时，拒绝，即认为两总体方差有显著差异。否则认为与相容，即两总体方差无显著差异。 例7-7 设甲、乙两台机床加工同一种轴，从这两台机床加工的轴中分别抽取若干根，测得直径数据如下 假定各台机床加工轴的直径X，Y分别服从正态分布，试比较甲、乙两台机
第六章 假设检验 一.思考题 1.备择假设通常是研究者( A ) A.想搜集证据予以支持的假设 B.想搜集证据予以反对的假设 C.想要支持的一个正确假设 D.想要反对的一个正确假设 2.在假设检验中”=”总是放在( A ) A.原假设上 B.可以放在原假设上,也可以放在备择假设上 C.备择假设上 D.有时放在原假设上,有时放在备择假设上 3.支出下列假设检验哪一个属于右侧检验(C ) A.H 0:μ<600;H 1:μ≥600 B: H 0:μ=600; H 1:μ≠600 C: H 0:μ≤600; H 1:μ>600 D: H 0:μ≥600; H 1:μ<600 4.一项研究表明,中学生吸烟的比例超过30%,为检验这一方法是否属实,我们建立的原假设和备择假设应为(D ) A. H 0:π=30%; H 1: π≠30% B. H 0:π≠30%; H 1: π=30% C. H 0:π≥30%; H 1: π<30% D. H 0:π≤30%; H 1: π>30% 5.随即取一个n=100的样本，计算得到?x=60，s=15，要检验假设：H 0:μ=65；H 1:μ≠65，则检验统计量的值为（ A ） A ．-3.33 B.3.33 C.-2.36 D.2.36 6.在小样本，正态总体方差未知的情况下，检验总体均值所使用的统计量是（C ） A. z=?x -μ0/ (σ/√n) B. z= ?x -μ0/ (σ2/√n) C. t=?x -μ0/(s/√n) D. t=?x -μ0/(s/√n) 7.从正态总体中随机抽取一个n=25的随机样本，计算得到?x=17，s 2=8，假定σ20=10，要检验H 0: σ2=σ20，则检验统计量的值为（A ） A.x 2 =19.2 B. x 2 =18.7 C. x 2 =30.38 D. x 2 =39.6 8.若检验的假设H 0:μ≤μ0；H 1:μ>μ0，则拒绝域为（A ） A. z>z a B .Z <- z a C. z> z a 或z<-z a /2 D. z> z a 或z<- z a 9.在假设检验中，如果计算出来的P 值越小，则说明（ A ） A.不利于原假设的证据越强 B.不利于原假设的证据越弱 C.不利于备择假设的证据越强 D.不利于备择假设的证据越弱 10.环保部门想检验餐馆一天所有的快餐盒平均是否超过600个，建立的原假设和备择假设应为（ C ） A. H 0: μ<600;H 1:μ≥600 B: H 0:μ=600; H 1:μ≠600
学号：20115034036 学年论文(本科） 学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011级 姓名姚瑞娟 论文题目单个正态总体的检验假设 指导教师韩英波职称副教授 成绩 2014年3月10日 1 / 13
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstrac (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 假设检验的基本步骤 (2) 1.1 建立假设 (2) 1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式 (2) 2 单个正态总体均值的检验 (3) 2.1 δ已知时的μ检验 (4) 2。2 δ未知时的t检验 (6) 3 单个正态总体方差的检验 (8) 参考文献 (9)
单个正态总体的假设检验 学生姓名：姚瑞娟学号:20115034036 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导老师：韩英波职称:副教授 摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确。此外，从2δ已知和2δ未知详细的讲述了单个正态总体μ的检验，还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例. 关键词：正态分布；假设检验；均值；方差;拒绝域;接受域；原假设； Hypothesis test of one normal population Abstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper，and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition，it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown。There is a single of normal population variance test and the related application. Keywords：normal distribution;price value；hypothesis test;variance；rejected region；receptive regions；the original hypothesis 前言 假设检验是由K。Pearson于20世纪初提出的，之后由费希尔进行了细化，并最终由奈曼和E。Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了"高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他。也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线.这传达了一种想法，在高斯的一切科这要到20世纪正态 1
3.4 母体分布的假设检验 分布的假设检验：对母体的分布作某项假设，再从母体上抽取子样，用以检验该假设应予接受还是拒绝。 ?? ? 知类型，但有k个检验母体的分布为某已完全已知的检验母体的分布为某个分类 检验方法有多种，这里只介绍常用的2χ检 验法。 （1）假设母体的分布已知，且是只有有限多项的离散分布 ①在母体上作假设 i i p A P H =)(:0，l i ,,2,1 =. 其中l A A A ,,,21 是一个完备事件组，i p 是已知数。 ②从母体抽取容量为50>n 的大子样，得i A 发生的频数为i m ，l i ,,2,1 =，其中n m l i i =∑=1 . ③计算理论频数：由于i i p A P =)(，则在n 次
独立重复试验中，i A 发生的次数),(~i i p n B Y ，从而理论频数i i np Y E =)(，l i ,,2,1 =，即有 ④检验统计量：构造i m 对i np 的偏差的加权平方和 ∑=-=l i i i i np m np 122 )( 1χ （3.5.1） 由K.Pearson 定理知：（3.5.1）式中的 )1(~220-∞ →l n H χχ，于是取大子样时，检验统计量 )1(~2 2 -l H χχ近似 ⑤拒绝域：由2χ的意义知，在2χ的值较小 时应接受0H ，故给定显著水平α，构造小概率 事件 αχχα≈-≥)}1({2 2 l P 取拒绝域为
})1(),,,{(2 221-≥=l x x x W n αχχ ⑥决策：当抽样结果是W x x x n ∈),,,(21 时， 拒绝0H ，认为母体分布与0H 中的分布有显著差异；否则接受0H ，认为无显著差异. 例3.4.1 检验一颗骰子的六个面是否匀 称（05.0=α）. 解：记事件i A 为“掷骰子一次，结果出现点数i ”, 6,,2,1 =i . 对一个均匀的骰子应有：61 )(=i A P ，6,,2,1 =i . ①作假设 61 )(:0==i i p A P H ，6,,2,1 =i . ②从母体抽取容量为120=n 的子样后，得大子样列表： ③检验统计量
回归系数的假设检验 前面所求得的回归方程是否成立，即X 、Y 是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。我们知道即使X 、Y 的总体回归系数β为零，由于抽样误差，其样本回归系数b 也不一定为零。因此需作β是否为零的假设检验，可用方差分析或t 检验。 .P(x, y) Y Y ?- Y Y Y - ----------------------------------- --------------Y Y X 应变量Y 的平方和划分示意图 任一点P 的纵坐标被回归直线与均数Y 截成三段： 第一段)?(Y Y -，表示实测点P 与回归直线的纵向距离，即实际值Y 与估计值Y ?之差，称为剩余或残差。 第二段)?(Y Y -，即Y 估计值Y ?与均数Y 之差，它与回归系数的大小有关。|b|值越大，)?(Y Y -也越大，反之亦然。当b=0时，)?(Y Y -亦为零，则)?(Y Y -=)(Y Y -,也就是回归直线不能使残差)?(Y Y -减小。
第三段Y ，是应变量Y 的均数。 依变量y 的总变异)(y y -由y 与x 间存在直线关系所引起的变异)?(y y -与偏差)?(y y -两部分构成，即 )?()?()(y y y y y y -+-=- 上式两端平方，然后对所有的n 点求和，则有 =-∑2)(y y 2)]?()?([y y y y -+-∑ )?)(?(2)?()?(22y y y y y y y y --+-+-=∑∑∑ 由于)(?x x b y bx a y -+=+=，所以)(?x x b y y -=- 于是 )?)(()?)(?(y y x x b y y y y --=--∑∑ )] ())[((x x b y y x x b ----= ∑ )()())((x x b x x b y y x x b -?----=∑∑ =0 所以有 =-∑2)(y y ∑∑-+-22)?()?(y y y y 2)(∑-y y 反映了y 的总变异程度，称为y 的总平方和，记为y SS ；∑-2)?(y y 反映了由于y 与x 间存在直线关系所引起的y 的变异程度，称为回归平方和， 记为R SS ；∑-2)?(y y 反映了除y 与x 存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y 的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SS r 。总变异SS 总是由回归关系引起的SS 回和与回归无关的其它各种因素产生的SS 剩所构成。若回归直线与各实测点十分吻合，则SS 回将明显大于SS 剩，当全部实测值都在回归直线上时，SS 总=SS 回，SS 剩=0，反之，若回归直线拟合不好，SS 回相对较小，SS 剩则相对增大。可见SS 回/SS 剩反映了回归的效果。 上式又可表示为：r R y SS SS SS +=
§2 一．已知方差2σ, 检验假设：:H μμ=o o （1）提出原假设：:H μμ=o o ( μo 是已知数) （2）选择统计量： 2 X U n μσ-= o （3 ）求出在假设H o 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布： (0,1)U N : （4）选择检验水平 α，查正态分布表（附表1），得临界值12 u α- ，即 2 12 ( )X P u n α μα σ- ->=o （5） 根据样本值计算统计量的观察值u o ，给出拒绝或接受H 。的判断： 当 12 u u α - >o 时， 则拒绝H 。； 当 12 u u α - ≤o 时， 则接受H 。． 【例1】 某厂生产干电他，根据长期的资料知道，干电他的寿 解：
现取0.05 α=，即 ( 1.96)0.05 5/10 X P>= 因而，拒绝原假设，即这批干电他的平均寿命不是200小时. 【例２】P.191 ――例2.1（0.05 α=，0.01） P.193――例2．2 二．未知方差2σ, 检验假设：: Hμμ = o o ： （1）提出原假设：: Hμμ = o o ( μ o是已知数) （2）选择统计量：2 X T S n - =o （3）求出在假设H o成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布： (1) T t n- : （4）选择检验水平 α，查自由度为1 n-的t-分布表（附表2），得临界值λ，即 2 () X P S n μ λα - >= o
（5） 根据样本值计算统计量的观察值t o ，且给出拒绝或接受H 。的判断： 当t λ> o 时， 则拒绝H 。； 当 t λ≤o 时， 则接受H 。． 【例2】 某糖厂用自动打包机包装糖，每包重量服从正态分布，其标准重量μo ＝100斤．某日开工后测得9包重量如下： 99.3， 98.7, 100.5，101.2， 98.3， 99.7， 99.5， 102.1，100.5， 问：这一天打包机的工作是否正常?(检验水平α=5％) 解： （０）计算样本均值与样本均方差： 1.21S = （1）提出原假设：:100H μ=o （2）选择统计量： 2 9 X T S = （3）求出在假设H o 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布： (8)T t : （4）检验水平 α=0.05，查自由度为８的t -分布表（附表2），得临界值 2.36λ= ，即