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中心极限定理的应用

中心极限定理的应用
中心极限定理的应用

毕业论文

题目中心极限定理的应用

学生姓名张世军学号1109014148

所在院(系) 数学与计算机科学学院

专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静

2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用

张世军

(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班,陕西汉中 723000)

指导教师:程小静

[摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发,给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明;其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用;最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。

[关键词]随机变量;中心极限定理;正态分布;概率论;近似计算

Central Limit Theorem of Application

Zhang Shijun

(Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty,Mathematics and computer scienceDept.,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,Shaanxi)

Tutor: Cheng Xiaojing

Abstract:The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application.

Keywords:Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation

1引言

概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。概率论中最重要的一类定理,有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中,一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响,如果每个因素所产生的影响都很微小时,总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论n 重伯努利试验中,事件A 出现的次数渐近于正态分布的问题。1716年前后,棣莫弗对n 重伯努利试验中每次试验事件A 出现的概率为12

情况进行了讨论,随后,P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。自P.莱维在1919~1925年系统地建立了特征函数理论起,中心极限定理的研究得到了很快的发展,先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。极限定理是概率论的重要内容,也是数理统计学的基石之一,其理论成果也比较完美。长期以来,对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法,影响着概率论的发展。同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。

2 常见的中心极限定理

2.1 中心极限定理的提法

凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布服从正态分布,在概率论中都称之为中心极限定理,具体一点,中心极限定理回答的是随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布。

直观上,如果一随机变量决定于大量(乃至多个)随机因素的总和,其中,每个随机因素的单独作用微不足道,而且各因素的作用相对均匀,那么它就服从正态分布,如:在许多情况下,一随机变量X 可以表示为大量独立随机变量之和,

12n X ξξξ=++,

这里,每个i ξ上表示一种随机因素的效应,假如上式包含了决定X 充分多的随机因素的效应(即n 充分大),则

1

n

i

i =ξ

∑的分布就近似X 的分布,中心极限定理就要说明,在什么条件下大量独立随机变

量之和近似地服从正态分布,即在什么条件下,当n →+∞时,独立随机变量的和是服从正态分布的。

2.2常见的中心极限定理

中心极限定理自产生其内容已经非常丰富了,但其中最常见的定理如下 2.2.1棣莫弗-拉普拉斯定理

设n μ是n 重伯努利试验中的事件A 出现的次数,又A 在每次试验中出现的概率为()01p p ≤≤,则对任意的0ε>,有 lim 1n n P p n μ→+∞

??

-<ε=

???

证明 令

1,

i ξ={

则12,,,n ξξξ是n 个相互独立的随机变量,且

(),1i i E p D p p pq ξ=ξ=-= ()1,,i n =

1

n

n i i μ==ξ∑, 于是11n

n i i i i n n

E np p n n n μμ==??ξ-ξ ?-??-==∑∑

由切比雪夫不等式有

12211n i n n i n i i i i D P p P E n n n μ===??

ξ ?????????-≥ε=ξ-ξ≥ε≤ ? ? ? ?ε??????

∑∑∑

又由独立性知道有 11

n n

i i i i D D npq ==??ξ=ξ= ???∑∑

从而有 ()22210n npq pq

P p n n n n μ??-≥ε≤=→→+∞ ?εε??

这也就证明了该定理.

该定理是最早的中心极限定理大约在1733年,棣莫弗对1

2

p =

证明了上述定理,后来拉普拉斯把它推广到p 是任意一个小于1的正数上去。该定理表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n 充

分大时,我们可以利用该定理的结论来计算二项分布的概率。

该定理主要适用二个方面

1近似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率

2已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率,估计该范围(或该范围的最大值). 2.2.2李雅普诺夫中心极限定理

设12,,

ξξ是独立随机变量序列,()2

,1,2,

,k k k k E a D k σξ=ξ==记

221

,n

n

k k B σ==∑

若存在0δ>,使有

221

0,k k n

E a n B +δ

+δξ-→→+∞,

则对任意的x 有

(

)2

2

11lim x

n

k k t k

n n P a X e

dt B -

→+∞

=??ξ-≤= ???

∑?

证明 设k ξ是连续型随机变量,密度函数为()()1,2,,k p x k =则有

()()()2

211k n n

k

k

k n

x a B x a p x d x B ∞

=->τ-∑?

()

()()2211

k n

n

k

k k x a B n

n

x a p x d x B

B ∞

δ=->τ≤

-τ∑?

()()22111n k

k k n

x a p x d x B +∞

δ+δ=-∞

≤-τ∑?

221

110,n k

k

k n

E a n B +δ

δ+δ

==ξ

-→→+∞τ∑

同理,可验证离散型的情形,可证得此定理。

这个定理是李雅普诺夫在1900年提出的。它表明,在定理条件下,随机变量

()11n

n k k k n Z a B ==

ξ-∑,当n 很大时,近似地服从正态分布)21

,n

k n k N a B =? ?∑,也就是说,无论各个随机变()1,2,

,k k n ξ=服从什么分布,只要满足定理条件,那么它们的和1

n

k k a =∑,当k 很大时,就

近似地服从正态分布,这就是为什么正态随机变量在概率论中占有重要地位的一个基本原因。

在很多问题中,所考虑的随机变量可以表示成很多个独立的随机变量之和。例如在任一指定时刻,一个城市的耗电量是大量用户的耗电量的总和;一个物理实验的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成的,它们往往近似地服从正态分布。 2.2.3林德贝格-勒维中心极限定理

若1ξ,2

ξ是一列独立同分布的随机变量,且()

22,,1,2,

k k E a D k ξ=ξ=σσ>0=则有

22lim n x t k n p X e dt -→+∞??

ξ ??≤=?

???

∑? 证明 设k a ξ-的特征函数为()t ?,则

1

n

k

n

k na

-=∑的特征函数为

n

???????

又因为

()0k E na ξ-=,()2k D na ξ-=σ,

所以

()00?'=,()20?''=-σ

于是特征函数()t ?有展开式

()()()()()()222221

00122

0t t t t t t ??++ο='''??-=+σο+

从而对任意固定的t ,有

2

222

1,2n

n

t

t t e n n n -???????=-+ο→→+∞?? ????????

?

而2

2

t e

-

是)(

0,1N 分布的特征函数,由定理:分布函数列(){}

n F x 弱收敛于分布函数()F x 的

充要条件是相应的特征函数列(){}

n x ?收敛于()F x 的特征函数()t ?,可知该定理成立,得以求证. 这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的,定理告诉我们,对于独立同分布的随机变量序列,其共同分布可以是离散分布,也可以是连续分布,可以是正态分布,也可以是非正态分布,只要其共同分布的方差存在,且不为零,就可以使用该定理的结论。

定理的结论告诉我们:只有当n 充分大时,n Y 才近似服从标准正态分布)(

0,1N ,而当n 较小时,

此种近似不能保证。也就是说,在n 充分大时,可用)(

0,1N 近似计算与n Y 有关事件的概率,而n 较小时,此种计算的近似程度是得不到保障的。当)(

0,1n Y N ~时,则有

)(

2

1,,n

k k N n n =ξ~μσ∑2,,n N ??

ξ~μ ??

?σ该定理主要适用于 1.求随机变量之和n S 落在某区间的概率;

2.已知随机变量之和n S 取值的概率,求随机变量的个数n .

2.3中心极限定理的异同处与优越性

上述三个中心极限定理都是研究可列个相互独立的随机变量和的分布函数,在一定条件下,当n 充分大时,转化为正态分布,它们的区别仅仅是各自的条件有所差异。除了中心极限定理外,切比雪夫大数定律也可以用于近似计算。

设()()2

,0i i E X D X =μ=σ>,则有切比雪夫大树定理可知,任意给定的0ε>, 有

()11lim 1n

i n k P X n ε→+∞

=???-μ≤=?????

∑ 而由林德贝格-勒维中心极限定理可知,有

()

11lim lim 21n i n n k P X P n ε→+∞

→+∞=???-μ≤=<

≈-Φ=Φ?????

?

??

由此可见,在所设条件下,中心极限定理比大数定律在上述近似计算中更为精确。因此,中心极限定理具有一定的优越性。

第3章 中心极限定理的应用

通过研究发现,中心极限定理的意义重大,应用也相当广泛,这里举例来说明。 3.1中心极限定理在供应电力方面的应用

例 某车间有200台车床,每台车床由于种种原因出现停车,设每台车床开工的概率为0.6,每台车床开工时耗电1千瓦,并设每台车床开工或停是相互独立的。求至少应供应该车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而产生影响?

解 设ξ为某时刻开工的车床数,则()200,0.6B ξ~120np =, ()148np p -=,需供电N

千瓦。由拉普拉斯中心极限定理知

}

{00.999P N ξ≤≤≈Φ-Φ≈Φ≥

查表得知 3.1,141.N == 所以,至少应供应这个车间141千瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足产生影响。

3.2中心极限定理在器件价格上的应用

例 某种器件使用寿命(单位:小时)服从正态分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是当一器件损坏后立即更换另一个新的器件,如此继续下去,已知每个器件进价为a 。试求在年计划中应为此器件做多少预算才可能有95%的把握一年够用(假定一年有2000个工作小时)?

解 设第k 个器件使用寿命为k X ,由于k X 服从参数为λ的指数分布,且

()1k E X =

λ,λ=0.05,那么,()21

k D X ==400λ

。 假定一年至少准备n 件才能有95%的把握够用1,2,3,

,k n =,12,,

,k k kn X X X ,相互对立,记

1

n

n k k Y X ==∑

由李雅普诺夫中心极限定理知

()20000.95,n P Y ≥=

即 }

{

0.052000n P Y P ?=<=<

≈Φ

所以

0.95Φ=Φ≈

查表得

1.64,118n =≈ 所以,在年计划中应为此期间做118元的预算才可能有95%的把握一年够用。

3.3中心极限定理在商场管理中的应用

在实际问题中,如果样本的研究是大样本问题,则我们就可以通过中心极定理来近似计算,对总体中的参数进行推断与估计,商场中的商品订购问题与抽样检验俩个方面就用到了中心极限定理。 (1)商品订购问题

例某一商店负责供应某地商品。某种商品在一段时间内每人需要用一件概率为0.6。假定在这段时间每个人购买与否彼此独立,问商店应备多少件这种品才能以0.997的概率保证不脱销?

解 设每个人购买与否为随机变量,则

1,0,

k ξ?=??

则随机变量序列121000,,

,ξξξ

相互独立。设商店应预备m 件这种商品,则

1000

1i i X X ==∑

服从参数为1000,0.6n p ==的二项分布,依题意{}{}10.6,00.4k k p p ξ==ξ==,所以其数学期

望与标准方差为,

()()10000.6,E X np D X ==?===由中心极限定理得 100010.997k i P m =??ξ≤≈Φ≥????

∑,

查标准正态分布得 2.75≈

故 643m =

因此,商店至少应预备643件这种产品才能以99.7%的概率保证不脱销。 (2)抽样检验问题

例 抽样检验产品质量时,如果发现次品个数多于10个,则拒绝接受这产品,设某种产品的次品率为10%,问至少应抽取多少只检验,才能保证拒绝该产品的概率达到90%?

解 设至少应抽取n 件产品,又设

1,i ξ?=??()1,2,3

1000

i = 3,1000

则 1000

1

i

i =ξ=ξ

由于随机变量的数学期望和方差为

()10,10.10.90.09i i E D p p ξ=ξ=-=?=。

所以其数学期望与方差为

()()0.1;0.9i E n n D n ξ=ξ=ξ=。

由中心极限定理得

{}(

10

P n ≤ξ≤≈Φ-Φ

由于n 充分大时(1Φ≈。所以,

{}1010.9

P n ≤ξ≤≈-Φ≥,即0.9Φ≥

查表得知 1.28

≥。解得147n ≥。 所以至少应检验147件产品才能保证该拒绝产品概率达到0.9。

本例主要研究将商场中的的商品订购订购,抽样检验,这些实际问题转化为数学问题,建立数学模型,然后再运用中心极限定理进行推断,最终,找出这些实际问题的最佳方案,为其商业管理中的决策提供可考的理论依据。 3.4在烟卷制造行业中的应用

从生产线上随机取出n 支烟支,它们的质量特性吸阻用12

,,n X X X ,是n 个相互独立的随机

变量,近似服从正态分布()

2,N μσ,样本均值12n

X X X X n

++

+=

近似服从正态分布

2,N n σμ?? ??

?。

例 烟支克重、圆周、吸阻是影响卷烟内在品质的一项重要物流指标,也是行业考核的一项必

不可少的指标。克重与卷烟吸阻、硬度。焦油量和感官质量以及烟丝消耗量有着密切的关系;吸阻与抽吸的难易程度以及焦油量、烟气烟碱量和烟气一氧化碳量等安全卫生指标有着密切关系。因此,制造企业从自身角度建工符合克重、圆周、吸阻标准且决定的烟支的重要因素。

克重、圆周、吸阻在生产中都近似服从正态分布()

2,N μσ,批量生产中,在设备、材料、操作水平等既定的情况下,正态分布方差2σ也基本恒定,因此,要使正态分布均值保持在一定的区间,才能使大多数数值分布在公差内,也即最大限度地符合标准,而正态分布均值μ又近似服从

()2,N μσ正态分布,从而为问题的解决提供了理论依据。

表一为“真龙”牌烟卷的物理指标测试数据。通过对表一简单运算,进行实际应用方面的介绍(一般30n ≥)。 表1

编号 单支克重/g 吸阻/KPa 圆周/mm 1 0.901 1.187 24.18 2 0.869 1.188 24.12 3 0.876 1.162 24.23 4 0.933 1.231 24.21 5 0.899 1.169 24.27 6 0.879 1.125 24.21 7 0.891 1.174 24.21 8 0.907 1.197 24.22 9 0.881 1.183 24.19 10 0.928 1.242 24.22 11 0.876 1.087 24.27 12 0.909 1.17 24.19 13 0.894 1.113 24.21 14 0.912 1.212 24.21 15 0.903 1.122 24.18 16 0.91 1.217 24.21 17 0.884 1.091 24.18 18 0.895 1.173 24.23 19 0.819 1.059 24.14 20 0.867 1.098 24.16 21 0.867 1.118 24.11 22 0.888 1.102 24.17 23 0.852 1.136 24.18 24 0.877 1.163 24.29 25 0.927 1.159 24.24 26 0.908 1.191 24.16 27 0.889 1.094 24.16 28 0.866 1.161 24.21 29 0.866 1.138 24.22 30 0.866 1.137 24.18 均值 0.888 1.188 24.2 标准偏差

0.025

1.188

24.2

以吸阻为例,“真龙”牌烟烟的单支吸阻标准为()1.2100.150kPa ±,吸阻均值标准为

()1.2100.070kPa ±,从表一可得“真龙”的吸阻近似服从正态分布()21.153,0.047N ,而吸阻均

值近似服从20.0471.153,30N ?? ??

?。操作工欲使单支吸阻满足()1.2100.150kPa ±扥标准,首先要使吸

阻均值最大限度满足()1.2100.070kPa ±的标准,并且操作工在实际操作中也一直是以吸阻均值为

控制对象的。因此,吸阻均值正态分布图20.0471.153,30N ??

???

向左(想较小值)或向右(向较大值)

平移均不可超过吸阻均值公差线()0.070kPa ±。假设在3σ的情况下,正态分布图碰到公差线,这时便可求出吸阻均值的值,若正态分布图向左平移可求得吸阻均值最小值;反之,则可求得吸阻均值最大值。在这俩种情况下,吸阻均值合格率()199.73%99.73%2

x -??=+=

?

?

?

,这样不仅能较好地

满足吸阻均值()1.2100.070kPa ±的标准,也能更好地满足吸阻()1.2100.150kPa ±的标准。

吸阻均值最小值

02L T μμ=-

+ (3σ的情况下) 吸阻均值最大值

02U T μμ=-

- (3σ的情况下) 推广得吸阻均值最小值

02L T K μμ=-

+ (K σ的情况下, K 一般取1,2…6) 吸阻均值最大值

02U T K μμ=-

- (K σ的情况下, K 一般取1,2…6) 这是俩个重要的导出公式,

0μ是吸阻标准中心值,T 是吸阻均值公差,K 是σ是吸阻均值标准偏差,即是吸阻均值方差的平方差根。取

0 1.210,0.0700.0086,32T kPa kPa K μ=====带入公式分别求得,

1.166, 1.254,L U kPa kPa μμ==即吸阻均值在()1.166,1.254kPa 之间控制,比在

()1.2100.070kPa ±即()1.140 1.280kPa 范围缩小了,能更有效地更科学地对吸阻指标进行控

制。

综上所述,在烟卷加工企业,利用样本均值分布即中心极限定理,可对烟支克重、圆周及吸阻进行更有效、科学的质量控制,而且控制范围更窄、控制精度更准。

3.5中心极限定理在社会生活中的应用

例 由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调,政府部门已经慢慢开始采取各种措施进行预防,在这之前,对新生幼婴儿的性别的进行判断和统计是很有必要的,而中心极限定理在这方面能体现出它的独特作用。

设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩数目不少于男孩的概率为多少?

解 设x 为10000个婴儿中男孩的数目,则X

(1000,0.515),要求女孩数目不少于男孩数目

的概率.即求{}5000P x ≤,由棣莫佛-拉普拉斯定理有

{

}()()3130.001355000P x Φ=≤=Φ-=-Φ=

3.6中心极限定理在军事问题中的应用

例 炮弹、火箭发射过程中会受到各种各样不可预料因素的影响,这些因素非常之多,然而这又几乎无法单独预估,但是如果不考虑其因素放任不管,一丝一毫的差错都将肯能会造成灾难性的后果,而为了有效地控制这些因素的影响,就需要使用到中心极限定理。如下,用中心极限定理说明在正常设计条件下,炮弹的射程服从或近似服从正态分布。

解 设a 为理论射程,ξ为实际射程,则a η=ξ-为实际射程对理论射程的偏差,显然

a η=ξ+,故只需证()2η~N μ,σ由于在实际射程中,有很多的偏差,若设1ξ射击时炮身震动引

起的偏差,2ξ:炮弹外形差异引起的偏差,3ξ:炮弹内火药的成分引起的偏差,4ξ:射击时气流引起的偏差…,n ξ:…,显然,1

n

i

i =η=

ξ

由于影响射程的实际因素是大量的,这里的n 一定很大甚至基于无穷,且炮身的震动、炮弹的外形、火药的成分、气流的变化等等这些因素之间没什么关系,故有它们引起的12,,

,n ξξξ可看

做是相互独立的。另外,由于正常的射击条件也就是对射程有显著影响的因素已被控制,所以这里的12,,

,n ξξξ所起的作用可看做同样是微小的.由中心极限定理可知()2η~N μ,σ,由于η可正

可负且机会相等,故μ=0,()

2η~N 0,σ则 ξ=η,()

2η~N 0,σ。

结论

文至于此,我们可以看出,中心极限定理不论是在理论数学领域还是在实际应用中都能发挥出其巨大的作用,当让这些例子主要是针对三种常见形式的中心极限定理的应用,在实际问题中,如果所研究的问题为大样本问题,我们同样可以常用中心极限定理对其进行统计分析,对总体的某些参数进行推断轨迹,由此可见,中心极限定理在现实生活中的应用是非常广泛的,是概率论中的核心内容,学会使用中心极限定理对我们的学习和生活是很有帮助的。因此,灵活地掌握林德贝格一勒维中心极限定理、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理等中心极限定理,并利用它们来解决现实生活中的应用问题是很有必要的。

中心极限定理应用于样本足够大,样本服从的是整态分布,体现的是变量在分布上的特征。在偶然中存在着必然性,当样本服从正态分布时,利用中心极限定理近似计算,更加准确一些。在一

定条件下,即使原来不服从整体分布的一些机变量也可能以正态分布为极限。

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中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文 题目:中心极限定理及其应用姓名: 学院: 专业: 班级: 学号: 指导教师: 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容(需明确列出研究的问题):研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理,更好的了解中心极限定理的作用,更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范,具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密,有独立的观点和见解。内容要理论联系实际,计算数据要求准确,涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处,结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名:年月日

中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业(学生姓名) 指导教师(老师姓名) 摘要:中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位,本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词:中心极限定理;正态分布;随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty (学生英文名) Tutor (老师英文名) Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上,通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的,至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容,而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了,无论随机变量服从什么分布,个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此,它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法,而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中,通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例,能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件,有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格(Levy-Lindeberg)定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn(x)对于任意x满足 (5.7) 从定理1的结论可知,当n充分大时,有 或者说,当n充分大时,有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布(不论服从什么分布),且都有有限的期望与方差(每个因素的影响有一定限度)。则(5.8)式说明,作为总和这个随机变量,当n充分大时,便近似地服从正态分布。 定理2(棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理) 设随机变量X服从参数为n,p (0<p<1)的二项分布,即,则

中心极限定理与大数定理的关系

渤海大学学士学位论文 题目: 中心极限定理与大数定理的关系 系别: 渤海大学 专业: 数学系 班级: 2002级1班 姓名:于丹 指导教师:金铁英 完成日期:2006年5月19日 中心极限定理与大数定理的关系 于丹 (渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国) 摘要:中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支,大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题,它们是概率论中比较深入的理论结果。 本篇论文从研究大数定理开始,然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理,最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延,进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。 关键词:大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract:The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中,中心极限定理是非常重要的一节内容,而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性,本组组员共同努力,课外深入学习,详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中,我们不妨由浅入深地来学习,为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理,即如下的定理1: 定理l (林德伯格-勒维中心极限定理)设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在,若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ,有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 (1) 证明:为证明(1)式,只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知:只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?,则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0,Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0,2)0(σ?-=''。 于是,特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数,定理得证。

大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计(论文)大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学(师范) 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日

目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II 1大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中,中心极限定理是非常重要的一节容,而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性,本组组员共同努力,课外深入学习,详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中,我们不妨由浅入深地来学习,为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理,即如下的定理1: 定理l (林德伯格-勒维中心极限定理)设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在,若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ,有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 (1) 证明:为证明(1)式,只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知:只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?,则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0,Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0,2)0(σ?-=''。于是,特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数,定理得证。

-中心极限定理在保险业务中的应用讲解学习

-中心极限定理在保险业务中的应用

中心极限定理在保险业务中的应用 学生姓名:许红红指导教师:赵连阔 一、引言 保险是以合同的形式来确定双方经济关系,以投保人缴纳保险费所建立起来的保险基金,对保险合同规定范围内的意外所造成的损失,进行经济补偿或给付的一种经济形式。保险费是根据数理统计原理进行制定,对未来发生的成本进行预测和估算,将预期赔偿金额作为纯保险费来收取的。为避免和减少未来风险因素带来的经济损失,保险公司采取一些方法保证自己的偿付能力。 在实际生活中有诸如交通事故发生率、人口死亡率等许多随机因素影响着保险的预期利润和偿付能力,这些随机因素是相互独立的,且每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量。这些随机变量都通常近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景条件。 二、中心极限定理 结合上文中心极限定理的产生的客观背景,我们给出中心极限定理的具体内容。我们把描述或验证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理通称为中心极限定理。但其中最常见、最基本且应用最广泛的是两个定理德莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布的正态近似)和林德贝格—勒维中心极限定理(独立同分布下的中心极限定理)。

(一)德莫弗——拉普拉斯定理 设n 重伯努利试验(将事件A 重复进行n 次)中,事件A 在每次试验中出现的概率为 ()01p p <<,记n μ为n 次试验中事件A 出现的次数,且记* n Y =,其中1.q p =- 则对任意实数y ,有 {}()2 *2lim . t y n n P Y y dt y -→+∞≤==Φ? 这个定理可以说是二项分布的近似正态分布,当n 充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率。 即(),A B n p :,其中1q p =-,则当n 很大时,有 ()P a X b ≤≤≈-. (二)林德贝格——勒维中心极限定理 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且()()2,0i i E X Var X μσ==>记 * n Y 则对任意实数y ,有 *lim () n n P Y y ?→+∞≤=22 ()t y y e dt --∞=. 此定理也可称为独立同分布中心极限定理且应用十分广泛,它只假设{}n X 独立同分布、方差存在,且是随便变量的序列,不管原来的分布是什么,只要n 充分大,就可以用正态分布去逼近。于是有:

中心极限定理及其意义

题目:中心极限定理及意义 课程名称:概率论与数理统计 专业班级: 成员组成: 联系方式: 2012年5月25日 摘要: 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起,通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述,揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论,给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题,进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件;签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用,来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词: 随机变量,独立随机变量,特征函数,中心极限定理 引言: 在客观实际中有许多随机变量,他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的,而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的,这种随机变量往往近似地服从正态分布,这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今,其内容已经非常丰富。在概率论中,把研究在什么条件下,大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立,服从统一分布,具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ,则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量, σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足, ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立,它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ,

大数定律及中心极限定理 应用题

大数定律与中心极限定理 应用题 1. 设各零件质量都是随机变量,且独立同分布,其数学期望为0.5kg ,标准差 为0.1kg, 问(1)5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少?(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件,至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975? 解 设第i 只零件重为i X ,500,...,2,1=i ,则5.0=i EX ,21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ,则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ,5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - (1))2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m ,先从这批木柱中随 机的取100根,求其中至少有30根短于3m 的概率? 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数,则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3. 一个食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量,它取1元,1.2元,1.5元的概率分别为0.3,0.2,0.5.若售出300只蛋糕,(1)求收入至少400元的概率 (2)售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文(设计) 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要:本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述,揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论,给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外,叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系,同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词:大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文 题目:独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者:信计1301班王彩云130350119 摘要:概率论历史上第一个极限定理属于伯努利,后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一,又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性,它是概率论中一个非常重要的定律,是随机现象统计规律性的具体表现,应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律,并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词:弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言:“大数定律”本来是一个数学概念,又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律,通俗的说,这个定律就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值。比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的,但当我们向上抛的硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万时之后,我们就会发现,硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近,人们在实践中观察其他的一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关,而且结果也不再是随机的。深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而,在大量重复试验或观察中,我们会发现,一个事件发生的频率具有稳定性,它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关,且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义,并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么,这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢?这就是我们在下面将要了解到的,大数定律的某些应用。即,大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

中心极限定理的应用

毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用 张世军 (陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班,陕西汉中 723000) 指导教师:程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发,给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明;其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用;最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量;中心极限定理;正态分布;概率论;近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty,Mathematics and computer scienceDept.,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract:The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords:Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation

大学概率论与数理统计复习资料

第一章 随机事件及其概率 知识点:概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ~ ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0)()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-)) 0(,,() ()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=)/()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==

应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =,且6.0)(=A P ,则=)(B P ( )。 2、已知事件,A B 相互独立,,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ,则=k ( )。 3、已知事件,A B 互不相容,,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则( )。 4、若,3.0)(=A P ===)(, 5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P ( ) 。 5、,,A B C 是三个随机事件,C B ?,事件()A C B -与A 的关系是 ( )。 6、5张数字卡片上分别写着1,2,3,4,5,从中任取3张,排成3位数,则排成3位奇数的概率是( )。 · 7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明: * 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 (1)试求他在5:40~5:50到家的概率; (2)结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解(1)设1A ={他是乘地铁回家的},2A ={他是乘汽车回家的}, i B ={第i 段时间到家的},4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40,5:40~5:50,5:50~6:00,6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ,3.0)|(22=A B P ,5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P ; (2)由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球,每次比赛从中任取3个来用,比赛 后仍放回盒中,求:第三次比赛时取到3个新球的概率。

中心极限定理应用

中心极限定理及其应用 【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景,最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n 充分大时,方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布,在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。 【关键词】:中心极限定理 正态分布 随机变量 一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来,而研究大量的随机现象常常采用极限的形式,由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛,中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下,相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律:当n →∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位,也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用 1、定理一(林德贝格—勒维定理) 若 ξ 1 ,ξ 2 ,…是一列独立同分布的随机变量,且 E k ξ=a, D k ξ = σ 2 ( σ 2 >0) ,k=1,2,…则有 dt e x n na p x t n k k n ? ∑∞ -- =∞ →= ≤-2 1 221)(lim π σξ 。 当n 充分大时, n na n k k σξ ∑=-1 ~N (0,1),∑=n k k 1 ξ ~N (2 ,σn na ) 2、定理二(棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理) 在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误!未找到引用源。, 错误!未 找到引用源。为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt e x npq np p x t n n ?∞ -- ∞ →= ≤-2 2 21 )( lim π μ 其中1q p =-。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布,因此当n 充分大时,可

中心极限定理论文:中心极限定理及其简单应用.

中心极限定理论文:中心极限定理及其简单应用 摘要:中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位,本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词:中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来,而研究大量的随机现象常常采用极限的形式,由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛,中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下,相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律:当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位,也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用中心极限定理有多种形式:1、独立同分布下的中心极限定理定理 1[1],设x1,X2,…,Xn,…是独立同分布随机变量,EXi=μDXi=σ2(i=1,2,…,n)则它表明当n充分大时,n个具有期望和方差的独立同分布的 随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。其中上下同除n,分子中有xi,其在数理统计中可表示样本的均值,可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。而上述定理应用到伯努利实验序列的情形,我们可以得到如下定理。定理2[1](拉普拉斯定理),在n重伯 努利试验中,事件A在每次实验中出现的概率P(0 2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率,求随机变量的个数。 例1[3],设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少? 解:设Xi(i=1,2,…,5000)表示第i个零件的重量X1, X2,…,X5000独立同分布且E(Xi)=0.5,D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ(1.414)=1-0.9215 =0.0785 例 2[3],一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的且同分布,设每箱平均重50kg,标准差为5kg,若用最大载重为50吨的汽车承运,每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977?解:设Xi(i=1,2,…,n)是装运第i箱的重量,n为所求箱数。由条件可把X1,X2,…,Xn看作独立同分布的随机变量,而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn,是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得:E(Tn)=50n,D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理:即最多可以装98箱。例3[2],报名听 心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量,负责这门课的教授决定,如果报名人数不少于120,就分成两班,否则就一班讲授。问 该教授讲授两个班的概率是多少? 分析:该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120,精确解为P(x≥120)=e-100100i/i!很难求解,如果利用泊松分布的可加性,想到均值为100的泊松分布随机变量等于 100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和,即X=Xi,其中每个Xi具有参数1的泊松分布,则我们可利用中心极限定理求近似解。解:可知 E(X)=100,D(X)=100 ∴P(X≥120)=1-φ()=1-φ(2)=0.023 即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1],火炮向目标不断地射击,若每

中心极限定理证明

中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此

故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:

中心极限定理的内涵和应用知识分享

中心极限定理的内涵 和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中,中心极限定理是非常重要的一节内容,而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性,本组组员共同努力,课外深入学习,详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中,我们不妨由浅入深地来学习,为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理,即如下的定理1: 定理l (林德伯格-勒维中心极限定理)设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在,若记 n n X Y n i i n σμ -= ∑=1 则对任意实数y ,有 {}? ∞ -- ∞ →=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π 21)(lim 2 2 (1) 证明:为证明(1)式,只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知:只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设 μ-n X 的特征函数为)(t ?,则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ?? ???? =)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0,Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0,2)0(σ?-=''。于是,特征函数)(t ?有展开式 )(2 1 1)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??? ???+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 2 2?2 2 t e -

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