当前位置：文档之家› 【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课时提升卷新人教A版必修4

【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课时提升卷新人教A版必修4

平面向量的实际背景及基本概念

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分，共30分)

1.下列说法中正确的个数是( )

(1)身高是一个向量.

(2)∠AOB的两条边都是向量.

(3)温度含零上和零下温度，所以温度是向量.

(4)物理学中的加速度是向量.

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )

A.不共线

B.长度不相等

C.不都是单位向量

D.不都是零向量

3.下列说法中正确的个数是( )

(1)单位向量都平行.(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等.(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.(4)有相同起点的两个非零向量不平行.

(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.

A.2

B.3

C.4

D.5

4.如图□AB CD中，相等的向量是( )

A.与

B.与

C.与

D.与

5.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是( )

A.正方形

B.矩形

C.等腰梯形

D.菱形

二、填空题(每小题8分，共24分)

6.设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和-3，且=，为单位向量，则点B对应的实数为；点D对应的实数为；||= .

7.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：

(1)有两个向量的模相等，这两个向量是，它们的模都等于.

(2)存在着共线向量，这些共线的向量是，它们的模的和等于.

8.如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为.

三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)

9.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和

终点，写出与向量模相等的所有向量.

10.一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏

北50度走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点.

(1)作出向量，，.

(2)求||.

11.(能力挑战题)如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的

交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不

重合}，试求集合T中元素的个数.

答案解析

1.【解析】选B.(1)错误.身高是一个数量.

(2)错误.∠AOB的两条边都是射线，不是向量.

(3)错误.温度是数量.

(4)正确.物理学中的加速度是既有大小又有方向的量，是向量.

2.【解析】选D.若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a 与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.

3.【解析】选A.(1)错误.因为单位向量的方向可以既不相同又不相反.

(2)错误.因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反.

(3)正确.因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.

(4)错误.有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量.

(5)正确.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量.

4.【解析】选D.与方向相同且长度相等.

【变式备选】如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( ) A.||=|| B.与共线

C.与共线

D.=

【解析】选C.由题目条件可知AB=EF，AB∥CD∥FG，CD=FG，但是∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以A，B，D成立，C不一定成立.

5.【解题指南】熟记四个选项中各图形的结构特征是关键.

【解析】选D.由=可知四边形ABCD为平行四边形，又||=||，该四边形为菱形.

【拓展提升】用向量判断几何图形的方法

向量具有“数”与“形”的双重身份，因此若已知条件中告知向量的等量关系时常通过大小和方向两因素考虑，如本题“=”隐含着四边形ABCD对边平行且相等，故首先判定该四边形为平行四边形；又由“||=||”进一步判断平行四边形相邻边的相等关系，得出该四边形为菱形.

6.【解析】由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为-

7.为单位向量，所以点D对应的实数为-4或-2.||=-3-(-7)=4.

答案：-7 -4或-2 4

7.【解析】(1)模相等的两个向量是，.

||=||==.

(2)共线的向量是，，

且||+||=2+3=5.

答案：(1)，(2)，5

8.【解析】注意到从A点出发，这些向量的顺序是a，e，d，c，b.

答案：a，e，d，c，b

9.【解析】因为四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.

所以AB=BC=CD=DA=BE，

所以与向量模相等的向量有：

，，，，，，，，.

10.【解析】(1)如图所示

(2)由题意，易知与方向相反，

故与共线，又||=||，

所以在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，

所以四边形ABCD为平行四边形，

所以||=||=200(千米).

11.【解题指南】在点集S中任意选两个点连成有向线段表示向量，找出所有的向量，结合集合中元素的互异性，得到答案.

【解析】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，

，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边

形的性质可知，共有8对向量相等，即=，=，=，=，=，=，=，

=.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个.

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。（6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。（7）若ma mb =，则a b =。

高中数学必记公式

数学必修1-5常用公式及结论必修1：一、集合 1、元素与集合的关系：属于：∈ 不属于：? 空集：φ 2、集合间的关系：子集：A B ? 真子集：A ≠ ?B 集合相等：若,A B B A ??,则A B = 交集：A B I 并集：A B U 补集：U C A 3、集合A=12{,,,}n a a a L ①子集个数共有 2n 个 ②真子集有 2n -1 个 ③非空子集有 2n -2 个 ④若C 中有m 个元素（n ≥m ），则满足C ? B ? A 的集合B 有 2n-m 个 4、常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 5、空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集，空集的唯一子集是空集本身二、函数的奇偶性 1、定义：奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．三、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数

② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减四、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质（定义域:R ） 1、顶点坐标公式：???? ??--a b ac a b 44,22，对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;抛物线与y 轴交于(0，c) (2) 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;顶点坐标：（h,k ） (3) 两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 3、韦达定理：X1+X2=-b/a ，X1·X2=c/a 五、指数与指数函数 1、幂的运算法则：（1）a m ? a n = a m + n （2）n m n m a a a -=÷ （3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n ? b n （5） n n n b a b a =?? ? ?? （6）a 0 = 1 ( a ≠0) （7）n n a a 1 =- （8）m n m n a a = （9）m n m n a a 1=- （10）(a+b)2=a 2+ b 2+2ab/(a-b)2=a 2-2ab+b 2 （11）(a+b)3=(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 （12）a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )/a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 2、根式的性质（1 ）n a =. （2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-

高中数学平面向量doc

专题讲座高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容（一）平面向量知识结构图（二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．课标要求：平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面向量”教与学的策略（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。概念辨析：

高中数学必修4知识点总结：第二章平面向量

高中数学必修4知识点总结第二章平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学公式大全--必记

一、集合 1.集合的运算符号：交集“ ”，并集“ ”补集“C ”子集“?”。 2.集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数）。 3.空集的符号为?。二、函数 1.定义域（分式型：分母0≠；零次幂型0 a ：底数a 0≠；对数型：真数0>；偶次根式型：被开方数0≥） 2.偶函数：)()(x f x f -=。奇函数：0)()(=-+x f x f . 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 。奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 。 3.单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减单调减函数：与增函数相反 4.指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a x a y =；当1>a 时，x a y =为增函 .10<a 时，x a y log =为增函数必过点)0,1(。.幂函数：a x y = (R a ∈) 6.函数的零点：①)(x f y =的零点指0)(=x f ②)(x f y =在),(b a 内有零点；则 0)()(