人教版高中数学必修一
————各章节知识点与重难点
第一章集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1集合的含义与表示
【知识要点】
1、集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性
（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性
2、“属于”的概念
我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a A
3、常用数集及其记法
非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R
4、集合的表示法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
（3）图示法（Venn图）
【重点】集合的基本概念和表示方法
【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合
【知识要点】
1、“包含”关系——子集
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B
2、“相等”关系
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A
且
???
3、真子集
如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
【重点】子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系
【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
【知识要点】
1、交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作“A 交B”)，即A∩B={x| x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A ∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x | x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质
A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集
如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（2）补集
设U是一个集合，A是U的一个子集（即A?U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。记作：C U A ，即C S A ={x | x∈U且x?A} （3）性质
C U(C U A)=A，(C U A)∩A=Φ，(C U A)∪A=U；
(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B)，(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B).
【重点】集合的交集、并集、补集的概念
【难点】集合的交集、并集、补集的概念与应用
1.2 函数及其表示
1.2.1函数的概念
【知识要点】
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
而y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
【注意】函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．（很容易疏忽）
【如何求定义域】
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；
（3）对数式的真数必须大于零;
（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
2、构成函数的三要素（缺一不可）
定义域、对应关系和值域
3、如何判断两个函数是否相同？
（1）定义域一致；
（2）表达式相同(两点必须同时具备)
4、常用的函数表示法
解析法：（必须注明函数的定义域）、图象法、列表法
5、分段函数、复合函数y=f(u) u=g(x)
6、函数图象画法
A、描点法
B、图象变换法
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换
（Ⅰ）对称变换
①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5
②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如
1x x x
y a y a
a
-
??=== ?
??
与
（Ⅱ）平移变换
由f(x)得到f(x±a) 左加右减；由f(x)得到f(x)±a 上加下减
7、映射
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”
1.3函数的基本性质
1.3.1函数单调性与最大（小）值
【知识要点】 1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 【注意】函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法 ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1 ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减 5、函数的最大（小）值定义 6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○ 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数在x=b 处有最大值f(b)； 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数在x=b 处有最小值f(b)； 【习题传递】 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则 f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－ t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞ 10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 12．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函 数？试证明你的结论． 19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性． 21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围． 22．已知函数f (x )=x a x x ++22，x ∈［1，＋∞］ （1）当a =2 1 时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 1.3.2 函数的奇偶性 【知识要点】 1、偶函数定义（关于y轴对称） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2、奇函数定义（关于原点对称(0)0 f .） 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 3、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称(这一步很重要) ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 【重点】函数的奇偶性的定义 【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式 【习题传递】 一、填空题 1．已知函数f(x)＝1＋m ex－1 是奇函数，则m的值为________． 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________. 3．已知函数f(x)＝a－1 2x＋1 ，若f(x)为奇函数，则a＝________. 4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论． 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 【知识要点】 1、根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0【注意】 (1)n a = (2)当 n a = ，当 n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?- 2、分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m n a a m n N n *=>∈>且 （2）正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 【注意】 在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122 [(1]11≠ 【重点】分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质 【难点】根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 2.1.2指数函数及其性质 【知识要点】 1、指数函数的概念 一般地，函数x y a 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2 定义域R ,+∞） （1）过定点（0x=0时，y=1 (2)在R 上是增函数 （3）当x>0时,y>1; 【重点】指数函数的的概念和性质． 【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 2.2 对数函数 2.2.1对数与对数运算 【知识要点】 1、对数的概念 一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 【注意】 （1）注意底数的限制，a>0且a ≠1； （2）真数N>0； （3）注意对数的书写格式． 2、两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 【结论】 （1）负数和零没有对数 （2）log a a=1, log a 1=0，特别地，lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式：log N a a N = 4、如果a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0 有 （1）log M N log log a a a M N ?=+（） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 （1）N M N M a a a log log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 （3）log log n n a a M n M =∈（R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 【说明】 （1）简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… （2）有时可逆向运用公式 （3）真数的取值必须是(0,＋∞) （4）特别注意：N M MN a a a log log log ?≠ ()N M N M a a a log log log ±≠± 5、换底公式 ()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b b b a a c c b a a = =>≠>≠> 利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1log = ②log log log log a b c a b c d d =③log log m n a a n b b m = 【重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化 【难点】对数概念的理解，换底公式的应用 2.2.2 对数函数及其性质 【知识要点】 1、 对数函数的概念 函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 【注意】 （1 ）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log a y =log 2a y x =+ 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． （2）对数函数对底数的限制：a>0，且a ≠1 2、对数函数的图像与性质 对数函数log y x =(a>0，且a ≠1) 【重要结论】 在log a b 中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有log a b>0; 当a,b 不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有log a b<0. 【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指log a b 的值） 3、如图，底数 a 对函数x y a log = 的影响. 规律：底大枝头低, 头低尾巴翘 4考点 Ⅰ、log a b, 当a,b 在1的同侧时, log a b >0；当a,b 在1的异侧时, log a b <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=log a a) 进行传递. Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性. Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=log a a ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=a x(a>0且a ≠1) 与y=log a x(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法 (1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法 (1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较 【重点】掌握对数函数的图象与性质 【难点】对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用 2.3幂函数 【知识要点】 1、幂函数定义 一般地，形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常 数． 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 【难点】画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律 第三章函数的应用 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x) 与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零 点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x) 在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c; ⑶计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)） ③若f(c)f(b)<0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)） (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用： （1）评价模型：给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 （2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a>0) 指数函数：y=a x(a>1) 指数型函数：y=ka x(k>0,a>1) 幂函数：y=x n（n?N*) 对数函数：y=log a x(a>1) 二次函数：y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢：V(a x)>V(x n)>V(log a x) 解不等式(1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x （3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。 （4）二次函数模型：y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。（5）数学建模： (6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布 【习题传递】 1、函数y＝x2－2x－3的零点是( ) A、1，－3 B、3，－1 C、1,2 D、不存在 2、已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( ) 3、f (x )＝x 3 －3x －3有零点的区间是( ) A 、(－1,0) B 、(0,1) C 、(1,2) D 、(2,3) 4、某产品的利润y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为3004022++-=x x y ，则利润y 取最大值时，产量x 等于( ) A 、10 B 、20 C 、30 D 、40 6、函数???>+-≤-+=0 ,ln 20 ,32)(2x x x x x x f 的零点个数为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、已知函数)(x f 在区间],[b a 上是单调函数，且0)()( A 、至少有一实根 B 、至多有一实根 C 、没有实根 D 、必有唯一实根 8、函数x x f ln 2)(=的图象与函数54)(2 +-=x x x g 的图象的交点个数为( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、0