空间几何体的表面积和体积
一．【课标要求】
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．【命题走向】
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2011年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；
（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；
三．【要点精讲】
1．多面体的面积和体积公式
名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全)
体 积(V)
棱 柱
棱柱 直截面周长×l
S 侧+2S 底
S 底·h=S 直截面·h
直棱柱 ch S 底·h
棱 锥
棱锥 各侧面积之和
S 侧+S 底
3
1
S 底·h 正棱锥 2
1
ch ′ 棱 台
棱台
各侧面面积之和
S 侧+S 上底+S 下底 3
1
h(S 上底+S 下底+下底下底S S )
正棱台
2
1 (c+c ′)h ′ 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式 名称
圆柱 圆锥 圆台 球 S 侧 2πrl πrl π(r 1+r 2)l S 全
2πr(l+r) πr(l+r)
π(r 1+r 2)l+π(r 2
1+r 2
2)
4πR 2
V
πr 2
h(即πr 2
l)
31πr 2
h 31πh(r 21+r 1r 2+r 2
2) 3
4πR 3
表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径
四．【典例解析】
题型一：柱体的体积和表面积
1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.
2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=
3
π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积
图1 图2
题型二：柱体的表面积、体积综合问题
3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2
3
B ．3
2
C ．6
D ．
6
4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。
题型三：锥体的体积和表面积
5．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.
题型四：锥体的体积和表面积综合问题
6.如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点． （1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ；
P
A
B C
D
O E
（2）设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离； 、
题型五 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.
7.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.223π+
B. 423π+
C.
2323π+
D. 23
43π+
、 、
8.如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，
AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是
A. AD PB ⊥
B. PAB 平面PBC 平面⊥
C. 直线BC ∥PAE 平面
D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°
9.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD ⊥平面PEG
2
2
侧(左)视图 2
2 2
正(主)视图 E
D C
B
A
S
题型六 平面图形折叠成立体图形
10．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离？
11．2009年上海卷理）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________.
题型七 分割法可求得多面体体积
12．如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，E 和F 是l 上的两个不同点，
且EA=ED ，FB=FC ， 和
是平面ABCD 内的两点，
和
都与平面ABCD 垂直，
（Ⅰ）证明：直线
垂直且平分线段AD ：
（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF 的体积。
13．（1）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ?沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D
作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
题型八 球的面积、体积
14.直三棱柱
111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若
12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。
15．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积
16．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。
17设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于
4
7π
，则球O 的表面积等于 题型九：球的面积、体积综合问题
18．（1）表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。 （2）正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积。
题型十：球的经纬度、球面距离问题
19．（1）我国首都靠近北纬40
纬线，求北纬40
纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ）
（2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离。
20．在北纬45
圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B 两点的劣弧长为2
4
R π（R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离
21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，点
D 在11B C 上，
11A D B C ⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）平面1A FD
⊥平面11BB C C .
五．【思维总结】
1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全=3a 2
；
(2)体积：V=
12
2a 3
； (3)对棱中点连线段的长：d=
2
2
a ； (4)内切球半径：r=
12
6
a ； (5)外接球半径 R=
4
6
a ； (6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c 。 则：①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；
③体积 V=6
1
abc ； ④底面△ABC =
2
1222222a c c b b a ++；
⑤S 2
△ABC =S △BHC ·S △ABC ；
⑥S 2△BOC =S 2△AOB +S 2△AOC =S 2
△ABC ⑦
21OH =21a +21b +2
1
c ;
⑧外切球半径 R=
2
1222c b a ++；
⑨内切球半径 r=
c
b a +++???ABC
BOC AOB S -S S
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，底面半径为r ，则
sin α=cos 2
β =l h
， α+
2
β
=90°? cos α=sin
2
β =l r . ②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别
为r ′、r ，则h=lsin α，r-r ′=lcos α。
③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系：
r=22d -R .
4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；
纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；
经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面
所成的二面角的度数
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
5. 两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数）