高考专题突破三 高考中的数列问题
考点自测
1.公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且-3a 1,-a 2,a 3成等差数列,若a 1=1,则S 4等于( )
A .-20
B .0
C .7
D .40
答案 A
解析 设等比数列{a n }的公比为q ,其中q ≠1,
依题意有-2a 2=-3a 1+a 3,-2a 1q =-3a 1+a 1q 2≠0.
即q 2+2q -3=0,(q +3)(q -1)=0,
又q ≠1,因此有q =-3,S 4=1×[1--4]1+3
=-20,故选A. 2.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于
( )
A .(3n -1)2
B.12(9n -1) C .9n -1
D.14
(3n -1) 答案 B
解析 a 1=2,a 1+a 2+…+a n =3n -1,① n ≥2时,a 1+a 2+…+a n -1=3n -1-1,②
①-②得a n =3n -1·2(n ≥2),
n =1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n -1.
∴a 21+a 22+…+a 2n
=a 21-9n 1-9=-9n 1-9
=12
(9n -1). 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,S 50=0.设b n =a n a n +1a n +2(n ∈N *),则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时,n 的值是( )
A .23
B .25
C .23或24
D .23或25
答案 D
解析 因为S 50=502
(a 1+a 50) =25(a 25+a 26)=0,
a 1>0,所以a 25>0,a 26<0,
所以b 1,b 2,…,b 23>0,b 24=a 24a 25a 26<0,
b 25=a 25a 26a 27>0,
b 26,b 27, 0
且b 24+b 25=0,
所以当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时,n 的值为23或25.
4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意n ∈N *都有S n =23a n -13
,若1
答案 4
解析 当n >1时,S n -1=23a n -1-13
, ∴a n =23a n -23
a n -1, ∴a n =-2a n -1,
又a 1=-1,∴{a n }为等比数列,且a n =-(-2)
n -1, ∴S k =-
k -13,
由1
又k ∈N *
,∴k =4.
5.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,则第50个括号内各数之和为________.
答案 392
解析 将三个括号作为一组,则由50=16×3+2,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列{2n -1}的第16×6=96项,第50个括号的第一个数应为数列{2n -1}的第98项,即为2×98-1=195,第二个数为2×99-1=197,故第50个括号内各数之和为195+197=392.故填392.
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
例1 设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.