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2016高考数学专题复习导练测第六章高考专题突破三高考中的数列问题理新人教A版

高考专题突破三 高考中的数列问题

考点自测

1.公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且-3a 1,-a 2,a 3成等差数列,若a 1=1,则S 4等于( )

A .-20

B .0

C .7

D .40

答案 A

解析 设等比数列{a n }的公比为q ,其中q ≠1,

依题意有-2a 2=-3a 1+a 3,-2a 1q =-3a 1+a 1q 2≠0.

即q 2+2q -3=0,(q +3)(q -1)=0,

又q ≠1,因此有q =-3,S 4=1×[1--4]1+3

=-20,故选A. 2.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于

( )

A .(3n -1)2

B.12(9n -1) C .9n -1

D.14

(3n -1) 答案 B

解析 a 1=2,a 1+a 2+…+a n =3n -1,① n ≥2时,a 1+a 2+…+a n -1=3n -1-1,②

①-②得a n =3n -1·2(n ≥2),

n =1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n -1.

∴a 21+a 22+…+a 2n

=a 21-9n 1-9=-9n 1-9

=12

(9n -1). 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,S 50=0.设b n =a n a n +1a n +2(n ∈N *),则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时,n 的值是( )

A .23

B .25

C .23或24

D .23或25

答案 D

解析 因为S 50=502

(a 1+a 50) =25(a 25+a 26)=0,

a 1>0,所以a 25>0,a 26<0,

所以b 1,b 2,…,b 23>0,b 24=a 24a 25a 26<0,

b 25=a 25a 26a 27>0,

b 26,b 27, 0

且b 24+b 25=0,

所以当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时,n 的值为23或25.

4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意n ∈N *都有S n =23a n -13

,若1

答案 4

解析 当n >1时,S n -1=23a n -1-13

, ∴a n =23a n -23

a n -1, ∴a n =-2a n -1,

又a 1=-1,∴{a n }为等比数列,且a n =-(-2)

n -1, ∴S k =-

k -13,

由1

又k ∈N *

,∴k =4.

5.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,则第50个括号内各数之和为________.

答案 392

解析 将三个括号作为一组,则由50=16×3+2,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列{2n -1}的第16×6=96项,第50个括号的第一个数应为数列{2n -1}的第98项,即为2×98-1=195,第二个数为2×99-1=197,故第50个括号内各数之和为195+197=392.故填392.

题型一 等差数列、等比数列的综合问题

例1 设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.

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