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一元二次方程课堂练习(综合二)

一元二次方程课堂练习(综合二)
一元二次方程课堂练习(综合二)

一元二次方程课堂练习(综合二)

课堂练习(一)

单选题

1. 代数式x2-11x+22的值等于-8时x的取值一定是 [ ]

A.5

B.5或6

C.6

D.8

4. 方程x2-12x-9964的解为 [ ]

A.x1=x2=106

B.x1=94,x2=-106

C.x1=-94,x2=106

D.x1=-94,x2=-106

5. 关于x的方程,x2-a(3x-2a+b)-b2=0的两根为 [ ]

A.x1=x2=2a-b

B.x1=x2=a-b

C.x1=2a+b,x2=a-b

D.x1=2a-b,x2=a+b

7. 关于x的方程x2+a(2x+a)-x-a=0的解为 [ ]

A.x1=1-a,x2=a

B.x1=1-a,x2=-a

C.x1=a-1,x2=-a

D.x1=a-1 x2=a

8. 若c是实数,且方程x2-3x+c=0的一个根的相反数是方程

x2+3x-c=0的一个根,那么方程x2-3x+c=0的根是 [ ]

A.1,2

B.-1,-2

C.0,-3

D.0,3

9. 关于x的方程8x-2x2+7a=(x+3)a的解为 [ ]

课堂练习(一)答案

1. B

2. C

3. A

4. C

5. C

6. B

7. B

8. D

9. B 10. A

课堂练习(二)

填空题

1. 关于x的方程4a2x2-9b2=0(a≠0)的两根为 ____, _____.

2. 当x= _____时,代数式x2+12x-60的值等于4.

3. 关于x的方程(a+b-c)x=2x2的两根为 ____, ______.

4. 关于x的方程x2-9a2-12ab-4b2=0,则方程的两根为 ____, _____.

5. 关于x的方程(ax+b)2+(a-bx)2=a2+b2,(a2+b2≠0)的两根为_____,.

6. 方程3(x-2)2-x(x-2)=0的两根为 ____, ______.

7. 关于x的方程x(x+a-1)=a的两根为 ____, _____.

9. 已知方程2x2+mx-4=0两根的绝对值相等,则m=______.

课堂练习(二)答案

2. -16或4

4. 3a+2b,-3a-2b

5. 0,0

6. 2,3

7. 1,-a

9. 0

课堂练习(三)

解答题

1. 解关于x的方程(x-a)2+(x-b)2=(a-b)2

2. 解关于x的方程x2-2(a-b)x+b2=2ab

3. 解关于x的方程x2-4(a+b)+1=2x (a+b>0)

5. 已知:关于y的一元二次方程(ky+1)(y-k)=k-2的各项系数之和等于3,求k的值以及方程的解.

6. 解关于x的方程:(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2-ab(1+x2)=0

课堂练习(三)答案

1. x1=a,x2=b

2. x1=-b,x2=-b+2a

5. 当k=0时, y=-2

当k=-1时,y1=-2,

y2=2.

人教数学一元二次方程的专项培优练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.阅读下列材料 计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,则: 原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2= 在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题: (1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+) (2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4 (3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3 【答案】(1);(2)(a2﹣5a+5)2;(3)x1=0,x2=﹣4,x3=x4=﹣2 【解析】 【分析】 (1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算. (2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a. (3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解. 【详解】 (1)令+=t,则: 原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣﹣t+t2+= (2)令a2﹣5a=t,则: 原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2﹣5a+5)2 (3)令x2+4x=t,则原方程转化为: (t+1)(t+3)=3 t2+4t+3=3 t(t+4)=0 ∴t1=0,t2=﹣4 当x2+4x=0时, x(x+4)=0

解得:x 1=0,x 2=﹣4 当x 2+4x =﹣4时, x 2+4x +4=0 (x +2)2=0 解得:x 3=x 4=﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算. 2.解下列方程: (1)x 2﹣3x=1. (2)12(y+2)2﹣6=0. 【答案】(1)12313313,22x x +-= = ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】 试题分析:(1)利用公式法求解即可; (2)利用直接开方法解即可; 试题解析:解:(1)将原方程化为一般式,得x 2﹣3x ﹣1=0, ∵b 2﹣4ac=13>0 ∴ . ∴12313313,22 x x +-==. (2)(y+2)2=12, ∴或, ∴12223,223y y =-+=-- 3.如图,在△ABC 中,AB =6cm ,BC =7cm ,∠ABC =30°,点P 从A 点出发,以1cm/s 的速度向B 点移动,点Q 从B 点出发,以2cm/s 的速度向C 点移动.如果P 、Q 两点同时出发,经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2? 【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2. 【解析】 【分析】

人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式221 6 k k k -+-的值. 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解. 【详解】 解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? === , 由条件,知12 1212 11x x x x x x ++==3, 即 33a -=,且94a ≤, 故a =-1, 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0, Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时,?=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则17 8 k ≤ , 又k 是正整数,且k≠1,则k =2,但使221 6k k k -+-无意义. 综上,代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程, 2.图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:他用硬纸片做了两个三角形,分别为△ABC 和△DEF ,其中∠B=90°,∠A=45°,BC= ,∠F=90°,∠EDF=30°, EF=2.将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起,并将△DEF 沿AC 方向移动.在移动过程中,

一元二次方程的应用专项练习60题(有答案)

一元二次方程的应用专项练习60题(有答案) 1.某单位组织职工观光旅游,旅行社的收费标准是:如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元;如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.该单位按旅行社的收费标准组团,结束后,共支付给旅行社2700元.求该单位这次共有多少人参加旅游? 2.4月7日国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~20XX年》.某市政府决定用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元,并计划20XX年提高到7260万元.若从到20XX年每年的资金投入按相同的增长率递增,求到20XX年的平均增长率. 3.某商场按定价销售某种电器时,每台可获利48元,按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等, (1)该电器每台进价、定价各是多少元? (2)按(1)的定价该商场一年可销售这种电器1000台.经市场调查:每降低一元一年可多卖该种电器出10台.如果商场想在一年中使该种电器获利32670元,那么商场应按几折销售? 4. 5月1日,目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用是每车380元,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元.若设问这批货物有x车. (1)用含x的代数式表示每车从宁波港到B地的海上运费; (2)求x的值. 5.有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样大的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个无盖的方盒.如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

第二章一元二次方程培优奥赛讲义

九上第二章一元二次方程培优讲义一.填空题(共15小题) 1.已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根,求a2﹣2012a+的值为.2.附加题:已知m,n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根,则(m2+2007m﹣2008)(n2+2007n﹣2010)的值为. 3.若m为实数,方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根,则x2﹣3x+m=0的根是. 4.已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根,那么的值是. 5.已知a,b是等腰三角形ABC的两边长,且a、b满足a2+b2+29=10a+4b,则这个等腰三角形的周长为. 6.若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,则200a+9b+c=. 7.已知关于x的方程x2+(a﹣6)x+a=0的两根都是整数,则a的值等于.8.若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根,则m应满足.9.已知:a2+b2=1,a+b=,且b<0,那么a:b=. 10.方程(x2+3x﹣4)2+(2x2﹣7x+6)2=(3x2﹣4x+2)2的解是.11.对于一切正整数n,关于x的一元二次方程x2﹣(n+3)x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n,则++…+=.12.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2,则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是. 13.α,β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根,则代数式2α2+β2+β﹣3的值为. 14.中新网4月26日电,据法新社26日最新消息,墨西哥卫生部长称,可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一人传染了人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经三轮传播,将有人被感染. 15.一个两位数,个位数字比十位数字的平方大3,而这个两位数字等于其数字之和的3倍,如果这个两位数的十位数字为x,则方程可列为.

初三数学培优——一元二次方程应用题

一元二次方程应用题 数字问题 1 两个数的和为8,积为9.75,求这两个数。 2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________. 3 .一个两位数,个位数字与十位数字之和为5,把个位数字与十位数字对调,所得的两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数。 增长(降低)率问题 1,(2009年江苏省)某县2008年农民人均年收入为7 800元,计划到2010年,农民人均年收入达到9 100元.设人均年收入的平均增长率为x,则可列方程. 2.(莱芜)某公司在2009年的盈利额为200万元,预计2011年的盈利额将达到242万元,若每 年比上一年盈利额增长的百分率相同,那么该公司在2010年的盈利额为____万元. 3,(2010年兰州)上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A. 128 ) % 1( 1682= +a B.128 ) % 1( 1682= -a C. 128 ) % 2 1( 168= -a D.128 ) % 1( 1682= -a 4.(2009山西省太原市)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由 3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是. 5,(2010台州市)某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x,可列方程为____________ . 6,某木器厂今年一月份生产课桌500张,因管理不善,2月份的产量减少了10%,从3月份起加强 了管理,产量逐月上升,4月份的产量达到了648张,求工厂3月份和4月份的平均增长率。 7,某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求,1997年的社会总产值要比1995年增长21%,求平均每年增长的百分率.

一元二次方程培优试卷

一元二次方程培优检测卷 一、选择题(每题2分,共20分) 1.对于任意实数k ,关于x 的方程x 2-2(k +1)x -k 2+2k -1=0的根的情况为 ( ) A .有两个相等的实数根 B .没有实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法确定 2.如果一元二次方程x 2+(m +1)x +m =0的两个根互为相反数,那么有 ( ) A .m =0 B .m =-1 C .m =1 D .以上结论都不对 3.方程x 2+3x -1=0的两个根的符号为 ( ) A .同号 B .异号 C .两根都为正 D .不能确定 4.把边长为1的正方形木板截去四个角,做成正八边形的台面,设台面边长为x ,可列出方程 ( ) A .(1-x)2=x 2 B . 14 (1-x)2=x 2 C .(1-x)2=2x 2 D .以上结论都不正确 5.已知方程x 2+bx +a =0的一个根是-a ,则下列代数式的值恒为常数的是 ( ) A .b B .a C .a +b D .a -b 6.设a 2+1=3a ,b 2+1=3b 且a ≠b ,则代数式11a b +的值为 ( ) A .5 B .3 C .9 D .11 7.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .1k >- B .1k <且0k ≠ C . 1k ≥-且0k ≠ D . 1k >-且0k ≠ 8.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) A .2310x x -+= B .2 10x += C .2210x x -+= D .2230x x ++= 9.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ,那么x 满足的方程是( ) A . 50(1+x 2)=196 B . 50+50(1+x 2)=196 C . 50+50(1+x )+50(1+x 2)=196 D . 50+50(1+x )+50(1+2x )=196 10.我们知道,一元二次方程21x =-没有实数根,即不存在一个实数的平方等于1-. 若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-(即方程21x =-有一个根为i )。并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于

初中数学《一元二次方程》专题练习题含答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分 一、xx题 评卷人得分 (每空xx 分,共xx分) 试题1: 下列方程中,一定是一元二次方程的是( ) A.3x2+-1=0 B.5x2-6y-3=0 C.ax2-x+2=0 D.3x2-2x-1=0 试题2: 若关于x的方程(a-2)x2-2ax+a+2=0是一元二次方程,则a的值是( ) A.2 B.-2 C.0 D.不等于2的任意实数 试题3: 将一元二次方程3x2=-2x+5化为一般形式,其一次项系数与常数项的和为____. 试题4: 将一元二次方程y(2y-3)=(y+2)(y-2)化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 试题5: 下表是某同学求代数式x2+x的值的情况,根据表格可知方程x2+x=2的解是( ) x …-3 -2 -1 0 1 2 … x2+x … 6 2 0 0 2 6 … A. x=-2 B.x=1 C.x=-2和x=1 D.x=-1和x=0 试题6:

已知关于x的方程x2+x+2a-1=0的一个根是0,则a=______. 试题7: 若关于x的一元二次方程ax2-bx-2018=0有一根为x=-1,则a+b=______. 试题8: 今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60 m,若将短边增长到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2,设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是( ) A.x(x-60)=1600 B.x(x+60)=1600 C.60(x+60)=1600 D.60(x-60)=1600 试题9: 有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( ) A .x(x-1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45 试题10: 如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程:_______________________. 试题11: 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0 C.(x-1)(x+2)=1 D.x(x-1)=x2+2x 试题12:

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=,问: (1)m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程; (2)m 取何值时,它是一元一次方程? 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0,求m 的值. 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项,则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a (a≠0),则a-b 值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中,a -b+c=0,则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 -2013x+1=0的解,求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点: 1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次),等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,又叫一元二次方程的根. 温馨提示: 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧: 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种,需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想,需要同学们认真领

一元二次方程培优题(易错题和难题)

一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根,并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条 边长,求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =, (1)求a 的值及方程的另一个解 (2)如果一个三角形的三条边长都 是这个方程的根,求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根,等腰三角形ABC 的一边长为7,若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长,求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长,且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根,试判断三角形的形状。

6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元 二次方程2 (3)10.x m x m ++++= (1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根。 (2)若12,x x 是原方程的两根,且12x x -=m 的值,并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ,2x ,那么12x x p +=-,12x x q =,请根据以上结论,解决下列 问题: (1)已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠,求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程 两根的倒数。 (2)已知a 、b 满足21550a a --=,21550b b --=,求a b b a +的值。 (3)已知a 、b 、c 满足0a b c ++=,16abc =,求正数c 最小值。

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义:一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1.一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:(1)配方法:如,经配方得 2670x x ++=,再直接用开平方法; 2(3)2x +=(2)公式法;(3)因式分解法。 这三种方法并不是孤立的,直接开平方法,实际也是因式分解法,解方程,只2670x x ++=要变形为 即可,或原方程 22(3)0x +-=经配方化为,再求解时, 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法,所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法,因此,它还是归到因式分解法,所不同的是,公式法用一元二次方程的系数来表示根,因而可以作为公式。由此可见,对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2.我国古代的一元二次方程 提起代数,人们自然就把它和方程联系起来。事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究有着优良的传统,并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步?”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法,以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法,主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 (1)转化思想 我们知道,解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此,转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章,转化无所不在,无处不有, 可以说这是本章的精髓和特色之一,其表现主要有以下方面: ①未知转化为已知,这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程,这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般,一般转化为特殊。例如,通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法,进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式,而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程,推导出一元二次方程根与系数的关系。又如,通过设未知数,找出等量关系,列方程,把实际问题转化为解方程问题,等等。 掌握转化思想并举一反三,还可以解决很多其他方程问题,如高次方程转化为一元一次或一元二次方程,分式方程转化为整式方程,无理方程转化为有理方程,二元二次方程组转化为二元一次方程组,总之,本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若,求的值。 (2)类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带,有利于帮助我们开阔思路,研究解题途径和方法,有利于掌握新知识、巩固旧知识,学习时应特别重视。

第一讲一元二次方程培优专题含答案

第一讲一元二次方程培优专题(含答案) 一.选择题(共14小题) 1.(2016?包头)若关于x的方程x2+(m+1)x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是() A.﹣B.C.﹣或D.1 2.(2016?乐山)若t为实数,关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b,则代数式(a2﹣1)(b2﹣1)的最小值是() A.﹣15 B.﹣16 C.15 D.16 3.(2016?河北)a,b,c为常数,且(a﹣c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.无实数根D.有一根为0 4.(2016?黄冈校级自主招生)设x1,x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根,则x13﹣5x22+10=() A.﹣29 B.﹣19 C.﹣15 D.﹣9 5.(2016?岱岳区一模)我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于﹣1.若我们规定一个新数:“i“,使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2?i=(﹣1)?i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1.从而对任意正整数n,我们可得到i4n+1=i4n?i=(i4)n?i=i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么,i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为() A.0 B.1 C.﹣1 D.i

6.(2015?株洲)有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a?c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 7.(2015?南充)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论:①这两个方程的根都负根;②(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2;③﹣1≤2m ﹣2n≤1,其中正确结论的个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 8.(2013?呼和浩特)已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=﹣1,则m的值是() A.3 B.1 C.3或﹣1 D.﹣3或1 9.(2013?船山区校级自主招生)若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是() A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 10.(2013?涟水县校级一模)已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1,x2,则代数式 的值是() A.2011 B.2012 C.2013 D.2014 11.(2012?富顺县校级模拟)已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1,a2,a3,则计算a1(a2+a3)+a2(a1+a3)+a3(a1+a2)的值() A.﹣5 B.6 C.﹣6 D.3

2019届中考数学专题复习一元二次方程专题训练含答案

3 一元二次方程 A 级 基础题 1.一元二次方程 x2-3x =0 的根是( ) A .x1=0,x2=-3 B .x1=1,x2=3 C .x1=1,x2=-3 D .x1=0,x2=3 2.(2017 浙江舟山)用配方法解方程 x2+2x -1=0 时,配方结果正确的是( ) A .(x +2)2=2 B .(x +1)2=2 C .(x +2)2=3 D .(x +1)2=3 3.(2017 年江苏南京改编)解方程(x -5)2=19,用以下哪种方法最恰当( ) A .配方法 B .直接开平方法 C .因式分解法 D .公式法 4.(2018 年湖南娄底)关于 x 的一元二次方程 x2-(k +3)x +k =0 的根的情况是( ) A .有两不相等实数根 B .有两相等实数根 C .无实数根 D .不能确定 5.(2018 年湖南湘潭)若一元二次方程 x2-2x +m =0 有两个不相同的实数根,则实数 m 的取值范围是( ) A .m≥1 B .m≤1 C .m >1 D .m <1 6.如图 214,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了 2 m ,另一边减少了 3 m ,剩余一块 面积为 20 m2 的矩形空地,则原正方形空地的边长是( ) 图 214 A .7 m B .8 m C .9 m D .10 m 7.(2018 年吉林)若关于 x 的一元二次方程 x2+2x -m =0 有两个相等的实数根,则 m 的值为________. 8.一元二次方程 x2-2x =0 的解是____________. 9.已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx -8=0 的一个实数根为 2,则另一实数根及 m 的值分别为____________. 10.已知关于 x 的方程 x2+2x +a -2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为 1 时,求 a 的值及方程的另一根. 11.(2018 年沈阳)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元,由于改进技术,生产成本逐月下降, 月份的生产成 本是 361 万元.假设该公司 2.3.4 月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率;

一元二次方程提高培优题

一元二次方程提高题 一、选择题 1. 已知a是方程x2+x-仁0的一个根,则- 的值为( ) a - 1 a - a A .-严 B . 1 C . - 1 D . 1 7 2. 一元二次方程x(x2) 2 x的根是( ) A.x=1 B.x=0 C.x=1 和x=2 D.x=-1 和x=2 3 .为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( ) 2 2 A. 289 (1 - x) =256 B . 256 (1 - x) =289 C. 289 (1 - 2x) =256 D . 256 (1 - 2x) =289 4.岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了.在此之 前,公园派出小曾等人到某旅游景区考察,了解到该景区三月份共接待游客 20万人次,五月份共接待游客50万人次?小曾想知道景区每月游客的平均 增长率x的值,应该用下列哪一个方程来求出?( ) 2 2 2 A. 20 (1+x) =50 B . 20 (1 - x) =50 C . 50 (1+x) =20 D . 50 ( 1 -x) 2=20 5?某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一 张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( ) A. x(x 1) 2070 B . x(x 1) 2070 C. 2x(x 1) 2070 D . x(x 1 2070 x 6.若关于x的方程x2- 4x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围是 A . m<- 4 B . m>- 4 C . m< 4 D . m> 4 7.已知实数a, b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0,且a工b,则b - a b 的值是【】 A. 7 B . —7 C . 11 D . —11 &已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0,下列说法正确的是 A. 当k 0时,方程无解 B. 当k 1时,方程有一个实数解 C. 当k 1时,方程有两个相等的实数解 D. 当k 0时,方程总有两个不相等的实数解 9.若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式,那么M的值是( ) A. 2 B. ± 2 C. 4 D. ± 4 二、填空题 10 .已知方程x2+ ( 1 - _上;)x -」.=0的两个根X1和X2,贝U X/+X22= ______ 2 1 1 11.已知m和n是方程2x —5x —3 = 0的两个根,^ U —+—=___________. m n 2 2 12 .若将方程x 6x 7,化为x m 16,则m = __________________ . 13 .已知(x2+ y2) (x2—1+ y2)—12=0,则x2+ y2的值是___________ ? 14 .某种药品原价为60元/盒,经过连续两次降价后售价为48.6元/盒.设平 均每次降价的百分率为x,则根据题意,可列方程为_________ . 15 .若Va 4+ b 1 0 ,且一元二次方程kx2 ax b 0有实数根,则k 的取值范围是________ ? 三、计算题 2 16 .解方程:(x+3) - x (x+3) =0 . 按要求解方程:

2019届中考数学专题复习一元二次方程专题训练

一元二次方程 A级基础题 1.一元二次方程x2-3x=0的根是( ) A.x1=0,x2=-3 B.x1=1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=0,x2=3 2.(xx浙江舟山)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是( ) A.(x+2)2=2 B.(x+1)2=2 C.(x+2)2=3 D.(x+1)2=3 3.(xx年江苏南京改编)解方程(x-5)2=19,用以下哪种方法最恰当( ) A.配方法 B.直接开平方法 C.因式分解法 D.公式法 4.(xx年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( ) A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根 C.无实数根 D.不能确定 5.(xx年湖南湘潭)若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( ) A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1 6.如图2-1-4,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是( ) 图2-1-4 A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m 7.(xx年吉林)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为________. 8.一元二次方程x2-2x=0的解是____________. 9.已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为____________. 10.已知关于x的方程x2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.

中考数学专题训练一元二次方程含答案

一元二次方程 一、 选择 1. 方程05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值不能是( ) A .0 B .21 C .1± D .2 1- 2. 一元二次方程221x x -=的常数项为( ) A .-1 B .1 C .0 D .±1 3.一元二次方程2(1)2x -=的解是( ) A.11x =-21x =- B.11x =21x = C.13x =,21x =- D.11x =,23x =- 4. 把方程0462=+-x x 的左边配成完全平方,正确的变形是( ) A .9)3(2=-x B .13)3(2=-x C .5)3(2=-x D .5)3(2 =+x 5. 方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是( ) A .0,121==x x B .2,121==x x C .1,221-==x x D .无解 6. 若关于x 的方程0222=-+-a ax x 有两个相等的实根,则a 的值是( ) A .-4 B .4 C .4或-4 D .2 7. 方程()()1132=-+x x 的解的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .没有实数根 C .有两个相等的实数根 D .有一个实数根 8. 某商品原价200元,连续两次降价a %后售价为148元,下列所列方程正确的是 ( ) A. 200(1+a%)2=148 B. 200(1-a%)2 =148

C. 200(1-2a%)=148 D. 200(1-a 2 %)=148 二、填空题 9. 一元二次方程x x 6122=-的一般形式是 ,其中一次项系数是 . 10. 认真观察下列方程,指出使用何种方法解比较适当: (1)221x x +=-,应选用 法; (2)()()()()42122++=-+x x x x ,应选用 法; (3)07322=--x x ,应选用 法. 11. x x 2 12- 配成完全平方式需加上 . 12. 若关于x 的方程220x x k ++=的一个根是1,则另一个根是 . 13. 若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根,则k 的取值范是 . 14. 以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 . 15. 从正方形的铁皮上,截去2cm 宽的一条长方形,余下的面积是48cm 2 ,则原来的正方形铁皮的面积是 . 16.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为22b a b a -=*,根据这个规则,方程05)2(=+*x 的解为 . 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程: (1)2(1)4x -= (2)04632=+-x x (3)(2)(3)12x x --= (4)231y += 18.

一元二次方程培优经典题

一元二次方程培优经典题 知识框架: ???? ???????????? ?? ? ?一元二次方程的应用 韦达定理) 因式分解(十字相乘法公式法 配方法直接开平方 一元二次方程的解法定义:一元二次方程 第二课 一元二次方程的解法 定义:只含有一个未知数........,并且未知数的最高次数是.........2.,这样的整式方程....就是一元二次方程。 一般表达式:)0(02 ≠=++a c bx ax 方程的解:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 直接开平方法:()m x m m x ±=?≥=,02 对于()m a x =+2 ,()()2 2 n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==?或 0”, ()()2 2n bx m ax +=+, ()()()()c x a x b x a x ++=++ ,0 22 2=++a ax x 例1.当k 时,关于x 的方程3 22 2+=+x x kx 是一元二次方程。 例2.已知3 22 -+y y 的值为2,则1 242 ++y y 的值为 例3.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必 有一根为 例4.解方程:();08212 =-x ()2 16252x -=0; ()();09132 =--x 例5.已知0 2322 2=--y xy x ,且0 ,0>>y x ,则 y x y x -+的值为

课堂同步: 1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A.() ()12132 +=+x x B. 2112 =-+ x x C.0 2 =++c bx ax D.122 2 +=+x x x 2.()()3532-=-x x x 的根为( ) A.2 5= x B.3=x C.3 ,2 521 == x x D.5 2= x 3.把方程(+(2x-1)2 =0化为一元二次方程的一般形式是( ) A.5x 2 -4x-4=0 B.x 2 -5=0 C.5x 2 -2x+1=0 D.5x 2 -4x+6=0 4.方程()()1231=+-x x 化为0 2 =++c bx ax 形式后,a 、b 、c 的值为( ) A.1,–2,–15 B.1,–2,–15 C.1,2,–15 D.–1,2,–15 5.当代数式x 2 +3x+5的值为7时,代数式3x 2 +9x -2的值是( ). A.4 B.0 C.-2 D.-4 6.关于x 的一元二次方程0 2=++m nx x 的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是 ( ) A.0 ,0==n m B.0 ,0≠=n m C.0 ,0=≠n m D.0 ,0≠≠n m 7.下列说法中: ①方程0 2=++q px x 的二根为1x ,2x ,则))((212 x x x x q px x --=++ ② )4)(2(862 --=-+- x x x x .③) 3)(2(652 2 --=+-a a b ab a ④ ) )()((2 2 y x y x y x y x -++=- ⑤方程0 7)13(2 =-+x 可变形为0 )713)(713(=- ++ +x x 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.以71+与71-为根的一元二次方程是( ) A.0 622 =--x x B. 622 =+-x x C. 622 =-+y y D.0 622 =++y y 9.方程7 82 =x 的一次项系数是 ,常数项是 10.关于x 的一元二次方程4)7(3)3(2-+=-y y y 的一般形式是 ;

一元二次方程综合测试题培优

一元二次方程培优训练 一部分 1.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= . 2.关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程,则=m ; 3.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长,且12)1)((2222=+++b a b a ,则这个直角 三角形的斜边长为 ; 4. 当_______=x 时,代数式2 1212--x x 的值为0 5. 已知:21=-m ,则关于x 的二次方程04)5()1(2=++-+x m x m 的解 是 ; 6. 方程x x =+2)32(的解是 ; 7.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= . 8.某食品连续两次涨价10%后价格是a 元,那么原价是_______ ___. 9.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为 1. 5 立方分米, 则铁片的长等于________,宽等于________. 10、2690y y +-+=则xy= 11、写出以4,-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 12、在一条线段上取n 个点,这n 个点连同线段的两个端点一共有(n+2)个点,若以这(n+2)个点中任意两点为端点的线段共有45条,则n= 13、方程0322=+x x 的根是 。 14、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式,则=m 。 15、已知两个数的差等于4,积等于45,则这两个数为 和 。 16、当____=m 时,关于x 的方程() ()021122=--+-x m x m 为一元二次方程。 17.(x -3)2=1的根是 .

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案) 一、一元二次方程 1.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数1y x =-,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数1y x =-的零点. 己知函数2 22(3)y x mx m =--+(m m 为常数). (1)当m =0时,求该函数的零点; (2)证明:无论m 取何值,该函数总有两个零点; (3)设函数的两个零点分别为1x 和2x ,且 12111 4 x x +=-,此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧),点M 在直线10y x =-上,当MA+MB 最小时,求直线AM 的函数解析式. 【答案】(1)当m =0时,该函数的零点为6和6-. (2)见解析, (3)AM 的解析式为1 12 y x =--. 【解析】 【分析】 (1)根据题中给出的函数的零点的定义,将m=0代入y=x 2-2mx-2(m+3),然后令y=0即可解得函数的零点; (2)令y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0即可; (3)根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标,个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时,直线AM 的函数解析式 【详解】 (1)当m =0时,该函数的零点为6和6-. (2)令y=0,得△= ∴无论m 取何值,方程 总有两个不相等的实数根. 即无论m 取何值,该函数总有两个零点. (3)依题意有, 由 解得 .

∴函数的解析式为. 令y=0,解得 ∴A( ),B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’,连结AB’, 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点. 易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C (10,0),D (0,10). 连结CB’,则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’(106-,) 设直线AB’的解析式为y kx b =+,则 20{106k b k b -+=+=-,解得112 k b =-=-, ∴直线AB’的解析式为1 12 y x =--, 即AM 的解析式为1 12 y x =- -. 2.李明准备进行如下操作实验,把一根长40 cm 的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2,李明应该怎么剪这根铁丝? (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2,你认为他的说法正确吗?请说明理由. 【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段;(2) 李明的说法正确,理由见解析. 【解析】 试题分析:(1)设剪成的较短的这段为xcm ,较长的这段就为(40﹣x )cm .就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可; (2)设剪成的较短的这段为mcm ,较长的这段就为(40﹣m )cm .就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确. 试题解析:设其中一段的长度为cm ,两个正方形面积之和为cm 2,则 , (其中 ),当 时, ,解这个方程,得 ,,∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段;

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