2. 如图，矩形 ABCD 中，M 、E 、F 三点在AD 上，N 是矩形两对角线的交点．若AB = 24，AD = 32，MD = 16，ED = 8，FD = 7，则下列哪一条直线是 A 、C 两点的对
2019 年清华附中新高一分班考试数学试题 真题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）
1.
下表为小洁打算在某电信公司购买一支 MA T 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月
租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月
的通话费均为 x 元，x 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才
会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？(
)
号码的月租费(元)
MA T 手机价格(元)
甲方案
400
15000
乙方案
600
13000
注意事项：以上方案两年内不可变更月租费
A. 500
B. 516
C. 517
D. 600
. .
.
.
.
.
称轴？( )
A. 直线 MN
B. 直线 EN
C. 直线 FN
D. 直线 DN
3.
如图，在正方形 ABCD 中，AB = 3，点 E ，F 分别在边 AB ，CD 上，∠EFD = 60°.若将
四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为(
)
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
4.
如图，抛物线y = ax 2 + bx + c 的对称轴是x = 1，下列结论：
①abc > 0；②b 2 ? 4ac > 0；③8a + c < 0；④5a + b + 2c > 0，
正确的有( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据
图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()
A.113
B.124
C.129
D.134
6.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋
转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JY
A.IC和I′A′平行，I I′和L平行
C.IC和I′A′不平行，I I′和L平行
B.IC和I′A′平行，I I′和L不平行
D.IC和I′A′不平行，I I′和L不平行
7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作
DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结
论：
①DN=BM；
②EM//FN；
③AE=FC；
④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连
接OM，则OM的最大值为()
A.√2+1
B.√2+1
2
C.2√2+1
D.2√2?1
2
9.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()
A.24√3?4π
B.12√3+4π
C.24√3+8π
D.24√3+4π
10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标
示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()
A.21
B.
542 C.
5
24 D.
7
48
7
11.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角
形．若A点坐标为(?3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()
A.(0,9)
2
B.(0,27)
2
C.(0,9)
D.(0,19)
12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()
A.1
B.2
C.2√3?2
D.4?2√3
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）
13. 如图，从一块半径为 1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形 ABC ，如果
将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.
14. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老
鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内
的线或点，模型如图，∠ABC = 90°，点 M ，N 分别在射线 BA ，BC 上，MN 长度始
终保持不变，MN = 4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA ，BC 的距离分别为 4 和2.在此
滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为______．
15. 设 A ，B ，C ，D 是反比例函数y = k 图象上的任意四点，现有以下结论：
x
①四边形 ABCD 可以是平行四边形；
②四边形 ABCD 可以是菱形；
③四边形 ABCD 不可能是矩形；
④四边形 ABCD 不可能是正方形．
其中正确的是______. (写出所有正确结论的序号)
16. 矩形纸片 ABCD ，长AD = 8cm ，宽AB = 4cm ，折叠纸片，使折痕经过点 B ，交 AD 边
于点 E ，点 A 落在点A′处，展平后得到折痕 BE ，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其
它线段．当图中存在30°角时，AE 的长为______厘米．
17. 已知二次函数y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x
y
?5
6 ?4
?2
?6
?4
2
6
下列结论：
①a > 0；
②当x = ?2时，函数最小值为?6；
③若点(?8, y 1)，点(8, y 2 )在二次函数图象上，则y 1 < y 2；
④方程ax 2 + bx + c = ?5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是______. (把所有正确结论的序号都填上)
18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = √3 + 2，AD = √3.把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的D′处，再将
△ AED′绕点 E 顺时针旋转α，得到△ A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F. A′D″交 AB 于点 G ，连接AA′.有如
下结论：①A′F的长度是√6?2；②弧D′D″的长度是5√3π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF.上述结论
12
中，所有正确的序号是______．
三、解答题（本大题共9小题，共46分）
19.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平
方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的
个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3．
5
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位
的最大费用．
20.如图，△ADE△由ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，
EC相交于点P．
(1)求∠BDE的度数；
(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：EP=PC．
PF CF
21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；
(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．
22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
y
…
…
?2
m
?1
?3
1
n
2
?3
…
…
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；
(2)求抛物线的表达式及m，n的值；
(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的
点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
(4)设直线y=m(m>?2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A
1
，A
2
，
A
3
，A
4
，请根据图象直接写出线段A
1
A
2
，A
3
A
4
之间的数量关系______．
23. 已知直线l 1：y = ?2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，
BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = ?2时，l 2//l 1；
(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = ?2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求
ABE △与 CEF 面
积之和的最小值．
24. 已知∠MPN 的两边分别与⊙ O 相切于点 A ，B ，⊙ O 的半径为 r ．
(1)如图 1，点 C 在点 A ，B 之间的优弧上，∠MPN = 80°，求∠ACB 的度数；
(2)如图 2，点 C 在圆上运动，当 PC 最大时，要使四边形 APBC 为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理
由；
(3)若 PC 交⊙ O 于点 D ，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含 r 的式子表示)．
25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们
的面积S
1，S
2
，S
3
之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究
(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△
BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S
1，S
2
，S
3
之间的关系式为______；
推广验证
(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD△，ACE△，BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE
上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．
26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,?2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M
为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 2
于点P.根据以上操作，完成下列问题．
探究：
(1)线段P A与PM的数量关系为______，其理由为：______．
(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标P的坐标…
…
(?2,0)
______
(0,0)
(0,?1)
(2,0)
(2,?2)
(4,0)
______
…
…
猜想：
(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．
验证：
(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
(5)如图3，点B(?1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y
D
的取值
范围．
27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好
为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否
成立？______.(填“是”或“否”)
拓展延伸：
(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，
请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x为400到600之间的整数，
∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，
甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．
由已知得：24x+15000>27400，
解得：x>5162，即x至少为517．
3
故选C．
由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，
∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，
∵AB=24，AD=32，
∴AC=√242+322=40，
∴AN=20，
∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，
∴△ANP∽△ADC，
∴AN=AP，
AD AC
即20=AP，
3240
解得，AP=25，
∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，
∴AF=AD?FD=32?7=25，
∴点P与点F重合．
故选C．
根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN
2a =1，可得b=?2a，
本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，
∴∠AEB′=180°?∠BEF?∠FEB′=60°，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3?x，
∴2(3?x)=x，
解得x=2．
故选：D．
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则
B′E=x，AE=3?x，由直角三角形的性质可得：2(3?x)=x，解方程求出x即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2?4ac>0，故②正确；
∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以?b
由图象可知，当x=?2时，y<0，即4a?2b+c<0，
∴4a?2×(?2a)+c<0，
即8a+c<0，故③正确；
由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=?1时，y=a?b+c>0，
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
5.【答案】D
【解析】解：连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=62°，∠C=51°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°?62°?51°=67°，
∴∠EAF=2∠BAC=134°，
故选：D．
连接AD，利用轴对称的性质解答即可．
此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
6.【答案】C
【解析】解：作I D⊥BA′于D，I E⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则
I D//I′F，
∵△ABC的内心为I△，A′B′C的内心为I′，
∴I D=I E=I F，∠I C D?1∠ACB，∠I′A′C=1∠B′A′C，
22
∴四边形I D FI′是矩形，
∴I I′//L，
∵∠A<∠B<∠C，
∴∠A′<∠B′<∠C，
∴∠I C D>∠I′A′C，
∴I C和I′A′不平行，
作I D⊥BA′于D，I E⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，由内心的性质得出I D=I E=I F，∠I C D=1∠ACB，∠I′A′C=
2
1∠B′A′C，证出四边形I D FI′是矩形，得出I I′//L，证出∠I C D>∠I′A′C，得出IC和I′A′不平行，即可得出结论．
2
本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
∠DAN=∠BCM
在DNA△和BMC中，{∠DNA=∠BMC，
△
AD=BC
∴△DNA≌△BMC(AAS)，
∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；
∠ADE=∠CBF
在ADE△和CBF中，{AD=BC，
△
∠DAE=∠BCF
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE=FC，DE=BF，故③正确；
∴DE?DN=BF?BM，即NE=MF，
∵DE//BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM//FN，故②正确；
∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ABD=90°?∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个，
故选：D．
证DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE=FC，
△
DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边
形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC=1，
∴C在⊙B的圆上，且半径为1，
取OD=OA=2，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=1CD，
2
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
360 4 3 2 3 ∴ BD = 2√2，
∴ CD = 2√2 + 1，
∴ OM = 1 CD = √2 + 1，即 OM 的最大值为√2 + 1；
2
2 2
故选：B ．
根据同圆的半径相等可知：点 C 在半径为 1 的⊙ B 上，通过画图可知，C 在 BD 与圆 B 的交点时，OM 最小，在
DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定 OM 为最大值是点 C 的位置是关键，也是难
点．
9.【答案】A
【解析】解：设正六边形的中心为 O ，连接 OA ，OB ．
由题意，OA = OB = AB = 4，
∴ S 弓形AmB = S
扇形OAB
? △?? AOB = 60?π?42
? √3 × 42 = 8 π ? 4√3，
∴ S 阴 = 6 ? (S 半圆 ? S
弓形AmB ) = 6 ? (1 ? π ? 22 ? 8 π + 4√3) = 24√3 ? 4π，
故选：A ．
设正六边形的中心为 O ，连接 OA ，OB 首先求出弓形 AmB 的面积，再根据S 阴 = 6 ? (S 半圆 ? S 弓形AmB )求解即可．
本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
10.【答案】D
【解析】解：如图，设△ ADE △，
BDF ，△ CEG ，平行四边形 DEGF 的面积分别为S 1，S 2，S 3和 S ，
过点 D 作DH//EC ，则由 DFGE 为平行四边形，易得四边形 DHCE 也为平行四边形，从而△ DFH≌△ EGC ，
∴ △?? DFH = S 3，
∵ DE//BC ，
∴△ ADE∽△ ABC ，DE = 3，BC = 7，
49
×14，
1
3
49
×14，
∵△??
ABC
=14，
∴S
1
=9
∴
△
??
BDH
：S=(
2
×4)：3=2：3，
∴△??
BDH
=2S，
∴2S+S=14?
3
∴S=48．
7
9
故选：D．
如图，设△ADE，△BDF△，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，
过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．
本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．
11.【答案】B
【解析】解：设B(?3?m,2)，C(?3+m,2)，(m>0)
∵A点坐标为(?3,0)，
∴BC=2m，
∵△ABC为正三角形，
∴AC=2m，∠DAO=60°，
∴m=
2√3
3
2
∴C(?3+√3,2)
3
设抛物线解析式y=a(x+3)2，
a(?3+2√3+3)2=2，
3
∴a=3，
2
∴y=3(x+3)2，
2
= 1 2 2
故选：B ．
设B(?3 ? m, 2)，C(?3 + m, 2)，(m > 0)，可知BC = 2m ，再由等边三角形的性质可知C(?3 + 2 √3, 2)，设抛物线
3
解析式y = a(x + 3)2，将点 C 代入解析式即可求 a ，进而求解；
本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题
的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，
连接 PF ，QF ，PC ，QC ，
∵ P 、Q 两点分别为△ ACF △
、 CEF 的内心，
∴ PF 是∠AFC 的角平分线，FQ 是∠CFE 的角平分线，
∴ ∠PFC = 1 ∠AFC = 30°，∠QFC = 1 ∠CFE = 30°，
2
2
∴ ∠PFC = ∠QFC = 30°，
同理，∠PCF = ∠QCF
∴ PQ ⊥ CF ，
∴△ PQF 是等边三角形，
∴ PQ = 2PG ；
△易得 ACF≌△ ECF ，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴ AC = 2√3，AF = 2，CF = 2AF = 4，
∴ △?? ACF = 1 AF × AC = 1
× 2 × 2√3 = 2√3，
过点 P 作PM ⊥ AF ，PN ⊥ AC ，PQ 交 CF 于 G ，
∵点 P △是 ACF 的内心，
∴ PM = PN = PG ，
∴ △?? ACF = △?? PAF + △?? PAC + △?? PCF
1 1 1
= AF × PM + AC × PN + CF × PG
2 2 2 1 1 × 2 × PG + × 2√
3 × PG + ×
4 × PG
2 2 2
3+√3=√3?1
=(3+√3)PG
=2√3，
∴PG=
2√3
∴PQ=2PG
=2(√3?1)
=2√3?2．
故选：C．
先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然
后计算出PQ即可．
此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．
13.【答案】1
3
【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：120π×1，
180
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr=120π×1，
180
解得，r=1，
3
故答案为：1．
3
求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
14.【答案】2√5?2
【解析】解：如图，连接BE，BD．
由题意BD=√22+42=2√5，
∴BE=1MN=2，
2
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2√5?2．
故答案为2√5?2．
如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD?BE求解即可．
本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】①④
【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为①④，
如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是
平行四边形即可解决问题．
本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8?4√3