2013级
一、填空题（每小题4分，总计40分 ）
1.函数23(,,)f x y z x y z =++在点(1,1,1)P 沿方向(2,2,1)l =-的方向导数是 ，梯度是 ,函数u 在P 点沿 方向具有最大增长率。
2.函数2(,)()y f x y e x y =+在点 取得极 （大或小）值。
3.设 :0,01,D x y y ≤≤≤≤则2D
dxdy =??_________。
4.3(2)x y z dxdydz Ω
++=???_________，其中Ω是球体2222x y z R ++≤。
5.设一物质曲面∑，其面密度为),,(z y x ρ，用曲面积分表达该曲面对z 轴的转动惯量z I = 。
6.曲线22
:143
x y L +
=，设椭圆周长为a ,则22(342)L x y xy ds ++=? 。
7.交换积分次序2
1
2(,)x
dx f x y dy -?= 。
8. 曲面3z e z xy -+=在点()2,1,0处的切平面方程为 。 9. 设∑是抛物面228()z x y =-+在xOy 面上方部分的上侧，把对坐标的曲面积分
(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
∑
++??化为对面积的曲面积
分 。
10. 曲面222:1,0,0,0x y z x y z ∑++=≥≥≥,则dS y x ??∑
-)(= 。 二、选择题（每小题 3分，总计9分 ） 1.设L 是曲线2x y +=，逆时针方向为正，则d d L ax y by x
x y
-=+?
。
(A) 4()a b +；(B) 8()a b +；(C) 4()a b -；(D) 8()a b -。
2.设曲线积分4124(4)(65)p p L
x xy dx x y y dy -++-?与路径无关，则p = 。
(A) 1；(B) 2；(C) 3；(D) 4。
3.设曲面:1x y z ∑++=，则曲面积分
()x y z dS ∑
+
+
??=
。
(B)
(C) (D) 。 三、解答下列各题（每小题6分，总计36 分 ）
1.证明曲线cos sin x a t y a t z bt =??
=??=?
的切线与z 轴成定角，其中,a b 是常值。
2.计算二重积分22
D
x dxdy y
??
，其中D 是2
2,1,2xy y x x ==+=所围的区域。 3.求球面2221x y z ++=含在柱面22x y x +=内部的那部分面积。
4. 计算曲线积分()ln y
y L e I y
dx e xdy x
=++?，其中L 在半圆周1x =上从点()1,0A 到点()1,2B 的一段弧。 5. 计算y ds Γ
?，其中?
?
?==++Γy x z y x 2
:
222。
6.设物体Ω是由上半球面z =和抛物面22z x y =+所围的闭区域，物体的密度为(,,)x y z z ρ=，求该物体的质量。
四、（7分）在椭圆2244x y +=上求一点，使它到直线2360x y +-=距离最短。
五、（8分）求速度场222v xz i yx j zy k =+
+穿过曲面∑流向上侧的流量，其中∑为上半球面z =
12级
一、填空（每小题4分，共40分）
1、设函数by xy ax x y x f -++=222),(在点（1，-1）处取得极值，则a = ，
b = 。
2、函数32yz y x z y x f +=),,(在点),,(102处沿方向},,{221=l 的方向导数是 。
3、曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的法线方程是 。
4、设D 是由直线12
1
00=+=
+==y x y x y x ,,,所围成，则下列二重积分??????+=
+=
+=
D
D
D
d y x I
d y x I
d y x I σσσ2
3
2
1)
(,)ln(,)(的值按大小排列次序
是 。 5、交换积分次序?
?x x dy y x f dx 2
210
),(= 。
6、光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xOy 上的投影区域为D ，则该曲面的面积可以用二重积分表示为 。
7、L 为椭圆1342
2=+y x ，则?L
xyds 2= 。 8、若),(y x f 具有连续的二阶偏导数，L 为122=+y x 逆时针方向，则
?
='+'+L
y x dy y x f dx y x f y ),()],([3 。
9、物体由曲面226y x z --=与)(222y x z +=所围成，其上各点处的密度为)(222z y x f ++，则该物体对z 轴的转动惯量在柱面坐标下的累次积分为__________________ __________。
10、曲面0001≥≥≥=++∑z y x z y x ,,,:,则dS y x ??∑
-)(= 。
二、选择题 (每小题3分，共9分) 1、平
面区域
{}
,|),{(},,|),(a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=01，则
??=+D
dxdy y x xy )sin cos (（ ）
??+1
2D dxdy y x xy A )sin cos (. ??1
2D y d x d
y x B s i n c o s . ??1
2D xydxdy C . 0.D
2、设,?
+-=L y x ydx
xdy I 2
2则以下结论正确的是（ ）
A ．对任意闭曲线L ，有0=I ；
B ．对任意闭曲线L ，有0≠I ；
C ．若L 是不含原点的闭区域的边界曲线，则0=I ；
D ．在L 含原点时0=I ；L 不含原点时0≠I 。
3、设∑是分片光滑闭曲面的外侧，所围成空间区域的体积为V ，则下列各积分的值不等于V 的是（ ）
??∑++++dxdy z ydzdx dydz x A )()(.
2131
??∑
-+
y d x d y z d z d x x d y d z B . ??∑
-++dzdx y dydz x C )()(.1521
??∑
-++-d x d y z y d z d x d y d z x D )()(.
12131
三、计算题(每小题6分，共30分)
1、在曲线???
??===3232t z t y t
x 上求点，使该点处曲线的切线平行于平面12918=++z y x 。
2、计算二重积分??-D
y d e x σ2
2，其中D 是以),(),,(),,(101100为顶点的三角形区
域。
3、求
dv z ???Ω
sin ，Ω由π=+=
z y x z ,22围成的闭区域。
4、计算?Γ
yds ，其中?
?
?==++Γy x z y x 2
:222。
5、计算曲线积分?-L
ydx xdy ,2其中L 是正向圆周222=+y x 在第一象限中的
部分。
四、(7分) 已知某制造商的Cobb-Douglas 生产函数是4
14
3100),(y x y x f = ，x 代表劳动力的数量，y 为资本数量。若每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元，该制造商的总预算是50 000元。问他该如何分配这笔钱于雇
用劳动力与资本，以使生产量最高。
五、(7分) 求密度为常数μ的均匀半球壳:∑222y x a z --=的质量及质心。
六、(7分) 利用高斯公式计算曲面积分??∑
+=dxdy yzdzdx I 2，其中∑为上半
球
面224y x z --=的上侧。 11级
一、
填空（每小题4分，共40分）
1、曲面1232222=++z y x 在点()1,2,1-处的切平面方程为 .
2、求()xz y x z y x f ++=2
,,在()1,0,1沿方向→
→
→
→
+-=k j i l 22的方向导数
为 .
3、函数)2(),(2
y y x e y x f x ++=的驻点为 . 4、设积分区域D 为2
2
14x y ≤+≤, 2D
dxdy =?? .
5、设Ω是由球面222y x z --=
与锥面22y x z +=所围的立体，则三重积分
dxdydz z y x f ???
Ω
++)(222在球面坐标系下的三次积分表达式
为 .
6、设一物质曲面∑，其面密度为),,(z y x ρ，用曲面积分表达该曲面对y 轴的转动 惯量=y I .
7、曲线1:22=+y x L ，则=++?
ds xy y x L
)2(22 .
8、设L 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,则曲线积分
?-+++-L
dy x y dx y x )635()42(= .
9、均匀上半球面222y x a z --=
的形心坐标为 .
10、设L 是正方形1≤+y x 的正向边界，则
?+-L
y x ydx
xdy 22= . 二、选择题 (每小题4分，共16分)
1、二重积分
??
D
y x f σd ),(（D 由圆y y x 222=+围成的区域）化成极坐标系下的累次
积分的结果是 .
A
．
?
?
?π
ρρ?ρ?ρ?sin 20
d )sin ,cos (d f
B ．?
??π
ρρ?ρ?ρ?cos 20
d )sin ,cos (d f
C ．?
??π
ρρ?ρ?ρ?sin 20
20
d )sin ,cos (d f D ．?
??π
ρ?ρ?ρθsin 20
d )sin ,cos (d f
2、 已知
2
)()(y x ydy
dx ay x +++是某函数的全微分,则a = .
A. π
B. 2
C. 0
D. 2-
3、设L 为xOy 面内直线段
d y c a x ≤≤=,，则
()=?L
dx y x P , .
A. a
B. c
C. 0
D. d
4、设)0,0,0(:),0(:222212222≥≥≥≤++Ω≥≤++Ωz y x a z y x z a z y x ，则下列选项中正确的是 .
A. ??????Ω
Ω=1
4xdV xdV B. ??????Ω
Ω=1
4ydV ydV
C. ??????Ω
Ω=1
4zdV zdV
D. ??????Ω
Ω++=++1
)(4)(dV z y x dV z y x
三、计算题(每小题7分，共28分) 1、计算积分dy e dx x
y ??-2
2
2
的值。
2、立体Ω由抛物面222y x z +=和2226y x z --=所围成，求该立体的体积。
3、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=截下部分曲面的面积。
4、求在力z x y +-=的作用下，质点由点)0,0,(a A 沿曲线
bt z t a y t a x ===Γ,sin ,cos :到点)2,0,(b a B π所做的功。
四、（8分）将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
五、（8分）计算
??∑
+++++dxdy z y x z dzdx z x zdydz y 2
2223)(sin ，其中224:y x z --=∑ 的上侧。
高等数学下册第十二章习题答案详解 1．写出下列级数的一般项: (1)1111357 ++++ ； 2 242468 x x +++????； (3) 3579 3579 a a a a -+-+. 解：(1)1 21 n U n = -； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和: (1) 23 111555+++； (2) 1 1 (1)(2) n n n n ∞=++∑； (3) 1 n ∞ =∑. 解：(1) 因为21115551115511511145n n n n S = +++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4n n S →∞ = ，即级数的和为14 ． (2)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??
从而()()()()()()()()()()()()()()1111121121223111111 1211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ? -+-= +++++++?? + + - ? +-++++? ?? -= ?++++? ? 因此( ) 1lim 21n n S x x →∞ = +，故级数的和为 () 1 21x x + (3) 因为 n U = - 从而 ( 11n S n =-+-+-++-+=-= 所以lim 1n n S →∞ =1 3．判定下列级数的敛散性: (1) 1 n ∞ =∑； (2)1111 166111116 (54)(51) n n + +++ + ???-+； (3) 231232222(1)3333n n n --+-+-+； (4)1155 n ++. 解：(1) (11 n S n =++++= 从而lim n n S →∞ =+∞，故级数发散． (2) 111111 1115661111165451111551n S n n n ?? = -+-+-++ - ?-+?? ??=- ?+?? 从而1lim 5 n n S →∞= ，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为2 3 q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．
第十二章 微分方程 1、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2"2'0,x y y y y x e -+==； 不是 （2）12121212"()'0,x x xy y y y C e C e λλλλλλ-++==+； 不是 （3）2 ()"''2'0,ln().xy x y xy yy y y xy -++-== 是 2、给定一阶微分方程 2dy x dx =， （1）求出它的通解； 解：方程两端积分得通解为 2 y x C =+ （2）求通过点（1，4）的特解； 解：将1 4x y ==带入通解解得 3C =,故所求特解为 23y x =+ （3）求出与直线23y x =+相切的解； 解：设切点为00(,)x y ，则有0002223x y x =?? =+?，解得00 1 5x y =??=?，带入通解解得 4C =, 故所求特解为 2 4y x =+ （4）求出满足条件1 2ydx =? 的解。 解：由 1 20 2x Cdx +=? 得53C =, 故所求特解为 2 53 y x =+ 3、 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1） 曲线在点(,)x y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方； 解：由已知得方程为 2dy x dx = （2） 曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分。 解：由已知Q 点的坐标为(,0)x -, 所以 1 2' y x y =-，整理得方程为 '20y y x += 4、 求下列微分方程的解： （1）'ln 0xy y y -=；
解：分离变量得 ln dy dx y y x =，两端积分得 1ln ln ln ln y x C =+， 整理得cx y e =，1()C C =± （2）2 ''(')y xy a y y -=+； 解：分离变量得 21dy dx ay x a =--，两端积分得 11 ln 1x a C ay -=---+ 整理得1 ln 1y a x a C = --+，1()C aC =- （3）2 31dy y dx xy x y +=+； 解：分离变量得 221(1) ydy dx y x x =++， 两端积分得 22111 ln(1)ln ln(1)ln 22 y x x C +=-++， 整理得2 2 2 (1)(1)x y Cx ++=，2 1C C =，即2 2 2 11Cx y x = -+ （4）230x y dy e dx y ++=； 解：方程变形为 2 3y x dy e e dx y =-, 分离变量得 23x y ydy e dx e =-， 两端积分得 2311123y x e e C -=+，化简得 2312 ,(2)3 y x e e C C C -=+= （5）2 (1)0,1x y dx x dy y =++==。 解：分离变量得 21dy dx y x =-+，两端积分得通解为 1ln 1x C y =++，将0 1x y == 带入通解得1C =，故所求特解为 1 ln 11 y x = ++ 5、 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。 解：由已知的微分方程为2'3x y y x y =? =-? ? ?=? ，
习题十二 1．写出下列级数的一般项： (1) 1111357++++L ； (2) 2242468 x x ++++????L ； (3)3579 3 579a a a a -+-+L ； 解：(1) 1 21n U n = -； (2) ()2 !!2n n x U n = ； (3) () 21 1 121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1) ()()() 1 1 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑； (2) 1 n ∞ =∑； (3)2311155 5+++L ； 解：(1) ()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 从而 ()()()()()()() ()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ? -+-= +++++++?? ++- ?+-++++??? -= ?++++??L 因此 ()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()1 21x x + (2) 因为 n U =-
从而 11n S =-+-+-++-=-=+-L 所以lim 1n n S →∞ = 1 (3)因为 21115551115511511145n n n n S =+++????-?? ???? ?=-????=-?? ?????L 从而 1lim 4n n S →∞= ，即级数的和为14． 3．判定下列级数的敛散性： (1) 1 n ∞ =∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+L L ； (3) ()231332222133 33n n n --+-++-L L ； (4)15+++L L ； 解： (1) 1 n S =+++=L 从而lim n n S →∞ =+∞ ，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ??=-+-+-++- ? -+????=- ?+??L 从而 1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为1 5． (3)此级数为23q =- 的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4) ∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．
第十二章无穷级数 习题12-1 1.写出下列级数的前五项 （1） 2 1 1 1 n n n ∞ = + +∑ （2）113(2n1) 242 n n ∞=- ∑ （3） 1 1 (1) 5 n n n -∞ = -∑ （4）1! n n n n ∞ = ∑ 2.写出下列级数的的一般项 （1） 111 1 357 ++++ （2）23456 12345 -+-+- （3） 2 2242462468 x x x x x ++++ （4） 2345 3579 a a a a -+-+ 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性 （1）1(1) n n n ∞ =+- ∑ （2） 1111 133557(2n1)(2n1) +++++ -+ （3） 2 sin sin sin 666 n πππ ++++ 4.判定下列级数的收敛性 （1） 23 23 8888 (1) 9999 n n n -+-++-+ （2）1111 3693n +++++
（3）311113333n +++++ （4）232333332222n n +++++ （5）223311111111 ()()()()23232323n n ++++++++ 5.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性 （1）1 1 (1)n n n +∞ =-∑ （2） 11111 123456+ -++-+ （3）1sin 2n n nx ∞ =∑ （4）0111 ( )313233n n n n ∞ =+-+++∑ 习题 12-2 1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性 （1）1111++++35n + （2-1） （2）222 12131112131n n +++++++++++ （3）1112536(n 1)(n 4)++++++ （4） 2 3 sin sin sin sin 2 222n π π π π +++++ （5）11 (a 0)1n n a ∞ =>+∑ 2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性 （1）232333*********n n n +++++????
第十二章 无穷级数 习题 12-1 1.写出下列级数的前五项 （1）2 111n n n ∞ =++∑ （2）113(2n 1)242n n ∞ =-∑ （3）11(1)5n n n -∞ =-∑ （4）1!n n n n ∞ =∑ 2.写出下列级数的的一般项 （ 1）1111357++++ （2 ） 234561234 5-+-+- （3） 2 242468x x x x +++ （4 ）23453 579a a a a -+ -+ 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性 （1）1 n ∞ =∑ （2）1111 133557 (2n 1)(2n 1) +++ + + -+ （3） 2sin sin sin 66 6 n π π π++++ 4.判定下列级数的收敛性 （1）23238888(1)99 99 n n n -+-+ +-+ （2） 1111 3693n ++++ +
（3 ）13 3 n ++++ + （4） 232333332222 n n +++++ （5）223311111111 ()()()( )23 232323n n ++++++ ++ 5.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性 （1）1 1 (1)n n n +∞ =-∑ （2） 11111123456+-++-+ （3）1sin 2n n nx ∞ =∑ （4）0111 ( )313233n n n n ∞ =+-+++∑ 习题 12-2 1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性 （1）1111++++35n +（2-1） （2）222 12131112 131n n +++++++++++ （3） 111 2536(n 1)(n 4) +++ + ++ （4） 2 3 sin sin sin sin 2 222n π π π π +++++ （5）11 (a 0)1n n a ∞ =>+∑ 2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性 （1） 23 2333331222322n n n +++++????
《高数》下册第十二 章练习题
第十二章无穷级数 习题 12-1 1.写出下列级数的前五项 （1） 2 1 1 1 n n n ∞ = + +∑ （2）113(2n1) 242 n n ∞=- ∑g g L g g g L g （3） 1 1 (1) 5 n n n -∞ = -∑ （4）1! n n n n ∞ = ∑ 2.写出下列级数的的一般项 （1） 111 1 357 ++++L （2）23456 12345 -+-+-L （3 ） 2 2242462468 x x ++++L g g g g g g （4） 2345 3579 a a a a -+-+L 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性 （1 ）1n ∞ =∑ （2） 1111 133557(2n1)(2n1) +++++ -+ L L g g g g （3） 2 sin sin sin 666 n πππ ++++ L L 4.判定下列级数的收敛性
（1）23238888(1)9999n n n -+-++-+L L （2）1111 3693n +++++L L （3 ）13+++L L （4）232333332222n n +++++L L （5）223311111111()()()()23232323n n ++++++++L L 5.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性 （1）1 1(1)n n n +∞ =-∑ （2）11111123456+-++-+L （3）1sin 2n n nx ∞ =∑ （4）0111 ( )313233n n n n ∞ =+-+++∑ 习题 12-2 1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性 （1）1111++++35n +L L （2-1） （2）222 12131112131n n +++++++++++L L （3）1112536(n 1)(n 4)++++++L L g g （4） 2 3 sin sin sin sin 2 222n π π π π +++++L L （5）11 (a 0)1n n a ∞ =>+∑
习 题十二 1．写出下列级数的一般项： (1) 1111357++++L ； (2) 22242462468 x x ++++??????L ； (3)3579 3 579a a a a -+-+L ； 解：(1) 1 21n U n = -； (2) ()2 !!2n n x U n = ； (3) () 21 1 121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1) ()()() 1 1 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑； (2) 1 n ∞ =∑； (3)2311155 5+++L ； 解：(1) ()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 从而 ()()()()()()() ()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ? -+-= +++++++?? ++- ?+-++++??? -= ?++++??L 因此 ()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()1 21x x + (2) 因为 n U =-
从而 11n S =-+-+-++-==+L 所以lim 1n n S →∞ = ，即级数的和为1- (3)因为 21115551115511511145n n n n S =+++????-?? ???? ?=-????=-?? ?????L 从而 1lim 4n n S →∞= ，即级数的和为14． 3．判定下列级数的敛散性： (1) 1 n ∞ =∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+L L ； (3) ()23133222213333n n n --+-++-L L ； (4)15+++L L ； 解： (1) 1 n S =+++=L 从而lim n n S →∞ =+∞ ，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ??=-+-+-++- ? -+????=- ?+??L 从而 1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为1 5． (3)此级数为23q =- 的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4) ∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． 4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：
山东建筑大学高数下学期作业第章12作业和练习题答案
第十二章 微分方程 1、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2"2'0,x y y y y x e -+==； 不是 （2）121 2 12 1 2"()'0,x x xy y y y C e C e λλλλλλ-++==+； 不是 （3）2 ()"''2'0,ln().xy x y xy yy y y xy -++-== 是 2、给定一阶微分方程2dy x dx =， （1）求出它的通解； 解：方程两端积分得通解为 2y x C =+ （2）求通过点（1，4）的特解； 解：将1 4 x y ==带入通解解得 3 C =,故所求特解 为 23 y x =+ （3）求出与直线23y x =+相切的解； 解：设切点为0 (,)x y ，则有0 00 22 23x y x =?? =+? ，解得00 1 5 x y =??=? ，带入通解解得 4C =, 故所求特解为 2 4y x =+ （4）求出满足条件1 2ydx =?的解。
解：由12 2 x Cdx +=? 得53 C =, 故所求特解为 25 3 y x =+ 3、 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1） 曲线在点(,)x y 处的切线斜率等于该点横坐 标的平方； 解：由已知得方程为2 dy x dx = （2） 曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ， 且线段PQ 被y 轴平分。 解：由已知Q 点的坐标为(,0)x -, 所以 1 2' y x y =-， 整理得方程为 '20 y y x += 4、 求下列微分方程的解： （1）'ln 0xy y y -=； 解：分离变量得 ln dy dx y y x =，两端积分得 1 ln ln ln ln y x C =+， 整理得cx y e =，1 ()C C =± （2）2 ''(') y xy a y y -=+； 解：分离变量得 21dy dx ay x a = --，两端积分得 11 ln 1x a C ay - =---+ 整理得1 ln 1y a x a C =--+，1 ()C aC =-
习题 12.1 1. 判断下列方程是几阶微分方程: ;)1(2y x dx dy += ;042)2(2 =+-?? ? ??x dx dy dx dy x ;052)3(3 22=+?? ? ??-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+. 解 (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4) 是二阶非线性微分方程. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2xy y '=，25y x =； （2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-； （3）20y y y '''-+=，2e x y x =； （4）2()0xy x y yy ''''++=，y x =． 解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是; (4) 不是二阶非线性微分方程. 3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程 0sin 2cot =--x x x y dx dy 的通解, 并求满足初始条件0| 2 == π x y 的特解. 解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得 dx dy ,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和 dx dy 代入方程左边得 x x x y dx dy sin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02 ==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中， 得C +=402 π .4 2 π-=C 从而所求特解为 .s i n 422x x y ??? ? ??-=π 4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程. (1) 一曲线通过原点，并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分. 解：由题意， 2y x y '=+，0 0x y ==