c b a H
G
F
E
D C
B A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b a b
c c b
a
E
D C
B
A
勾股定理知识点汇总
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221
422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++
所以2
2
2
a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
222a b c +=
３.勾股定理的适用范围
，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 ４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c =，b =，a =
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角
形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；
② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边
的三角形是锐角三角形；
③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足
222
为斜边 ６.勾股数
满足a 2 + b 2= c 2
的三个正整数，称为勾股数。
③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
７．勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
９.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：
A
B
C
30°D C B
A A
D
B C
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
经过证明被确认正确的命题叫做定理
如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理
考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的
关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2
、S3，
则它们之间的关系是（）
A. S1- S2= S3
B. S1+ S2= S3
C. S2+S3< S1
D. S2- S3=S1
4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面
积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．
2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）
A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍
5、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
S3
S2
S1
A 、2n
B 、n+1
C 、n 2
－1
D 、1n 2+
7、在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）
A. 222a b c +=
B. 222a c b +=
C. 222c b a +=
D.以上都有可能 8、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m
B 、36 2c m
C 、482c m
D 、602c m
9、已知x 、y 为正数，且│x 2
-4│+（y 2
-3）2
=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角
三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A 、5
B 、25
C 、7
D 、15
考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰
中，
，
是底边上的高，若
.
求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6
B. 2，3，4
C. 11，12，13
D. 8，15，17 2、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）
A 、2∶3∶4
B 、3∶4∶6
C 、5∶12∶13
D 、4∶6∶7 3、下面的三角形中：
①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ； ②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5； ④△ABC 中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4、若三角形的三边之比为
222
，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形
5、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2
)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
7、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222
a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。
8、△ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为 ，此三角形为 。
例3：求
（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。
考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种
活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ,面积为
考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米
3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如
果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，
或“小于”）
4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；?
另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离
相等，试问这棵树有多高？
8
C
A
D
B
B
C
8米 2米
8米
第6题图
5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .
6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树
梢，至少飞了 米．
7、如图所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北方走到5km 处往东一拐，仅1km?就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离
是多少？
考点七：折叠问题
1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点C 落在A 边上上的点E ，折痕为AD ，连接DE ，则CD 等于（ ） A.
425 B. 322 C. 4
7 D.3 2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC?于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．
3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
60 120
140
B
60
A
C
4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积
5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点F重合，那么折叠后DE的长是多少？
6、如图，在长方形ABCD中，将?ABC沿AC对折至?AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长
7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知
CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．
8、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=?3，BC=7，
重合部分△EBD的面积为________．
9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。
A
B C
E
D
10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，?则折叠后痕迹EF的长为（）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
2-5
11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.
12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、
AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
考点八：应用勾股定理解决勾股树问题
1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的
正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为
4
3
12
13
B
C
D
A
2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt △ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．
考点九、图形问题
1、如图1，求该四边形的面积
2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的
长为．
3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由
.
4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面
的长为h㎝，则h的取值范围。
5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA?垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
考点十：其他图形与直角三角形
如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
考点十一：与展开图有关的计算
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，
则最少要爬行 cm
3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄
A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
考点十二、航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。
3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h 的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
A
B
D
B
C
A
北
C
考点十三、网格问题
1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A ． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
B
C
A
A B
C
C
（图1） （图2） （图3）
4
、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3
（在图甲中画一个即可）； ②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．
甲
乙
培优题
一、选择题
1.一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( )
A. 12cm
B.
C.
D.
2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）
A.
5
2
B.3
C.3+2
D.33+ 3、下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ） A 、三个角的比为1:2:3 B 、三条边满足2
a =2
b －2
c
C 、三条边的比为1:2:3
D 、三个角满足关系∠B=∠C ＋∠A 4、下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（ ）
①、9,12,15 ②、13,12,6 ③、9,12,14 ④12,16,20 A 、①④ B 、①② C 、③④ D 、②④
5、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）．
A ．h ≤17cm
B ．h ≥8cm
C ．15cm ≤h ≤16cm
D ．7cm ≤h ≤16cm
6、△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC 的长为（ ） A. 14 B. 14或4 C. 8 D. 4和8
7、△ABC 中，∠C=90°，若AB ＝5，则2AB +2
AC +2BC =（ ）
A ．10 B.15 C.30 D.50
8、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长（ ） 1 A 、120 B 、121 C 、132 D 、123
9、一个三角形的三边分别是m 2+1,2m,m 2
-1,则此三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
10、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．14 C ．7 D ．7或25
二、解答题
1、如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，求水池的深度AC.
2、如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1
=，那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？
3、如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F 。①求CE 的长；②求折痕AE 的长和重叠部分△AEF 的面积
4、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
5、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
6、变式2、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究2
2
2
BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
8、变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.
9、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）
10、变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
11.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.
12.如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
13、如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证：PC
PB
AP
AB?
=
-2
2
14、在正方形ABCD中，E是AD的三等分点，
FC
DF
=
7
2
，BE与EF垂直吗？请说明理由。
A
B
小河
北
牧童
小屋
A
B
P
C
15、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为BC=6m,AC=8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。．（图2，图3备用）
16、请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得
x= 5。由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）
17、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使顶点A与顶点C重合在一起，EF为折痕。若AB=9，BC=3,。
（1）求BF的长（2）求EF的长
18、如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AN=AC，BM=BC，求MN的长度
P
M
B
C A
19、如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求DE的长
20、如图，已知：?
=
∠90
C，CM
AM=，AB
MP⊥于P．求证：2
2
2BC
AP
BP+
=．
21、探索与研究
（方法1）如图：对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
（方法2）如图是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
22、已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
23．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
24、如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以710千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
25、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
26、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且
3
2
=
EFGH S 正方形。求：a b -的值。
27、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。 （1）说明：222EF CF BE =+ )若BE=12,CF=5，试求DEF ?的面积。
28、如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.
⑴若点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,若4
15AQ =时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？ H
G
F
E F
E
A
D
C
A
B
29、已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC与∠DCB互余，求BD2+CE2的值
30、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
31、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
B
E
C
D
勾股定理培优练习集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
勾股定理 【知识点】1、勾股定理__________________________________________________________________ 2、勾股定理逆定理_____________________________________________________________________ 【基础练习】 1．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 3．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=20，点M，N在边OB上，PM=PN．若MN=6，则OM=（） A．4 B．5 C．6 D．7 第1题第3题第5题第6题 4．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（） A．3个B．4个C．5个D．6个 5．（2015?石家庄模拟）图1是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 6．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 7．下列命题中，是假命题的是( )． A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 8．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米． 第8题第9题第10题 9．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= ． 10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度． 【例题讲解】 例1、）阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 错解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4…（1）， ∴c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）…（2）， ∴c2=a2+b2 (3) 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号． （2）错误的原因是． （3）本题正确的结论是． 例2．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 例3、我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
WORD格式 . 专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题 1.如图，在△ABC中，AB=AC， （1）若P为边BC上的中点，连结 22 AP，求证：BP×CP=AB-AP； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由； A B C P （3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论 A . B C P （二）最值问题 2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是
A D E P 3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点， B C . 专业资料整理
WORD格式 . 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1） 求证：△AMB≌△ENB； A D （2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； N E M C B C ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； A D N E M B C C （3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长. A D N E M B C C
4.问题：如图①，在ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的. 专业资料整理
WORD格式 . 长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD的长为； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长． A A B D C B D C 图①图②
2018年八年级数学下册勾股定理期末专题培优复习 一、选择题： 1、下列各组数中，以a，b，c为三边的三角形不是直角三角形的是（） A.a=1.5，b=2，c=3 B.a=7，b=24，c=25 C.a=6，b=8，c=10 D.a=3，b=4，c=5 2、下列命题中是假命题的是( ) A.△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形 B.△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形 C.△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形 D.△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形 3、如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式( ) A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a 4、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 5、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（） A.4 B.8 C.2 D.4 6、若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（） A.20 B.30 C.40 D.60 7、如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A.﹣1﹣ B.1﹣ C.﹣ D.﹣1+ 8、如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（） A.6 B. C.2π D.12 9、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.9 10、如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（） A.52 B.42 C.76 D.72 11、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( ) A.(11－2)米 B.(11－2)米 C.(11－2)米 D.(11－4)米 12、如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )
人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一．选择题（共8小题） 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（） A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm2 3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（） A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对4．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（） A．30°B．90°C．30°或60°D．30°或90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（） A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算 6．为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直
角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为 ．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（） A．分类讨论思想B．方程思想 C．类此思想D．数形结合思想 7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（） A．9B．36C．27D．34 8．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（） A．12B．15C．20D．30 二．填空题（共6小题） 9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是．10．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形． 11．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为．
八年级数学勾股定理培优（月日） 一、根据对称求最小值 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。1．已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。 2．已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的 长度和最短，则此时AM+NB=（） A．6B．8 C．10 D．12 4．已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值 5．如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，则EM+BM的最小值为． 7．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2 B．2 6C．3 D．6 9．在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10．在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长. 二、几何体展开求最短路径 1．如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？2．如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 3．如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？ (建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙) 4．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 5.如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。 三、折叠问题 1．如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm， BC=10cm，求EF的长。 2．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处；（1）求证：B'E=BF；
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题 二. 填空题(共5小题) 11. 已知Rt A ABC 中，/ C=90 °a+b=14cm , c=10cm ,则Rt A ABC的面积等于_. 12. 观察下列勾股数 第一组：3=2 X1+1 ,4=2 X1 X(1+1 ) ,5=2 X1 X(1+1 ) +1 第二组：5=2 X2+1 , 12=2 X2 X(2+1 ) , 13=2 X2 X(2+1 ) +1 第三组：7=2 X3+1 , 24=2 X3 X(3+1 ) , 25=2 X3 X(3+1 ) +1 第四组：9=2 X4+1 , 40=2 X4 X(4+1 ) , 4仁2 X4 X(4+1 ) +1 ??观察以上各组勾股数组成特点,第7组勾股数是 _ (只填数，不填等式) 13. 观察下列一组数: 列举：3、4、5,猜想：32=4+5 ; 列举：5、12、13,猜想：52=12+13 ; 列举：7、24、25,猜想：72=24+25 ; 列举：13、b、c,猜想：132=b+c ; 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ______ , c= ___ . 三. 解答题(共27小题) 14. a, b, c 为三角形ABC 的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ,试判别这个三角形的形状
15. 如图：四边形ABCD中，AB=CB=匚，CD=匸，DA=1 ,且AB丄CB于B. 试求：(1)ZBAD的度数； (2)四边形ABCD的面积. 16. 如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4, 5, .r的三角形，请你帮助小华作出来 17 .如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东 60方向走了100二km到达B点，然后再沿北偏西30方向走了100km到达目 的地C点，求出A、C两点之间的距离. 18. 如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心 以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）
考点?方法?破译 1 ?会用勾股定理解决简单问题 ? 2 ?会用勾股定理的逆定理判定直角三角形 . 3 ?勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程 进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证 . 经典?考题?赏析 【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是 正方形，所有的三角形都是直角三角形 .若正方形A 、B 、C 、D 的边长 分别是3, 5, 2, 3,则最大正方形 E 的面积是（ ） A . 13 B . 26 C. 47 D . 94 【解法指导】 观察勾股树，发现正方形 A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角 边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较 大正方形的面积，从而正方形 E 的面积等于正方形 A 、B C 、D 四个面积之和，故选 C. 【变式题组】 01.（安徽）如图，直线I 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线I 的距离分别是1和2,则 02.（浙江省温州）在直线I 上的依次摆放着七个正方形 （如图所示），己知斜放置的三个正方形 的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是 S 1，S ，Ss ，S ，贝V S+ S 2 + S 3 + S 4= ______ . 03.（浙江省丽江）如图，已知△ ABC 中，/ ABC = 90°，AB = BC,三角形的顶点在相互平行 的三条直线11、|2、|3上，且|1、|2之间的距离 为 是（） A . 2 17 B . 2 5 C. 4 2 D . 7 【例2】（青岛）如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B,那么 所用细线最短需 要 ___________________ cm ;如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到 达点B ，那么所用细线最短需要 ________ c m. 【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公 理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填 10，2 9 16n 2 . 【变式题组】 01.偲施）如图，长方体的长为 15,宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁 如果要沿 着长方体的表面从点 A 爬到点 B ,需要爬行的最短距离是（ ） 第19讲勾股定理 正方形的边长是 ____________ 2，12、|3之间的距离为 A 2 B I 第1题图 第2题图 3,贝U AC 的长
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32
=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
勾股定理知识点汇总 一、基础知识点： １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股 定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理常见方法如下： 方法一： 4S S 正方形 EFGH S正方形ABCD ， 4 1 ab (b a) 2 c 2 ，化简可证． 2 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．a2b2c2 D C H E G F b a A c B 四个直角三角形的面积与小正方形面 积的和为S 4 1 ab c 2 2ab c 2大正方形面积为 S (a b) 2 a2 2ab b2 b a c 2 a b 所以 a2 b2 c2 c 1 1 1 c 方法三： S梯形(a b) ( a b) ， S梯形2S ADE S ABE 2 ab c2，化简得证 a2 b 2 c2 b c a 2 2 2 a b ３ .勾股定理的适用范围 A a 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形 D 和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 b c ４ .勾股定理的应用 c E a ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C 90 ，则 c a 2 b2，b c2 a 2， B bC ac2 b2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５ .勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a ，b， c 满足 a 2 b 2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角 形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b2与较长边的平方 c2作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形； ②若 a2 b2 c2，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以 a ，b， c 为三边 的三角形是锐角三角形； ③定理中 a ，b， c 及 a 2 b 2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，b， c 满足 a 2 c2 b2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 . ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 ６ .勾股数 满足 a2 + b 2= c 2 的三个正整数，称为勾股数。
数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题含答案 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( ) A ． 245 B ． 365 C ．12 D ．15 3．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于 ,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ） A ．1 B ． 54 C ． 74 D ． 254 4．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木
块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A ．cm B ． cm C ． cm D ．9cm 5．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45?，若AD =4，CD =2，则BD 的长为 （ ） A ．6 B ．27 C ．5 D ．25 6．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点 C ．AC 的中点 D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ） A ．12cm B ．14cm C ．20cm D ．24cm 9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形 B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形 D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°
6 勾股定理知识点汇总 一、基础知识点： 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为 c ,那么a 2 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 1 方法一：4S &方形 EFGH S 正方形ABCD , 4 _ ab (b a) c ，化简可证. 2 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的平方 以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形； 若a 2 b 2 c 2 ,时，以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形：若 a 2 b 2 c 2 ，时，以 a , b , c 为三边 的三角形是锐角三角形； 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 2 2 2 a c b ,那么以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边 ?勾股数 满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。 积的和为 所以a 2 方法三: 1 4 ab 2 2 c 1 b 2 c 2 2ab c 2 大正方形面积为 (a b)2 a 2 b) (a b) , S 梯形 2S ADE S ABE S 弟形 2(a 3 ?勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 4 ?勾股定理的应用 1 ab 2 化简得证a 「b b 2ab b a ①已知直角三角形的任意两边长， 求第三边在 ABC 中, b 2 c 2 四个直角三角形的面积与小正方形面 ② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 ① c 为斜边。 数转化为形”来确定三角 c 2作比较，若它们相等时, -3— a , b , c 满足
八年级下勾股定理培优训练 一．选择题 1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD AB、AC于E、F，给出以下四个结论： ①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC 4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有dm 2dm 7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交
8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第 2 （1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么=a （3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为2 EF的长是（） 二．填空题 14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD= ．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是．
16．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号） ①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是． 17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是． 18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为． 三．解答题 19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长． 20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC 与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长， 进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD
八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及解析 一、选择题 1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ） ①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④ 2．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ） A ．3 B ．11 C ．23 D ．4 3．如图所示，在中， ， ， .分别以 ， ， 为直径作 半圆（以 为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．6 4．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为 （ ） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 5．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，
DE=3，BC=1，CD=13，则CE的长是（） A．14B．17C．15D．13 6．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则 DN+MN的最小值是（） A．8 B．9 C．10 D．12 7．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB230 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（） A．1，26B．3，5，4 C．5，12，13 D．3，213 9．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直10．下列说法不能得到直角三角形的（） A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形 二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．
勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12 4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB 边上一点，则EM+BM的最小值为． 7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．2 6C．3 D．6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练（含答案）一．选择题（共11小题） 1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（） A．4B．8C．16D．64 2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm 3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4 4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（） A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c2 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（） A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5 6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B． C．D．a2+b2＝2h2 7．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，
如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A．2008B．2009C．2010D．1 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（） A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米 11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为 1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（） 米．