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分式知识点及题型总结超好用

分式知识点与题型

一、分式的定义：

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B

叫做分式，A 为分子，B 为分母。二、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（??

?≠=0

B A ）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00

B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（??

?<>00B A 或???><0

B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

三、分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：

C B C ??=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：

B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意

C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

四、分式的约分

1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法：

1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.

五、分式的通分

1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）

2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

◆通分时，最简公分母的确定方法：

1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 六、分式的四则运算与分式的乘方

①

分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

b c

a d c

b a ??=? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：

c ??=

?=÷b d

a d

b a d

c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n

b a b a =??

③

分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：

a c

b ±=

±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：

ad d c ±=

±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④

分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，

不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

七、整数指数幂

①

引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即：

n m n m a a +=?a ()

mn n

a a = ()n n n

b b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ）

n n b a b a =??

? ??n

n a 1=-n

a 0≠a ） 10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零

次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。

八、分式方程的解的步骤：

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

九、列分式方程——基本步骤：

① 审—仔细审题，找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。

③ 列—根据等量关系列出方程（组）。 ④ 解—解出方程（组）。注意检验 ⑤

答—答题。

分式典型例题

一、分式

（一）从分数到分式题型1：考查分式的定义

例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、

212+x 、πxy 3、y x +3、m

a 1

+中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ）

4 (D) 5

练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .

⑴275

x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +.

（2）下列式子，哪些是分式？

5a -； 234x +；3

y y

； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+.

题型2：考查分式有，无意义，总有意义

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12+x ≠0）

例1：当x 时，分式51

-x 有意义；例2：分式x

x -+212中，当____=x 时，分式没有意义

例3：当x 时，分式1

-x 有意义。例4：当x 时，分式

2+x x

有意义

例5：x ，y 满足关系时，分式

x y

-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）

A ．

122+x x B.12+x x C.1

33+x x D.25

x x -

例7：使分式2

+x x

有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x

D ．2

例8：要是分式)

3)(1(2

-+-x x x 没有意义，则x 的值为（） A. 2 B.-1或-3

C. -1

D.3

题型3：考查分式的值为零的条件

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：当x 时，分式

21+-a a

的值为0 例2：当x 时，分式1

2+-x x 的值为0

例3：如果分式

2+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C.

2- D.以上全不对

例4：能使分式1

22--x x

x 的值为零的所有x 的值是（）

A 0=x

B 1=x

C 0=x 或1=x

D 0=x 或1±=x

例5：要使分式6

22+--x x x 的值为0，则x 的值为（）A.3或-3 B.3

C.-3 D 2 例6：若01=+a

,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数

题型4：考查分式的值为正、负的条件

【例】（1）当x 为何值时，分式

-84

为正；

（2）当x 为何值时，分式

)1(35-+-x x

为负；

（3）当x 为何值时，分式3

2+-x x 为非负数.

二、分式的基本性质

题型1：分式的基本性质的应用

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1：

aby a xy = ； z y z y z y x +=++2

)

(3)(6 ；如果75

)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是

________；

例2：)(1

332

a ab

)

b a c

b --=+-

例3：如果把分式

a b

a ++2中的a 和

b 都扩大10倍，那么分式的值（）

B C A B A ??=

C B C A B A ÷÷=

()0≠C

A 、扩大10倍

B 、缩小10倍

C 、是原来的20倍

D 、不变例4：如果把分式

x x

+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的10

1 例5：如果把分式

x xy

+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例6：若把分式

x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（）

A ．扩大12倍

B ．缩小12倍

C ．不变

D ．缩小6倍

例7：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A 、y x 23

B 、223y

C 、y x 232

D 、2

323y x

例8：根据分式的基本性质，分式

a a

--可变形为（） A b a a -- B b a a + C b a a -- D b

a a

例9：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，

=---05

.0012

.02.0x x ；

例10：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，

11x

x x

-+--

= 。题型2：分式的约分与最简分式

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122

；（2）c

a b

a a c a

b --=

--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个例2：下列约分正确的是（）

A 、3

26x x x =； B 、

0=++y x y x ； C 、x xy x y x 12=++； D 、2

14222=y x xy 例3：下列式子正确的是( ) A

022=++y x y x B.1-=-+-y a y a C.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--a

d c d c a d c a d c

例4：下列运算正确的是（）

A 、a a

a b a b

=--+ B 、2412x x ÷= C 、22a a b b = D 、1112m m m -=

例5：下列式子正确的是（）

A ．22a b a b =

B ．0=++b a b a

C ．1-=-+-b a b a

D ．b

a b

a b a b a +-=+-232.03.01.0

例6：化简2293m m m --的结果是（）A 、3+m m B 、3

+-m m

C 、3-m m

D 、

-3

例7：约分：=

-2264xy y

x ；932--x x = ；()xy xy 132=； (

)y x y x y x 536.031

51+=-+。

例8：约分： 224

a a a -++＝； =y x xy 2164 ；=++)()(

b a b b a a ； =--2

)(y x y

x =-+22y x ay

ax ；=++-16

81622x x x ；=+-6292x x

314___________

21a bc a bc

29__________3m m -=+=b

a ab

2205__________=+--9692

2x x x __________。例9：分式

3a 2a 2++，2

2b a b

a --，

)b a (12a

4-，2

x 1-中，最简分式有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

题型3：分式的通分与最简公分母:

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）

分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：

22--+x x

x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：

222--+x x

x 最简公分母就是[][]()2242-+=-x x x “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：

()()

22-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x

例1：分式

m n m n m --+2

,1,12

2的最简公分母是（） A ．))((22n m n m -+ B ．222)(n m - C ．)()(2n m n m -+ D ．22n m - 例2：对分式

，23x y ，14xy 通分时，最简公分母是（）

A ．２４x 2y ３

B ．１２ｘ２ｙ２Ｃ．２４ｘｙ２Ｄ．１２ｘｙ２

例3：下面各分式：221x x x -+,22x y x y +-,11x x --+,22

x y x y +-，其中最简分式有（）个。

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

例4：分式

412

-a ，42-a a

的最简公分母是 . 例5：分式a 与1

的最简公分母为________________；

例6：分式

x y x +--2

221

,1的最简公分母为。二、分式的运算（一）分式的乘除

题型1：分式的乘，除，乘方

分式的乘法：乘法法测：b a ·d c =

bd ac

分式的除法：除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =

分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b

)n .

分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(b a )n =n n

a (n 为正整数)

例题：

计算：（1）7

6239251526y x x x -? （2）13410431005612516a x a y x ÷ 计算：（3）24

222a ab a b a ab a b a --?+- （4）2144122++÷++-a a a a a

计算：（5） 2

2221106532x y

x y y x ÷? （6） 22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++

计算：（7）()22121441a a a a a a -+÷+?++- （8）11

12421222-÷+--?+-a a a a a a

求值题：（1）已知：43=y x ，求xy

x y xy y xy x y x -+÷

+--22

22222的值。（2）已知：x y y x 39-=+，求2

x y x +-的值。（3）已知：311=-y x ，求y

xy x y xy x ---+2232的值。例题：

计算：（1）232()3y x = （2）5

2???

??-b a = （3）3

323???

?-x y = 计算：（4）3

222???

???????? ??a b = （5）()4

22ab a b b a -÷?

??? ??-???? ??- = 求值题：（1）已知：4

32z

y x

求2

z y x xz yz xy ++++的值。（2）已知：0325102

=-++-y x x 求y

xy x

x 222++的值。

练习：计算y x x x y x y x +?+÷+2

)(的结果是（）A y x x +22 B y x +2 C y

+11

化简x y x x 1?÷的结果是（）A. 1 B. xy C. x

y D .

计算：（1）4224

48223-+?++-x x x x x x ；（2）1221122

2+-÷-+-x x x x x （3）(a 2

－1)·

a a a +-+÷122a a +- （二）分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。

例1：m

m 22-= 例2：141322222--+-+a a a a =

例3：

x y x

y x y -+-= 例4：22222222y

x x x y y y x y x ---+-+= 计算：（1）41

33m m m -+++ （2）a b b b a a -+- （3） 2

222)

()(a b b b a a --- （4） 2253a b ab +－22

35a b ab

-－228a b

ab +.

例5：化简1x +12x +1

3x 等于（） A ．12x B ．32x C ．116x D ．5

例6：c a b c a b +- 例7：221

42a a a --- 例8：

x x x ---3)3(32

例9：x x x x x x 13632+-+-- 例10：2

a a a ++-－224a a -- 例11：11--+a a a

练习题：（1）

b ab

b a b -++ （2） x x x x +-+-+-2144212 （3） 2129a -+23a -. （4） b a b -a b 2++ （5） 2x y

x y y x

---- 例13：计算1

1--+a a

a 的结果是（）A 11-a B 11--a C 112---a a a D

1-a

例14：请先化简：21224

x x ---，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.

例15：已知：0342=-+x x 求

42122++--+x x x x x 的值。

（三）分式的混合运算

题型1：化简分式

例1：4

421642++-÷-x x

x x 例2：34121311222+++-?-+-+x x x x x x x

例3：222)2222(x x x x x x x -?-+-+- 例4：1342+???

? ??+-x x x 例5：1111-÷??

? ??

--x x x 例6：2

2224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 例7

112(

)2y x y x y x xy y -÷-+-+ 例8： x

x x x x x x 1

1212

2÷???

??+---+ 题型2：分式求值问题：例1：已知x 为整数，且

23x ++23x -+2218

x x +-为整数，求所有符合条件的x 值的和. 例2：已知x ＝2，y ＝1

2，求222424()()x y x y ??-??+-??÷11x y x y ??

+ ?+-??的值. 例3：已知实数x 满足4x 2-4x+l=O ，则代数式2x+x

的值为________．例4：已知实数a 满足a

＋2a －8=0，求3

21311222+++-?

-+-+a a a a a a a 的值. 例5：若13x x

+= 求1242++x x x 的值是（）．A ．81 B ．101

C ．21

D ．

例6：已知1

13x y -=，求代数式

21422x xy y

x xy y

----的值

例7：先化简，再对a 取一个合适的数，代入求值22

1369

324

a a a a a a a +--+-÷-+-．练习题：先化简再求值

（1）168422+--x x x x ，其中x=5. （2）2

222b ab a ab

a +++,其中a=-3，b=2 （3）2

44122++÷

++-a a a a a ；其中a=85；（4）x

x x x x x x x 4

)44122(

22-÷

+----+，其中x= -1

（5）先化简，再求值：

324

x --÷(x +2－52x -).其中x ＝－2.

（6）3,3

,1)()2(

222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中

题型3：分式其他类型试题：

例1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，48

，……．根据其规律可知第ｎ个数应是＿＿＿（n 为正整数）例2：观察下面一列分式：23

45124816

,,,,...,x x x x x

---根据你的发现，它的第8项是，第n 项是。例3：当x=_______时,分式x -51与x

3210-互为相反数. 例4：已知

)4(422+++=+x C

Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ；

例5：已知37(1)(2)12y A B

y y y y +=+----，则（）

A ．10,13A

B =-= B ．10,13A B ==

C ．10,13A B ==-

D ．10,13A B =-=-

例6：已知y x 32=，求222

22y

x y y x xy --+的值；

例7：先填空后计算：

①

111+-n n = 。21

11+-+n n = 。3

21+-+n n = 。（3分）

②（本小题4分）计算：)

2008)(2007(1

)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

解：)

2008)(2007(1

)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

三、分式与方程（一）分式方程的解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

1、交叉相乘法：例1．解方程：2

1+=

x x

2、化归法：例2．解方程：

2112=---x x 3、左边通分法：例3：解方程：871

8=--

--x

x x

4、分子对等法：例4．解方程：)(11b a x

a a

≠+=+

5、观察比较法：例5．解方程：

425254=-+-x x x x 6、分离常数法：例6．解方程：8

32982

1+++++=

+++++x x x x x x x x 7、分组通分法：例7．解方程：

315121+++=+++x x x x

（二）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x

x x -=--221无解，求m 的值。例2．若关于x 的方程1

1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。例

3．若关于x 分式方程4

32212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例4．若关于x 的方程1

1512

--=

+-+

-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。

（二）分式方程的题型

题型1：化为一元一次的分式方程

（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；

(3)解整式方程； (4)验根．

例1：如果分式

121

+-x x 的值为－1，则x 的值是；

例2：要使2

415--x x 与的值相等，则x =__________。例3：当m=_____时，方程21

mx m x

+-=2的根为12.

例4：如果方程

1(2

=-x a 的解是x ＝5，则a ＝。

例5:解方程：

416222-+=

--+-x x x x x 例6：已知：关于x 的方程x

x x a --=

-+34

31无解，求a 的值。例7：若分式21+x 与3

--x x 的2倍互为相反数，则所列方程为

___________________________；例8：当m 为何值时间？关于x 的方程2

122

---+=--x x x x x x m 的解为负数？例9：解关于x 的方程

)0(2≠-=

+-a a

b x a

x b

例10：解关于x 的方程:)0(2112

2≠-=--+++a b a a

b a x b a x 例11知关于x 的方程

)

1)(2(121-+=--+-x x m

x x x x 的解为负值，求m 的取值范围。练习题： (1) 16

412

-=-x x (2)

1(213=-+--x x x x (3)

X X +-

-=-15

13112 (4)625+-=-x x x x (5)2

63524245--+=--x x x x (6)11112-=-x x (7) x

x --=+-21321 (8）21212339x x x -=+-- （9）

311223=-+-x x 题型2：分式方程的增根问题：

（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例1：分式方程

3-x x +1=3

-x m

有增根，则m= 例2：当k 的值等于时，关于x 的方程

423--=+-x x

x k 不会产生增根；例3：若解关于x 的分式方程23

4222+=

-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值。

例4：m 取时，方程

323-=--x m x x 会产生增根；例5：若关于x 的分式方程3

232

-=--x m x x 无解，则m 的值为__________。

例6：当k 取什么值时？分式方程0111

x k x

x x x +-=--+有增根. 例7：若方程4

41-=

--x m

x x 有增根，则m 的值是（）A ．4 B ．3 C ．-3 D ．1

例8：若方程

2(2)

a x x x x =+--有增根，则增根可能为（） A 、0 B 、2 C 、0或2 D 、1 题型3：公式变形问题：例1：已知公式12

111R R R =+（12R R ≠），则表示1R 的公式是（） A ．212R R R RR -=

B ．212RR R R R =-

C ．1212()R R R R R +=

D ．2

12RR R R R

例2：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：1u ＋1v ＝1

. 若f ＝6厘米，v ＝8厘米，则物距u ＝厘米.

例3：已知梯形面积,)(2

h b a S +=S 、a 、b 、h 都大于零，下列变形错误是（） A ．b

a S

h +=

2 B. b h S a -=2 C.a h S b -=2 D.)(2b a S h +=

例4：已知b

a a N

b a M ab ++

+=+++=

=11,1111,1,则M 与N 的关系为( ) A.

M >N B.M =N C .M

题型4：分式的应用题

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；

1.营销类应用性问题

2.工程类应用性问题：这类问题也涉与三个数量：工作量、工作效率和工作时间。它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。

3.行程中的应用性问题：这类问题涉与到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。而行程问题中又分相遇问题、追与问题．

4.轮船顺逆水应用性问题：v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水-v 水．

5.浓度应用性问题

6.耕地问题

7.数字问题

一、营销类应用性问题

例1．1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？

解：设混合后的单价为每千克 x 元，则甲种原料的单价为每千克(3)x +元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为

4800

2000+斤，甲种原料的重量为32000+x ，乙种原料的重量为1

4800

-x ，依题意，得： 32000+x ＋14800-x =x

4800

2000+，解得17x =，经检验，17x =是原方程的根，所以17x =．即混合后的单价为每千克17元．例1．2 A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

解：两次购买的饲料单价分别为每1千克m 元和n 元(m>0,n>0,m ≠n)，依题意，得：采购员A 两次购买饲料的平均单价为

(元／千克)，

采购员B 两次购买饲料的平均单价为

(元／千克)．

总价值价格数量

甲

2000元

乙 4800元

混

合

X 元

而＞0．

也就是说，采购员A 所购饲料的平均单价高于采购员B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员B 的购买方式合算．

例1．3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？

解：可以列出三个等量关系：1．2月份销售量一1月份销售量=5000 2．2月份销售量×2月份利润=2月份总利润 3．1月份利润一2月份利润=0.4

二、工程类应用性问题

例2．1 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1

天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的

倍，问甲乙单独做各需多少天？

解

析：

等量关系：甲队单独做的

工作量+乙队单

独做的工作量=1

例2．2 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？

单独做所需时间

一天的工

作量

实际做时间工作

量

甲 x 天

2天

乙

（2+1）天

输入汉每分钟输入

所需时间

x 天1

x 132

解

析：

等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）

例2．3 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量与原计划的天数。

解析1：

等量

关系：原计划

天数=实

际天数+4（天）

解析2：

等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）

例2．4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个考点2. 分式的意义分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零；当x 时，分式 x x -+22 的值是零考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x

3、下列分式中是最简分式的是（） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）y x y x 3 22132 21-+；（2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ；（2）y x -1，y x +1；（3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++-

分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和题型归纳（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（0B ≠）分式无意义：分母为0（0B =）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）1 2 2-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 B A ）【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2）4 2||2--x x （3）6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或???<<00B A ）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 B A ）（1）当x 为何值时，分式x -84 为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；（2）当x 为何值时，分式32 +-x x 为非负数.

题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1：分子分母值相等（A=B ）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为（二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题【例1】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值【例2】已知：21=-x x ，求2 21 x x +的值. 【例3】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 【例4】已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.

八年级上册第十五章分式知识点总结及练习

第十五章分式一、知识概念： 1.分式：形如 A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0. 3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算： ⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ?? = ???

8.整数指数幂： ⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数） ⑵() n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b ?? = ??? （n 是正整数） ⑹1 n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

分式的乘除法典型例题

《分式的乘除法》典型例题例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分（1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除）（1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算（1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分（1）3286b ab ；（2）2 22322xy y x y x x --

例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ；（2）36 ) (4)(3a b b a a --；（3）22 2y y x -；（4）882122++++x x x x 例8 通分：（1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a

参考答案例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除

分式方程知识点复习总结大全

分式方程知识点复习总结大全重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。 2理解分式的基本性质. 3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 10利用分式方程组解决实际问题. 难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数. 9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 10会列分式方程表示实际问题中的等量关系. 16.1分式及其基本性质

1.分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式。其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分母，分式才有意义整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式. 分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可）例1：（ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B. 注意：不是分式例2：已知，当x为何值时，分式无意义? 当x为何值时，分式有意义? 例3：（2011四川南充市）当分式的值为0时，x的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）－2 【答案】B 2.分式的基本性质 (1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ，，且均表示的是整式。（2）分式的变号法则：

人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有：．题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件

【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正；（２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义：（1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值．提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个考点2. 分式的意义分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零；当x 时，分式x x -+22 的值是零考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

分式知识点及例题

分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子， B 为分母。知识点二：与分式有关的条件 1、分式有意义：分母不为0（0B ≠） 2、分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） 3、分式无意义：分母为0（0B =） 4、分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00 B A 或? ??<<00B A ） 5、分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然

后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分 ① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：d b c a d c b a ??=? 分式除以分式：式子表示为 c c ??=?=÷b d a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n b a b a =?? ? ?? 3、分式的加减法则：

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

第十六章分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（）个。二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++；（2）2323x x +-。例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（）。例9.约分：（1）22699x x x ++-；（2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

分式考点及典型例题分析(最全面)

分式考点及典型例题分析 1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义：（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12 +x ≠0）例1：当x 时，分式 51-x 有意义；例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。例4：当x 时，分式12+x x 有意义例5：x ，y 满足关系时，分式x y x y -+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

分式知识点总结和题型归纳

分式知识点总结和题型归纳（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义: 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（0B ≠）分式无意义：分母为0（0B =）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- （2）使分式 53-+x x ÷79 -+x x 有意义的x 应满足 . （3）若分式3 21 +-x x 无意义，则x= . 题型三：考查分式的值为0的条件分式值为0：分子为0且分母不为0（? ??≠=00 B A ）【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2 ||2 --x x （3） 6 5322 2----x x x x 【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 |1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于0：分子分母同号（?? ?>>00B A 或???<<00 B A ）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或? ??><00 B A ）（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一、整体通分法例1 计算：2 11 ---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111 +--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、先约分后通分法例2 计算2221 2324+-++-+x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 三、分组加减法例3计算21-a +12 +a -12-a -21+a 分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。解：原式=（21-a -21+a ）+（12 +a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 四、分离整数法例4 计算 3 x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。解：原式= (1)1(2)1(4)1(3)11243 ++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243 +-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。。。五、逐项通分法

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第十六章分式 1. 分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A ?C A A C B B ?C B B C （ C 0） 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 4. 分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac a c a d ad ( a )n a n b ? ; ? d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1，即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂． (m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m ?a n a m n ；（ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ab) n a n b n ；（ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ；（ 5）商的乘方： ( a )n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。【趣味链接】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。【知识梳理】分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式有理式的分类：有理式分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0）约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D．【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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第二讲分式方程【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法 ; 2.分式方程产生增根的原因 3.分式方程的应用题【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 题型一：用常规方法解分式方程解下列分式方程（ 1） 1 3 （ 2） 2 1 x 1 x x 3 x （ 3）x 1 4 1 （ 4） 5 x x 5 x 1 x2 1 x 3 4 x 题型二：特殊方法解分式方程解下列方程（1）x4x 4 4 ；（2）x 7 x 9 x 10 x 6 x 1 x x 6 x 8 x 9 x 5 （3） 1 1 1 1 x 2 x 5 x 3 x 4 1

题型三：求待定字母的值（ 1）若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3 （ 2）若分式方程 2 x a 1 的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 （ 3）若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。 x 2 2 x （ 4）若关于 x 的方程 x k 2 x 不会产生增根，求 k 的值。 x 1 x 2 1 x 1 （ 5）若关于 x 分式方程 1 k x 2 3 有增根，求 k 的值。 x 2 x 2 4 题型四：解含有字母系数的方程解关于 x 的方程 (1 ) x a c (c d 0) （2） 1 1 2 (b 2a) ； b x d a x b 2

1a1 b （ 3）(a b) . 题型五：列分式方程解应用题一、工程类应用性问题 1、一项工程，甲、乙、丙三队合做 4 天可以完成，甲队单独做 15 天可以完成，乙队单独做 12 天可以完成，丙队单独做几天可以完成？ 2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000 米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30 天完成了任务，实际每天铺设多长管道？二、行程中的应用性问题 2、甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度． 3

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第十六章分式 1.分式的定义：如果 A 、 B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式。 B 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 A A C A A C B B C B B （ C 0） C 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a c ac ; a c a d ad ( a )n a n b d bd b d b c bc b b n 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 a b a b , a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd 混合运算 :运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1，即 a 1(a 0) ；当 n 为正整数时， a n 1 a n （ a 0) 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数 ) （ 1）同底数的幂的乘法： a m a n a m n ；（ 2）幂的乘方： ( a m )n a mn ; （ 3）积的乘方： ( ) n n n ； ab a b （ 4）同底数的幂的除法： a m a n a m n ( a ≠ 0) ；（ 5）商的乘方： ( a ) n n a n ； (b ≠ 0) b b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤： (1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4) 验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答．

分式经典题型分类练习题

分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 1- 题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 | 1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 3．解下列不等式（1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0

北师大版八年级数学下册分式知识点归纳总结及习题精练

分式及其运算知识点归纳总结一、知识点归纳 1、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，B 中含有字母且B 不等于0，那么式子 B A 叫做分式．需要注意的四点：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分式的分母的值不能为0；（3）分式是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开；（4）判断分式需要看最初的形式 2、分式有无意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，分母为0时，分式无意义 3、分式的值：（1）分式的值为0，满足 000≠=?=B A B A 且（2）分式的值为1，满足 01≠=?=B A B A （3）分式的值为-1，满足 01≠-=?-=B A B A （4）分式的值为正，满足 ?? ?<>?>00000B A B A B A 或（5）分式的值为负，满足?? ?>?<0 0000B A B A B A 或 4、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． )0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a ，前提条件是0≠m ,强调是同时 5、分式的符号：y y y x x x -- ==-（符号调整时注意不要改变分式的值）． 6、约分和最简分式：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．对分式进行约分化

简时，通常要使结果成为最简分式（即分子和分母已没有公因式）或者整式．通分：最简公分母 7、分式的乘除运算乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．分式的加减运算同分母的分式相加减，分母不变_，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，化成同分母的分式，然后再加减．在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母分解因式分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简．有时进行分项化简分式及其运算的题型总结题型一：分式的定义及有无意义 1、下列各式是分式的有_________________．（填写序号） ①1π；②2x x ；③(3)(1)x x +÷-；④2 10xy -；⑤242x x --；⑥109x y +． 2、当x 取何值时，下列分式有意义（1） ax x ；（2）2 3 9 x x +- （3 （4）2 x -． 3、当x =______分式212x x x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=0 4、已知当2x =-时，分式 x b x a --无意义，当4x =时，该分式的值为0，则a b +=___________． 5、若分式 224x x x m ++不论x 取何实数总有意义,则m 的取值范围