榆林八中学生自主学习方案
班级________组号________姓名________
☆厚德载物 自强不息☆ ☆厚德载物 自强不息☆
一．温故
填空： 根据左面式子填空：
（1）（x+3）（x –3） = ； （1）x 2–9= ； （2）（4x+y ）（4x –y ）= ； （2）16x 2–y 2= ；
（3）（1+2x ）（1–2x ）= ； （3）1–4x 2= ；
（4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． （4）9m 2–4n 2
= ． 结论：a 2–b 2= 二．做一做：
1.把下列各式因式分解：
（1）25–16x 2 （2）9a 2–2
41
b
2、把下列各式因式分解：
三．议一议： 将下列各式因式分解： （1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x
四．检测 1、判断正误：
（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （2）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( ) （3）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( ) （4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( ) 2、把下列各式因式分解：
（1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2
科 目 数学 课 题
运用公式法（1）
授课时间 201305 设 计 人
张需东 白冬云 陈小亚 张小飞
学案序号
30
学习目标
1.会用平方差公式进行因式分解；
重 点 用平方差公式进行因式分解
难 点 1.平方差公式结构的判断
2.用平方差公式进行因式分解
教师寄语 天道酬勤，人世间没有不经过勤劳而成为天才的！ 2
49)1(x
+-2
224
1
)2(z y x -2212125.0)3(p q -1
)4(4-p
（3）a2b2－m2（4）(m－a)2－(n＋b)2
（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy
（7）x2－（a+b－c）2
3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
五．作业：pa100第1,2，3题
因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--
数学教案：运用公式法――完全平方公 式 1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力. 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，运用公式法。 重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式. 教学过程设计 1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
21.2.2 公式法 【知识与技能】 1.理解并掌握求根公式的推导过程； 2.能利用公式法求一元二次方程的解. 【过程与方法】 经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力. 【情感态度】 用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度. 【教学重点】 用公式法解一元二次方程. 【教学难点】 推导一元二次方程求根公式的过程. 一、情境导入，初步认识 我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成 ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？ 【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究. 二、思考探究，获取新知 通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解. 由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+b a x=- c a .配 方，得x2+b a x+2 () 2 b a =- c a +2 () 2 b a ，即 2 2 2 4 ( 4 2 ) b a a a b x c - +=. 至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解. 师生共同完善认知： 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有： ①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解； ②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成 ，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 三、典例精析，掌握新知 例1不解方程，判别下列各方程的根的情况. (1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2x=2. 分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一
2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
17.2一元二次方程的解法——公式法（1） 一、学习目标： 1、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。 2、通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。 二、学习重点：会用公式法解简单的一元二次方程，渗化归的数学思想方 法.。 学习难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式 三、学习过程： （一）情景设计 1、我们学习了一元二次方程的两种解法是什么？ __________________________________________________ 2、解下列一元二次方程: (1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2+4x+7=0. （二）合作探究得出结论 如何用配方法解一般形式的一元一次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 得出结论：一般的，对于一元二次方程aχ2+bχ+c=0（a≠0）， 当b2-4ac≥0时，它的根是：___________________ 上面这个式子称为一元二次方程的__________。观察、记忆求根公式用________解一元二次方程的方法叫做公式法。 （三）新知运用解决问题
例1：用公式法解方程x2-7x-18=0. 练习：用公式法解下列方程： 2-9x+8=0 （2）9x2+6x+1=0 （3）16x2+8x=3. （1）2x 要求学生先找出a，b，c，对b2-4ac进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤 归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤. 例2、用公式法解方程x2 （四）课堂小结1、一元二次方程的根和什么有关？如何确定？ 2、一元二次方程的求根公式是什么？利用公式法解一元二次方程的一般步骤有哪些？ （五）课堂反馈 1、一元二次方程的求根公式是_______________ 2、用公式法解方程 x2-5x-12=0. 3x2-10x-5=0.
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
2.3 运用公式法 一、选择题 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（） A．－a4－b4B、－4a2+b2C、1、21－b2D、9a2－16b2 2．下列各式中，能用公式法分解因式的是（） A．a2+2ab－b2B、－a2+2ab+b2; C．a2+ab+b2D、1 4 a2－ab+b2 3．把169（a－b）2－196(a+b)2分解因式得（） A．－784ab B、－(a+b)(27a+b); C、108ab D、－(27a+b)(a+27b) 4、下列分解因式： ①－a2－b2=(－a+b)(－a－b); ②a4b2－16=(a2b+4)(a2b－4); ③a2－16b2=(a+16b)(a－16b); ④(a－b)2－c2=a2－2ab+b2－c2; ⑤1 9 a2－ 2 3 a+1=( 1 3 a－1)2. 其中正确的有（） A．1个B、2个C、3个C、4个 5、如果25m2+k+81n2是一个完全平方式,那么k的值为( ) A、45mn B、90mn C、±45mn D、±90mn 6、下列多项式中,分解因式的结果是－(x+6)×(x－6)的值为( ) A、x2－36 B、－x2－36 C、－x2+36 D、x2+36 二、填空题： 1.多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式 可以是____________。（填上一个你认为正确的即可） 2.利用分解因式计算：1.222×9－1.332×4=_________; 3、 1 16 a4b2－81c2=( )2－( )2=_____________; 4、分解因式:x3－x=_____________; 5、两个连续奇数的平方差是___________的倍数、 6、请写出一个三项式 ．．．,使它能先“提公因式”，再“运用公式”来分解：你编写的三项式是__________,分解因式的结果是__________________________. 三、计算题： 1.分解因式: (1)(2x－1)2－(x+2)2(2)4m2－12mn+9n2; (3)m3+2m2n+mn2(4)－a2c2－c4+2ac3
§1.2一元二次方程的解法⑶——公式法 班级________姓名__________ 一.学习目标： 1．体验用配方法推导求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0； 2．会用公式法解一元二次方程． 二．学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程．学习难点：要记准求根公式；系数和常数为负数时，代入求根公式避免出现符号错误． 三．教学过程 Ⅰ．知识准备 ①用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ ②用配方法解下列方程： ⑴2x2－4x＋5＝0；⑵2x2－4x－2＝0． Ⅱ．活动探究 问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）？ 阅读下面两种不同的解法 解法一：ax2＋bx＝－c移项解法二：4a2x2＋4abx＋4ac＝0 x2＋b a x＝－ c a化14a2x2＋4abx＝－4ac x2＋b a x＋ b2 4a2＝ b2 4a2－ c a配方4a2x2＋4abx＋b2＝
b2－4ac 整理 x＋b 2a＝± b2－4ac 2a开方2 ax＋b＝±b2－4ac x＝－b 2a± b2－4ac 2a＝ －b±b2－4ac 2a x＝ －b±b2－4ac 2a 请思考如下问题： ①此时可以直接开平方吗？需要注意什么？等号右边的值有可能为负吗？ ②如果这题要做下去的话，应该附加什么条件？ ③这两种方法有什么异同？你认为哪种方法好？ ④你有什么感想？ ax2＋bx＋c＝0（a≠0）在≥0时，它的解是． 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 【新知探究】 例1：解下列方程. ⑴2y2＋7y＝4；⑵x2－2x＋1 2 ＝0；⑶m2－2m＋2＝0. 【题后反思】你能否总结一下，能使用公式法解的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是如何？解的情况有几种？
公式法教学设计（二） ――完全平方公式 教学设计思想： 利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质. 教学目标 知识与技能： 1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性 2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 过程与方法： 3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法 情感态度价值观： 4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。 教学重点和难点 重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式分解因式. 关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想” 教学用具 多媒体或小黑板 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习 1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2(2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n). 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项式是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2. (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x4=(5x2)2，1=12，10x2=2·5x2·1，所以 25x4－10x2+1=(5x－1)2.
17.2一元二次方程的解法——公式法 怀柔四中 梁秀华 一、教学目标： 知识与技能：1、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。 2、通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。 过程与方法：让学生经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法与配方 法的内在联系，学会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。 情感教育：渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美. 二、学习重点：会用公式法解简单的一元二次方程，渗化归的数学思想方法.。 学习难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式 三、教学过程： （一） 情景设计 1、我们学习了一元二次方程的两种解法是什么？ 直接开平方法：（x －a ）2=b （b≥0） 配方法：（提问步骤） 2、 解下列一元二次方程: (1)x 2+4x+2=0 ; (2)3x 2+4x+7=0. （二）合作探究 得出结论 如何用配方法解一般形式的一元一次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0) 解：ax 2+bx=-c x 2+b a x= - c a x 2+ b a x+ （2b a ）2= - c a + （2b a ）2 (x+2b a )2= 2244b ac a - x+2b a = ±2a x= -2b a ∴x 1 x 2 得出结论：一般的，对于一元二次方程a χ2+b χ+c=0（a ≠0），当b2-4ac ≥0时，
它的根是：x= =2b a -± （b2-4ac ≥0） 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。观察、记忆求根公式 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 （三）新知运用 解决问题 例1：用公式法解方程 x 2-7x-18=0. 解：∵a=1 b=-7 c=-18 ∴b2-4ac=49+72=121＞0 ∴x=7112 ± ∴方程的解是x 1=9 x 2=-2 练习：用公式法解下列方程： （1）2x 2-9x+8=0 （2）9x 2+6x+1=0 （3）16x 2+8x=3. 要求学生先找出a ，b ，c ，对b 2-4ac 进行验证，然后代入公式，熟练后可简化步骤 归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤. 1、把方程化成一般形式，并写出 a 、b 、c 的值。 2、求出b2-4ac 的值 3、代人求根公式x= 4、写出方程的解x 1、x 2 例2、用公式法解方程 x 2x （四）课堂小结1、一元二次方程的根和什么有关？如何确定？ 2、一元二次方程的求根公式是什么？利用公式法解一元二次方程的一般步骤 有哪些？ （五）课堂反馈 1、一元二次方程的求根公式是_______________ 2、用公式法解方程 x 2-5x-12=0. 3x 2-10x-5=0.
第五课时 ●课题 §2.3.2 运用公式法（二） ●教学目标 （一）教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法 观察—发现—运用法 ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.3.2 A） 第二张（记作§2.3.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 在前面我们不仅学习了平方差公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 而且还学习了完全平方公式 （a±b）2=a2±2ab+b2 本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式. Ⅱ.新课 1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？ ［生］可以. 将完全平方公式倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式； （2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式； （3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
板块一：因式分解的基本概念 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式 分解因式. 因式分解与整式乘法互为逆变形： ()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积 因式分解 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式 因式分解的常用方法： 提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法. 分解因式的一般步骤： 如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法. 注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； ②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式； ④相同的因式的积要写成幂的形式. 在分解因式时，结果的形式要求： ①没有大括号和中括号； ②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式. 【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由. ⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+ ⑶232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++ 【考点】因式分解 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式； ⑷是. 【答案】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式； ⑷是. 【例2】 观察下列从左到右的变形： ⑴()() 3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+ ⑶()22261266x xy y x y ++=+；⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有 （填括号） 【考点】因式分解 例题精讲 提公因式法、公式法
因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？
练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2
运用公式法分解因式 思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4. 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。 例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2. 练习： 1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ）
运用公式法-----------平方差公式 民乐二中贾默燃 设计理念 数学公式是数学教学中的重要的基础知识，利用公式进行计算是重要的基本技能，长期以来数学公式的教学正在发生变化，教师不在采用直接给出公式，要求学生记忆并进行大量训练的方式，而是逐渐关注公式的发现、产生及应用的全过程。本节课学生采用独立思考、自主探究、合作交流等多种学习方式，使学习变得有趣、生动、深刻和有效。教师注重关注学生对基础知识的理解，在此基础上，设计必要的训练、继而形成技能。 教学目标 知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义，熟练掌握运用平方差公式分解因式。 能力目标：通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，培养学生的逆向思维和推理能力，让学生进一步感受整式乘法与分解因式的互逆关系， 体会数学之间的整体联系。 情感态度与价值观：通过学习用平方差公式分解因式，在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想 方法，培养学生的学习积极性、主动性、增强学生学习数学的信心。重点与难点 重点：理解平方差公式的意义和特征，灵活运用平方差公式分解因式。 难点：将一些单项式化为平方的形式，在用平方差公式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力。 教学方法 本节课通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣。教学过程始终以“自主探究、合作交流”为主线。多层次、多角度探究公式的产生及运 用的全过程。让不同层次的学生参与到教学活动中，感受成功、建 立自信，并在活动过程中尝到与人合作、交流的乐趣。 教学过程：一：创设情境、引入新课 （1）复习确定多项式各项公因式的方法。 （2）练习：把下列多项式分解因式（用多媒体演示） （1）－7ab－14abx+49aby （2）9×10100－10101 （3）9a2－6ab+3a （学生独立完成、分组交流解题方法） 设计意图：通过丰富问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学语言表达能力，有意识地培养学生分析问题、解决问题的能力。 二：自主探究、合作交流 议一议：（1）如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，能否分解因式？ （2）观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同特征？ 猜一猜：能否将它们分别写成两个因式的乘积？并与同伴交流？ 体会：事实上，把乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2反过来，就得到 a2－b2=（a+b）（a－b） （分小组观察、讨论，并用数学语言阐述）
14.3.2因式分解——公式法（1） 一．教学内容 人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时 二．教材分析 分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是 在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面 的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简， 以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上 启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、 “类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习是数学 学习的重要内 容。根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公 因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。因此公式法是分解因式的重 要方法之一，是现阶段的学习重点。 三．教学目标 知识与技能 ：理解和掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公 式分解因式 过程与方法：1.培养学生自主探索、合作交流的能力 2.培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力 和数学应用意识，渗透整体思想 情感、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦，从而 增强学好数学的愿望和信心 四．教学重难点 重点：会运用平方差公式分解因式 难点：准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式 易错点：分解因式不彻底 五．教学设计 （一）温故知新 1.什么是因式分解？下列变形过程中，哪个是因式分解？为什么？ . 2)2-)(2(24-)3();13(33-93)2(; 14-41-212222x x x x x y x x x xy x x x x ++=+++=++=））（（ 2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将下列多项式分解因式。 .6-39-)2(; -2-122233xy xy y x ab b a b a +）（ 【设计意图】通过复习因式分解的定义和方法，为继续学习公式法作好铺垫。 3.根据乘法公式进行计算： ).2-(22)1-(11y x y x x x ））（（； ））（（++
因 式 分 解 公式法 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 1.利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-2 2 ①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。 2.利用完全平方公式因式分解：()2 2 22b a b ab a ±=+± 注意： ①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。 ⑤在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号. ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.
典型例题分析： 利用平方差公式： 例1． 用平方差公式分解因式： （1）2 2 )(9y x x -+-； （2）2233 1n m -.
例2．分解因式： （1）ab b a -5； （2）)()(4 4 n m b n m a +-+ （3）2 2 2 2 )23()32(4y x m y x m ---； （4）b a b a 2418321822+-- 例3. 简算 （1） 226778- （2）22991001- 例4. 解方程：.36)321()321(2 2 =--+x x 【拓展提升】 例5. 分解因式：（1）8 8y x +-； (2) 2 2 2 16)4(x x -+. 例6. 1)12 ()12)(12)(12(32 3 2 +++++Λ的个位数字是 . 例7.若12 48 -能被60与70之间的两个整数整除，这两个数是 . 针对性训练： 1. 若)2)(2)(4(162 x x x x n -++=-，则n 的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 把多项式2 22 22 4)(b a b a -+分解因式的结果是（ ） A. 222)4(ab b a ++ B. 2 22)4(ab b a ++ C. )4)(4(2 2 2 2 ab b a ab b a -+++ D. 22)()(b a b a -+ 3. 分解因式： （1）2 2536x -； （2）2201.094n m +- ； （3）624 9 8116x y -； （4）224)32(x y x --
14.3.1运用公式法（1） 【目标导引】 1.分解因式的平方差公式是由整式乘法的哪个公式得到的？是如何得到的？ 2.怎样的多项式才能用平方差公式分解？你会用平方差公式分解因式吗？ 【学习探究】 一、铺垫导入与自主预习 1.因式分解： （1）a 4a 22-=________________； （2）)(3)(2y x y x +-+=__________________； 2.填空： （1）)(a 422=； （2）；)(b 9422= （3）)(0.16a 24=；（4）)(a 2 22=b 3.利用平方差公式计算下列各式， （1）(x ＋5)(x －5)=_____________； 则 ))((25x 2=- （2）(3x ＋y )(3x －y )=___________； 则 ）（) (922x =-y （3）(5＋4x )(5－4x )=____________. 则))((16 -25y 2= 4.观察右边的式子，就可以得到))((22a =-b ，这个公式叫做分解因式的平方差公式.它与平方差公式有什么关系？ 二、知识探究与合作学习 5.阅读P116-117例3， 探究一：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？请把能分解因式的分解因式。 （1）；（ 2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 归纳：多项式有几项？这几项必须是两项的 ，且符号 . 6.探究二：分解因式。 （1）y 44x - （2）ab b -a 3 （3)x y x 22 28)(-- 归纳：分解因式的一般步骤为：1.___________;2.____________;3.观察分解后的式子是否还能继续进行分解。 【当堂演练】 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）. A.－x 2＋y 2 B.x 2＋y 2 C.a 2＋(－b )2 D. a 3－b 3