专题28 综合能力提升专题卷
（时间：90分钟满分120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．的结果正确的是( )
A．﹣2 B．2 C．±2D．4
【答案】B
【解析】
根据二次根式的性质可得原式=2，故选B.
2．（2019·黑龙江初三月考）下列等式正确的是（）
A．2=3 B﹣3 C D．2=﹣3 【答案】A
【解析】
）2=3，A正确；
，B错误；
C错误；
（2=3，D错误；
故选：A．
是解题的关键．
3．（2019·重庆八中初二开学考试）估计(）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】C
【解析】
解：(
又因为4＜5
所以6＜＜7
故答案为C.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.
4．（2019·河南初三期中）已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ）
A ．10
B ．14
C ．10或14
D ．8或10
【答案】B
【解析】
∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x 2﹣8x+12=0，
解得x 1=2，x 2=6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
5．（2019·保定市乐凯中学初三期中）若关于x 的方程()20,0ax bx c a ++=≠的解为2x =-，则关于m 的方程()()222330a m m
b m m
c -+-+=的解为（ ） A ．2-
B ．0或3
C ．1或2
D ．2
【答案】C
【解析】 ∵关于x 的方程()2
0,0ax bx c a ++=≠的解为2x =-， ∴对于方程()()222330a m m
b m m
c -+-+=，232m m -=-，
∴1221m m ==，，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查方程的解的定义，掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
6．（2019·湖南省新化县明德学校初二期中）已知直线3y x =-与22y x =+的交点为(5,8)--,则方程组322
y x y x =-⎧⎨=+⎩的解为( ) A ．58x y =-⎧⎨=-⎩ B ．31x y =⎧⎨=-⎩ C ．3
{0x y == D ．无法确定
【答案】A
【解析】
∵已知直线3y x =-与22y x =+的交点为()5,8--,
∴方程组322y x y x =-⎧⎨=+⎩的解为58x y =-⎧⎨=-⎩
故选A.
【点睛】
此题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系，解题的关键是熟知一次函数交点的含义.
7．（2019·四川初二期末）直角坐标系中，点P （x ，y ）在第三象限，且P 到x 轴和y 轴的距离分别为3、4，则点P 的坐标为（ ）
A ．（－3,－4）
B ．（3，4）
C ．（－4，－3）
D ．（4，3）
【答案】C
【解析】
解：∵点P （x ，y ）在第三象限，
∴P 点横纵坐标都是负数，
∵P 到x 轴和y 轴的距离分别为3、4，
∴点P 的坐标为（-4，-3）．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x 轴的距离=纵坐标的绝对值，到y 轴的距离=横坐标的绝对值．
8．（2019·四川初三）有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a （a ﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y ＝x 2﹣（a 2+1）x
﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（）
A．2
7
B．
3
7
C．
4
7
D．
6
7
【答案】B
【解析】
令△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0，
解得：a＞﹣1，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有0，1，2，3．
当二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象经过点（1，0）时，1﹣（a2+1）﹣a+2＝0，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的数字为0，2，3，
∴该事件的概率为3
7
，
故选B．
【点睛】
本题考查了概率公式、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，利用根的判别式△＞0及二次函数图象上点的坐标特征，找出使得事件成立的a的值是解题的关键．
9．（2020·山东初三）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）
A．1
2
B．1 C
3
D3
【答案】B
【解析】
如图，连接BC，
由网格可得510，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．（2020·河北初三期中）设α、β是方程220120
x x
++=的两个实数根，则22
ααβ
++的值为（）
A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013
【答案】D
【解析】
∵α是方程x2+x+2012=0的根，
∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，
∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，
∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，
∴α+β=-1，
∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．
故选D．
【点睛】
考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=
b
a
-，x1x2=
c
a
．
11．（2020·长沙外国语学校初三月考）如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③2
BC
CG
=﹣1；④HOM
HOG
S
S
V
V
＝22，其中正确的结论是（）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】
A
【解析】
解：如图，
∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，
∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ，
在△BCE 和△DCG 中，
BC CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BCE ≌△DCG （SAS ），
∴∠BEC ＝∠BGH ，
∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ，
∴∠BEC+∠HDE ＝90°，
∴GH ⊥BE ．
故①正确；
∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点，
∴OH ＝OG ＝OE ，
∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上，
∵EF ＝FG ，
∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，
∴△EHM ∽△GHF ，
故②正确；
∵△BGH ≌△EGH ，
∴BH ＝EH ，
又∵O 是EG 的中点，
∴HO ∥BG ，
∴△DHN ∽△DGC ，
DN HN DC CG
∴= 设EC 和OH 相交于点N ．
设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，
222b a a a b
-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，
解得：a ＝b ＝（﹣）b ，或a ＝（﹣1）b （舍去），
2
12a b
∴=
1BC CG
∴= 故③正确；
∵△BGH ≌△EGH ，
∴EG ＝BG ，
∵HO 是△EBG 的中位线，
∴HO ＝
12
BG ， ∴HO ＝12EG ， 设正方形ECGF 的边长是2b ，
∴EG ＝b ，
∴HO b ，
∵OH ∥BG ，CG ∥EF ，
∴OH ∥EF ， ∴△MHO △MFE
， ∴OM OH 2b 2EM EF 2b 2===， ∴EM ＝2OM ，
∴21(12)12
OM OE OM ===-++， ∴21HOM HOE
S S ∆∆=- ∵EO ＝GO ，
∴S △HOE ＝S △HOG ，
∴21HOM HOG
S S ∆∆=- 故④错误，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
12．（2020·河北初三期中）如图，在ABC V 中，CA CB =，90ACB ∠=o ，2AB =，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90o 的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．122π
+ B ．1 4π- C ．1 42π
+ D ．1 42
π
- 【答案】D
【解析】
连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ．
∵CA=CB ，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，
∴DC=12AB=1，四边形DMCN 是正方形，DM=22． 则扇形FDE 的面积是：29013604
ππ⨯=． ∵CA=CB ，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点，
∴CD 平分∠BCA ，
又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，
∴DM=DN ，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN ，
则在△DMG 和△DNH 中，
DMG DNH GDM HDN DM DN ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△DMG ≌△DNH （AAS ），
∴S 四边形DGCH =S 四边形DMCN =12
． 则阴影部分的面积是：4π-12． 【点睛】
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG ≌△DNH ，得到S 四边形DGCH =S 四边形DMCN 是关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2019·重庆第二外国语学校初二）已知点(2,21)P m m +-在y 轴上，则m 的值是__________．
【答案】-2
【解析】
∵点(2,21)P m m +-在y 轴上
∴2=0m +
解得=2m -
故答案为：2-．
【点睛】
本题考查坐标轴上的坐标，熟记x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0是解题的关键．
14．（2019·四川石室中学初二期中）若分式方程
21311m x x -=--产生增根，则m =________． 【答案】12
-
【解析】 21311m x x
-=-- 2331m x -+=-
342
x m -= ∵分式方程有增根
∴10x -=
解得1x =
将1x =代入342
x m -=中 343141222
x m -⨯-===- 故答案为：12
-
． 【点睛】 本题考查了分式方程的问题，掌握分式方程有增根的条件是解题的关键．
15．（2019·山东初三）若数a 使关于x 的分式方程211a x x
+--=4的解为正数，且使关于y ，不等式组21323()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜-2，则符合条件的所有整数a 的和为______．
【答案】10
【解析】 解：分式方程
21x -+1a x -=4的解为64
a x -=且x≠1， ∵关于x 的分式方程21x -+1a x
-=4的解为正数， ∴64a ->0 且64a -≠1， ∴a ＜6且a≠2．
21323()0y y y a +⎧-⎪⎨⎪-≤⎩
＞①② 解不等式①得：y ＜-2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y 的不等式组21323()0
y y y a +⎧-⎪⎨⎪-≤⎩＞的解集为y ＜-2，
∴a≥-2．
∴-2≤a＜6且a≠2．
∵a 为整数，
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，
(-2)+(-1)+0+1+3+4+5=10．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y ＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键．
16．（2019·河北初一期末）若关于x 的一元一次不等式组011
x a x x ->⎧⎨
->-⎩无解，则a 的取值范围是________． 【答案】a≥1
【解析】 不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩，变形为,1,x a x >⎧⎨<⎩
由不等式组无解，则a≥1.
故答案为a≥1.
点睛：不等式组,x a x b
>⎧⎨<⎩无解，即x>a 与x
17．（2019·四川初二期末）如图，有一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA ＝6，OC ＝10，如图，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点处，则点E 的坐标为_______。
【答案】100,
3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 由矩形的性质得：10,6AB OC BC OA ====
由翻转变换的性质得：10,CD OC DE OE ===
在Rt BCD ∆中，22221068BD CD BC =-=-=
则2AD AB BD =-=
设OE x =，则,6DE x AE OA OE x ==-=-
在Rt ADE ∆中，222DE AE AD =+，即222(6)2x x =-+
解得103
x = 故点E 的坐标为10(0,
)3. 【点睛】
本题考查了矩形的性质、图形翻转变换的性质、勾股定理，根据翻转变换的性质和勾股定理求出BD 的长是解题关键.
18．（2019·浙江初二期中）如图，在平行四边ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
（1）∠DCF=∠BCD ，（2）EF=CF ；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF
【答案】①②④
【解析】
试题解析：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=
1
2
∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{
A FDM
AF DF
AFE DFM
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴FC=FM ，故②正确；
③∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC
故S △BEC =2S △CEF 错误；
④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，
∴∠EFC=180°-2x ，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，
∵∠AEF=90°-x ，
∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线．
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．（2020·河南初三期末）计算：11()2cos 602-+-︒．
【答案】1
【解析】
原式21=
=1.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍． 20．（2020·山东新城实验中学初三月考）先化简，再求值：2222222a ab b a ab a b a a b
-+-÷--+，其中a ，b 满足2(2)10a b -++=．
【答案】1a b
-
+，-1 【解析】 解：原式2()2()()()a b a a b a b a a b a b
-=-+--+g 12a b a b
=-++ 1a b
=-+， ∵a ，b 满足2(2)10a b -++=，
∴20a -=，10b +=，
2a =，1b =-，
原式1121
=-=--． 【点睛】
本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（2020·成都嘉祥外国语学校初二开学考试）如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1；
（2）把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B 经过（1）、（2）变换的路径总长．
【答案】（1）（2）作图见解析；（3）2222
π+
． 【解析】 解：（1）如答图，连接AA 1，然后从C 点作AA 1的平行线且A 1C 1=AC ，同理找到点B 1，分别连接三点，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）如答图，分别将A 1B 1，A 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90°，得到B 2，C 2，连接B 2C 2，△A 1B 2C 2即为所求．
（3）∵¼2211290222222,?1802
BB B B ππ⋅⋅=+===， ∴点B 所走的路径总长=222π+． 考点：1．网格问题；2．作图（平移和旋转变换）；3．勾股定理；4．弧长的计算．
22．（2018·广东深圳实验学校初三月考）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）600（2）见解析（3）3200（4）
【解析】
（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．
（2）如图；…
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
（列表方法略，参照给分）．…
P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．…
五、解答题（每小题9分，共18分）
23．（2019·山东初三期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
【答案】(1) k≤5
4
;(2)-2.
【解析】
（1）∵关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个实数根x 1，x 2，
∴△=（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤
，
∴实数k 的取值范围为k≤． （2）∵关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个实数根x 1，x 2，
∴x 1+x 2=1﹣2k ，x 1x 2=k 2﹣1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=16+x 1x 2，
∴（1﹣2k ）2﹣2×（k 2﹣1）=16+（k 2﹣1），即k 2﹣4k ﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k 的值为﹣2．
考点：一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.
24．（2020·江苏省如皋中学初三）近期猪肉价格不断走高，引起市民与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%，某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日猪肉价格为每千克40元，5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售，某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的
34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了
1%10a ,求a 的值. 【答案】（1）25元；（2）a=20.
【解析】
解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x 元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x ≥100，解得：x ≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1； 根据题意得：40（1﹣a %）×
34（1+a %）+40×14（1+a %）=40（1+110a %）， 令a %=y ，
原方程化为：40（1﹣y ）×
34（1+y ）+40×14
（1+y ）=40（1+110y ）， 整理得：250y y -=，
解得：y =0.2，或y =0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20．
答：a的值为20．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2020·安徽初三）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF,
（1）求证：∠C=90°；
（2）当BC=3，sinA=3
5
时，求AF的长．
【答案】（1）见解析（2）5 4
【解析】
解:（1）连接OE，BE，
∵DE=EF，
∴¶DE=¶FE
∴∠OBE=∠DBE
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BC
∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC
∴BC⊥AC
∴∠C=90°
（2）在△ABC ，∠C=90°，BC=3，sinA=
35， ∴AB=5，
设⊙O 的半径为r ，则AO=5﹣r ， 在Rt △AOE 中，sinA=
3,55OE r OA r ==- ∴15,8
r = ∴15552.84AF =-⨯
=
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
26．（2019·河南初三）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333
y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
解直角三角形 一．选择题 1、（苏州二模）如图，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格 纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长.(精确到1 mm，?≈?≈?≈) 参考数据:sin360.60,cos360.80,tan360.75 答案：解：长方形卡片周长为200mm. 2、（齐河三模）在△ABC中，若＋(1－tanB)2＝0， 则∠C的度数是() A．45°B．60°C．75°D．105° 答案：D 3. ( ·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形． 其中正确结论的序号是（） A．①③B．①②③④C．②③④ D．①③④ 【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A是劣弧的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB?cos30°=6×=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴A C=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，
初中中考数学函数基础28道典型题 （含答案和解析） 1.已知关于x 的方程 mx+3=4的解为 x=1，则直线 y=(m−2)x−3一定不经过（）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：A. 解析：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1. ∴m+3=4. ∴m=1. ∴直线y=(m−2)x−3为直线y=−x−3. ∴直线y=(m−2)x−3一定不经过第一象限． 考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次方程. 2.如图，把直线y=−2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(a,b)，且2a+b=6， 则直线AB解析式是（）． A. y=−2x−3 B. y=−2x−6 C. y=−2x+3 D. y=−2x+6 答案：D. 解析：∵直线AB经过点(a,b)，且2a+b=6. ∴直线AB经过点(a，6−2a)． ∵直线AB与直线y=−2x平行. ∴设直线AB的解析式是：y=−2x+b1. 把(a，6−2a)代入函数解析式得：6−2a=−2a+b1. 则b1=6. ∴直线AB的解析式是y=−2x+6.
考点：函数——一次函数——一次函数图象与几何变换——一次函数平移变换. 3.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x>ax+4的解集 为． 答案：x＞2 3 . 解析：∵函数y=2x过点A(m,3). ∴2m=3. 解得：m=2 3 . ∴A(3 2 ,3). ∴不等式2x>ax+4的解集为x＞2 3 . 考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式——两条直线相交或平行问题. 4.若函数y=x−a（a为常数）与函数y=−2x+b（b为常数）的图象的交点坐标是(2,1)， 则关于x、y的二元一次方程组{x−y=a 2x+y=b的解是． 答案：{x=2 y=1. 解析：因为函数y=x−a（a为常数）与函数y=−2x+b（b为常数）的图象的交点坐标是(2,1). 所以方程组{x−y=a 2x+y=b的解是{x=2 y=1. 考点：函数——一次函数——一次函数与二元一次方程——一次函数与二元一次方程（组）的关系.
解直角三角形一.选择题 1. （2019?广东省广州市?3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜 坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（） A．75m B．50m C．30m D．12m 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝， 解得，AC＝75， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2. （2019?广西北部湾经济区?3分）小菁同学在数学实践活动课中测 量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路 灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰 角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6， cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F， 设DF=x， ∵tan65°=， ∴OF=xtan65°， ∴BD=3+x， ∵tan35°=， ∴OF=（3+x）tan35°， ∴2.1x=0.7（3+x），
∴x=1.5， ∴OF=1.5×2.1=3.15， ∴OE=3.15+1.5=4.65， 故选：C． 过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 二.填空题 1. （2019?江苏宿迁?3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB ＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜． 【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值． 【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠ABC1＝30° ∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝， 在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30° ∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2， 当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2． 故答案为：＜BC＜2．
2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题 1．(2019天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长． 解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）如图1， ∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， AG AC GAB CAE AB AE = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2BE2， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE73 2．(2019白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题28 基本不等式及其应用 理（含解析）新人教A 版 【高频考点解读】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【热点题型】 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x z ＋y z ≥8. 证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0， ∴y x ＋z x ≥2yz x ＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0， x z ＋y z ≥2xy z ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x z ＋y z ≥ 8yz ·xz ·xy xyz ＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 【提分秘籍】 利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性． 【举一反三】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9.
题型二利用基本不等式求最值 【例2】 解答下列问题： (1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； (3)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋1 4x －5 的最大值； (4)已知函数f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值． (3)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1 5－4x )＋3≤－2＋3 ＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋1 4x －5 的最大值为1. (4)∵f (x )＝4x ＋a x ≥2 4x ·a x ＝4a ，
2020中考数学基础（常考）综合提升训练：《三角形》一．选择题（共14小题） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（） A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11 2．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF 的长度是（） A．2B．3C．4D．6 3．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1＝30°，则∠2的度数为（） A．30°B．15°C．10°D．20° 4．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（） A．15°B．30°C．45°D．60° 5．在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）
A．90°B．95°C．100°D．120° 6．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（） A．50°B．70°C．75°D．80° 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（） A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC 8．三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点 9．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是（） A．120°B．90°C．100°D．30° 10．一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形
2020年华师大新版数学下册九年级《第28章样本与总体》单 元综合评价试卷含解析 姓名座号 题号一二三总分 得分 考后反思（我思我进步）： 一．选择题（共12小题） 1．收集数据的方法是（） A．查资料B．做实验 C．做调查D．以上三者都是 2．为了解游客对恭王府、北京大观园、北京动物园和景山公园四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案： 方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游； 方案二：在恭王府景区随机调查400名游客； 方案三：在北京动物园景区随机调查400名游客； 方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客． 在这四种调查方案中，最合理的是（） A．方案一B．方案二C．方案三D．方案四 3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（） A．对华为某型号手机电池待机时间的调查 B．对全国中学生观看电影《流浪地球》情况的调查 C．对中央电视台2019年春节联欢晚会满意度的调查 D．对“长征五号B”运载火箭零部件安全性的调查
4．在下列四项调查中，方式正确的是（） A．了解本市中学生每天学习所用的时间，采用全面调查的方式 B．为保证运载火箭的成功发射，对其所有的零部件采用抽样调查的方式 C．了解某市每天的流动人口数，采用全面调查的方式 D．了解全市中学生的视力情况，采用抽样调查的方式 5．为了了解某校1 500名学生的体重情况，从中抽取了100名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（） A．1500名学生是总体 B．1500名学生的体重是总体 C．每个学生是个体 D．100名学生是所抽取的一个样本 6．为了了解某区2万名学生参加中考的情况，有关部门从中抽取了500名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中正确的是（） A．2万名考生是总体 B．每名考生是个体 C．500名考生是总体的一个样本 D．样本容量是500 7．请指出下列抽样调查中，样本缺乏代表性的是（） ①在某大城市调查我国的扫盲情况； ②在十个城市的十所中学里调查我国学生的视力情况； ③在一个鱼塘里随机捕了十条鱼，了解鱼塘里鱼的生长情况； ④在某一农村小学里抽查100名学生，调查我国小学生的健康状况． A．①②B．①②④C．②④D．②③ 8．要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是（）A．调查全体女生 B．调查全体男生 C．调查九年级全体学生 D．调查七、八、九年级各50名学生 9．八年级某班50位同学中，1月份出生的频率是0.30，那么这个班1月份出生的同学有（）A．15B．14C．13D．12
1.(2020·仙桃)下列说法正确的是(B) A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查B．方差是刻画数据波动程度的量 C．购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1 2．(2020·襄阳)下列说法正确的是(D) A．“买中奖率为1 10的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10 000 km，从未出现故障”是不可能事件 C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 3．(2020·温州)一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为(C) A. 4 7 B. 3 7 C. 2 7 D. 1 7 4．(2020·绍兴)如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．
则小球从E出口落出的概率是(C) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 5．(2020·济宁)小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示)，每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第(1)个图案中有1个正方体，第(2)个图案中有3个正方体，第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是(D) (1) (2) (3) (4) … A. 1 100 B. 1 20 C. 1 101 D. 2 101 6．(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b.那么方程x2＋ax＋b＝0有解的概率是(D) A. 1 2 B. 1 3 C. 8 15 D. 19 36 7．(2019·长沙)在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，
1．(2019·遂宁)某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是(C) A．100 B．被抽取的100名学生家长 C．被抽取的100名学生家长的意见 D．全校学生家长的意见 2．(2020·达州)下列说法正确的是(D) A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 B．确定事件一定会发生 C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98，97，99，99，98，96，那么这组数据的众数为98 D．数据6，5，8，7，2的中位数是6 3．(2020·扬州)某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调查问卷： 调查问卷□____年____月____日 你平时最喜欢的一种体育运动项目是()(单选) A．B．C．D．其他运动项目 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是(C) A．①②③B．①③⑤ C．②③④D．②④⑤ 4．(2019·恩施州)某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩(百分制)依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是(A ) A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5 5．(2020·徐州)小红连续5天的体温数据如下(单位：℃)：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3.关于这组数据，下列说法正确的是(B)
A．中位数是36.5 ℃B．众数是36.2 ℃ C．平均数是36.2 ℃D．极差是0.3 ℃ 6．(2020·聊城)为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是(B) A. 92分，96分 C．96分，96分D．96分，100分 7．(2019·贺州)一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是( D) A．2B．3C．4D．5 8．(2020·济宁)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位：cm)的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是(C) A.甲B．乙 9．(2020·威海)为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图(不完整)如图．由图中信息可知，下列结论错误的是(C) A．本次调查的样本容量是600 B．选“责任”的有120人 C．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为64.8°
中考数学复习考点知识与题型专题讲解 专题28 命题与证明 【知识要点】 命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。 命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论） 真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。 定义、命题、公理和定理之间的关系： 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。 一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。 【考查题型】 考查题型一判断是否命题及命题真假
典例1．（2021·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ） A 的算术平方根是2 B ．数据2，0，3，2，3的方差是65 C ．正六边形的内角和为360° D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【分析】 A.根据算术平方根解题； B.根据方差、平均数的定义解题； C.根据多边形的内角和为180(n 2)︒⨯-解题； D.根据菱形、梯形的性质解题． 【详解】 A. 2=，2，故A 错误； B. 数据2，0，3，2，3的平均数是20323=25 ++++，方差是 2222216(22)(02)(32)(22)(32)55⎡⎤-+-+-+-+-=⎣ ⎦，故B 正确； C. 正六边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒，故C 错误； D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D 错误， 故选：B ． 【点睛】 本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 变式1-1．（2021·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ） A ．对顶角相等
专题：《相交线与平行线》（专题测试-提高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（每题4分，共48分） 1．在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（） A．B． C．D． 2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝52°，则∠1的值（） A．52°B．66°C．72°D．76° 3．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝126°，则∠2的度数为（）
A．54°B．63°C．72°D．45° 4．下列说法正确的有（） ①同位角相等；②两点之间的所有连线中，线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． A．②B．②③C．②③④D．②③⑤ 5．一副三角板按如下图放置，下列结论：①∠1＝∠3；②若BC∥AD，则∠4＝∠3；③若∠2＝15°，必有∠4＝2∠D；④若∠2＝30°，则有AC∥DE，其中正确的有（） A．②④B．①④C．①②④D．①③④ 6．下列语句中正确的是（） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 7．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（） A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④ 8．如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件： （1）∠3＝∠4； （2）∠1＝∠2； （3）∠A＝∠DCE；
冲刺2020中考数学解答题拉当提分精准模拟练习（A、B题） （人教版专用） 考点一.化简求值 1.（A题）先化简,再求值:4x·x+(2x-1)(1-2x).其中x=3. 1. （B题）先化简,再求值:-÷,其中a=2-. 考点二.几何证明 2. （A题）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”. 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角. 求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 证法1∶∵________. ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°. ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-(∠1+∠2+∠3). ∵________.
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360° 请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2. 2. （B题）如图,△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形,点D在线段BC上,AF平分DE交BC于点F,连接BE,EF. (1)CD与BE相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由. (2)若∠BAC=90°,求证:BF2+CD2=FD2. 三.概率与统计 3. （A题）在一次男子马拉松长跑比赛中,随机抽得12名选手所用的时间(单位:分钟)得到如下样本数据:140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148 (1)计算该样本数据的中位数和平均数. (2)如果一名选手的成绩是147分钟,请你依据样本数据中位数,推断他的成绩如何?
3. （B题）为进一步深化基础教育课程改革,构建符合素质教育要求的学校课程体系,某学校自主开发了A书法、B阅读、C足球、D器乐四门校本选修课程供学生选择,每门课程被选到的机会均等. (1)学生小红计划选修两门课程,请写出她所有可能的选法. (2)若学生小明和小刚各计划选修一门课程,则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少? 考点四解直角三角形 4. （A题）如图,AB是长为10 m,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数). (参考数据:sin 37°≈,tan 37°≈,sin 65°≈,tan 65°≈)
考点28 矩形 真题回顾 1.（2020·怀化）在矩形中，、相交于点O，若的面积为2，则矩形的面积为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【考点】矩形的性质 【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点O， ∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD， ∴, ∴矩形的面积为, 故答案为：C. 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积. 2.（2020·十堰）已知中，下列条件：①；②；③；④平分 ，其中能说明是矩形的是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B
【考点】矩形的判定 【解析】【解答】解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误； B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确； C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误； D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误. 故答案为：B. 【分析】根据矩形的判定进行分析即可. 3.（2017·大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（） A. 2a B. 2 a C. 3a D. 【答案】B 【考点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a， ∴CE= a， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点， ∴AB=2CE=2 a， 故选B． 【分析】根据勾股定理得到CE= a，根据直角三角形的性质即可得到结论． 4.（2019·临沂）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、 、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )
专题28 几何证明综合复习（判定四边形形状） 教学重难点 1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力 2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路； 3.体会用“分析综合法”探求解题思路； 4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线； 5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。 【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概 5-8 分钟左右。 【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结 几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的" 因为"、"所以 " 逻辑将条件一步步转化 为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等； 7.相似三角形的对应角相等； 8.等于同一角的两个角相等。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2020年2月26日初中数学 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，） 1. 下列调查方式，你认为最合适的是（） A.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式 B.了解盐城市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 C.了解盐城市居民日平均用水量，采用普查方式 D.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 2. 电视上的广告可谓是五彩缤纷，广告的内容也让人眼花缭乱，产品也让人心动，那么，你对电视广告所持的态度是（） A.非常相信 B.有一定可信度，值得考虑 C.极不相信 D.一点也不相信 3. 某市为了分析全市1万名初中毕业生的数学毕业成绩，共随机抽取40本试卷，每本30份，则这个问题中（） A.个体是每本的学生成绩 B.样本是抽取的1200名学生的成绩 C.总体是40本试卷的成绩 D.样本是30名学生的成绩 4. 下列说法正确的是() A.扔100次硬币，都是国徽面向上是不可能事件 B.在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大 C.小明一直是班级第一名，他能考上重点高中是必然事件 D.投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投出的点数是10是确定性事件 5. 为了解某校学生早餐就餐情况，四位同学做了不同的调查：小华向初一年级的三个班的全体同学做了调查；小明向初二年级的三个班的全体同学做了调查；小芳向初三年级的全体同学做了调查；小兰从初一、初二、初三三个年级中分别抽取了一个班的同学做了调查，你认为抽样调查较科学的是（） A.小兰 B.小明 C.小芳 D.小华 6. 下列事件中，是必然事件的是() A.掷一次骰子，向上一面的点数是6 B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C.任意画一个三角形内角和是180∘ D.射击运动员射击一次，命中靶心 7. 王大爷为了测出自家鱼塘中的鱼的条数，第一次捞出100条全部做了记号后放入水中，当它们全部混合于鱼群后，又捞出200条，发现有记号的鱼有10条，则王大爷家的鱼塘中鱼的条数为（）
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD是直径， ∴∠OAD=90°，
《三角形》 1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM． （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°， ∵CD∥AB，且CD＝AB， ∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴BO＝DO，CO⊥BD， ∴AC垂直平分BD； （2）由（1）知AC垂直平分BD， ∴NB＝ND， ∵ND＝NM， ∴NB＝NM． 2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F． （1）求证：△ADG≌△CDE．
（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG． 证明：（1）在等腰Rt△ABC中， ∵点D为斜边AB上的中点， ∴CD＝AB，CD⊥AB， ∵AD＝AB， ∴AD＝CD， ∵CD⊥AB， ∴∠ADG＝∠CDE＝90°， ∵AH⊥CE， ∴∠CGH+∠GCH＝90°， ∵∠AGD+∠GAD＝90°， 又∵∠AGD＝∠CGH， ∴∠GAD＝∠GCH， 在△△ADG和△CDE中 ∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH ∴△ADG≌△CDE（ASA）， （2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点， ∴AC＝AE， ∴∠CAH＝∠EAH， ∵∠CAH+∠AFC＝90°， ∠EAH+∠AGD＝90°， ∴∠AFC＝∠AGD，
∵∠AGD＝∠CGH， ∴∠AFC＝∠CGH， 即∠CGF＝∠CFG． 3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数； （2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长． 解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC ∴AB＝AE＝EC ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝32° ∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°； ∴∠C＝∠AED＝37°； （2）由（1）知：AE＝EC＝AB， ∵BD＝DE， ∴AB+BD＝EC+DE＝DC， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC， ＝AB+BD+DC+AC， ＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）． 4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D． （1）求证：∠AOB＝90°+∠C；
中考数学一轮专项复习——反比例函数综合 能力提升卷 一、选择题 1．（2019•济南）函数y ＝﹣ax +a 与y ＝（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 3. (2019青岛)已知反比例函数y ＝ab x 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面 直角坐标系中的图象可能是( ) 4．如图，在菱形ABOC 中，∠ABO ＝120°，它的一个顶点C 在反比例函数y ＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（ ） A ．y ＝﹣ B ．y ＝﹣ C ．y ＝﹣ D ．y ＝﹣ 5．如图所示，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ） A ．y ＝ B ．y ＝ C ．y ＝ D ．y ＝ 6. 如图，二次函数 y ＝ax 2＋c 的图象与反比例函数y ＝c x 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >c x 的
解集为( ) A. x <－3 2 B. x >－32 C. x <－3 2或x >0 D. －3 2
2020年中考数学考点提分专题二十二以特殊的平行四边形为背景的证明与计算（解析版）考点分析 【例1】（2020·安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 【例2】（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数； （2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长； （3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝1 3 时，求△NED的面积． 考点集训 1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=63PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝°，所以∠BPC ＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．