课题：用代入法求一次函数解析式

课题：用代入法求一次函数解析式

学习目标：

1.用待定系数法求存一次函数解析式

2.会用分段函数表示实际问题

重点：会用待定系数法求一次函数解析式；会用分段函数表示实际问题

难点：用分段函数表示实际问题

习题：

目标1：

A ：

1、当m 时，函数y=(m-2)32 m x +5是一次函数，此时函数解析式为。

2、已知直线经过点A（2,3），B（-1，-3），则直线解析式为

________________

点（-1，2）在直线y=2x＋4上吗？（填在或不在）

1,则y和x的函数关3、已知变量y和x成正比例，且x=2时，y=－

2

系式为。

4、直线y=kx＋2与x轴交于点（－1，0），则k= 。B:

1、若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，-2），则k= .

2、已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为.

2X平行,且通过点(0,4), 3、已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-

3

(1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值

C:

1、已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B?在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，?求正比例函数和一次函数的解析式．

2、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y=

1

x的图象相交于点(2,a),求

2

(1)a的值

(2)k,b的值

(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.

3、在直角坐标系x0y中，一次函数y=

的图象与x轴，y轴，

3

分别交于A、B两点，?点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D?两点的一次函数的解析式．

目标2

A：

1、某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表

由上表得y与x之间的关系式是

2、某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 .

B：

1、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）?求小明出发多长时间距家12千米？

2、某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30?台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：

（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，?说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．

C:

1、某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元．?又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．

（1）求x、y的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值．

2、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元(c≤5);若用水量超过am3时,除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：

根据上表的表格中的数据，求a、b、c．

3、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，?现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D 市、E市的运费为200元和800元；从B?市调运一台机器到D市、E 市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值．

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值．

八年级数学一次函数 解析式求法专题练习及答案详解

一次函数 解析式求法专题练习 1.已知52)2(--+=m m x m y 是正比例函数,若A(a,10)在此直线上,求a 的值. 2.已知直线经过原点及另一点A(-2，4)，求此直线解析式。 3.已知y 与2x-1成正比例,当x=-1时,y=9,求y 与x 的函数关系式. 4.已知2y-1与3-4x 成正比例,当x=2时,y=-7,求y 与x 的函数关系式.

5.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-3成正比例,当x=1时,y=-4;当x=-3时,y= 6.求y与x的函数关系式. 6.如图,已知菱形ABCD在平面直角坐标系中,B(6,2),C(12,6). (1)求D点坐标及菱形ABCD的面积; (2)若直线y=kx始终与线段CD有交点,求k的取值范围. 7.已知直线与坐标轴交于A、B两点,A(-4，0),已知△OAB的面积为12,求直线AB的解析式.

8.已知直线AB,当-2≤x≤4时,函数值y的取值范围为-1≤x≤8,求直线AB的解析式. 9.如图,已知矩形OABC在坐标系中,A(10，0)，C(0，6)，E在AB上,连接CE,将△BCE沿CE折叠,使B点落在OA的F点处. (1)求F点及E点坐标; (2)求直线CE解析式.

10.已知直线经过点)2 321(， A 和点B(1，6). (1)求直线AB 的解析式; (2)求直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标C 和D,并求CD 的长; (3)若点E 在y 轴上,当C 、D 、E 三点围成的三角形是等腰三角形,求满足条件的E 点坐标. 11.如图,直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0)，点A 的坐标为(-6,0). （1）求k 的值； （2）若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点.当点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3）探究:当P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为8 27,并说明理由．

求函数解析式的几种常用方法

求函数解析式的几种常 用方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

求函数解析式的几种常用方法 一、高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 二、题例讲解: 例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )= )1 (1 2x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0

中职数学第三章函数-求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法

第8课时 求解析式的其他方法介绍：换元法、配凑法 【目标导航】 1.初步体验这二种方法在求解析式中的作用，会利用换元法与配凑法求一些简单函数的解析式。 2.琢磨式子结构，从结构来作为解决问题的出发点，有利于问题得到解决。 3.理解利用这二种方法转换的等价性，对定义域的书写正确的作用。 【知识链接】 1.完全平方公式： 。 2.配方法的基本步骤： 。 【自主学习】 1.用换元法解方程： 2(1)5(1)60x x ---+= 换元：令 = 。代入原式子得： 。 则方程变形为： 。解得： 。 还原式子得：○1 ，解得： ； ○ 2 ，解得： ； 所以原方程的解为： 。 2.利用配方法填空： （1）22x x ++ =（ 2)；（2）212 x x -+ =（ 2) （3）221x x +-=（ 2)+（ ）；（4）222x x ++=（ 2)+（ ）； （5）利用配方法解方程224315x x +-= 【例题精讲】 例1：（1）已知()21f x x =+求()2f x +（2）已知()225f x x +=+，求()f x 评注：已知()f g x ????， 求()f x 的解析式，一般可用换元法，具体为：令()t g x =，再求出()f t 可得()f x 的解析式，特别注意换元后新元t 的范围要加以确定,以作为所求解析式的定义域。

例2：已知()212f x x -=+，求()f x 的解析式。 评注：1.形如()f g x ????内的()g x 当作一个整体，在解析式的右端整理成只含()g x 的形式，再把()g x 用x 代替，从而求出()f x 的解析式。在此过程中完全平方公式的应用是关键。 2.实际上配凑法也蕴含了换元思想，值是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成题目当中的那种结构，在进行其整体换元。 例3：（选讲）已知) 1f x =+，求()f x （用换元法和拼凑法解） 评注：一般换元法与配凑法都可以通用，若一题用换元法求解析式，则也可以用配凑法。这二种方法一定要注意定义域的限制。 【及时训练】1.选用换元法或配凑法求下列函数解析式。 （1） 已知()13f x x +=- 求()f x （2） 已知()2122f x x x +=++，求()f x ；()3f ；()3f x +。 【反思总结】 1.无论是换元还是配凑，一定要注意自变量变换的等价性，就是在变化过程中，“元”的范围受到的限制要弄清楚。 2.换元法与配凑法的本质就是由函数的定义可知，在函数的定义域和法则f 不变的情况下，自变量变换字母，以至于变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这二种方法主要是体现了函数的这一性质求解。 （3）换元思想在数学中应用广泛，它一化难为易，化烦为简的功能而著称，从而快速从未知向已知转化，局部换元，整体换元是我们常见的类型，应用及其广泛，同学们一定要加强练习，经常体会，理解其这种数学思想。

八年级数学 一次函数解析式求法 专题指导

例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型

例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行 直线在y轴上的截距为，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 __________。

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。

(完整版)一次函数解析式的求法及面积求法讲义

一次函数解析式的求法及面积求法讲义 一、【知识点拨】 （一）、用待定系数法求一次函数解析式 设y=kx+b 中的k ，b ，最终求得他们的值，叫做待定系数；用此方法求一次函数的解析式叫用待定系数法求一次函数的解析式。 （二）、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积： 直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22 = 二、【典型例题剖析】 例1如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ． y x -16 4 B M A O 例2已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式． 例3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1） 求两直线交点C 的坐标; （2） 求△ABC 的面积. 教师寄语： 成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是 可以掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这个

三【分类型精讲】 （一）解析式的求法： 1.定义型 已知函数是一次函数，求其解析式。 （注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证） 2. 点斜型 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 3. 两点型 一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。 求这个一次函数的解析式；

4. 图像型 . 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 5. 斜截型 已知直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 ___________。 （知识解读：①与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c; ②与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=-k 1x+c.） 6. 平移型 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 （知识解读： 上下左右平移m 个单位 y=kx+b+m,y=kx+b-m,y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b.） 7、实际应用型 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

高中数学3(换元法)

第 7 讲 换元法（高中版） （第课时） 换元法? ??? ??? ???? ??? ???? ?? ??????? ????三角代换均值代换 整体代换策略化超越式为代数式化无理式为有理式化分式为整式降次复杂问题简单化非标准问题标准化 用途 重点：1．；2．；3．。 难点：1．；2．；3．；。 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。 换元的实质是转化，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围，它既不能缩小也不能扩大。 换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。 换元的常用策略有：整体代换（有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换、复变量代换）、三角代换、均值代换等。 整体代换：在条件或者结论中，某个代数式反复出现，那么我们可以用一个字母来代替它， 当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角代换：如果把代数式换成三角式更容易求解时，可以利用代数式中与三角知识的联系进

行换元。例如求函数y ＝x ＋1-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2 α ，α∈[0, π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。又如变量x 、y 适合条件x 2 ＋y 2 ＝r 2 （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。 均值代换：对两个类似的式子，可令其算术平均值为t 进行换元；如果遇到形如 S y x =+ 或 S y x =+2 2 这样的对称结构，可设 x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 或 t S x +=22 ，t S y +=2 2等等。 1．换元法在方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题，有时会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果。对于某些方程，我们可以用新的变量来替换原有的变量，把原方程化成一个易解的方程。 例.（高二）如果关于x 的方程 0sin cos 22 2 4 =++θθx x 有相异的四实根，求θ的范围。 分析：此题已知条件的形式比较陌生，我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。 令 t x =2 ，则原方程化为： 0sin cos 22 2=++θθt t ⑴ 使原方程有相异的四实根等价于使方程⑴有两不等正根。 由此得 ?? ? ? ?>>->-=?)4(0sin )3(0cos ) 2(0sin 4cos 4222θθθθ 即 ?? ? ??≠<>0sin 0cos 02cos θθθ 解之得 4 52432ππθππ+<<+ k k 且 )()12(J k k ∈+≠πθ 2．换元法在不等式中的应用 例.（高二）设对所于有实数x ，不等式x 2 log 241()a a +＋2x log 221a a +＋log 2()a a +142 2 >0 恒成立，求a 的取值范围。 分析：不等式中，log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142 2 三项有何联系？对它们进 行变形后再实施换元法。 解： 设 log 2 21 a a +＝t ，则 log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a +12＝3－log 221 a a +＝3－t ， log 2()a a +142 2 ＝2log 2 a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为 （3－t ）x 2 ＋2tx －2t>0 ，它对一切实数x 恒成立，

函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x

(2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

解析式求法换元法

解析式求法(一般出在选择填空题) ①换元法(本节讲)②知道一半，求另一半的解析式，直接对换。(讲完奇偶性后讲) 例4已知解：令t 1 f (2x 1) ，求f(x)的解析式。 x 则x j 2 2x 2 是f(t)厂，故f(x) 详细解释: 令t 2x t 2 声明用t换掉2x 1 用t来表示x，即通过移项, 把上一行式子所有的x 都写在左边，所有的t都写在右边 f(t) 故f (x) 2 t 1 2 x 1 把题目中所给的解析式用t写一遍。 把上一行式子所有的t换成x再写一遍。 例5已知 f (2x 1) x22x，fC.2) = 解：令t2x 1，则 f(t) )2t 1 2 2 t 2 7、 9、 故f( 12 4 1 设函数f (2 1 1 x x) x x，则 f (x)的表达式为( A 、 B 、 2x 已知 A 、 f(1 1 xS) x X 1 x2 已知f (x 1 -) x 10、已知f (2x 1 ) 1 x 11、设函数f (^) 1 x 2 x ~~2 x 则f (x)的解析式为( 2x 1 x2 2x 1 x2 x 1 x2 1 -，则f(x)= x 2 x 2x，贝y f(3)= x，则f(x)的表达式为

9、 1] x 2 12、已知 f( 1) x ， x 则 f (x)= 13、设函数f (x) 2x 3,g(x 2) f (x)，则g(x)的表达式是( A 、2x 1 2x 1 C 、2x 3 、2x 14、已知一次函数 f (x) ax b 满足 f(1) 0，f (2) f (x)解析式是( 1 A 、 一(X 1) B 2 1 2(x 3) 1 尹 3) 15、若f(x)是一次函数, f[f(x)] 4x 1 且，则 f(x) = 16、已知二次函数 f (x) 2 x 2(m 1)x c 2 2m m (1) 如果它的图像经过原点，求 m 的值; (2) 如果它的图像关于 7、 法一：令 (t 故 f (t) 从而f (x) 法一：令 1 f(t)- 1 (1 t(1 x) 1 x 法二: 由 f(1) 0排除A (无意义) 1 x B (无意义) :1 t D ( f (1) 0) 1 t 故选C 。 1 t 法 三： 由 f(0) 1排除BD 1 t 1 t 由 f ( 3) 2排除A ， 1 x 1 x 故选C 1 t x 法二: 由 f (1) 1排除AB D ，选C 1 t 2 2 法三： 由 f ( 3) -排除A B D ，选 t) (1 t) 5 y 轴对称，写出该函数的解析式 tx 1)x x ，则 则 C 2 (1 t) 2 (1 t) 4t 2(t 2 1) 2t 2x x 2 1 f (x 丄)x 3 x 人 1 令t x —，则 x 从而f (x) f(t) (x -)(x 2 x (x ^)[(x 丄)2 x x 2 t(t 1)，故 f (x)

一次函数解析式的求法及面积求法讲义

一次函数解析式的求法及面积求法讲义 （一）、用待定系数法求一次函数解析式 设y=kx+b 中的k ，b ，最终求得他们的值，叫做待定系数；用此方法求一次函数的解析式叫用待定系数法求一次函数的解析式。 （二）、一次函数图像与坐标轴围成的三角形的面积： 直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为k b S 22 = 二、【典型例题剖析】 例1如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式 ． y x -16 4 B M A O 例2已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式． 教师寄语： 成功并不是很复杂,热爱你所做的事,相信你的天分,每天你都应振奋精神,抛开过去,勇往直前,虽然人生并不总是公平的,但却总是 可以掌控的，关键在于态度和信心,遇到任何困难就应立刻想到:"这个

例3.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. （1）求两直线交点C的坐标; （2）求△ABC的面积. 三【分类型精讲】 （一）解析式的求法： 1.定义型 已知函数是一次函数，求其解析式。 （注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证） 2. 点斜型 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 3. 两点型 一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。

求这个一次函数的解析式； 4. 图像型 . 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 5. 斜截型 已知直线与直线平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 ___________。 （知识解读：①与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c; ②与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=-k 1x+c.） 6. 平移型 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 （知识解读： 上下左右平移m 个单位 y=kx+b+m,y=kx+b-m,y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b.）

换元法求函数值

换元法求函数值 函数求值问题涉及很多方面： 1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。 2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。 3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。 这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子： 【典例】 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln2)的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 因为f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1，所以f (x )－e x 必然是一个常数，设f (x )－e x ＝t (t 为常数)，则f (x )＝e x ＋t ，故f (t )＝e t ＋t 。由已知可得f (t )＝e ＋1，所以e t ＋t ＝e ＋1。又函数y ＝e x ＋x 在R 上是单调递增的，显然t ＝1，所以f (x )＝e x ＋1，故f (ln2)＝e ln2＋1＝3。故选C 。 【答案】 C 先利用换元法，根据已知求出函数f (x )的解析式，然后代入 求值。 【变式训练】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (tan 2x )＝1cos2x ， 则f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ?? ??12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________。 解析 设t ＝tan 2x ，则1cos2x ＝1cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan 2x 1－tan 2x ＝1＋t 1－t ，所以f (t )＝1＋t 1－t 。故f (t )＋f ? ????1t ＝1＋t 1－t ＋1＋1t 1－1t ＝1＋t 1－ t

人教版高中数学必修一函数解析式的求法大盘点

函数解析式的求法大盘点 函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。 一． 方程组法 型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。 联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。 ，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+

一次函数解析式求法总结

一次函数解析式的求法 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. （1） 定义型 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328 是一次函数，求其解析式。 （2）点斜型 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 （3）两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 （4）图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 （5）斜截型 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 。 （6）平移型 例 6.①把直线y x =+21向上平移2个单位得到的图像解析式为 。 ②把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 。 ③把直线y x =+21向左平移2个单位得到的图像解析式

为 。 ④把直线y x =+21向右平移2个单位得到的图像解析式 为 。 规律： （7） 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 。 （8）面积型 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 。 （9）对称型 例9. 若直线l 与直线y x =-21关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。 知识归纳： 若直线与直线y kx b =+关于 （1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为 y kx b =-+ （3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为 （4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b k =+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =- （10）开放型 例10.一次函数的图像经过(－1,2)且函数y 的值随x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 . （11）比例型 例11..已知y 与x +2成正比例，且x ＝1时y ＝－6．求y 与x 之间的函数关系式 练习题： 1. 已知直线y =3x －2, 当x =1时，y = 2. 已知直线经过点A （2,3），B （－1，－3），则直线解析式为________________ 3. 点（－1，2）在直线y =2x ＋4上吗？ （填在或不在） 4. 当m 时，函数y =(m －2) +5是一次函数，此时函数解析式 为 。 5. 已知直线y =3x +b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式 为 . 3 2 -m x

求函数解析式,的四种常用方法

求函数解析式的四种常用方法 1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． 2．换元法：设t ＝g(x )，解出x ，代入f (g(x ))，求f (t)的解析式即可． 3．配凑法：对f (g(x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g(x )”即可． 4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． [再练一题] 3．已知函数f (x )是二次函数，且f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则f (x )＝________. 【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1得c ＝1. 又f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1， ∴f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b . 由2ax ＋a ＋b ＝2x ，得????? 2a ＝2a ＋b ＝0， 即a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 【答案】 x 2－x ＋1 1．下列表示函数y ＝f (x )，则f (11)＝( ) A ．2

C ．4 D ．5 【解析】 由表可知f (11)＝4. 【答案】 C 2．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10 【解析】 法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5， ∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ， 即f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x . 法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x . ∴f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ， 故选A . 【答案】 A 3．f (x )＝|x －1|的图象是( ) 【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝????? x －1，x ≥1，1－x ，x <1， 当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A ，C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D. 【答案】 B 4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm )之间的表达式是________．

换元法

换元法

运用换元法解题时，要引入什么样的“新元”和怎样引入“新元”，不同的问题有不同的方法和技巧。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如：解不等式：4x +2x －2≥0，先变形为设2x =t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式：2t +t-2≥0求解得：t ≥1,t ≤-2指数函数的单调性求解2x ≥1, 2x ≤-2的问题。 x ≥0,x ≤ 1 4 三角换元:应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=21x -的值域时，若x ∈[-1,1]，设x=sin α ，sin α∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x 、y 适合条件222x y r +=时(r>0)，则可作三角代换x=rcos θ、y=rsin θ化为三角问题。 均值换元:如遇到x+y=2S 形式时，设x= S+t ，y= S －t 等等。 例1. 分解因式 分析：从式子的特征来看，可把各看作一个整体使问题简化，事实上，本题解法较多，下面提供三种方法，供同学们学习参考。 解：法一：对和换元，用换元法解 设 则原式 法二：用换元法来解

设，则 原式 法三：将原式整理成关于x的二次三项式 原式 在函数中的应用 1、求函数的定义域 例2、设函数y=f(x)的定义域是[2,3],求函数y=f(x2)的定义域。 解：设x2=t,则y=f(t)的定义域上[2，3]，即2≦t≦3,因此2≦x2≦3,所以 -√3≦x≦-√2或√2≦x≦√3,所求定义域是[-√3,-√2]∪[√2,√3] 2、求函数的解析式 例3、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式 解：设x+1=t,则x=t-1, 所以 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t -4t-1，即f(x)=x2-4x-1。 例4、已知f(x+1/x)=x2+1/x2, 求f(x)的解析式 解：设x+1/x =t，则x2+1/x2=(x+1/x)2-2，即x2+1/x2=t2-2 故f(t)=t2-2, 因此f(x)=x2-2 化简求值：

一次函数解析式求法及答案详解

一次函数解析式求法 1.已知52)2(m m x m y 是正比例函数,若A(a,10)在此直线上,求a 的值. 2.已知直线经过原点及另一点A(-2，4)，求此直线解析式。 3.已知y 与2x-1成正比例,当x=-1时,y=9,求y 与x 的函数关系式. 4.已知2y-1与3-4x 成正比例,当x=2时,y=-7,求y 与x 的函数关系式.

5.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-3成正比例,当x=1时,y=-4;当x=-3时,y= 6.求y与x的函数关系式. 6.如图,已知菱形ABCD在平面直角坐标系中,B(6,2),C(12,6). (1)求D点坐标及菱形ABCD的面积; (2)若直线y=kx始终与线段CD有交点,求k的取值范围. 7.已知直线与坐标轴交于A、B两点,A(-4，0),已知△OAB的面积为12,求直线AB的解析式.

8.已知直线AB,当-2≤x≤4时,函数值y的取值范围为-1≤x≤8,求直线AB的解析式. 9.如图,已知矩形OABC在坐标系中,A(10，0)，C(0，6)，E在AB上,连接CE,将△BCE沿CE折叠,使B点落在OA的F点处. (1)求F点及E点坐标; (2)求直线CE解析式.

10.已知直线经过点)23 21(，A 和点B(1，6). (1)求直线AB 的解析式; (2)求直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标C 和D,并求CD 的长; (3)若点E 在y 轴上,当C 、D 、E 三点围成的三角形是等腰三角形,求满足条件的E 点坐标. 11.如图,直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0)，点A 的坐标为(-6,0). （1）求k 的值； （2）若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点.当点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3）探究:当P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为827 ,并说明理由．