西安市长安高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）
1．（5分）设复数满足（1+i）=2i，则||=（）
A．B．C．D．2
2．（5分）已知命题“?∈R，22+（a﹣1）+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）
3．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90m/h～120m/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）
A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆
4．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=+1时左端应在n=的基础上加上（）
A．2+1 B．（+1）2
C．D．（2+1）+（2+2）+（2+3）+…+（+1）2
5．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a．点E，F分别是棱AC，BD的中点，则的值是（）
A．a2B．a2 C．a2 D．a2
6．（5分）直线y=4与曲线y=3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A．4B．4 C．2 D．2
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看
后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．（5分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为5，乙组数据的平均数为16.8，则，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
9．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0；命题q：＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）
A．2 B．C．D．1
11．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）与直线交于M（1，y1），
N（2，y2），其中1＞0，y1＞0，2＞0，y2＜0，若，且∠MNQ=30°，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．B．y=±C．y=±2 D．
12．（5分）设函数f（）=e（2﹣1）﹣a+a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f（0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[）B．[）C．[）D．[）
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．
14．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为．
15．（5分）设函数f′（）是奇函数f（）（∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当＞0时，f′（）﹣f （）＜0，则使得f（）＞0成立的的取值范围是．
16．（5分）平面直角坐标系Oy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：“直线+y﹣m=0与圆（﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程m2﹣+m﹣4=0有一正根和一负根”．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知函数f（）=aln﹣b2，若函数f（）的图象在=1处与直线y=﹣相切．（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（）在[，e]上的最大值．
19．（12分）已知过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
21．（12分）一张坐标纸上涂着圆E：（+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若
，求△ABO的面积的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论f（）的单调性；
（2）当a=1时，证明：对于任意的∈[1，2]成立．
陕西省西安市长安高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）
1．（5分）设复数满足（1+i）=2i，则||=（）
A．B．C．D．2
【解答】解：∵（1+i）=2i，∴（1﹣i）（1+i）=2i（1﹣i），=i+1．
则||=．
故选：C．
2．（5分）已知命题“?∈R，22+（a﹣1）+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）
【解答】解：∵“?∈R，22+（a﹣1）+≤0”的否定为“?∈R，“
∵“?∈R，22+（a﹣1）+”为假命题
∴“为真命题
即恒成立
∴
解得﹣1＜a＜3
故选B
3．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90m/h～120m/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）
A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆
【解答】解：由频率分布直方图得：
在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，
∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．
4．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=+1时左端应在n=的基础上加上（）
A．2+1 B．（+1）2
C．D．（2+1）+（2+2）+（2+3）+…+（+1）2
【解答】解：当n=时，等式左端=1+2+ (2)
当n=+1时，等式左端=1+2+…+2+2+1+2+2+…+（+1）2，增加了项（2+1）+（2+2）+（2+3）+…+（+1）2．
故选D．
5．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a．点E，F分别是棱AC，BD的中点，则的值是（）
A．a2B．a2 C．a2 D．a2
【解答】解：如图所示，
∵正四面体ABCD的棱长为a．点E，F分别是棱AC，BD的中点，
∴，=a2cos60°=．
∴=
=
=
=．
故选：C．
6．（5分）直线y=4与曲线y=3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A．4B．4 C．2 D．2
【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8），
所以曲线y=3与直线y=4在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4﹣3）d，
而∫02（4﹣3）d=（22﹣4）|02=8﹣4=4
∴曲封闭图形的面积是4，
故选B．
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自
己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
8．（5分）如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为5，乙组数据的平均数为16.8，则，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【解答】解：甲组数据分别为：9，12，10+，24，27；
乙组数据分别为：9，15，10+y，18，24．
因为甲组的中位数为15，所以10+=15，
所以=5；
因为乙组的平均数为16.8，
所以=16.8，
所以y=8，
故选：C．
9．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0；命题q：＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a 的取值范围是（）
A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]
【解答】解：由p：2+2﹣3＞0，知＜﹣3或＞1，则?p为﹣3≤≤1，?q为≤a，又?p是?q 的充分不必要条件，所以a≥1．
故选：B．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）
A．2 B．C．D．1
【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，
∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，
=S△ABD×EC=××2×2×=
在三棱锥E﹣ABD中，V E
﹣ABD
=×2×=2
在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S
△EBD
∴V A
=×S△EBD×h=×2×h=
﹣BDE
∴h=1
故选D
11．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）与直线交于M（1，y1），N（2，y2），其中1＞0，y1＞0，2＞0，y2＜0，若，且∠MNQ=30°，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．B．y=±C．y=±2 D．
【解答】解：设MN的中点为H，MN与轴交于P，
由直线，可得P（﹣，0），
由y=﹣﹣m代入双曲线的方程，可得：
（b2﹣3a2）2﹣2ma2﹣a2b2﹣a2m2=0，
设M（1，y1），N（2，y2），
可得1+2=，
可得MN的中点H（，﹣），
若，则O为MQ的中点，
由OH为△MNQ的中位线，可得
∠MNQ=∠MHO=30°，
又∠MPO=180°﹣120°=60°，
△HPO为等腰三角形，且PO=PH，
OH=PO，
即有（）2+（﹣）2=3?，
化为a=b，
则双曲线的渐近线方程为y=±，
即为y=±．
故选：B．
12．（5分）设函数f（）=e（2﹣1）﹣a+a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f（0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[）B．[）C．[）D．[）
【解答】解：设g（）=e（2﹣1），y=a﹣a，
由题意知存在唯一的整数0使得g（0）在直线y=a﹣a的下方，
∵g′（）=e（2﹣1）+2e=e（2+1），
∴当＜﹣时，g′（）＜0，当＞﹣时，g′（）＞0，
∴当=﹣时，g（）取最小值﹣2，
当=0时，g（0）=﹣1，当=1时，g（1）=e＞0，
直线y=a﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1
故选：D
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，
故答案为：60．
14．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为3．
【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π
S全面积=πr2+2πrh==
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S
=πr2+2πrh==
全面积
==27π
当且仅当即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
15．（5分）设函数f′（）是奇函数f（）（∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当＞0时，f′（）﹣f （）＜0，则使得f（）＞0成立的的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
【解答】解：设g（）=，则g（）的导数为：
g′（）=，
∵当＞0时总有f′（）＜f（）成立，
即当＞0时，g′（）恒小于0，
∴当＞0时，函数g（）=为减函数，
又∵g（﹣）====g（），
∴函数g（）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（）的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f（）＞0??g（）＞0
?或，
?0＜＜1或＜﹣1．
∴f（）＞0成立的的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
16．（5分）平面直角坐标系Oy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物
线C2：2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±，
与抛物线C2：2=2py联立，可得=0或=±，
取A（，），设垂心H（0，），
则AH==，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）=﹣1，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e==．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：“直线+y﹣m=0与圆（﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程m2﹣+m﹣4=0有一正根和一负根”．若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围．
【解答】解：对p：∵直线与圆相交，
∴d=＜1．∴﹣+1＜m＜+1．
对q：方程m2﹣+m﹣4=0有一正根和一负根，
∴令f（）=m2﹣+m﹣4，
∴或，
解得0＜m＜4．
又∵?p为真，∴p假．
又∵p或q为真，∴q为真．
由数轴可得+1≤m＜4．
故m的取值范围是+1≤m＜4．
18．（12分）已知函数f（）=aln﹣b2，若函数f（）的图象在=1处与直线y=﹣相切．（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（）在[，e]上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（）=aln﹣b2，得f′（）=﹣2b，
∴f′（1）=a﹣2b，
则，解得a=1，b=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）=ln﹣2．
f′（）=﹣=（＞0）．
∴当∈（，1）时，f′（）＞0，当∈（1，e）时，f′（）＜0．
∴f（）在（，1）上为增函数，在（1，e）上为减函数，
则f（）ma=f（1）=﹣．
19．（12分）已知过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．
【解答】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y=2﹣p，
联立，可得42﹣5p+p2=0．
∵1＜2，p＞0，△=25p2﹣16p2=9p2＞0，
解得，2=p．
∴经过抛物线焦点的弦|AB|=1+2+p=p=9，解得p=4．
∴抛物线方程为y2=8；
（2）由（1）知，1=1，2=4，代入直线y=2﹣4，
可求得，，即A（1，﹣2），B（4，4），
∴=+λ=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），
∴C（4λ+1，4λ﹣2），
∵C点在抛物线上，故，
解得：λ=0或λ=2．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为、y、轴建立空间直角坐标系，
则：D（），B（），P（0，0，），C（）．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，取y=1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．
∴cos＜＞==．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
21．（12分）一张坐标纸上涂着圆E：（+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若
，求△ABO的面积的取值范围．
【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，
由题意知圆E的半径为2，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，
∴b2=a2﹣c2=1，
∴M的轨迹C的方程为=1．
（2）l与以EP为直径的圆2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：
=1，即m2=2+1，
由，消去y，得（1+22）2+4m+2m2﹣2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，
∴△=162m2﹣8（1+22）（m2﹣1）=82＞0，2＞0，
设A（1，y1），B（2，y2），则，，
y1y2=（1+m）（2+m）=212+m（1+2）+m2=，
又=12+y1y2=，∴，∴，
=
=，
设μ=4+2，则，
∴=，，
∵S
关于μ在[，2]单调递增，
△AOB
∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．22．（12分）已知函数．
（1）讨论f（）的单调性；
（2）当a=1时，证明：对于任意的∈[1，2]成立．
【解答】（1）解：由f（）=a（﹣ln）+，
得f′（）=a（1﹣）+=（＞0）．
若a≤0，则a2﹣2＜0恒成立，
∴当∈（0，1）时，f′（）＞0，f（）为增函数，
当∈（1，+∞）时，f′（）＜0，f（）为减函数；
当a＞0，若0＜a＜2，当∈（0，1）和（，+∞）时，f′（）＞0，f（）为增函数，当∈（1，）时，f′（）＜0，f（）为减函数；
若a=2，f′（）≥0恒成立，f（）在（0，+∞）上为增函数；
若a＞2，当∈（0，）和（1，+∞）时，f′（）＞0，f（）为增函数，
当∈（，1）时，f′（）＜0，f（）为减函数；
（2）证明：∵a=1，
令F（）=f（）﹣f′（）=﹣ln+﹣﹣1++﹣=﹣ln++﹣﹣1．
令g（）=﹣ln，h（）=+﹣﹣1．
则F（）=f（）﹣f′（）=g（）+h（），
由g′（）=≥0，可得g（）≥g（1）=1，当且仅当=1时取等号；
又h′（）=，
设φ（）=﹣32﹣2+6，则φ（）在[1，2]上单调递减，
且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，
∴在[1，2]上存在0，使得∈（1，0）时φ（0）＞0，∈（0，2）时，φ（0）＜0，
∴函数h（）在（1，0）上单调递增；在（0，2）上单调递减，
由于h（1）=1，h（2）=，因此h（）≥h（2）=，当且仅当=2取等号，
∴f（）﹣f′（）=g（）+h（）＞g（1）+h（2）=，
∴F（）＞恒成立．
即f（）＞f′（）+对于任意的∈[1，2]成立．