中考高分冲刺－冲刺四
基本图形性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要
靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。
正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。
一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好：
1、线段的两种变换性质；
2、线段中点的三项功能。
1、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）
例1 如图，ABC ?是任意三角形，请画出BC A '?和ABC ?具有全等的关系。 【观察与思考】如果把要画的BC A '?看作是由ABC ?变换而来的，那么这个变换使线段BC 变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。
（1）[来源:学§科§网]
（2）
解：如图（2）（其中直线1l 是BC 所在的直线，点1A 为点A 关于直线1l 的对称点；直线2l 是线段BC 的垂直平分线，点2A 为点A 关于直线2l 的对称点；点O 是线段BC 的中点，点3A 和点A 关于点O 为对称。
BC A BC A BC A 321,,???都和ABC ?全等。
【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。
2、线段中点的三项功能
B A C
A B
C 1A 3A O 1l
2l 2A
（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AG//DB ，交CB 延长线于点G 。 若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论。
【观察与思考】首先，由，GB//AD ，AG//DB ，知四边形AGBD 已是平行四边形，其次，
由四边形BEDF 是菱形，而点E 是AB 的中点，即ED 是ABD ?中AB
DE=EB=AE ，立刻知道?=∠90ADB ，即四边形AGBD 是矩形。
解：（略）
【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出
从DE=EB=AE ，导出?=∠90ADB 。
（2）构造三角形的中位线 例3 如图（1），已知，AD 是ABC ?的中线，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交AB 于点F 。
（1）若E 是AD 的中点，则
=BF
AF
； （2）若AE ：ED 则
，21==BF AF
； （3）若AE ：ED n 1=，则
=BF
AF
； （1）
【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF ，交AB 于点M ，EF 为ADM ?的中位线，得AF=FM ， DM 为BCF ?的中位线，得BM=MF 。可知AF 2
1
=FB 。
（2）如图（3），作DM//CF ，交AB 于点M ，易知，AFE ?∽ADM ?,
得21==ED AE FM AF 。又DM 为BCF ?的中位线，得DM=FM ，4
1
2==FM AF BF AF （2）
（3）类比于（1）和（2），应有n
BF AF 21
=（其实可有与（2）类似的推演过程）
【说明】本题解决的关键就在于构造出BCF ?的中位线DM 。
（3）构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造”
（3）
A B
D
C
E
F
B
A
D C
E
F M B
A D C E
F
M
（特别是中心对称型全等三角形）来使相关问题获得解决。
例4 已知，如图D是ABC
?的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC 求证：C
DEA∠
=
∠
【观察与思考】以BD及其中点A
解法提示：如下面图（1），（2），（3）。
（2）（3）（1）
方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有A C B
AFD?
?
?，DF=BC=DE，得D E A
F
C∠
=
∠
=
∠
方法二：如图（2），分别作CA
DN⊥交CA的延长线于N，,
CA
BM⊥垂足为M，则有,
BAM
Rt
DAN
Rt?
?
?
得，DN=BN，进而推得CBM
EDN
Rt?
?
?，得C
DEA∠
=
∠
方法三：如图（3）延长CA到G，使得AG=EA，则,
BGA
DEA?
?
?得,
G
DEA∠
=
∠再由BG=DE=BC，得C
G
DEA∠
=
∠
=
∠。
特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。
[来源:学科网ZXXK]
例5 操作：如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图（1）画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。
A
（1） （2）
探究：如图（2），在四边形ABCD 中，AB//CD ，E 为BC 边的中点，AF EAF BAE ,∠=∠与DC 的延长线相交于点F ，试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论。
【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ 上点O 的两侧分别取点E ，F 使OE=OF ，就有ONF OME ?（图略）对于图（2），延长AE 到G ，使EG=EA ，连结CG ，如图（2`）。由“操作”的结论可知GCE ABE ???， 得AB=GC ，,GCB ABC ∠=∠即CG//AB ，而CF//AB ，可知点F 在GC 上，而由GAF BAG G ∠=∠=∠，得AF=GF 。这样就有CF AF CF GF GC AB +=+==
解：（略）
（2`）
由以上题目的解法研究看出：
凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。
二、角平分线的功能 角平分线主要功能有：
1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。
1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形 角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。
例1 如图，在ABC ?中，?=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：AC=AE+CD 【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC 上作出AE 关于AD 的 的对称图形AF （如图（2）），进而希望有CF 和CD 也关于CE 对称，这就引导我们 获取了如下的证法。
D
F
A B E
C G F
D A
E
证明：取AC 上的点F ，使AF=AE ，连结OF 。
在AOE AOF ??和中，AF=AE ，AO 公用，EAO ，FAO ∠=∠
（1）
AOE 。AOF AOE ，AOF ∠=∠∴???∴
又因为
?
=?-?-?=∠-?-?=∠+∠-?=∠1206018021
180180211802
1
180）（B ）（ACB ）
BAC （AOC
（2）
?=∠=∠∴60AOF AOE
在
COD COF ??和中CO 公用。COD AOE AOF AOC FOC DCO FCO ∠=∠=?=∠-
∠=∠∠=∠60,
CD CF COD COF =∴???∴,。 CD AE CF AF AC +=+=∴
【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。
例2 如图，已知点A （0，1）是y 轴上一个定点，点B 是x 轴上一个动点，以AB 为边，在OAB ∠外部作,OAB BAE ∠=∠过点B 作,AB BC ⊥交AE 于点C ，设点C 的坐标为（y x ,），当点B 在x 轴上运动时，求y 关于x 的函数关系式。
【观察与思考】先从几何图形的角度来看y x ,，为此作x CD ⊥轴 于点D （如图（2）），当点B 在x 的正半轴上时，,,CD y OD x ==现 考虑CD 与OD 之间的函数关系式。
再由AB 为OAE ∠的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB 的延长线交y 轴于'C ，由,AB CB ⊥可知B C '和CB 关于AB 对称，即B 为C C '的中点，再结合x CD ⊥轴，x O C ⊥'轴，则OB C CDB ’??和关于点B 为中心对称，得y CD OC ==‘，x OD OB 2
1
21==。再由AOB BOC ??和'的相似关系即可导出欲求的函数关系式。
解：作x CD ⊥轴于点D ，延长CB ，交y 轴于点'C ，则x OD y CD ==,
A
B
C
D
E
O F x
OAE AB ∠是 的平分线，且''ABC ABC Rt AB ，
CC ???∴⊥，得'BC BC =。 （2）
在OB C CDB ‘??和中，）AC CD B （OC DCB BO ，C CBD ’//‘’ ∠=∠∠=∠
B C CB ’=
x OD DB OB y CD O C OB ，C CDB 2
1
21,’‘==
===∴???∴。 在BAO BO C ，AOB Rt BOC Rt ∠=∠??‘'中和（同为ABO ∠的余角）。
'BOC Rt ?∴∽Rt ,AOB ? 得x y
x
OB OA OC OB 2
11
21
,'=
=即， 24
1
x y =∴。
容易知道，这个关系在0=x 和x 取负数值时，也是成立的。
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形
我们知道，若OP 是AOB ∠的平分线，则与OA 平行，与OB 平行，与OP 平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
情形一，与OA 平行的直线MN 和OB ，OP 所在的直线相交如图（1）和（2）：
（1）MN 和OB ，OP 交出等腰三角形COD ，（2）MN 和OP ，OB 的反向延长线交出等腰三角形COD ， 其中CO=CD 。（213∠=∠=∠ ） 其中CO=CD 。（4123∠=∠=∠=∠ ）
情形二，与OP 平行的直线MN 和OA ，OB 所在的直线相交如图（3）和（4）
O B
P A
M
N C
D 1
2 3 1 B
P
A O
2
C N
M
D 3
4
N M A D C 3
4 O A
N
1
2 2 4
（3）MN 和OB 的反向延长线及OA 交出等腰三角形 （4）MN 和OA 的反向延长线及OB 交出等腰三角形
DCO ，其中OC=OD ，（4213∠=∠=∠=∠ ） OCD ，其中OC=OD 。（4213∠=∠=∠=∠ ）
情形三，与OB 平行的直线MN 和OA ，OP 所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。[来源:学科网ZXXK] 由此可知：
①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。
②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。
角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；[来源:https://www.doczj.com/doc/ae16268699.html,]
例3 如图（1），在平行四边形ABCD 中，线段AE ，BF 分别平分ABC DAB ∠∠和，交CD 于点E ，F ，线段AE ，BF 相交于点M 。 （1）试说明：BF AE ⊥；
（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明。
【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。
解：（1）?=∠+∠=∠+∠=∠+∠90)(2
1
2121ABC DAB ABC DAB MBA MAB BF AE AMB ⊥∴?=?-?=∠∴.9090180。
（2）有结论：DF=CE ，理由如下：
在DAE ?中，DA DE DEA BAE DAE =∴∠=∠=∠,。 同理有CF=CB 。
CE EF CF EF DE DF CF CB DA DE =-=-=∴===∴.
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，
还应特别注意从角平分线两个方面
B C
的功能来分析和认识图形：
Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。
三、等腰三角形的变换性质
等腰三角形具有这样的变换性质 1、等腰三角形是轴对称图形；
2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。
1、等腰三角形的轴对称图形
等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（1）
1）
例1 如图（2），A
B C ?中，AB=AC ，过A 作GE//BC ，角平分线BD ，CF 相交于点H ，它们的延长线分别与GE 交于点E ，G ，试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
【观察与思考】找全等三角形，实际上是去找图中关于ABC ?的对称轴（尽管没有把它画出来）为对称的三角形。
解：全等的三角形有：;;;ADE AFG ACG ABE ACF ABD ?????????
DCB FBC HDC HFB ??????;
以证ADE AFG ??为例： 在CDB BCF ??和中，BC 公用， BCD CBF ∠=∠，
CBD ，CBF BCD BCF ∠=∠=∠=
∠2
1
21 CD BF CBD 。BCF =∴???∴。 在ADE AFG ??和中，
E EBC GCB G EAD ，ACB ABC GA
F ∠=∠=∠=∠∠=∠=∠=∠， AF=AB-BF=AC-CD=AD ，
ADE AFG ???∴。
B E
【说明】三角形全等本来只是图形“形状和大小”的问题，现在，在等腰三角形这一特殊（轴对称）背景下，可以借助于“位置的对称”来寻找和认识它们，这就为我们研究和利用它们提供了一个新的视角，新的途径，无疑是非常有帮助的。
例2 如图（1），A
B C ?中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF//AB ，连结BP 并延长，交AC 于点E ，交CF 于点F 。
求证：PF PE BP ?=2
）
）
【观察与思考】若作PB 关于AD 的对称线段PC ，则PC=PB ，而易知
PCE ?∽PFC ?，可使问题获解。
证明：连结PC （如图（1`）） 在ACP APB ??和中，AP 公用，AB=AC ，CAP BAP ∠=∠， ACP ABP CP ，BP ACP ，APB =∠=∴???∴且。 在F ABP PCE FPC ，CPE ，PFC PCE ∠=∠=∠∠=∠??中和
PCE ?∴∽PFC ?， PF PE PB PF ，PE PC PC
PE PF PC ?=?=∴=∴22即。
【说明】可以看出，当问题的基本背景为等腰三角形时，以该三角形的对称轴去探索问题的解决途径，常常是很有效的。
2、等腰三角形的“两腰的旋转重合性”
如图，在等腰三角形ABC 中，若顶角α=∠BAC ，则显然有：
腰AB 与腰AC 重合，反之有
腰AC 与腰AB 重合。
等腰三角形这一特征，我们称之为等腰三角形“两腰的旋转重合性”，等腰三角形的这一特征，也是解决某结与等腰三角形相关问题的向导。
例3 如图（1），A B C ?是等边三角形，BDC ?是顶角?=∠120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点
B
D
B
D
绕点A 逆时针 旋转α 绕点A 顺时针
旋转α
C
作
60°的角，它的两边分别与AB ，AC 交于点M 和N ，连结MN 。 （1）探究：NC MN BM ,,之间的关系，并加以证明；
（2）若点M ，N 分别在射线AB ，CA 上，其他条件不变，再探究线段BM ，MN ，NC 之间的关系，在图（2）中画出相应的图形，并就结论说明理由。
1）
（2）
【观察与思考】对于（1），这时在DMB ?中，有?=?+?=∠+∠=∠906030CBA DBC DBM 为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，
作： DMB ? DGC ?（如图（1`），从而有MB=GC ，而此时恰又有
GND MND ??， 得BM NC CG NC NG MN +=+==。
（2`）
（1`）
对于（2），此时的图形（2`），仍作（1）中的的旋转，类似地可以推得MN=CN —BM 解：（1）关系为MN=BM+NC 。
证明：延长AC 到G ，使CG=BM ，连结DG ，如图（2`）
?=+?=∠+∠=∠903060CBD ABC ABD 。同理也有?=∠90ACD 。 在DC ，DB DGC Rt DMB Rt =??中和，BM=CG 。
GDC MDB DG DM DGC Rt DMB Rt ∠=∠=∴???∴,,。
在GND MND ??和中，ND 公用，DM=DG ，?=∠60MDN ?=∠+∠=∠+∠=∠60CDN MDB CDN GDC GDN 。
C
B
C 绕点
D 顺时针
旋转?120角 C
A
B M
N
C
D A
B
M
N G
NC BM NC GC GN MN GND ，MND +=+==∴???∴。
（2）此时，图形如图（2`），有关系式：MN=CN —BM 。理由如下： 在CN 上截取CG=BM ，连结DG ，如图（2`）。 与（1）中情况类似
，可推得
G
D
M D B DG ，DM DGC Rt DMB Rt ，ACD ABD ∠=∠=????=∠=∠得且,90 仍与（1）中情况类似，可推得BM NC CG NC GN MN GND MND -=-==??就有,。
【说明】由本题可以看出，恰当地运用等腰三角形的“两腰的旋转重合性”，可在一定的条件下实现图形 （线段、角）的“转移”，从而使问题解决。
当题目背景为等腰三角形时，应注意充分运用其“轴对称性”和“两腰的旋转重合性”。
四、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙。
等边三角形具有如下的变换性质 1、它是轴对称图形（有三条对称轴）； 2、它是绕中心的?120的旋转对称图形； 3、它的两邻边具有60°旋转重合性；
1、等边三角形的“?120的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转α角（?<
可以知道，任意的等边三角形ABC ，以它的中心O （三条中线的交点，也即中心、内心、垂心、外心）为中心旋转?120，就与自身重合，所以，“等边三角形是?120的旋转对称图形。”如图
重合于等边三角形BCA ，等边三角形的这一变换性质，可以帮助
我们更好地发现与找到许多问题的解决方法。
例1
如图（1），扇形DOE 的圆心角为120°，等边三角形ABC 的中心恰好为扇形 DOE 的圆心O ，且
ABC ?
绕点O 顺（逆）时针
旋转120°角
C A
点B 在扇形DOE 内
（1）请连结OA ，OB ，并证明BOG AOF ???；
（2）求证：ABC ?与扇形DOE 重叠部分的面积等于ABC ?面积的
3
1。
（1）
【 观察与思考】注意到点O 为等边三角形ABC 的中心，而FOG ∠恰为120°，即
重合于OG 。因此，
（1）有AOF ? 重合于BOG ?。
（2）由（1）的结论可推得。
【证明】（1）连结OA ，OB （如图（1`
）。 点O 是等边
ABC ?的中心，
?=?
=
∠?=∠=∠=1203
360,30,AOB OBG OAF OB OA 。 又知BOG BOF FOG BOF AOB AOF FOG ∠=∠-∠=∠-∠=∠∴?=∠,120。
BOG AOF ???∴。
（2）ABC OAB OAF OFB OBG OFB OFBG S S S S S S S ??????=
=+=+=3
1
四边形
【说明】由本题的结论及其推导过程可以进一步概括出：在等边三角形ABC 中，
①任意顶点在ABC ?的中心的120°的角的两边，截下的ABC ?的部分的面积，都等于ABC ?面积的
3
1。 ②任意以ABC ?的中心O 为端点的射线（如上图中的OD ），以O 为中心旋转120°以后（如上图中的OE ），与ABC ?的边交出的对应线段有着同样的旋转对称关系，当然也就相等（如上图中OF=OG ，AF=BG ，BF=CG ）。
例2 如图，已知，点D 是边长为1的等边三角形ABC 的内心，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且满足?=∠60EDF 。求AEF ?的周长。
【观察与思考】A E F ?的三边的长不可能通过分别计算求得，因此，第一个想法 就是把它的三条边等长转化到同一条直线上，利用等边三角形120先把AF 转化到AB 上，为此，如图（1`），连结DA （注意到点D 就 （1）
作变换：
重合到BDG ?。
OF 绕点O 逆时针 旋转120°角
绕点O 逆时针 旋转120°角 A
?ADF
绕点D 逆时针 旋转120°角
当然就有AF=BG 。在这种情况下，又诱发我们看到DEG DEF ???，
即有EF=EG ，这时就可以看出，AEF ?的周长应当等于ABC ?
（1`）
解：如图（1`），连结DA ，DB ，并在BA 上截取BG=AF ，连结DG ， 在BDG ADF ???中， ?=∠=∠==30,,DBG DAF BD AD BG AF （因为D 为ABC ?的内心） .,,BDG ADF DG DF BDG ADF ∠=∠=∴???
在DEG DEF ??和中，DE 公用，DF=DG ，?=∠60EDF ，而 BDG ADE ADB EDG ∠-∠-∠=∠
()?=?-?=∠-?=∠+∠-?=6060120120120EDF ADF ADE
EG EF DEG ，DEF =∴???∴
∴AEF ?的周长1==++=++=AB BG EG AE AF EF AE
【说明】正是等边三角形的120°的旋转对称性，启发了整个的解题思路和辅助线的作法。
2、等边三角形“两邻边的60°旋转重合性。
因为等边三角形的每个角都是60°，且三边相等，所以，以其一个顶点（如图的A ）为中心，将过该顶点的一条边（如AB ）沿适当的方向旋转60°（如这里逆时针旋转60°）就能与顶点的另一条边（如AC ）
重合。
等边三角形的这一性质，我们可称之为等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”。 这一性质，在不少与等边三角形相关的题目中，也有关着很重要的作用。
例3 如图，已知AD 和BC 相交于点O ，且OCD OAB ??和均为等边三角形， 以为边作和OB OD 平行四边形ODEB ，连结AC ，AE 和CE 。
求证：ACE ?也是等边三角形 【观察与思考】借助于等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，容易发现：
Ⅰ、 重合于ABE ?；
Ⅱ、 重合于EDC ?。[来源:Z&xx&https://www.doczj.com/doc/ae16268699.html,]
由以上旋转重合中任选一个，都不难使本题获解。
C
B
E
D
C A O AOC ?
绕A 沿逆时针方向 旋转60°
AOC ?
绕C 沿顺时针方向 旋转60°
证明方法一：在ABE AOC ??和中，
AB ，AO
=ABE OBE ABO COD ABO AOC BE ，OD OC ∠=∠+∠=∠+∠=?=∠==120， EAB CAO AE ，AC ABE ，AOC ∠=∠=∴???∴。
又?=∠=∠+∠=∠+∠=∠60OAB OAE EAB OAE CAO CAE ACE ?∴是等边三角形。
方法二：通过证AOC ?和EDC ?全等，请同学们自己完成。
【说明】由上例进一步看出，熟悉并善于运用等边三角形“两邻边的60°旋转重合性”，能更快速、更准确地发现与等边三角形相关问题中的全等关系，进而解决许多有关的问题。
以等边三角形为背景的题目，绝大部分是依以上三种变换性质展开或衍生的。因此，依这三种变换性质去寻找解法，既是正路，也是捷径。
五、等腰直角三角形的变换性质
从变换的视角来看，等腰直角三角形有如下的三种特征：
特征一：它是以斜边上的中线所在直线为轴的对称图形（这是由“等腰”决定的）； 特征二：它是以斜边上的中点为中心的90°旋转重合图形（意义见下文）； 特征三：它的两条直角边关于直角顶点具有90°的旋转重合性。
特征一的应用亦如一般的等腰三角形一样，而与等腰直角三角形相关的问题，更多的却是由其特征二和特征三所引发的，相应地，这些问题的解决也便多以特征二和特征三为思考的依据及落实的线索，以下举例来说明。
1、等腰直角三角形“以斜边中点为中心的90°旋转重合性”。
我们知道，在等腰直角三角形ABC 中，若AO 是斜边AB 的中线（或高线，或顶角的平分线）——即O 为斜边的中点，那么，将ACO Rt ?绕点O 顺时针旋转90°，则它与CBO Rt ?重合（点A 重合于点C 处，点C 重合于点B 处）。如图所示，同样地，将COB Rt ?绕点O 逆时针旋转90°，则它与AOC Rt ?重合（点C 重合于点A 处，点B 处重合于点C 处）。
等腰直角三角形以上的性质，我们称之为“等腰直角三角形以斜边中点为中 心的90°旋转重合性”（以下简称“90°旋转重合性”）。这一性质可以说是 等腰直角三角形最为本质的特征，因此有着极为广泛的应用。
例1 在ABC ?中，AC=BC ，?=∠90C ，将一块直角三角板的顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC ，CB 于D ，E 两点，图（1），（2），（3）是旋转三角板得的图形中的三种情况。
探究并证明：线段PD 和PE 之间有什么数量关系？写出结论并证明。
O
C ）
（1）（2）
（3）
【观察与思考】根据题目的条件和要回答的问题，我们首先考虑到等腰直角三角形的“90°旋转重合性”。为此，在三种情况的图形中均连结CP，如下面各图：
（1`）（2`）
在图（1），图（2），图（3）中均有：
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
重合于EBP
?，从而EBP
DCP?
?
?，得PD=PE，即3种情况有统一的结论
和统一的证法。
解：在3种情况中，均有结论，PD=PE。证明如下：
在图（1），图（2），图（3）中，都连结CP，在DCP
?和EBP
?中，CP=BP，EBP
DCP∠
=
∠（在图（1）和
图（2）中，这两个角都为45°，而在图（3）这两个角都为135°）EPB
DPC∠
=
∠（在图（1）和图（2）中这两个角同为CPE
∠的余角，而图（3）中，这两个角同为DPB
∠的余角。
∴EBP
DCP?
?
?，可得PD=PE。
【说明】在本题中，等腰直角三角形的“90°旋转重合性”）引导我们找到如上的既统一又简捷的解决方法，这就是本质特征所揭示的规律的普遍化作用。
例2，如图，在ABC
?中，BC
AC
ACB=
?
=
∠,
90，直线MN经过点C，且MN
AD⊥于点D，
C
D
DCP
?绕点P逆时针
旋转90°
MN BE ⊥于点E 。
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD —BE ；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，
并加以证明。 （1）
【观察与思考】首先想到借助等腰直角三角形的“90°旋转重合性”来探究： 在图（1），图（2），图（3）中，都取斜边AB 的中点P 如下面的图（1`），图（
2`），图（3`）则容易看到：
（1`） （2`）
在这三个图中均有： 重合于CBE Rt ?，即CBE Rt ACD Rt ???， 由此推得：
AD=CE ，CD=BE 。据此不仅立刻得到图（1）和图（2）情况的结论，并且也使我们很快看到在图（3）的情况应当有DE=BE —AD 。
解：在图（1），图（2）和图（3）中，同时考查ACD Rt ?和,CBE Rt ?
CBE ACD CB AC ∠=∠=, （同为BCE ∠的余角）。
CE ，AD CBE Rt ACD Rt =???∴得,CD=BE 。
N B
N
N
P
B N
A ACD Rt ? 绕点P 顺时针 旋转90°
（1）在图（1）的情况下，DE=CE+CD=AD+BE ； （2）在图（2）的情况下，DE=CE —CD=AD —BE ；
（3）在图（3）的情况下，结论为DE=BE —AD ，理由是：此时DE=CD —CE=BE —AD
【说明】由于我们从等腰直角三角形的“90°旋转重合性”这一特征出发，就抓住了图（1），图（2）和图（3）各种情况的本质（ACD Rt ?和,CBE Rt ?关于点P 成90°旋转重合），因此，三种情况下不同的结论只是共同性质的不同反映而已，可见，最为优化的解法是由最恰当地运用最为本质的性质而得到的。
2、等腰直角三角形两直角边以直角顶点为中心的90°旋转重合性 如图，等腰直角三角形ABC 中，CA ，CB 是直角边，显然有
有 重合于CB ，当然亦有CB 绕点C 顺时针旋转90°则与CA 重合。
我们将等腰直角三角形的这一性质简称为“两直角边90°旋转重合性”。等腰直角三角形的这一特征也有着广泛的应用。
例3 如图，在ABC ?中，已知,,90CB CA ACB =?=∠D ，E 为AB 上的两点，且?=∠45DCE 。 求证：2
2
2
DE BE AD =+
【观察与思考】由要证的结论立刻想到应将AD ，BE ，DE 三条线段转化成同一个直角三角形的三条边（且与DE 相等的边斜边）。
若作 重合于'CBD ?，如图（1），连结'ED
） 这时易知EB D '?中?=∠90'BE D 。
证明：在CAB ?的外侧作,'
ACD BCD ∠=∠截取,'CD CD =连结E D B D ','如图（1`）。 在CAD ?和'CBD ?中，CA=CB ，','BCD ACD CD CD ∠=∠=，
BD
AD CAD CBD CBD CAD =?=∠=∠∴???∴且,45','，
（1`）
D ∠∴′CBD B
E ∠=′?=?+?=∠+904545CBA 又∴在CED ?和CED ?′中，CE 公用，CD=CD ′。
ECD ∠′BCD ECB ∠+∠=′ECD DCE ACB ACD ECB ∠=?=?-?=∠-∠=∠+∠=454590
E D DE CED CED ','=???∴得
CA 以C 为中心逆时针 旋转90°
A
B
C D CAD ?
绕点C 逆时针 旋转90° D
'
在EB D Rt '?中，有,''222E D BE B D =+即2
22.DE BE AD =+
【说明】这里就是恰当地运用了等腰直角三角形两直角边关于直角顶角的90°旋转重合性。成功地实现了对线段AD ，DE 的“转移”，将原本在一条直线的三条线段转化成了同一个直角三角形的三条边。 3、等腰直角三角形的轴对称性
等 腰直角三角形的轴对称图形（斜边上的中线所在的直线为其对称轴），有的题目的解决， 需要借此作“轴对称构造”。 例4 如图，在ABC ?中，,,90AC AB BAC =?=∠D 是ABC ?内一点， 且?=∠=∠15DCA DAC （1）
求证：BD=BA 。
【观察与思考】由?=∠15DAC ，启发我们利用等腰直角三角形的轴对称性，作?=∠15BAE ，且取AE=AD ，如图（1`），易知,ACD ABE ???而AED ?为等边三角形。从中推得,150?=∠=∠DEB AEB 进而可有 DBE ABE ???，得BA=BD 。
证明：在ABC ?内作?=∠=∠15CAD BAE ，且取AE=AD ，连结BE ，DE ，如图（1`），这时AED ?为等边三角形。
在ABE ?和ACD ? 中，AB=AC ，AE=AD ，?=∠=∠15CAD BAE ?=∠=∠∴???∴150,ADC AEB ACD ABE
在BAE ?和BDE ?中，BE 公用，AD=DE 。 （1`）[来源:学*科*网]
BEA ∠=?=?-?-?=150********
BD BA BDE BAE =∴???∴
【说明】 在本题，尽管没有画出对称轴，但并不妨碍我们利用“等腰直角三角形的轴对称性”去思考问题，这恰恰说明了“变换性质”做为观察和研究图形的一个“视角”，一种“思想意识”，是多么有力有效。
通过以上几例可以看出，等 腰直角三角形的三大特征：“绕斜边中点90°旋转重合性”、“两直角边的90°旋转重合性”、“轴对称性”，是认识等腰直角三角形和解决与之相关问题的重要基础和有力武器。
六、平行四边形的变换性质
从变换的视角来看，平行四边形的基本特征反映在如下的两个方面： 特征Ⅰ：平行四边形是“中心对称图形”，两条对角线的交点就是它的对称中心； 特征Ⅱ：平行四边形的两组对边，分别具有“平移重合”的关系。
与平行四边形有关的的问题，大都可以沿着如上的两个特征去观察、研究，并获得解决。
1、平行四边的“中心对称性”和其应用
如图，若O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，那么平行四边形ABCD
A B
C
D
D
E A
B
C
AED BEA BED ∠-∠-?=∠360绕点O 逆（顺）时针
旋转180°
重合于平行四边形CDAB 。
在上述的180°旋转变换中，不仅有 , ,
, ,
还有关于点O 所有中心对称的元素都是相互重合的。 平行四边形的这一特征，有着极为广泛的应用。
例1 如图 ，四边形ABCD 为平行四边形，BD AE ⊥于点E ，BD CF ⊥ 于点F ，在DB 的延长线上和BD 的延长线上分别有点G 和点H ，且BG=DH 。 （1）请写出图中所有的全等三角形。
（2）请选一个全等三角形给出证明（CDB ABD ???除外）
【观察与思考】显然，BD 的中点O 为整个图形的对称中心，即有 ， ， ， 。这样，当任取其中的三点在图中构成三角形时，则分别与它们中心
对称的
三点也在图中构成三角形，并且这样的两个三角形是全等的，因此，图中的全等三角形有：
;CDB ABD ???CDF ABE ???；CDH
ABG ???； CFH AEG ???；CBH ADG ???；CBF ADE ?
??。
这些全等三角形的每条依据也是是关于点O 为中心对称的。
解：（2）现在证明AEG ?和CFH ?全等。
CDF ABE CD AB ∠=∠=, （内错角） CDF Rt ABE Rt ???∴，得AE=CF ，BE=DF 。
CFH Rt AEG Rt FH DH FD BG EB EG CF AE ???∴=+=+==∴,,。
【说明】本题中不仅全等三角形是中心对称的，而且应按中心对称去寻找相等的对应元素。
例2 如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交 于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，以图中的任意四点（即点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 中的任意四点）为顶点画出两种不同的平行四边形，并说明理由。
第二种：
第一种：
【观察与思考】当然，用试着画的方法，不难解答本题，但如果按平行四边形的中心对称性来思考，则可
A C
B D OA
OC
OB
OD
A C
B D EE FE
A
G
B C
D
H
F E
有序地得到全部可能的答案。A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 这八个点关于点O 有如下的对称关系： ， ， ， 共四对。从这四对中任意取出两对，
（共四个点），当它们不在同一条直线时，则必构成平行四边形，这就是：
平行四边形ABCD （已知），平行四边形AFCH ，平行四边形BEDG ，平行四边形EFGH 。
【说明】这样依变换性质指导下的思考既有秩序又全面。 2、平行四边形的对边平行关系的应用
平行四边形的对边平行且相等（即可经过平移后重合），其作用常体现在以下两个方面： Ⅰ、构造相似三角形； Ⅱ、进行等积变换。
（1）平行四边形基础上的相似三角形
例3 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 以及CD 的延长线相交于点E ，F ，G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是 。
【观察与思考】在图中，由AB//CG ，可得GCE ?∽BAE ?
而由AF//BC ，易知CEB
?∽AEF ?，从中推得
EF
EB
EA EC =②。 由①和②得
5.122
5,2
2====EF EB EG EF EB EB EG 即 而5.1025.12=-=-=EF EG FG
解：5.10=FG 。
（2）平行四边形基础上的面积问题
例4 已知如图，平行四边形ABCD 中，α=∠==ABC b AB a AD ,,，点F 为线段BC 上的一点（端点B ，C 除外），连结AF ，AC ，连结DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连结CE 。
（1）当F 为BC 的中点时，求证EFC ?与ABF ?和面积相等；
（2）当F 为BC 上任意一点时，EFC ?与ABF ?
[来源:学科网]
【观察与思考】由四边形ABCD 是平行四边形，不难发现 EFC ABF DCF EFC EDC ABCD DCF ABF S S ，S S S S S S ???????=+===
+得平行四边形2
1
这样一来，（1）和（2）的解决途径同时被发现了，其实，点F 为BC 上任意一点时ABF EFC S S ??=被证明了，
A C
B D EE GE C
A
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
云南省八地市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2013?云南）﹣6的绝对值是（） A．﹣6 B．6C．±6 D． 2．（3分）（2013?云南）下列运算，结果正确的是（） A．m6÷m3=m2B．3mn2?m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2 3．（3分）（2013?云南）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（） A．B．C．D． 4．（3分）（2013?云南）2012年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示为（） A．1.505×109元B．1.505×1010元C．0.1505×1011元D．15.05×109元5．（3分）（2013?云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（） A．S?ABCD=4S △AOB B．A C=BD C．A C⊥BD D．?ABCD是轴对称图形 6．（3分）（2013?云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是（） A．相离B．外切C．相交D．内切 7．（3分）（2013?云南）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（） A．9B．±3 C．﹣3 D．3 8．（3分）（2013?云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（）
A． B．C．D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 9．（3分）（2013?云南）25的算术平方根是． 10．（3分）（2013?云南）分解因式：x3﹣4x=． 11．（3分）（2013?云南）在函数中，自变量x的取值范围是． 12．（3分）（2013?云南）已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）． 13．（3分）（2013?云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=． 14．（3分）（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，…那么第n 个数是． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分） 15．（4分）（2013?云南）计算：sin30°+（﹣1）0+（）﹣2﹣． 16．（5分）（2013?云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）． （1）你添加的条件是． （2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由． 17．（6分）（2013?云南）如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上． （1）把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形． （2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．
中考数学冲刺拔高 专题训练 目录 专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1) 专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5) 专题提升(三) 数式规律型问题 (9) 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15) 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22) 专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31) 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41) 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48) 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54) 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60) 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83) 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92) 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99) 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)
专题提升(一) 数形结合与实数的运算 类型之一数轴与实数 【经典母题】 如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上． 图Z1－1 【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应； (2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行 实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题． 【中考变形】 1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ( C ) 图Z1－2 ＋1 －1 D．1－5
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。
2020年数学中考基础冲刺训练（二） 一．选择题（每题3分，满分36分） 1．下列各数中，相反数是的是（） A．﹣B．C．﹣2 D．2 2．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为（） A．55×103B．5.5×104C．5.5×105D．0.55×105 3．下列计算正确的是（） A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a2 4．下列各组线段中，能组成三角形的是（） A．2，4，6 B．2，3，6 C．2，5，6 D．2，2，6 5．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A．中国移动B．中国联通 C．中国网通D．中国电信 6．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（） A． B． C． D．
7．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（） A．B．C．D． 8．下列说法正确的是（） A．概率很小的事件不可能发生 B．随机事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 9．设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（） A．1 B．是一个有理数 C．3 D．无法确定 10．如图，折线ABCDE描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（） A．汽车共行驶了120千米 B．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 C．汽车在整个行驶过程中的平均速度为40千米/时 D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少 11．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（）
数学试题 第1页（共4页） 2013年十堰市初中毕业生学业考试 数学试题 注意事项： 1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内． 1．2-的值等于（ ） A ．2 B ．1 2- C ．12 D ．－2 2．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠DCE =18°，则∠B 等于（ A ．18° B ．36° C ．45° D ．54° 3．下列运算中，正确的是（ ） A ．235a a a += B ．6 3 2a a a ? C ．426()a a = D ．235a a a = 4．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ） 5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x －a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 6．如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知 AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ） A ．7cm B ．10cm C ．12cm D ．22cm 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC 的长为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 A ． B ． C ． D ． 第6题 B 第2题 第7题 正面
2017年中考数学模拟试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．8的立方根为（ ） A ．2 B ．±2 C ．－2 D ．4 2．要使分式1 5 -x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ＞1 C ．x ＜1 D ．x ≠－1 3．计算(a －2)2的结果是（ ） A ．a 2－4 B ．a 2－2a ＋4 C ．a 2－4a ＋4 D ．a 2＋4 4．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A ．摸出的3个白球 B ．摸出的是3个黑球 C ．摸出的是2个白球、1个黑球 D ．摸出的是2个黑球、1个白球 5．下列各式计算正确的是（ ） A ．a 2＋2a 3＝3a 5 B ．(a 2)3＝a 5 C ．a 6÷a 2＝a 3 D ．a ·a 2＝a 3 6．如图，A 、B 的坐标为(2，0)、(0，1)．若将线段AB 平移至A 1B 1，则a ＋b 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的大小关系是（ ） A ．S 1＞S 2＞S 3 B ．S 3＞S 2＞S 1 C ．S 2＞S 3＞S 1 D ．S 1＞S 3＞S 2 8．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的 是（ ） A ．中位数是4，平均数是3.75 B ．众数是4，平均数是3.75 C ．中位数是4，平均数是3.8 D ．众数是4，平均数是3.8 9．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O 是以原点为圆心，半径为22的圆，则⊙O 的“整点直线”共有（ ）条 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 10．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，D 、E 分别为边AB 、CA 上两动点，则CD ＋DE 的最小值为（ ） A ．854+ B ．16 C ．58 D ．20 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算：5－(－6)＝___________
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
中考数学冲刺练习专项试卷22篇汇总 2019中考数学冲刺复习专题试卷22篇汇总 本专题是通过对2019年-2019年的中考试卷进行了仔细的研究，对相关重点题型汇总整理，为中考考生提供了一系列的复习专题训练。 2019中考数学冲刺复习专题试卷：解直角三角形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：圆 2019中考数学冲刺复习专题试卷：多边形与平行四边形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：梯形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：特殊的四边形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：等腰三角形与直角三角形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：三角形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：角相交线与平行线 2019中考数学冲刺复习专题试卷：一元一次不等式(组) 2019中考数学冲刺复习专题试卷：方程组 2019中考数学冲刺复习专题试卷：分式方程 2019中考数学冲刺复习专题试卷：整式方程 2019中考数学冲刺复习专题试卷：二次根式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：分式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：整式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：代数式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：实数 2019中考数学冲刺复习专题试卷：视图与投影 2019中考数学冲刺复习专题试卷：图形的相似 2019中考数学冲刺复习专题试卷：图形的轴对称平移与旋转 2019中考数学冲刺复习专题试卷：函数及其图象 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一
2014 年中考数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分） 1、2的值等于 （ ） A 、2 B 、-2 C 、2 D 、2 2、函数31+-= x y 中，自变量x 的取值范围是 （ ） A 、1>x B 、1≥x C 、1≤x D 、1≠x 3、方程 03 12=--x x 的解为 （ ） A 、2=x B 、2-=x C 、3=x D 、3-=x 4、已知一组数据：15,13,15,16,17,16,14,15，则这组数据的极差与众数分别是 （ ） A 、4,15 B 、3,15 C 、4,16 D 、3,16 5、下列说法中正确的是 （ ） A 、两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B 、两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C 、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D 、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 20. 已知圆柱的底面半径为 3cm ，母线长为 5cm ，则圆柱的侧面积是 （ ） A 、30cm 2 B 、30πcm 2 C 、15cm 2 D 、15πcm 2 7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC 的度数是 （ ） A 、35° B 、140° C 、70° D 、70°或 140° 8、如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，对角线 A C 、BD 相交于 O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面 积比等于 （ ） A 、 21 B 、41 C 、81 D 、16 1 1、如图，平行四边形 A BCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在 A B 上，且 A E ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过 D 分别作 D P ⊥AF 于 P ，DQ ⊥CE 于 Q ，则 D P ∶DQ 等于 （ ） A 、3:4 B 、3：52 C 、13：62 D 、32：13 10、已知点 A （0，0），B （0，4），C （3，t +4），D （3，t ）. 记 N （t ）为□ABCD 内部（不含边界） 第7题图 第8题图 第9题图
中考数学模拟试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10 小题，每题3分，共30分）1．（3.00分）﹣的相反数是（） A．﹣B．C．﹣D． 2．（3.00分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（） A．2.147×102B．0.2147×103C．2.147×1010D．0.2147×1011 3．（3.00分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（） A．厉B．害C．了D．我 4．（3.00分）下列运算正确的是（） A．（﹣x2）3=﹣x5B．x2+x3=x5 C．x3?x4=x7 D．2x3﹣x3=1 5．（3.00分）河南省旅游资源丰富，2013～2017 年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是（） A．中位数是12.7% B．众数是15.3% C．平均数是15.98% D．方差是0 6．（3.00分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5 钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 线，根据题意，可列方程组为（） A．C．B．D． 7．（3.00分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）
A ．x 2 +6x +9=0 B ．x 2 =x C ．x 2 +3=2x D ．（x ﹣1）2 +1=0 8．（3.00 分）现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上的图案是“ ”，1 张卡片正 面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从 中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．（3.00 分）如图，已知 AOBC 的顶点 O （0，0），A （﹣1，2），点 B 在 x 轴正 半轴上按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA ， OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠ AOB 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 AC 于点 G ，则点 G 的坐标为（ ） A ．（ ﹣1，2） B ．（ ，2） C ．（3﹣ ，2） D ．（ ﹣2，2） 10．（3.00 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A →D→B 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B ，图 2 是点 F 运动时 △，FBC 的面积 y （cm 2 变化的关系图象，则 a 的值为（ ） ）随时间 x （s ） A ． B ．2 C ． D ．2 二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答 題卷相应题号的横线上） 11．（3.00 分）计算：|﹣5|﹣ = ．
2013年广州市初中毕业生学业考试 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题： 1.（2013年广州市）比0大的数是（ ） A -1 B 1 2- C 0 D 1 分析：比0 的大的数一定是正数，结合选项即可得出答案 解：4个选项中只有D 选项大于0．故选D ． 点评：本题考查了有理数的大小比较，注意掌握大于0的数一定是正数 2.（2013年广州市）图1所示的几何体的主视图是（ ） （A ） (B) (C) (D)正面 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ． 点评：从几何体的正面看可得图形． 故选：A ．． 3.（2013年广州市）在6×6方格中，将图2—①中的图形N 平移后位置如图2—②所示，则图形N 的平移方法中，正确的是（ ） A 向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D 向下移动2格 分析：根据题意，结合图形，由平移的概念求解 解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N 向下移动2格．故选D ． 点评：本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位置． 4.（2013年广州市）计算： () 2 3m n 的结果是（ ） A 6 m n B 62 m n C 52 m n D 32 m n
分析：根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算即可 解：（m 3n ）2=m 6n 2 ．故选：B ． 点评：此题考查了幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，是一道基础题 5、（2013年广州市）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A ：报纸，B ：电视，C ：网络，D ：身边的人，E ：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘制条形图如图3，该调查的方式是（ ），图3中的a 的值是（ ） A 全面调查，26 B 全面调查，24 C 抽样调查，26 D 抽样调查，24 分析：根据关键语句“先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，”可得该调查方式是抽样调查，调查的样本容量为50，故6+10+6+a+4=50，解即可 解：该调查方式是抽样调查，a=50﹣6﹣10﹣6﹣4=24，故选：D ． 点评：此题主要考查了条形统计图，以及抽样调查，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 6.（2013年广州市）已知两数x,y 之和是10，x 比y 的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（ ） A 1032x y y x +=??=+? B 1032x y y x +=??=-? C 1032x y x y +=??=+? D 1032x y x y +=??=-? 分析：根据等量关系为：两数x ，y 之和是10；x 比y 的3倍大2，列出方程组即可 解：根据题意列方程组，得： ．故选：C ． 点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语“x 比y 的3倍大2”，找出等量关系，列出方程组是解题关键． 7.（2013年广州市）实数a 在数轴上的位置如图4所示，则 2.5 a -=（ ） A 2.5a - B 2.5a - C 2.5a + D 2.5a -- 分析：首先观察数轴，可得a ＜2.5，然后由绝对值的性质，可得|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5），则可求得答案 解：如图可得：a ＜2.5，即a ﹣2.5＜0，则|a ﹣2.5|=﹣（a ﹣2.5）=2.5﹣a ．故选B ． 点评：此题考查了利用数轴比较实数的大小及绝对值的定义等知识．此题比较简单，注意数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 8.（2013年广州市）若代数式1x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围 解：根据题意得： ，解得：x≥0且x ≠1．故选D ． 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数 9.（2013年广州市）若5200k +<，则关于x 的一元二次方程2 40x x k +-=的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断 分析：根据已知不等式求出k 的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况 解：∵5k+20＜0，即k ＜﹣4，∴△=16+4k ＜0，则方程没有实数根．故选A 点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 10.（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且 ,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ）
中考第一次模拟考试数学试卷 一．选择题（共6小题） 1．已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（）A．a+b＝7B．5a＝2b C．＝D．＝1 2．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（） A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是（﹣1，0） 3．如图，在直角坐标平面内，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝3，那么点A的坐标是（） A．（1，3）B．（3，1）C．（1，）D．（3，）4．对于非零向量、，如果2||＝3||，且它们的方向相同，那么用向量表示向量正确的是（） A．B．C．D． 5．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示： x…01234… y…﹣30﹣103… 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D． 6．已知⊙A的半径AB长是5，点C在AB上，且AC＝3，如果⊙C与⊙A有公共点，那么⊙C的半径长r的取值范围是（）
A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8 二．填空题（共12小题） 7．计算：＝． 8．计算：sin30°tan60°＝． 9．如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是．10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个即可） 11．如果将抛物线y＝﹣2x2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线． 12．如图，AD与BC相交于点O，如果，那么当的值是时，AB∥CD． 13．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是． 14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是． 15．如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是． 16．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米． 17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱形”的面积为6，那么它的边长是．
运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2
当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 2013年深圳市中考数学试卷 说明：1、答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位 置上，将条形码粘贴好。 2、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 4页。考试时间90分钟，满分100分。 3、本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律 无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 4、考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题 （本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1.－3的绝对值是（ ） A.3 B.-3 C.-31 D.3 1 2.下列计算正确的是（ ） A.2 2 2 )(b a b a +=+ B.2 2 )ab (ab = C.5 2 3)(a a = D.32a a a =? 3.某活动中，共募得捐款32000000元，将32000000用科学记数法表示为（ ） A.81032.0? B.6102.3? C.7102.3? D.61032? 4.如下图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 5.某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（ ） A.最高分 B.中位数 C.极差 D.平均数 6.分式2 42+-x x 的值为0，则（ ） A.x =-2 B.x =2± C.x =2 D.x =0 7.在平面直角坐标系中，点P （－20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则b a +的值为（ ） A.33 B.-33 C.-7 D.7 8.小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他。已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. 1014401001440=--x x B. 101001440 1440++=x x C. 1010014401440+-=x x D. 1014401001440=-+x x 9.如图1，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后， 将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ） A.8或32 B.10或324+ C.10或32 D.8或324+ 10.下列命题是真命题的有（ ） ①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直 角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 A..1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 初中中考数学冲刺总复习 专题训练 目录 专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1) 专题提升(二) 代数式的化简与求值 (8) 专题提升(三) 数式规律型问题 (12) 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (21) 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (30) 专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (40) 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (53) 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (62) 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (68) 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (76) 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (87) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (97) 专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (107) 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (121) 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (130) 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (139) 专题提升(一)数形结合与实数的运算 类型之一数轴与实数 【经典母题】 如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上． 图Z1－1 【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应； (2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行 实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题． 【中考变形】 1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C) 山西省2013年中考数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 一.选择题 （本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.计算2×（－3）的结果是（ ） A. 6 B. －6 C. －1 D. 5 答案：B 考点：实数的计算 解析：异号相乘，得负,2×（－3）=－6 2.不等式组错误！未找到引用源。的解集在数轴上表示为（ ） 答案：C 考点：解不等式、不等式组及解集在数轴上表示 解析：解（1）得：2x ≥，解（2）得：X ＜3，所以解集为23x ≤< 3.如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ） 答案：A 考点：几何体展开图 解析：长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B 、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合，只有A 符合 4.某班实行每周量化考核制学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙的平均成绩相同，方 差是甲362＝甲 s ，302＝乙s ，则两组成绩的稳定性：（ ） A.甲组比乙组的成绩稳定； B. 乙组比甲组的成绩稳定； C. 甲、乙组成绩一样稳定； D.无法确定。 答案：B 考点：数据的分析 解析：方差小的比较稳定 5.下列计算错误的是（ ） A ．3 3 3 2x x x =+ B.2 3 6 a a a =÷ C.3212= D.3311 =? ? ? ??- 答案：B 考点：整式的运算 解析：a 6 ÷a 3 ＝633a a -= 6.解分式方程 31212=-++-x x x 时，去分母后变形为（ ） A.2+(x+2)=3(x-1); B.2-x+2=3(x-1); C.2-(x+2)=3(1-x); D.2-(x+2)=3(x-1). 答案：D 考点：分式方程的化简 解析：原方程化为：22 311 x x x +-=--，去分母时，两边同乘以x －1，得：2－（x ＋2）＝3（x －1） A.27oC ，28oC ； B.28oC ，28oC ； C. 27oC ，27oC ， D. 29oC ，29oC 。 答案：B 考点：数据的分析 解析：28出现4次，最多，所以众数为28，由小到大排列为：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位数为28 8.如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ）条。 A. 1 B. 2 C.4 D. 8. 答案：C 考点：对称轴判定 解析：这是一个正八边形，对称轴有4条 9.王先生先到银行存了一笔三年的定期存款，年利率是4.25%，如果到期后取出的本息和（本金+利息）为33825元，设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ） A.x+3×4.25%x=33825； B.x+4.25%x=33825； C. 3×4.25%x=33825； D.3（x+4.25%x ）=33825. 答案：A 考点：方程的应用 解析：一年后产生的利息为4.25%x ，三年后产生的利息为：3×4.25%x ，再加上本金，得到33825元 10.如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B 、C 在同一 水平面上），为了测量B 、C 两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C 地出发垂直上升100m 到达A 处，在A 处观察B 地的仰角为30o，则BC 两地间的距离为（ ）m 。 A.1003； B.502 ； C. 503； D. 3 3100 答案：A 考点：三角函数深圳市2013年中考数学试题独立试题
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山西省2013年中考数学试题及解析
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