直线与圆
【赛题精讲】
例1．直线),(0cos R b R b y x ∈∈=++αα的倾斜角θ的取值范围是（ ） A ．],0[π B ．]43,
4[π
π C ．]43,2()2,4[ππππY D ．),4
3[]4,0[ππ
πY 解：D
此直线的斜率为αcos -=k ，R ∈αΘ，]1,1[-∈∴k ，从而),4
3[
]4
,0[ππ
π
θY ∈。 例2．若0,0>>ac ab ，则直线0=++c by ax 不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解：A
直线0=++c by ax 在x 轴、y 轴上的截距分别为a c -
与b c -。 0,0>>ac ab Θ，0>?∴ac ab 得0>bc 0<-∴a c ，0<-b
c
。故直线不过第一象限。
例3．已知直线23:1++=a ax y l 与33:2+-=x y l 的交点在第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)31,21(-
B ．)31,(-∞
C ．)31,3(-
D ．),2
1
(+∞- 解：A
易得直线1l 与2l 的交点坐标为)3
126,331(
+++-a a
a a P ，因为点P 在第一象限，所以 ?????>++>+-03
1260331a a a a ，解得3121<<-a 。
例4．将一张图纸折叠一次，使得点)2,0(对应于点)0,4(，设点)3,7(对应于点),(n m ，则n m +的值是（ ）
A ．7.6
B ．8.6
C ．9.6
D ．7 解：B
易得折痕所在直线方程为)2(21-=-x y ，由于点)3,7(对应于点),(n m ，则有
?????-
=---+=-+217
3)227(2123
m n m n ，解之得)531,53(),(=n m ，8.6=+∴n m 。 例5．如图，定圆半径为a ，圆心为),(c b ，则直线0=++c by ax 与直线01=+-y x 的交点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解：C
由图可知，0c ，||b a c <<，即b a c -<<<0。
易得两直线的交点坐标为),(
b a
c b b a c a +--+-，0,0<+--<+-b
a c
b b a
c a Θ，故两直线的交点位于第三象限。
例6．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动， 离台风中心30千米的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米
处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）
A ．0.5小时
B ．1小时
C ．1.5小时
D ．2小时 解：B
以A 为坐标原点建立如图的直角坐标系，则台风中心在射 线)0(:>=x x y l 上，)0,40(B 。B 到l 的距离为220=BH ， 设l 上两点F E ,，满足30||||==BF BE ，则10||||==HF EH ，
B ∴城市位于危险区内的时间为
120
20
=（小时）。 例7．设b a ,是方程0csc cot 2
=-?+θθx x 的两个不等实根，那么过点),(2
a a A 和)
,(2
b b B 的直线与圆12
2
=+y x 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．随θ的值而变化
θcot 22-=+=--=b a b
a b a k AB
，直线AB 的方程为)(cot 2a x a y --=-θ，即
θθθcsc cot cot 2=+=+?a a y x 。因为圆心)0,0(O 到直线AB 的距离为
1|
csc ||
csc |cot 1|csc |2==
+=
θθθ
θd ，故直线AB 与圆相切。
例8．平面上整点（横、纵坐标都是整数的点）到直线5
4
35+=
x y 的距离的最小值为（ ）
A ．
17034 B ．8534 C ．201 D ．30
1
解：B
设整点为),(00y x ，则它到直线0121525=+-y x 的距离为2
2
00)
15(25|121525|-++-=
y x d 。
由于Z y x ∈00,，故001525y x -是5的倍数，于是有2|121525|00≥+-y x ，当10-=x ，
10-=y 时2|121525|00=+-y x 。故最小值为
85
34
。 例9．设),(000y x P 为圆1)1(2
2
=-+y x 上任意一点，欲使不等式000≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是（ ）
A ．),0[+∞
B ．),12[+∞-
C ．]12,(+-∞
D ．),21[+∞-
解：B
圆1)1(2
2
=-+y x 应在直线0=++c y x 的上方，即 直线0=++c y x 应在圆的下方与圆相切或相离，如图知
)21,0(-A ，故12-≥c 。
例10．点)0,1(A 到直线l 的距离为2，点)0,4(-B 到l 的距离为3，则l 的条数最多是（ ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条
以点A 为圆心，半径为2的圆A 的方程为4)1(2
2=+-y x ， 以点B 为圆心，半径为3的圆B 的方程为9)4(2
2
=++y x 。B A r r AB +==5||Θ，∴两圆B A ,外切。因为两圆B A ,有两条外公切线及一条内公切线，故满足条件的直线l （即公切线）最多有3条。 例
-
解：D
由已知得022)11(22)1()1(222222=-=----=-++--x y y x x y y x ， 故01,0212=-+=--x y y x ，即)0,0(12
2
≤≥=+y x y x 。 例12．在平面直角坐标系中，方程12|
|2||=-++b
y x a y x （b a ,是不相等的两个正数）所表示的图形是（ ）
A ．三角形
B ．正方形
C ．非正方形的长方形
D ．非正方形的菱形 解：D
直线0=-y x 与直线0=+y x 将平面分成4个区域：
⑴??
?≥-≥+00y x y x ； ⑵???≤-≥+00y x y x ； ⑶???≥-≤+00y x y x ； ⑷???≤-≤+0
y x y x 。
将方程在四个区域内分别讨论，可得四条线段，可得围成四边形是菱形（非正方形）。 例13．若有向线段PQ 的起点和终点的坐标分别为)1,1(-和)2,2(。若直线0:=++m my x l 与PQ 的延长线相交，则m 的取范围是_________________。 解：3
2
3-
<<-m A
B
C
D
易得直线l 过定点)1,0(-M ，过M 作直线PQ l //1，显然1l 的斜率为3
1
12121=+-=
k 。过Q M ,作直线2l ，则2l 的斜率为23
2=
k ，与PQ 的延长线相交的直线l 应夹在1l 与2l 之间，21k k k <<（k 为l 的斜率）。于是23131<- 2 3-<<-m 。 例14．若三条直线432:,0:,44:321=-=+=+my x l y mx l y x l 不能构成三角形，则m 的取值集合为__________________。 解：}4,3 2 ,61,1{- - 若三条直线交于一点A ，由直线21,l l 的方程联立解得交点A 的坐标)44,44(m m m ---，代入直线3l 的方程，可解得3 2 = m 或1-=m ； 若21//l l （或重合），可得4=m ； 若31//l l （或重合），可得6 1 -=m ； 若32//l l （或重合），无解。 综上所述}4,3 2,61,1{--∈m 。 例15．已知直线经过点)3,2(P ，且和两条直线0843:1=++y x l 和0743:2=-+y x l 相交于B A ,两点，而且23||=AB ，则直线l 的方程为_________________。 解：0197=+-y x 或0177=-+y x 两平行直线1l 与2l 间的距离为34 3|78|2 2 =+--= d ，由已知23||=AB ，设直线AB 与已 知直线1l （或2l ）所夹锐角为α，则2 2 ||sin = = AB d α，于是有1tan =α。设所求直线的斜率为k ，直线1l （或2l ）的斜率为4 30-=k ，由两条直线的夹角公式得14 3143tan =-+ = k k α， 解之得7 1 = k 或7-=k ，故所求直线方程为0197=+-y x 或0177=-+y x 。 例16．直线l 过点)3,1(P 且和两坐标轴围成的三角形的面积为6，则满足条件的直线有___条。 解：3 设直线l 的方程为)1(3-=-x k y ，则l 在横、纵轴上的截距分别为k k --3,3 1，由已知得 6|3||3 1|21=-?-k k ，易得此方程有三解。则满足条件的直线有3条。 例17．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是13+=x y 和2+=mx y ，则实数m 的值为________________。 解：4 3 = m 或12=m 设直角三角形平行于x 轴、y 轴的边的长分别为b a ,，则?????????==a b a b m 21321，或???? ?????==a b a b m 21321。 解得4 3 =m 或12=m 。 例18．给定一点)1,3(P 及两条直线072:,032:21=-+=++y x l y x l ，则过点P 且与21,l l 都相切的圆方程为_______________________。 解：5)1()4(2 2 =++-y x 或5)5 3()54(2 2=-+-y x 21//l l Θ，故圆心在直线022:3=-+y x l ，直径为21,l l 间的距离522 1|37|2 2 =+--= d ， 所以半径5= R 。设所求圆方程为5)()(22=-+-b y a x ，则有 ???=-+-=-+5)1()3(0222 2b a b a ，解之得???-==14b a 或?? ??? -==53 54b a 。 故所求的圆方程为5)1()4(2 2=++-y x 或5)5 3()54(22=-+-y x 。 例19．已知曲线241x y -+=与直线k kx y 24-+=有两
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