第２６卷增刊１大 学 数 学Ｖｏｌ．２６，Ｓｕｐ １２０１０年１０月ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｏｃｔ．２０１０
大学数学课程“概率论与数理统计”
教学的实践与认识
李学京
（北京工业大学应用数理学院，北京１０００２２）
［摘 要］结合多年教学实践，本文分析了概率论与数理统计课程目前存在的几个主要问题，并对其内容
设置、教学方法的改进、应用能力的培养等方面提出了改革的设想．
［关键词］随机现象；统计思想；统计应用；创新教育
［中图分类号］Ｇ６４２．０ ［文献标识码］Ｃ ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１０）增刊１－０１２２－０４
无论人们意识与否，随机现象存在于我们日常生活的各个方面．如果对随机问题一窍不通可能会不知不觉地受到损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”．随着统计在国民经济中的应用日益广泛，国内有关加强随机性教学的呼声与日俱增，而“概率论与数理统计”是目前国内本、专科层次非数学专业唯一的一门处理随机现象的学科，所学内容是概率论与统计学的初步知识．由于这门课程思想方法不同于分析、代数等以确定性思维为基础的数学学科，思维独特，应用广泛，普遍反映学生难学，教师难教．如何使大学生对这门课程有一个比较深的理解，让学生在较短的时间内迅速掌握概率论与数理统计的核心思想及知识结构，并能够很好的利用统计学这个有用的工具呢？通过多年对这门课程的亲身教学实践，下面我就谈一谈自己的一点体会与看法．
１ 依据市场对人才的需求，及时调整教学内容，转变“纯数学”的教学思路，注重应用
满足社会对人才的需要是教育工作的基本任务．当前，科学技术迅速发展，知识和信息日新月异，无时不刻不在爆炸性增长．这使得各行各业都有超量的数据迫切需要进行科学的处理．而统计学正好是这样一门用来从貌似杂乱无章的数据中寻找有用信息、发现规律的有利武器，可以毫不夸张的说，现代统计技术已经深入到社会的各个领域，它正在逐步改变我们的工作和生活．因此，我们培养的高素质人才不仅要对统计学及其基础学科———概率论略知一二，而且要学会有效的利用这个武器．其重要性如同英国著名逻辑学家和经济学家Ｊｅｖｏｎｓ所说：“概率和统计是我们生活中真正的引路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为．”
诚然，概率统计依赖于数学，但并非是其他数学基础学科那样的“纯数学”．统计学的生命力就在于应用，应用为统计学的发展赋予活力．越是先进的工业化国家，统计普及率就越高．如美国是统计学最发达国家，它拥有世界上大多数的统计应用及大量优秀的统计学家．在美国，最好的统计专业有独立于数学系的统计系，它还有许多与某些应用领域密切关联的统计系，比如医学院的生物统计系，管理学院或商学院的统计系，及计算机和统计科学系等等．许多著名大学的统计系都十分兴旺发达，培养出来的学生也很紧
［基金项目］北京市属市管高等学校人才强教计划资助项目及北京工业大学教育教学研究项目（００６０００５１４１９１９）———概率论与数理统计课程实践教学改革研究
俏．美国的统计之所以先进是与全民族文化素质及整体经济水准有关的．几乎每一个大学生都知道统计这个学科，而且对统计学和统计学家都十分尊重；许多非统计学科都把统计作为必修课，这样，当人们遇到了统计问题，也都知道如何去寻求答案．因此，统计在美国的应用十分广泛，统计成为除计算机专业之外的最好找工作的专业．美国的医药界、工业界，如汽车工业、化学工业及电讯工业等都雇用了世界上最优秀的统计学家，他们对这些工业的发展起了重大作用．此外，工商业、金融管理、市场和民意调查及各级政府同样大量地、普遍地和经常性地使用统计．因此，我们在培养大学生时，不仅要强调概率论与数理统计作为
数学的基础地位，
更要认识到它对提高大学生综合素质方面的重要作用．改变过去重理论，轻实践的做法，加强概率统计内容的教学和应用．
此外，还根据不同学科应用概率统计的不同需求，及时调整教学内容．统计学在各个领域的成功运用
也推动了自身的迅猛发展，
各种新颖的统计思想、高效的统计方法层出不穷，必然带动这一学科内容的不断更新；
而另一方面，由于师资、专业方向等方面的差异，作为公共基础课的概率统计的教育也必然是多元化的．除表现在教学内容上以外，统计学基础教育的教学水平是永远不会与统计学发展的先进水平并驾齐驱的，而只能是一个动态的跟踪过程，跟踪新技术潮流是这一学科的一个明显的特点．但是，我国的数理统计过去长期以来生存于以纯数学占主导的数学系中，对它的重视程度明显不够，教学内容死板，更新速度较慢，不仅极大的限制了统计的应用，也不利于培养与国际接轨的高素质人才．
２ 重视直观、
注重统计思想方法的渗透概率统计起源于解决赌博问题中的分点问题，又是在解决各种实际问题的实践中发展起来的，具有丰富的实际背景．因此，在教学中讲清问题的背景，突出实践性尤为重要．教师的一个重要工作是去创设学习的资源和环境，让学生有多种机会在不同的情景下了解所学知识的应用．甚至可以让学生独立完成发现知
识、
解决问题、提高技能，尤其是对那些易错易混淆的知识，不要一味地由教师给予，而要引导学生自己在实践中发现；实践经验也要让学生自己摸索总结出来，而不是单纯由教师灌输．因此，教师的讲解过程应该
精练，
最好是通过简单的例子用实际操作的方法进行，这样，学生才更容易理解、接受，也对培养大学生应用知识能力起到很好的促进作用．
比如，随机性和规律性是统计学的主要思想之一，它们是关系密切的孪生子，随机性是指不能够预测某一特定事件的结果，规律性是指我们从许多事件中收集数据时发现的模式．但是，许多学生习惯于确定性思维，往往对这些问题感到不可思议：天气预报明日下雨的概率是８０％，
那么明天到底是下雨还是不下雨呢？为什么第二天没有下雨，反倒是预报下雨概率只有２０％的日子下雨了呢？这些困惑都是因为学生
对随机性和规律性的关系不够理解．事实上，一个随机事件的结果是不确定的，所以我们没法确定是否会发生意外；但是当我们把随机的事件放在一起，它们的规律性就会比较明显．尽管某个人是否遭遇车祸是
未知的，
但当你考察所有的事故时，就会发现其中带有某种规律性，如美国差不多每年都有４万人死于车祸．统计学的作用就是要把隐藏在随机性中的规律性寻找出来，因此，统计学是“办大事”的，它始终要站在研究对象的整体角度来看问题，总是以大量的观测和综合分析为前提的．
再比如“平衡”的思想．决策分析是利用概率来做决策，我们常常面对各种选择和决定，很多非正式的场合，我们会凭借“直觉＋概率”来做出大多数决定．当我们需要进行长距离旅行时，我们面临是否乘坐飞机的选择，飞机坠毁是有可能的，我们可以不坐飞机并躲开坠毁的概率．但是，空难发生的概率又很小，所
以仍然会有很多人选择坐飞机并快速到达目的地．
我们必须要估计空难的概率并对照坐飞机的速度所获得的利益．决策分析就是一个在风险和收益间达到“平衡”的过程．这种“平衡”的思想在统计中随处可见：做估计的时候，我们要面临大样本量提高准确度和小样本量降低复杂度之间的选择；进行多元统计时，我们要面临高维数据的处理困难和低维数据的信息损失之间的选择；选择统计方法时，我们则要面临参数方
法的高效性和非参数方法的低假定之间的选择等等．
在这样的两难境地，任何选择都要面临一定的“损失”，讲清这种思想，引导学生学会权衡利弊，既提高了学生学习的兴致，对提高学生的综合素质也是很有帮助的．
３２１增刊１ 李学京：大学数学课程“概率论与数理统计”教学的实践与认识
３ 改善教学策略和教学方法
（１
）创设问题情景，引发学习需要．由于概率统计是注重应用的一门学科，在现实中有着大量的案例，因此，除了要让学生掌握一定的理论知识，更要其学会利用随机性思维去看待事物，还要培养学生的实际操作能力，这就要求教师采用与其他数学课程不同的教学方法．为了使学生产生浓厚的学习兴趣，应该通过实际生活中学生熟悉的例子来设置教学的具体情景，从而体会概率统计的内容，并和数学建模相联系，使学生能够结合感性认识对所学理论有一个很好的认识和更大的升华．比如在讲授“线性回归”这一方法时，我举出了网上常见的“通过父母身高预测子女身高”的公式，虽然父母身高与子女身高的真正关系决非一个简单的线性公式，但是通过这
样一个简单的线性关系确实有助于预测子女身高（
回答了学生为何可以采用线性回归的疑问）；这种预测是针对大部分人而言的，
是对“同等条件下平均身高”的一种预测（说明线性回归是对条件期望函数的一种“回归”）；而且是带有随机误差的（同一父母子女的身高也是有差别的），甚至模型都是错误的（变量之间的
关系不一定是线性的）．
但错误的未必是没用的，引导学生学会接受一定的“误差”（数学建模中，有些假定都是未必存在的，但数学建模仍然是有用的）．这样的例子一开始就引发了学生强烈的兴致和求知欲望，而且简单明了，较好地完成了教学内容．
此外，统计学也为计算机计算等提供了大量的高效的算法，以及许多界面友好、简单实用的计算机语言，比如Ｒ语言，该软件本身是免费的，对广大科研工作者处理数据是很有帮助的．因此，我在授课过程中经常穿插一些算法的实例，让学生实实在在的看到统计在自己专业的应用前景，这对于提升学生学习的动力是很有好处的．
（２）采用多媒体课件、软件演示、案例教学等多维立体的教学方法，变“授人以鱼”为“授人以渔”．教学改革不仅仅是教学内容的改革．教学是在教师和学生互动的环境下，通过某些方式所完成的知识建构和能力培养的过程．选择教学方法的唯一目标就是学生受益最大化．在多媒体技术迅猛发展的今天，单纯靠“课本＋板书”组合已经不能满足课堂教学的需求，如何充分利用多媒体提高课堂教学的效率是当下每位教师都要面临的重要课题．通过本人多年的运用多媒体技术授课的实践，确实是可以达到事半功倍的效果．因为多媒体技术的动态性、交互性、清晰的界面等对学生的学习兴致是很好的促进，而且使学生易于分清重点，攻克难点，不仅可以学到一些概念、公式等知识，也清楚了知识的来龙去脉，模型产生的全过
程．
这对培养学生的探索能力也是有好处的．此外，由于计算机技术中广泛的应用了统计学方法，有许多软件都安装了统计计算包，如Ｍａｔｌａｂ等，
也有许多专门的统计软件，如ＳＡＳ，ＳＰＳＳ，Ｒ等．
计算机与教学环境相结合，尤其是这些界面越来越友好的统计软件的应用，已经使得旧的教学“三部曲”———做笔记、记公式、做习题，越来越不适用于大部分学生．
即使概率统计是许多同学在将来的工作中必须要用的，也可以借助于这些统计软件．因此，适当的对这些
内容进行穿插是真正“授人以渔”，不仅对培养学生的动手能力有益，对学生加深对所学理论知识的理解以
及在未来的工作实践中更好的利用统计也是很有帮助的．
案例教学也是广大概率统计教师应当重视的．它在某些实践性、操作性很强的内容运用是很合适的，可以使教学内容与实际接轨，知识更加生动活泼，易于引起学生的兴趣和思考．而统计学的广泛应用为我
们提供了极为丰富的教学案例．比如在讲授方差分析，我列举了著名统计学家Ｆｉｓｈｅｒ把方差分析成功运用
到农业发展之中的案例，使学生很容易的就领会了方差分析的思想等．
４ 积极推进考核形式的改革
考核是对学生最终学习情况的总结，也是对教师教学完成情况的评估．考核不单纯是给学生一个最后
的分数，
采取何种形式进行考核，对于学生的学习方法、学习重点、学习技巧等都有很强的导向作用．受应试教育的影响，国内大多课程的考核方法都是闭卷考试．对于有些课程而言，闭卷考试是有益的，也是必须的；但对于概率论与统计学这门实用性很强的课程来说，我认为授课的重点是要让学生掌握统计学的核心
４２１大 学 数 学 第２６卷
思想，并学会利用统计的思维处理问题，而不是教会学生做题的固定方法，象学习“纯数学”那样机械的做题，这样会损失掉原有的教学目的．概率统计离不开公式和计算，但我坚信，这些公式和计算的结果不是我
们的终极目标，
公式和计算都是为了加深学生对概率统计方法的理解，但不能让公式成为学生学习统计的一种障碍．应当重视学生对概率统计的重要概念的理解、总结归纳问题和研究问题的能力的培养，不必刻意要求学生记忆一些硬性的规律．不理解的东西对于学生就象不能消化的食物，永远弊大于利．
因此，结合本课程的特点，我认为在考核中可以尝试开卷考试、半开半闭考试考核以及分组考核、实验考核及撰写小论文等多种形式．使学生不至于为死记一些定理公式浪费过多时间，而把主要精力放到理解概念、动手实践、拓宽知识面、有目的的看参考书等环节上来．
总之，大学数学课程“概率论与数理统计”的教学是有一定难度的，无论是教学内容还是教学方法，都应该随着专业内容的拓展和科技的进步而不断调整，以顺应时代的需要，培养高综合素质的科研型人才．以上仅是我在教学过程的一些实践与认识，期望能抛砖引玉，让更多人关注和重视这门公共课程．
［参 考 文 献］
［１］ 谢秉智．积极推动研究性教学提高大学生的创新能力［
Ｊ］．中国大学教学，２００６（２）：２１－２３．［２］ 李元杰，
孙威娜．大学物理教学改革应关注的几个重要问题［Ｊ］．中国大学教学，２００４（１２）：２１－２２．［３］ 桑新民．探索信息时代高校课程与教学的新模式［Ｊ］．中国大学教学，２００５（６）：３８－４１．５２１增刊１ 李学京：大学数学课程“概率论与数理统计”教学的实践与认识
大学数学课程设置方案 大学数学课程是针对理、工、经、管类学生开设的十分重要的公共基础课程。在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域，不管是科学研究还是实际应用，都需要数学思想、数学方法与工具，都需要建立数学模型。大学数学的教学，既要传授给学生数学知识，又要使学生通过数学知识的学习培养理性思维，提高综合素质。 我校从2014年实行学分制，经过几年的运行，就大学数学的课程设置取得了一定的经验。为了更好的适应学分制，给学生提供多层次的大学数学课程，让学生能够自主选课，我们欲就大学数学的课程进行微调，下面就每门课程的设置、层次和教学内容做一个简单的说明，并对各专业对相关课程的选择提出建议。 一、高等数学 高等数学（一），主要包括一元函数微积分，常微分方程，共80学时。建议商学院、材料科学与工程学院、化学化工学院、机械工程学院、历史与文化产业学院、生物科学与技术学院、土木建筑学院、物理科学与技术学院、信息科学与工程学院、资源与环境学院、自动化与电气工程学院等专业的学生选这门课。 高等数学（一）W，主要包括一元函数微积分，常微分方程，共64学时；是高等数学（一）课程的弱化。建议相关学院合作办学专业、土木建筑学院的城市规划、建筑学专业的学生选该门课。 开课时间：一年级第一学期。 高等数学（二）A，主要包括多元函数微分，二重积分和三重积分，曲线积分和曲面积分，级数，共80学时。建议机械工程学院、土木建筑学院、物理科学与技术学院、信息科学与工程学院、资源与环境学院、自动化与电气工程学院等考研考数学一的专业选这门课，该课程的先修课程是高等数学（一）（或者高等数学（一）W）和线性代数与空间解析几何（或者线性代数与空间解析几何W）。 高等数学（二）AW，主要包括多元函数微分，二重积分和三重积分，曲线积分和曲面积分简介，级数，共72学时；该课程是高等数学（二）A课程的弱化。建议机械工程学院、土木建筑学院、物理科学与技术学院、信息科学与工程学院、资源与环境学院、自动化与电气工程学院等专业不考研或考研不考数学的学生选该门课，该课程的先修课程是高等数学（一）（或者高等数学（一）W）和线性代数与空间解析几何（或者线性代数与空间解析几何W）。
习题 1—1 解答 1．设 x f (x, y ) xy ，求 y f (x ,y), f 1 ( x , 1 ), y f (xy, x y ), f 1 (x, y) 解 x f (x ,y ) xy ； y f 1 ( x , 1 ) y 1 xy y x ; f (xy, x y ) x 2 y ; 2 f 1 (x, y) y xy 2 x 2．设f (x, y ) ln x ln y ，证明：f (xy,uv ) f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v) f (xy,uv ) ln(xy ) ln(uv ) (ln x ln y)(ln u ln v ) ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln v f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v) 3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f (x, y ) 1x 2 y 2 1; 4x y （2）f (x, y ) ; ln(1x y ) 2 2 2 x y z 2 2 2 （3）f (x, y ) 1; a b c 2 2 2 x y z （4）f (x, y, z ) . 1x 2 y z 2 2 解（1）D {(x, y) x 1, y 1 y 1 -1 O 1 x -1 （2）D (x, y) 0x y 1, y 4x
2 2 y 2 1 -1 1 O x -1 1
（3）D x y z 2 2 2 (x, y ) 1 a b c 2 2 2 z c -a -b O b y a x （4）( , , ) 0, 0, 0, 1 D x y z x y z x 2 y z 2 2 z １ O y １ １ x 4．求下列各极限： 1xy （1）lim x 0 x y 2 2 y 1 1 0 = 1 0 1 ln(x e y ln(1 e ) ) 0 （2）lim ln 2 x 1 2 1 2 0 x y y0 2 xy 4 (2 xy 4)(2 （3）lim lim x xy xy 0 0 ( xy x 2 xy 4) 4) 1 4
数学与应用数学专业培养方案 一、专业历史沿革 同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等一大批知名专家曾在此任教。解放后，几经国家调整，本系时有间断。于1980年，（应用）数学系正式恢复，陆续引进一批国内外培养的具有博士学位的青年教师，原有师资队伍的结构有了变化，充实了教学与科研力量。从20世纪90年代开始，学校又先后引进国内知名数学家、博土生导师陈志华、陆洪文、姜礼尚教授等来数学系工作，教学和科研整体实力有很大提高。数学与应用数学专业在建系后就已设立，文革期间中断了招生，1978年恢复高考后数学与应用数学专业也随之恢复了招生。至今本专业已培养了毕业生3000多人，数学系的学生遍布国内外的许多国家,有的继续从事做数学的教学及科学研究工作，有的在大型国企和外企，特别是银行、金融、计算机等行业工作，很多毕业生已成为杰出科学家和行业精英。 二、学制与授予学位 四年制本科。 本专业所授学位为理学学士。 三、基本学分要求
四、专业培养目标 本专业培养具备扎实数学基础，并具备运用数学知识和计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育、信息、金融保险等部门及企事业单位从事研究、教学、管理及计算机软件开发等具有国际视野的复合型高级专门人才，或能继续在国内外攻读研究生学位的高级专门人才。 五、专业培养标准
六、主干学科 数学。 七、核心课程 数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论(理)、数值分析(理)、数理方程(理)等。 八、教学安排一览表 见附表一。 九、实践环节安排表 见附表二。 十、课外安排一览表 见附表三。 十一、有关说明 1. 公共基础课中的有3门计算机课程，其中在硬件技术基础、数据库技术基础、多媒体技术基础、Web技术基础和软件开发技术基础5门课程中应至少选修1门。 2. 培养方案中打*的课程为研究生阶段设置的课程，供要求较高的学生选修。 3. 各类选修课要求与建议： 本专业学生在如下的专业选修课中，选修15学分。 金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析、运筹学(理)、应用随机过程、泛函分析(研)*、抽象代数(研)*、微分流形(研)*、矩阵分析(研)*、李群与李代数(研)*、偏微分方程(研)*、有限元方法(研)*、运筹学通论(研)*、图论及其应用(研)*、有限差分方法与谱方法(研)*。其中金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析这三门课程是金融数学方向的课群组，如果想选修金融数学方向建议3门课程全部选修。已经取得保研资格的学生，建议选修打*的10门研究生专业基础课中的相关课程。 公共选修课至少选修8学分，课程任选，其中至少要有一门艺术类课程。
数学与应用数学专业本科生培养方案 一、培养目标 本专业培养掌握数学科学的基本理论和方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，培养适应我国新世纪经济建设和社会发展需要的“宽口径、厚基础、强能力、高素质”，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级人才。 要求学生掌握数学和应用数学的基本理论、基本方法，受到数学模型、计算机和数学软件方面的基本训练，具有较好的科学素养和宽广的知识面；熟练掌握一门外语；并有较强的创新意识、开拓精神以及较强的实际应用能力和适应能力。 二、培养基本规格要求 1. 具有扎实的数学基础，受到比较严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法； 2. 具有应用数学知识去解决实际问题，特别是建立数学模型的初步能力，了解某一应用领域的基本知识； 3. 能熟练使用计算机，包括常用语言、工具及一些数学软件，具有编写简单应用程序的能力； 4. 了解国家科学技术等有关政策和法规； 5. 了解数学科学的某些新发展和应用前景； 6. 有较强的语言表达能力，掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，有一定的科学研究和教学能力。 三、主要课程 数学分析、复变函数、实变函数、泛函分析、常微分方程、高等代数、近世代数、解析几何、微分几何、概率论、数理统计、大学物理、数学模型、数学模型实验、、数值计算方法、运筹学高级语言程序设计等，以及根据应用方向选择的基本课程。 四、学位课程 常微分方程、运筹学、数理统计 五、毕业最低学分及要求 毕业最低学分为160学分，其中包含： 1、必修课106学分。 2、专业方向模块课32学分，其中集中实践类课程23学分必须获得，专业课选修9学分；选数学教育模块的学生模块课程45学分，其中集中实践类课程1学分，专业课选修6学分，教师教育“3+1”培养课程38学分（其中资格类课程8学分，必修课课程7.5学分，教育实践与毕业论文22.5）。 3、任意选修课22学分，包括文化素质类课程6学分——含“两课”延伸课2学分，专业选修课至少获得12学分；选数学教育模块的学生任意选修课9学分，包括文化素质类课程6学分——含“两课”延伸课2学分。 六、学制 四年，最长学习年限为六年。 七、授予学位及要求 符合宁波大学学士学位授予的有关规定，授予理学学士学位。 9 / 1 八、各类课程设置及学分分配汇总表
《高等数学基础》课程导学 一、课程性质任务 《高等数学基础》是广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的大专应用型人才服务的。 通过本课程的学习，使学生获得微积分的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生用定性与定量相结合的方法处理实际问题的初步能力。 通过本课程的学习，要为学习理工科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。 二、课程的教学目的与要求 使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想，培养辩证唯物主义观点，并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。 三、课程内容简介 课程内容包括： 第一章函数 主要内容有：函数概念、函数的简单性质、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、以及常见的简单经济函数。 第二章极限与连续 本章的主要内容有：数列极限、函数极限、无穷小量及无穷大量、无究小量的运算性质、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续性与间断点。 第三章导数与微分 本章的主要内容有：导数概念及其几何意义、导数的基本公式及运算法则（导数的四则运算法则、复合函数求导法则，以及反函数、隐函数、取对数求导方法的举例）、高阶导数的概念及计算；微分的概念及计算、微分与导数的关系；导数在实际问题中的简单应用。 第四章导数的应用 本章的主要内容有：中值定理、洛必达法则、函数单调性及函数凹凸性的判别、极值的概念及判别、极值应用──求某些实际问题或几何问题中的最值。 第五章不积分学 本章的主要内容有：原函数与不定积分的概念、不定积分性质、基本积分公式、换元积分法和分部法，以及不定积分的简单经济应用。 第六章定积分及其应用 本章的主要内容有：定积分的概念及其性质、微积分基本定理、牛顿──菜布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法、广义积分的概念及计算、定积分在几何问题中的应用──求平面图形的面积、旋转体体积、定积分在日常生活中的应用。常微分方程简介（常微分方程的一般概念、可分离变量微分方程和一阶线性微分方程及其解法）。
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
数学科学系 00420033数学模型3学分48学时 Mathematical Modelling 建立数学模型是用数学方法解决实际问题的关键步骤。本课程从日常生活的有趣问题入手，介绍数学模型的一般概念、方法和步骤，通过实例研究介绍一些用机理分析方法建立的非物理领域的模型及常用的建模数学方法，培养同学用建模方法分析和解决实际问题的意识和能力。 00420152数学建模引论2学分32学时 Introduction of Mathematical Modelling 本课程以案例分析的方式组织教学，主要面向低年级的学生，各个学期根据对学生数学基础的不同要求，选择案例。我们这里所选择的都是实际应用价值非常突出的案例。 00420163数理科学与人文3学分48学时 Mathematical and Physical Sciences and Humanities 本课程旨在加强学生以通识教育为目标的思维和训练，提高学生的科学素质。该课程虽然以知识为载体，却并不以传授理论知识为主要目的，而是以启迪思想，养成思考的习惯，以提升学生的创新意识。 00420183博弈论3学分48学时 Game Theory This is an introductory course on the basic concepts of Game Theory. Topics to be covered are:Combinatorial Game Theory, Games in Extensive Form, 2-person 0-sum games, Bimatrix games, Nash Equilibrium, Correlated equilibrium, Evolutionary Game Theory, Repeated Prisoner’s Dilemma, Bargaining Problems, Games in Coalition form, Shapley value, Nucleolus, 2-side matching problem. 10420095微积分(1)5学分80学时 Calculus(1) 内容包括：实数，函数，极限论，连续函数，导数与微分，微分中值定理，L'Hospital法则，极值与凸性，Taylor公式，不定积分与定积分，广义积分，积分应用，数项级数，函数级数，幂级数，Fourier级数。 10420115微积分(2)5学分80学时 Calculus(2) n维空间中的距离、邻域、开集与闭集，多元函数的极限与连续，多元函数微分学，空间曲线与曲面，重
复旦大学数学类基础课程 《数学分析II》教学大纲 数学分析（I ）学分数5 周学时4+2 总学时96 （讲课64，习题课32） 数学分析（II ）学分数5 周学时4+2 总学时96 （讲课64，习题32） 数学分析（III ）学分数4 周学时3+2 总学时80 （讲课48，习题32） 课程性质与基本要求 课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。 本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I ），数学分析（II ），数学分析（III ）。 基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 教学方式与指导思想 教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。 指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。 教学内容，教学要求与学时分配
学时（含习题课）数学分析（II ） 第七章定积分（§4 —§6） 15 §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 9 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 21 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；
清华大学数学科学系本科课程浏览 课程号课程名课时学分00420033数学模型Mathematical Models 48 3 00420073应用近世代数Applied abstract algebra 48 3 10420213几何与代数(1) Geometry and Algebra(1) 64 4 10420243随机数学方法Stochastic Mathematical Methods 48 3 10420252复变函数引论Introduction to Functions of One Complex Variable 32 2 10420262数理方程引论Introduction to Equations of Mathematical Physics 32 2 10420454高等分析Advanced Analysis 64 4 10420672初等数论与多项式Elementary Number Theory 32 2 10420684几何与代数(1) Geometry and Algebra 64 4 10420692几何与代数(2) Geometry and Algebra(2) 32 2 10420743微积分（I）Calculus（I）48 3 10420746微积分（III）Calculus（III）64 4 10420753微积分（II）Calculus（II）48 3 10420803概率论与数理统计Probability and Statistics 48 3 10420844文科数学Mathematics for Liberal Arts 64 4 10420845大学数学2（社科类）College Mathematics II （For Social Science）48 3 10420854数学实验Mathematical Experiments 48 4 10420874一元微积分Calculus of One Variable 64 4 10420884多元微积分Calculus of Several Variables 64 4 10420892高等微积分B Advanced Calculus B 32 2 10420894高等微积分Advanced Calculus 64 4 10420925数学分析（1）Mathematical Analysis 80 5 10420935数学分析（2）Mathematical Analysis II 80 5 10420944线性代数（1）Linear algebra 64 4 10420946线性代数Linear algebra 32 2 10420963大学数学（1）（社科类）48 3 10420984大学数学(3)(社科类) Collegiate mathematics (3) for social science students 64 4 10420994大学数学(4) Undergraduate Mathematics (4) 64 4 10421692几何与代数(2) Geometry and Algebra(2) 32 2 30420023微分方程（1）Differential Equations （1）48 3 30420033微分方程（2）Differential Equations （2）48 3 30420083复分析Complex analysis 48 3 30420095高等微积分（1）Mathematical analysis (I) 80 5 30420124高等代数与几何(1) Advanced Algebra and Geometry (1) 64 4 30420134高等代数与几何(2) Advanced Algebra and Geometry (2) 64 4 30420224高等微积分（3）Advanced Calculus(3) 64 4 30420334测度与积分Measure and Integration 64 4 30420352概率论介绍A First Course in Probability 32 2 30420364拓扑学Topology 64 4 30420384抽象代数Abstract Algebra 64 4 30420394高等微积分（2）Mathematical analysis (II) 64 4 40420093数理统计Mathematical Statistics 48 3 40420193数理方程与特殊函数Equations in Mathematical Physics and Special Function 48 3 40420534数学规划Mathematical Programming 64 4 40420583概率论（1）Introduction to Stochastics 48 3 40420593数据结构Data Structures 48 3 40420603集合论Set Theory 48 3 40420614泛函分析（１）Functional Analysis 64 4 40420632数理统计介绍Introduction to Statistics 32 2 40420644微分几何Differential Geometry #Mathematics
【实变函数】：主要讲Lebesgue测度和积分，比较难的一门课 最重要定理：Lebesgue控制收敛定理、Fubini定理 教材:自己印的讲义，不过可以参考夏道行的《实变函数论与泛函分析》上册，这本书内容太多，所以我们学的只是它的真子集= =。。 实变函数还是很重要的，最重要的是给你一种测度和积分的观念，让你知道积分是定义在测度上面的，有个测度就可以定义一种积分；此外对后续的概率论的课程也很重要 【复变函数】：主要讲复平面上的全纯函数，比实变简单= =。。 最重要定理：Cauchy积分公式，以及全纯函数的3个等价定义，至于是哪3个大家学的时候总结吧，书上没有明确写出来 教材：《复变函数论》张锦豪、邱维元著 我旦本科的复变讲得还是比较简单的，调和函数不讲，解析延拓也不讲，以至于上数理方程课的时候老师抱怨“你们复变老师怎么什么都不讲？”= =。。 【拓扑】：主要讲点集拓扑和基本群、覆盖空间 最重要定理：万有覆盖定理；请务必把这个定理的证明完整背下来，期末考试已经连续考了两年了= =。。
教材：自己印的讲义，以前的老教材，已经不出版了 拓扑还是很重要的，相当于现代数学的语言，如果以后想继续做数学一定要搞清楚 【数学模型】：水课，不像是数学课，不讲~~ 总结：大二的专业必修课分布是非常密集的，也很累，不过大家一定要坚持下去，到了大三下，基本就没什么特别耗精力的课了，大四就基本没什么课了 大三： 【泛函分析】：主要讲无限维线性空间以及其上的有界线性泛函和线性算子，和高代的区别就是一个有限维，一个是无限维；不过无限维的情况可比有限维复杂多了，也有意思多了 最重要定理：开映射定理、闭图像定理、共鸣定理；这几个定理是相互等价的 教材：自己印的，不过我们学的也是夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册的真子集 泛函是非常重要的数学基础课程，也有一定难度，要花时间，最好寒假预习一下 【概率论】：主要就是讲概率论的；不过概率实际上是一个全有限测度，这也是为什么我说实变要好好学的原因之一，因为从精神上来讲，概率的全部结果，都可以用实分析的方法导出
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
MATH1050B/C Further Exercise2Due date:20-2-2017 1.Let P,Q,R be statements.Consider each of the pairs of statements below.Determine whether the statements are logically equivalent.Justify your answer by drawing an appropriate truth table. (a)～(P∨Q),(～P)∧(～Q). (b)P→(Q∧R),(P→Q)∧(P→R). (c)P→(Q→R),(P∧Q)→R. (d)P→(Q∨R),(P→Q)∨(P→R). (e)(P∨Q)→R,(P→R)∧(Q→R). (f)(P→Q)→R,P→(Q→R). (g)P→(Q∨R),[P∧(～Q)]→R. 2.Let P,Q,R be statements.Consider each of the statements below.Determine whether it is a tautology or a contradiction or a contingent statement.Justify your answer by drawing an appropriate truth table. (a)[P→(P→Q)]→(P→Q) (b)(P→R)→[(P∧Q)→R)] (c)[(P→Q)∧(Q→R)]→(P→R) (d)[(P→Q)∧(Q→R)∧(R→P)]→(Q→P) (e)(P→R)→[(P→Q)∨(Q→R)] (f)(P→Q)→[(Q→R)∨(P∧R)] (g)(P→Q)→[(P→R)∨(Q→R)] 3.Let C={0,1,1,2,3,3,4},D={0,1,{1,2,3},{{3},4}}.Consider each of the sets below.List every element of the set concerned,each element exactly once.You are not required to justify your answer. (a)C. (b)D.(c)C∩D. (d)C∪D. (e)C\D. (f)D\C. (g)C△D. (h)P(C∩D). 4.Let C={{0,1},{1},{1,2,3},{3,4}},D={{0,1,1},{1,2,3},{{3},{4}}}. Consider each of the sets below.List every element of the set concerned,each element exactly once.You are not required to justify your answer. (a)C∩D.(b)C∪D.(c)C\D.(d)C△D.(e)P(C\D). 5.Let M={m,a,r,c,u,s},T={t,u,l,l,i,u,s},C={c,i,c,e,r,o}. (a)How many elements are there in the set C? (b)How many elements are there in the set M∪T? (c)How many elements are there in the set(M∪T)\C? (d)How many elements are there in the set{(M∪T)\C}? (e)How many elements are there in the set({M}∪{T})\{C}? (f)How many elements are there in the set{M∪T}\{C}? (g)List every element of the set M∩C,each element exactly once. (h)List every element of the set P(M∩C),each element exactly once. 6.Let A={x∈R:x2?2x?3≤0},B={x∈R:?1≤x≤3}.Prove‘from?rst principles’that A=B. 7.Let A={n∈Z:n≡1(mod3)},B={n∈Z:n≡4(mod9)}.
浅谈对线性代数核心内容的学习 一、线性代数的特点及教学中存在的问题 线性代数是大学数学一门重要的基础课，它的内容对其它后续课程以及工程技术、经济管理、网络信息中有着广泛的应用。目前非数学专业对线性代数教学课时一般都安排较少，学生普遍反映线性代数课程“抽象”难懂。原因是：第一，线性代数中概念抽象。在刚开始的学习中，学生的主要难点集中在对一些概念难于接受和理解，例如：行列式的定义、矩阵乘法的定义、矩阵的初等变换规则，尤其是向量空间的抽象定义、线性相关及线性无关的定义等等；第二，教材的编排体系。大部分教材一般是按逻辑顺序—定义、公理、引理、定理、推论的模式来编写的。为学习某项新知识，必须有很多的预备知识作为铺垫，进而才能更好地理解新知识的来龙去脉。这样循序渐近的安排，使教材整个的知识体系更加完整，天衣无缝。但在实际教学中，往往使学生抓不住知识的主干，“只见树木，不见森林”，不知道一开始学习的知识干什么，只是被动地一步一步跟着走。对学生而言，每门课程都是新的，以前很少接触过，不可能对课程有整体的把握，更不可能理解作者编书的原始想法。这就要求教师在讲课的过程中合理地安排教学内容的顺序，突出重点、难点，让学生掌握课程的主干、核心内容，对课程整体作深入的了解和把握。 二、线性代数的核心内容 线性代数名曰代数，处理的却是几何对象，它的研究对象是线性空间（向量）及线性变换，它的处理工具和方法是代数中的矩阵理论——矩阵及其运算，特别是矩阵的乘法。多数线性代数教材的内容顺序是：行列式、矩阵、线性方程组、向量和线性空间、特征值和二次型。这几章的内容，线性方程组是核心内容，行列式的定义及运算法则、矩阵及其运算和变换是工具，都是为解线性方程组服务的。向量的线性相（无）关的问题，都可转化成对线性方程组的研究。例如： 设由m 个方程n 个未知数组成的线性方程组为： ???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112222212111212111 该线性方程组可以写成向量的线性组合的形式： βααα=+++n n x x x Λ2211 其中?????? ? ??=mi i i i a a a M 21α，n i ,,2,1Λ=，??????? ??=m b b b M 21β 上面两种形式都可以简写成矩阵方程形式：b Ax =，其中A 为系数矩阵，即 ?????? ? ??=??????? ????????? ??m n mn m m n b b b x x x a a a a a a a a a M M ΛΛΛΛ21212111222111211 由于研究内容的不同，有以上三种不同的表示形式，但解决三者的方法却是完全一样的，都可以借助于矩阵理论进行研究即可，因此，线性方程组、向量的线性组合和矩阵及矩阵方程三个看似独立不同的问题是可以作等价研究的。例如： 问向量组)2,4,2(1-=α，)1,2,3(2=α，)2,4,1(3=α是否线性相关？
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了