圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质
总论:常用的八种方法
1、定义法
2、韦达定理法
3、设而不求点差法
4、弦长公式法
5、数形结合法
6、参数法(点参数、K 参数、角参数)
7、代入法中的顺序
8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型
(1)中点弦问题
(2)焦点三角形问题
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 (5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 (7)两线段垂直问题
常用的八种方法
1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。 (2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法
解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:
(1))0(122
22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有
020
20=+k b
y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) (2))0,0(122
22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有
020
20=-k b
y a x (其中K 是直线AB 的斜率) (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)
4、弦长公式法
弦长公式:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是:把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中,得到型如ax bx c 2
0++=的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则||||AB k x x A B =+-=
12·|
|12a k △
·+,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”,令2x+y=b ,则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距;如“x 2+y 2
”,令
d y x =+22,则d 表示点P (x ,y )到原点的距离;又如“
23+-x y ”,令2
3
+-x y =k ,则k 表示点P (x 、y )与点A (-2,3)这两点连线的斜率……
6、参数法
(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如x 轴上一动点P ,常设P (t ,0);直线x-2y+1=0上一动点P 。除设P (x 1,y 1)外,也可直接设P (2y 1-1,y 1) (2)斜率为参数
当直线过某一定点P(x 0,y 0)时,常设此直线为y-y 0=k(x-x 0),即以k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。
(3)角参数
当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件P 1,P 2求(或求证)目标Q ”,方法1是将条件P 1代入条件P 2,方法2可将条件P 2代入条件P 1,方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设,代入P 1,P 2,这就是待定法。不同的代入方法常会
影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。
八、充分利用曲线系方程法
一、定义法【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为 。
分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时,距离和最小。
(2)B 在抛物线内,如图,作QR ⊥l 交于R ,则当B 、Q 、R 距离和最小。
解:(1)(2,2)
连PF ,当A 、P 、F 三点共线时,PF AP PH AP +=+)1(1
30
24---=
x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22),
(注:它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去)
(2)(
1,4
1
) 过Q 作QR ⊥l 交于R ,当B 、Q 、R 三点共线时,QR BQ QF BQ +=+最小,此时Q 点的纵坐标为1,代入y 2=4x 得x=
41,∴Q(1,4
1) 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细
体会。
例2、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,上一动点。
(1)PF PA +的最小值为 (2)PF PA 2+的最小值为
分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径F P '解:(1)4-5
设另一焦点为F ',则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 (2)作出右准线l ,作PH ⊥l 交于H ,因a 2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e=2
1, ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时,其和最小,最小值为3142
=-=-A x c
a 例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,轨迹方程。
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:图中的A 、M 、C 共线,B 、D 、M 共线)径”(如图中的MD MC =)。
解:如图,MD MC =,
∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA (*)
∴点M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2
=15轨迹方程为
15
162
2+y x 点评:得到方程(*求解,即列出4)1()1(222
2=+-+
++y x y x 方程推导了一遍,较繁琐!
例4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
5
3
sinA,求点A 的轨迹方程。 分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系。
解:sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=53
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=-
即6=-AC AB (*)
∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10
∴a=3, c=5, b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。
分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x 1,x 12),B(x 2,X 22),又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M 到x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),AB 中点M(x 0,y 0)
则?????=+=+=-+-0
2
2210
212
2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9
即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9
∴2
2
00419
44x x y +=
-, 11
49)14(49442
02
0202
00-+++=+
=x x x x y ≥,5192=- 4
5
0≥
y 当4x 02+1=3 即 220±
=x 时,45)(min 0=y 此时)4
5
,22(±
M 法二:如图,222+=AA MM ∴232
≥MM , 即411≥+MM ① ② ③
∴4
5
1≥
MM , 当AB 经过焦点F 时取得最小值。 ∴M 到x 轴的最短距离为
4
5 点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x 1,x 2,从而形成y 0关于x 0的函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A 、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB 是否能经过焦点F ,而且点M 的坐标也不能直接得出。
二、韦达定理法【典型例题】
例6、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A 、B 来源于“不同系统”,A 在准线上,B 在椭圆上,同样C 在椭圆上,D “投影”到x 轴上,立即可得防
()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
解:(1)椭圆
11
2
2=-+m y m x 中,a 2=m ,b 2=m-1,c 2=1,左焦点则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-?
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
(2))1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时,92
10)(min =
m f 当m=2时,3
2
4)(max =
m f 点评:此题因最终需求C B x x +,而BC 斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差,得
01
00=?-+k m y
m x ,将y 0=x 0+1,k=1代入得01100=-++m x m x ,∴1
20--=m m x ,可见122--=+m m x x C B
当然,解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识,通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。
三、点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 1.以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆
14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使弦被M 点平分,求这条弦所在直线的方程。
解:设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上,则1642121=+y x ,1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(2
22
12
22
1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x
∴
2
1
244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y
即21-
=AB k ,故所求直线的方程为)2(2
1
1--=-x y ,即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12
2
2
=-y x ,经过点)1,1(M 能否作一条直线l ,使l 与双曲线交于A 、B ,且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ,求出它的方程,若不存在,说明理由。
策略:这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ,然后验证它是否满足
题设的条件。本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理。 解:设存在被点M 平分的弦AB ,且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ,221=+y y
12212
1=-y x ,12
2
22
2=-y x
两式相减,得
0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22
12
1=--=x x y y k AB
故直线)1(21:-=-x y AB
由??
???=--=-12)
1(2122y x x y 消去y ,得03422=+-x x
∴ 08324)4(2<-=??--=?
这说明直线AB 与双曲线不相交,故被点M 平分的弦不存在,即不存在这样的直线l 。
评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。(1)若中点M 在圆锥曲线内,则被点M 平分的弦一
般存在;(2)若中点M 在圆锥曲线外,则被点M 平分的弦可能不存在。 2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆
125
752
2=+x y 的一条弦的斜率为3,它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ,求点M 的坐标。
解:设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ,弦PQ 的中点),(00y x M ,则2
1
0=
x 12021==+x x x , 0212y y y =+
又 125752
12
1=+x
y ,125
752
22
2=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴
212123
y x x y y -
=-- 32
121=--=
x x y y k ∴ 323
0=-
y ,即210-=y ∴点M 的坐标为)2
1
,21(-。
例4、已知椭圆
125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解:设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ,弦PQ 的中点),(y x M ,则
x x x 221=+, y y y 221=+
又 125752
12
1=+x
y ,125
752
22
2=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ,即
y
x
x x y y 32121-=--
32
121=--=
x x y y k ∴33=-y x
,即0=+y x 由???
??=+=+125
75022x y y x ,得)235,235(-
P )235,235(-Q
点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
3
5235(0<<-
=+x y x 例1 已知椭圆2
212
x y +=,求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ,PQ 的中点为(),M x y .
则22
1112x y +=,(1)222212
x y +=,(2) ()()12-得:
()2222121202x x y y -+-=,()1212
1212
02x x y y y y x x +-∴++=-. 又12
121212
2,2,
2y y x x x y y y x x -+=+==-,40x y ∴+=.
弦中点轨迹在已知椭圆内,∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=(在已知椭圆内). 例2
直线():50l ax y a --+=(a 是参数)与抛物线()2
:1f y x =+的相交弦
是AB ,则弦AB 的中点轨迹方程是 .
解 设()()1122,,A x y B x y 、,AB 中点(),M x y ,则122x x x +=.
()():150l a x y --+=,l ∴过定点()1,5N -,5
1
AB MN y k k x +∴==
-. 又()2
111y x =+,(1)()2
221y x =+,(2)
()()12-得:()
()()()2
2
12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++,
12
1212
2AB y y k x x x x -∴=
=++-.
于是
5
221
y x x +=+-,即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内,∴所求弦中点的轨迹方程为2
27y x =-(在已知抛物
线内).
3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点,一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的
横坐标为
2
1
,求椭圆的方程。 解:设椭圆的方程为12222=+b
x a y ,则502
2=-b a ┅┅①
设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ,弦PQ 的中点),(00y x M ,则
210=
x ,2
1
2300-=-=x y ∴12021==+x x x ,12021-==+y y y 又122
122
1=+b x
a y ,122
222
2=+b
x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(212212=-+--x x a y y b
∴
22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅② 联立①②解得752
=a ,252
=b
∴所求椭圆的方程是125
752
2=+
x y 例3 已知ABC ?的三个顶点都在抛物线232y x =上,其中()2,8A ,且ABC ?的重心
G 是抛物线的焦点,求直线BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ,则A G M 、、三点共
线,且2AG GM =,G ∴分AM 所成比为2,于是0
022812
82012
x y +?=??+?+?=??+,
解得0011
4
x y =??
=-?,()11,4M ∴-.
设()()1122,,,B x y C x y ,则128y y +=-. 又2
1132y x =,(1)2
2232y x =,(2)
()()12-得:()22121232y y x x -=-,1212123232
48
BC y y k x x y y -∴=
===--+-.
BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--,即4400x y +-=.
例4 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的一条准线方程是1x =,有一条倾斜角为4π的
直线交椭圆于A B 、两点,若AB 的中点为11,24C ??
-
??
?,求椭圆方程. 解 设()()1122,,A x y B x y 、,则12121
1,2x x y y +=-+=,且2211221x y a b +=,(1)
22
22221x y a b
+=,(2) ()()12-得:2222121222x x y y a b
--=-,()()2212122212121
12
b x x y y b x x a y y a +--∴
=-=-?-+, 2
1221221AB
y y b k x x a
-∴===-,222a b ∴=,
(3) 又21a c
=,2a c ∴=,(4)而222
a b c =+,(5) 由(3),(4),(5)可得2
211
,24
a b ==, 所求椭圆方程为2211124
x y +=.
4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ,试确定的m 取值范围,使得对于直线m x y +=4,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解:设),(111y x P ,),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点,),(y x P 为弦2
1P P 的中点,则12432
12
1=+y x ,12432
22
2=+y x 两式相减得,0)(4)(32
22
12
22
1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
x x x 221=+,y y y 221=+,
4
1
2121-=--x x y y
∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立??
?+==m x y x y 43,得???-=-=m
y m x 3 则必须满足22
433x y -<,
即22
433)3(m m -<,解得13
13
213132<<-m 5. 求直线的斜率
例5 已知椭圆
221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ??
???
与焦点()4,0F 的距离成等差数列.(1)求证:128x x +=;(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .
(1)证 略.
(2)解
128x x +=,∴设线段AC 的中点为()04,D y .
又A C 、在椭圆上,∴22111259x y +=,(1)22
221259x y +=,(2) ()()12-得:
22221212259x x y y --=-, ()()1212121200
998362525225x x y y x x y y y y +-∴
=-=-?=--+.
∴直线DT 的斜率02536DT y k =
,∴直线DT 的方程为()0
025436
y y y x -=-. 令0y =,得6425x =,即64,025T ??
???,∴直线BT 的斜率9
55644425
k -==-.
6. 确定参数的范围
例 6 若抛物线2
:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称,求实数
m 的取值范围.
解 当0m =时,显然满足.
当0m ≠时,设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、,且PQ 的中点为()00,M x y ,则211y x =,
(1)222y x =,(2)
()()12-得:221212y y x x -=-,1212120
11
2PQ y y k x x y y y -∴=
==
-+, 又1
PQ k m
=-
,02m y ∴=-.
中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上,()003y m x ∴=-,于是05
2
x =. 中点在抛物线2y x =区域内
M 200y x ∴<,即2
522m ??-< ???
,解得m <<综上可知,所求实数m
的取值范围是(. 7. 证明定值问题
例7 已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦,P 是AB 的
中点,O 为椭圆的中心.求证:直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠,
则2211221x y a b +=,(1)22
22221x y a b +=,(2) ()()12-得:2222
121222x x y y a b
--=-,
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+,()()
21212
2
1212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP
y y k x x +=
+,221
AB OP
b k k a ∴=-?,22AB OP b k k a ∴?=-(定值). 8. 其它。看上去不是中点弦问题,但与之有关,也可应用。
例9,过抛物线)0(22
>=p px y 上一定点P (x y 00,)(y 00>),作两条直线分别交抛物
线于A (x y 11,),B (22,y x ). (1)求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点F 的距离; (2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求0
21y y y +的值,并证明直线AB 的斜
率是非零常数.
解(1)略(2):设A (y 12,y 1),B(y 22
,y 2),则 k AB =
1
22
1
2
2121
y y y y y y +=
--
∵k PA =
022
2202012012011
,1y y y y y y k y y y y y y PB +=--=+=-- 由题意,k AB =-k AC , ∴
0210
2012,11y y y y y y y -=++-=+则
则:k AB =0
21
y -为定值。
例10、抛物线方程,直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A 、B ,且OA ⊥OB ,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(1)证明:抛物线的准线为114:x p
=--
由直线x+y=t 与x 轴的交点(t ,0)在准线右边,得 t p
t p >--++>14
440,而 由消去得x y t
y p x y +==+???21()
x t p x t p 2220-++-=()()
?=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。
(2)解:设点A(x 1,y 1),点B(x 2,y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222, 1-=?∴⊥O B O A k k OB OA Q 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220() ∴==+p f t t t ()22
又,得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-?+∞200,,
【同步练习】
1、已知:F 1,F 2是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点,过F 1作直线交双曲线左支于点
A 、
B ,若m AB =,△ABF 2的周长为( )
A 、4a
B 、4a+m
C 、4a+2m
D 、4a-m
2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P 点的轨迹方程是 ( )
A 、y 2=-16x
B 、y 2=-32x
C 、y 2=16x
D 、y 2=32x
3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列,且AC AB >,点B 、C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A 的轨迹方程是( )
A 、
13422=+y x B 、)0(1342
2>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13
42
2≠>=+y x y x 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是
( )
A 、)1(49)2
1(2
2
-≠=
+-x y x B 、)1(49
)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)21(22-≠=-+x y x D 、)1(4
9)21(22
-≠=++x y x
5、已知双曲线
116
92
2=-y x 上一点M 的横坐标为4,则点M 到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2,0),则弦AB 中点的轨迹方程是
8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个,则k=
10、设点P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的动点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,求sin ∠F 1PF 2的最大值。
11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点,且AB 中点M 为(-2,1),34=AB ,求直线l 的方程和椭圆方程。
12、已知直线l 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为
A 、
B 、
C 、
D 。求证:CD AB =。
参考答案
1、C
a BF BF a AF AF 2,21212=-=-,
∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C
2、C 点P 到F 与到x+4=0等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y 2=16x ,选C
3、D
∵22?=+AC AB ,且AC AB >
∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线,即y ≠0,故选D 。 4、A 设中心为(x ,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为4
得4)2()12(122=+-+y x ,∴4
9)21(2
2=