【最新】甘肃省兰州一中高一上学期期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（）
A．幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）
B．当a＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα，当a＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小
2．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．下列关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为（）
①若且满足f（x0）＝0，则（x0，0）是f（x）的一个零点；
②若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．
A．0 B．1 C．3 D．4
-中，E为棱SC的中点.若AC=
4．如图，在三棱锥S ABC
=====.则异面直线AC与BE所成的角为（）
2
SA SB SC AB BC
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
5．若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,)+∞
C ．)∞
D ．0? ??
6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，
l ⊥n ，,l α?,l β?则
（ ）
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
7．已知直线（1+k ）x+y ﹣k ﹣2=0恒过点P ，则点P 关于直线x ﹣y ﹣2=0的对称点的坐标是（ ）
A ．（3，﹣2）
B ．（2，﹣3）
C ．（1，﹣3）
D ．（3，﹣1） 8．平面α⊥平面 β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6
π，过 A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ''，则:AB A B ''等于( )．
A ．3∶2
B ．3∶1
C ．2∶1
D ．4∶3
9．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A ．x ＋2y －6＝0
B ．2x ＋y －6＝0
C ．x －2y ＋7＝0
D ．x －2y －7＝0
二、填空题
10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且
EF ，现有如下四个结论： ①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值.
其中正确结论的序号是______．
11．已知直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，则经过点A （3，2）且与直线1l 垂直的直线方程为________．
12．如图所示，用斜二测画法得到四边形ABCD 是下底角为45℃的等腰梯形，其下底
长为5，则原四边形的面积是______.
13． 已知三棱锥A-BCD ，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 14．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，则m 的取值范围是__________．
15．甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动，其轨迹f i （x ）
（i=1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系式分别为1()21x f x =-， 22()f x x =，3()f x x =，
42()log (1)f x x =+，有以下结论：
①当x ＞1时，甲在最前面；
②当x ＞1时，乙在最前面；
③当0＜x ＜1时，丁在最前面，当x ＞1时，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲．
其中，正确结论的序号为___________ （把正确结论的序号都填上，多填，错填或少填均不得分）．
三、解答题
16．如图(1)，在直角梯形ABCP 中，
BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 、H 分别为线段PC 、PD 、BC 、CD 的中点，现将△PDC 沿DC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(图(2))．
(1)求证：AP ∥平面EFG ；
(2)求证：AH ⊥GF ；
(3)求四棱锥P －ABCD 的外接球的表面积．
17．已知两点(4,3)A -，(2,1)B -，直线4320l x y +-=：
，求一点P 使PA PB =，且点P 到直线l 的距离等于2．
18．（1）已知圆C 经过(0,0)O ， (2,2)Q -两点，且被直线y=1截得的线段长为求圆C 的方程．
（2）已知点P （1，1）和圆x 2＋y 2－4y ＝0，过点P 的动直线l 与圆交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．
（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；
（2）证明AE ⊥平面PCD ．
20．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，分别奖励给在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半；另一半利息计入基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f（x）表示第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后．的基金总额（1999年记为f（1），2000年记为f（2），…，依次类推）
（1）用f（1）表示f（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：1．031 29≈1．32）
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：根据幂函数的定义、图象与性质，对选项中的命题进行分析判断即可． 解：对于A ，α＞0时，幂函数y=x α的图象经过点（1，1）和点（0，0），
α＜0时，幂函数y=x α的图象经过点（1，1），∴A 错误；
对于B ，α=0时，函数y=x α（x≠0），其图象是一条直线，去掉原点（0，0），∴B 错误； 对于C ，当α=﹣1时，y=x
﹣1的图象关于原点对称，y=x ﹣1在定义域内y 随x 的增大而增大
不成立，∴C 错误；
对于D ，当α＜0时，幂函数y=x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小，∴D 正确． 故选D ．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
2．A
【解析】
由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，
它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432
V +=???=，故选A ． 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
3．B
【解析】
试题分析：对于①、[]0,x a b ∈且满足0()0f x =，则是f （x ）的一个零点，而不是（0x ，0），所以①错误；②、因为函数f （x ）不一定连续，所以②错误；③、函数f （x ）的零点
是方程f（x）＝0的根，方程f（x）=0的根一定是函数f（x）的零点，所以③正确的；④、用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④错误．故选B．
考点：函数的零点、二分法等基本知识．
【方法点睛】对于①，根据零点的概念即可判断；对于②考虑零点存在性定理的条件：函数f（x）一定连续进行判断；对于③根据零点的概念即可判断；对于④，利用二分法求根时，得到的根也可能是精确值，故④错．我们把函数y=f（x）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根．f（x）的零点就是方程f（x）=0的解．这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．零点存在性定理：若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f（a）?f（b）≤0，则在区间[a，b]内，函数y=f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x）=0在区间[a，b]内至少有一个实数解．
4．C
【分析】
取SA的中点F，连接EF，BF，则BEF
∠（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，求出三角形的三边，即可求出异面直线AC与BE所成的角．
【详解】
解：取SA的中点F，连接EF，BF，则
∵E为棱SC的中点，
∴,
EF//AC
则BEF
∠（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，
======
AC SA SB AB BC
2SC2
∴===
BE EF BF
∴∠=．
BEF
60
故选C．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关键．
5．B
【解析】
试题分析：令()x
g x a =（a ＞0，且a≠1），h()x x a =+分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图
，若函数f （x ）=a x -x-a 有两个不同的零点，则函数g （x ），h （x ）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a ＞1时符合题目要求．
考点：函数的性质及应用．
6．D
【详解】
试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α?，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥?，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
7．D
【解析】
试题分析：由直线（1+k ）x+y ﹣k ﹣2=0化为k （x ﹣1）+（x+y ﹣2）=0，令解得此直线恒过点P （1，1）．设点P 关于直线x ﹣y ﹣2=0的对称点为P′（m ，n ），利用垂直平分线的性质可得：，解得m ，n 即可．
解：由直线（1+k ）x+y ﹣k ﹣2=0化为k （x ﹣1）+（x+y ﹣2）=0，
令，
解得，
于是此直线恒过点P （1，1）．
设点P 关于直线x ﹣y ﹣2=0的对称点为P′（m ，n ），
则，
解得．
∴P′（3，﹣1）．
故选D ．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．
8．C
【分析】
结合题意分别在直角三角形中求出各边之间的数量关系，从而计算出结果
【详解】
在Rt ABB '?中，cos
42AB AB AB π'=?= 在Rt ABA '?中，1sin 62
AA AB AB π'=?=
,
在Rt AA B ''?中，12
A B AB ''==, 所以:2:1AB A B ''= 故选C
【点睛】
本题运用线面角来解三角形的边长关系，较为基础
9．B
【解析】 试题分析：设直线的方程为1(0,0)x y a b a b
+=>>，直线经过点P （1，4），
则有141a b
+= ∴1
44()()5549b a a b a b a b a b +=++=+
+≥+= 当且仅当4141b a a b a b
?=????+=?? ，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y-6=0．
故选B ．
考点：直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值．
【方法点睛】（1）一般情况下直线在x 轴的截距即当y=0时x 的值，直线在y 轴的截距即当x=0时y 的值，如果把方程设为截距式（一定要保证截距不为0），这样截距比较直观；
（2）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值
10．①②③
【分析】
根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①；根据11//B D BD 可判断②；利用体积公式判断③；设11D E a =，用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④.
【详解】
连接BD ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥，可知AC ⊥平面11BB D D ，
而BE ?平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确；
由//EF BD ，且EF ?平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，
可得//EF 平面ABCD ，故②正确；
1132
A BEF BEF V S AC -=?
1111232=?=， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确；
建立坐标系如图所示;
设1102D E a a ?=≤≤ ??
, 则()1,0,0A ，()1,1,0B
，,122E a a ?? ? ???
，
11,122F ?++????
，
2,122AE a ??∴=
- ? ???，211,,12
222BF a ??=-- ? ???, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ， 则cos a AE BF AE BF a θ
?==?
=2232222a a a ??-+=
-+ ? ??? ∴当0a =时，cos θ取得最大值2
， θ∴的最小值为30，即异面直线,AE BF 所成的角不为定值，故④错误； 故答案为：①②③
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角，综合性比较强，属于中档题.
11．2x-y-4＝0
【解析】
试题分析：因为直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，所以
28112
m m m =≠+-，解得1m =，直线1l 方程为210x y +-=，因为所求的直线方程与 直线1l 垂直，所以可设为20x y λ-+=，又因为经过点A （3，2），所以2320λ?-+=，解得4λ=-，所以所求直线为2x-y-4＝0．
考点：两直线平行满足的条件及如何求直线方程．
12．【解析】
试题分析：作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，则AE=BF=ADcos45°
=1， ∴CD=EF=3．
详解：由题可得将原图复原（如图）
则原四边形应为直角梯形，∠A=90°，AB=5，CD=3，AD=2
则原四边形的面积是()1532
+?=考点：斜二测画法的理解和应用
点睛：将直观图放在还一个平面直角坐标系x oy ''中，还原成平面图的关键是找与,x y ''轴平行的直线或线段，且平行与x '轴的线段还原时相等，且平行与y '轴的线段还原时放大为直观图中相应线段的2倍，由此图形的各个顶点，顺次连接即可；对于面积问题直观图的面积
是原几何图形面积的
4
倍，在选择及填空题中可直接应用 13．3π
【解析】
试题分析：如图所示，
设球心为O 点，底面△ABC 的中心为O 1，球的半径为R ．∵三棱锥A-BCD 的所有棱长都2 所以12362323
CO =?=， 222116232()33
PO PC O C =-=-= 在1OAO ?中，222236)R R =+ 解得3R =∴该三棱锥的外接球的表面积22344(3S R πππ===，故答案为：3π． 考点：正三棱锥的性质、球的表面积计算公式．
14．
．
【解析】
试题分析：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m 的范围．
解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在
区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m＜﹣，
故m的范围是，
故答案为．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
15．③④⑤
【解析】
试题分析：因为路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：f1（x）＝2x?1，
f2（x）＝x2，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），
它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．
当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；
当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；
指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．
结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．
故答案为：③④⑤．
考点：几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．
【方法点睛】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指
数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．
16．（1）证明见解析；（2）16
【解析】
试题分析：（1）由三角形中位线定理证明EF ∥AB ．利用直线与平面平行的判定定理证明EF ∥平面PAB ．然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFG ∥平面PAB ． （2）利用等体积V C-EFG =V G-CEF ，转化求解即可．
试题解析：证明：（1）∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，
∴EF ∥CD 又CD ∥AB ．∴EF ∥AB ．
∵EF ?平面PAB ，AB ?平面PAB ，
∴EF ∥平面PAB ．同理，EG ∥平面PAB ，
∵EF ∩EG =E ，EF ?平面EFG ，EG ?平面EFG
∴平面EFG ∥平面PAB ．
（2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×（12×1×1）×1＝16．
考点：平面与平面平行的判定定理及几何体的体积的求法
【名师点睛】1、判断面面平行的方法（1）利用定义:（常用反证法）；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行，（4）利用平行平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行；
2、在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．
17．(1,4)P -或278(
,)77P - 【解析】
试题分析：先求出直线 AB 的垂直平分线，再根据(,)P a b 在直线50x y --=上及已知点P 到l 的距离为2，即可得到结论
试题解析：设点P 的坐标为(,)P a b ．∵(4,3)A -，(2,1)B -．
∴AB 的中点M 的坐标为(3,2)-．又AB 的斜率31142
AB k -+==--． ∴AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=．
而(,)P a b 在直线50x y --=上． ∴50a b --=． ①
又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上，
设直线方程为430x y m ++=，由两条平行直线之间的距离公式得： 225m += ∴8m =或12m =-．
∴点P 在直线4380x y ++=或43120x y +-=上．
∴或43120a b +-= ②
∴①②得：1a =，4b =-或277a =
，87b =-． ∴点(1,4)P -或278(,)77
P -为所求的点．
考点：线段的垂直平方线及点到直线的距离
18．（1）22224040x y x x y y ++=+-=或；（2）22330x y x y +--+=
【解析】
试题分析：（1） 先设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，再将O ，Q 两点代入得到D ，E ，F 的关系式，再把直线方程与圆联立，得到二元一次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，又得到一个D ，E ，F 的关系式，联立解出D ，E ，F 的值，得到圆C 的方程；（2）先求出圆x 2＋y 2－4y ＝0圆心坐标，利用圆心与弦中的的连线垂直该弦，得到斜率之间的关系，从而得到M 点的轨迹方程
试题解析：（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=．因为点O ，Q 在圆上，代入
220x y Dx Ey F ++++=：可得04=0F D E =??--?
又由已知，联立：
解得：2+10x Dx E ++=
由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-?=+．
．即()2
1212+412x x x x -?= 即：24412D E --=．即：24=0D D -． 则 0,44,0D E D E ==-==或者． 所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或．
（2）设点M （x ，y ）， 圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0，2）．
由题意：1CM AB k k ?=-，又AB PM k k = 化简: 22330x y x y +--+=
所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=
考点：（1）求圆的方程；（2）求轨迹方程．
19．（1）45°；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先找出PB 和平面PAD 所成的角，再进行求解即可；
（2）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．
（1）解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，
因PA ⊥底面ABCD ，AB ?平面ABCD ，
故PA ⊥AB ．
又AB ⊥AD ，PA∩AD=A ，
从而AB ⊥平面PAD ，
故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．
在Rt △PAB 中，AB=PA ，故∠APB=45°．
所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P ﹣ABCD 中，
因为PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ，
所以CD ⊥PA ．
因为CD ⊥AC ，PA∩AC=A ，
所以CD ⊥平面PAC ．
又AE ?平面PAC ，所以AE ⊥CD ．
由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，可得AC=PA ．
因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC ．
又PC∩CD=C，
所以AE⊥平面PCD．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
20．（1）f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N*），（2）是假新闻
【解析】
试题分析：（1）由题意先求得f（2）和f（3），结合指数式的特点，由此归纳出f（x）的表达式即可；
（2）先计算出【最新】诺贝尔奖发放后基金总额及2013的度诺贝尔奖各项金额，发现与150万美元相比少了约14万美元，从而判断出新闻的真实性．
试题解析：（1）由题意知：
f（2）＝f（1）（1＋6．24%）－1
2
f（1）·6．24%＝f（1）×（1＋3．12%），
f（3）＝f（2）×（1＋6．24%）－1
2
f（2）×6．24%
＝f（2）×（1＋3．12%）＝f（1）×（1＋3．12%）2，
∴f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N*）．
（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f（10）＝19 800（1＋3．12%）9＝26 136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为1
6
·
1
2
·f（10）·6．24%≈136（万美元），
与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．
考点：函数模型的选择与应用、函数值、归纳推理等
【名师点睛】解函数应用题的一般步骤：（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模——求解数学模型，得到数学结论；（4）还原——将用思想方法得到的结论还原为实际问题的意义；（5）反思回顾——对于数学模型得到的结果，必须验证是否有实际意义．