黄金分割 习题精选
一、请你填一填
（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足
关系式________，即AP 是________与________的比例中项.
（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.
（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.
（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.
（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d
b c a ++=________. 二、认真选一选
（1）已知y
x 23
=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y
B.xy =6
C.32=y x
D.32=x y （2）把ab =21
cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a
2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2=
（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）
A.3∶1
B.2∶3
C.2∶1
D.3∶2
（4）有以下命题:
①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d
c b a
= ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项
③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项
④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1
其中正确的判断有（ ）
A.1个
B.2 个
C.3个
D.4个
5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ）
A 、P
B AB AP ?=2； B 、PB AP AB ?=2；
C 、AB AP PB ?=2；
D 、2
22AB BP AP =+
4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）
A 、)15(5-
B 、)15(5+
C 、)25(10-
D 、)53(5-
三、细心算一算
已知实数a ,b ,c 满足
c b a b a c a c b +=+=+,求a c b +的值.
四、好好想一想
以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4—2—2.
图4—2—2
（1）求AM 、DM 的长.
（2）求证：AM 2=AD ·DM .
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
五、已知
743c b a ==，且0≠??c b a ，求c
b a
c b a 432234-+-+的值。
六、已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。
参考答案
一、（1）AP
PB AB AP = PB AB （2）0.618 （3）10 （4）2
2∶1∶2即1∶2∶2 （5）3 二、（1）D （2）B （3）C （4）C 三、解：设c b
a b a c a c b +=+=+=k
则b +c =ak ,c +a =bk ,a +b =ck
∴2（a +b +c ）=k （a +b +c ）
当a +b +c ≠0时，∴k =2,∴a c
b +=2
当a +b +c =0时,b =－（b +c ）, a c
b +=－1
四、解：如图（见原题图）
（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 中点 ∴AB =AD =2，AP =1
在Rt △A PD 中，PD =522=+AD AP ∵PF =PD ,
∴AF =PF －AP =5－1
∵AMEF 是正方形，
∴AM =AF =5－1
DM =AD －AM =2－（5－1）=3－5
（2）由（1）得AM 2=（5－1）2=6－25 AD ·DM =2（3－5）=6－25
∴AM 2=AD ·DM
（3）图中点M 是线段AD 的黄金分割点.